-2
-5 x
⑵ ⑵
⑴
⑷ -5<x<-2 또는 0<x<3
2 ⑴ 0<x<3 ⑵ -3<x<-1 또는 1<x<2
⑶ -4<x<-2 ⑷ x>3
3 ⑴ -2<k<2 ⑵ k>3 ⑶ k<-3 4 ⑴ >, >, > ⑵ >, >, < ⑶ <
03 연립이차부등식
4
82~84쪽
1 3 2 -1 3 3 4 12 5 ① 6 16 7 ② 8 6 cm 이상 9 cm 이하 9 6 cm 10 ④ 11 -2<a<2 12 ⑤ 13 5 14 a<-2 또는 a>1 15 ⑤ 16 ⑤ 17 ③ 18 5 19 -3 20 ④
21 -2
7<k<1 또는 2<k<7 3 22 1
1
2x@-7x+3>0을 풀면 {2x-1}{x-3}>0 / x<12 또는 x>3 yy ㉠
x@-8x+12<0을 풀면 {x-2}{x-6}<0 / 2<x<6 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 3<x<6 따라서 a=3, b=6이므로 b-a=3
2
2x+1<x@-6x+8을 풀면 x@-8x+7>0{x-1}{x-7}>0 / x<1 또는 x>7 yy ㉠ x@-6x+8<15를 풀면 x@-6x-7<0
{x+1}{x-7}<0 / -1<x<7 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -1<x<1
따라서 정수 x는 -1, 0이므로 구하는 합은 -1이다.
3
x@+2x-35>0을 풀면 {x+7}{x-5}>0 / x<-7 또는 x>5 yy ㉠|x-2|<6을 풀면 -6<x-2<6 / -4<x<8 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 5<x<8 따라서 정수 x는 5, 6, 7의 3개이다.
4
3x@-8x-16<0을 풀면 {3x+4}{x-4}<0 / -43<x<4 yy ㉠
x@+2<2x@+x를 풀면 x@+x-2>0
{x+2}{x-1}>0 / x<-2 또는 x>1 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 1<x<4
해가 1<x<4이고 x@의 계수가 1인 이차부등식은 {x-1}{x-4}<0 / x@-5x+4<0 양변에 -3를 곱하면 -3x@+15x-12>0 이 부등식이 ax@+bx-12>0과 같으므로 a=-3, b=15 / a+b=12
5
- x@-2x-3>0 yy ㉠ x@-{a+2}x+2a<0 yy ㉡㉠을 풀면 {x+1}{x-3}>0 / x<-1 또는 x>3 ㉡을 풀면 {x-2}{x-a}<0
/ a<2일 때, a<x<2
a=2일 때, 해는 없다.
a>2일 때, 2<x<a ㉠, ㉡의 해의 공통부분이
2 3
-1 x
㉡
㉠ ㉠
a
-2<x<-1이 되려면 오른
쪽 그림과 같아야 하므로 a=-2
6
- 6x@-x-1>0 yy ㉠ x@+{1-a}x-a<0 yy ㉡ ㉠을 풀면 {3x+1}{2x-1}>0 / x<-13 또는 x>1 2 ㉡을 풀면 {x+1}{x-a}<0
/ a<-1일 때, a<x<-1
a=-1일 때, 해는 없다.
a>-1일 때, -1<x<a
3x@+4x+1<0을 풀면 {x+1}{3x+1}<0 / -1<x<-1
3 yy ㉢
㉠, ㉡의 해의 공통부분이 ㉢
-1 a x
-3! 2!
㉡
㉠ ㉠
이 되려면 오른쪽 그림과 같 아야 하므로 -1
3<a< 12
따라서 상수 a의 최댓값과 최솟값의 합은 1
2+[-1 3 ]=1
6
7
- x@+x-6<0 yy ㉠ x@-{a+4}x+4a>0 yy ㉡ ㉠을 풀면{x+3}{x-2}<0 / -3<x<2 ㉡을 풀면 {x-4}{x-a}>0
/ a<4일 때, x<a 또는 x>4
a=4일 때, x=4
a>4일 때, x<4 또는 x>a
㉠, ㉡의 해의 공통부분에 속하는 정수가 -2뿐이려면 다 음 그림과 같아야 한다.
-3-2 -1a 2 4 x
㉠
㉡ ㉡
/ -2<a<-1
8
직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는 {12-x} cm이다.직사각형의 넓이가 27 cm@ 이상이므로 x{12-x}>27
x@-12x+27<0 {x-3}{x-9}<0
/ 3<x<9 yy ㉠
그런데 가로의 길이가 세로의 길이보다 길거나 같으므로 x>12-x / x>6 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 6<x<9
따라서 가로의 길이의 범위는 6 cm 이상 9 cm 이하이다.
9
- {5+x}@+{9-x}@<100 9-x<5+x{5+x}@+{9-x}@<100을 풀면 x@-4x+3<0
{x-1}{x-3}<0 / 1<x<3 yy ㉠ 9-x<5+x를 풀면 x>2 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2<x<3
세로의 길이는 {9-x} cm이므로 6<9-x<7
따라서 세로의 길이의 최솟값은 6 cm이다.
10
2x-1, x, 2x+1이 삼각형의 변의 길이이므로 2x-1>0 / x>12 yy ㉠
2x+1이 세 변 중 가장 긴 변의 길이이므로 2x+1<x+{2x-1} / x>2 yy ㉡ 둔각삼각형이 되려면
{2x+1}@>x@+{2x-1}@
x@-8x<0, x{x-8}<0
/ 0<x<8 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢의 공통부분을 구하면 2<x<8
11
이차방정식 2x@-2ax+a@-2=0이 서로 다른 두 실근을 가지므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면D
4=a@-2{a@-2}>0
a@-4<0, {a+2}{a-2}<0 / -2<a<2
12
이차방정식 2x@+{a-2}x+a-2=0이 허근을 가지므 로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면D={a-2}@-4\2\{a-2}<0 a@-12a+20<0, {a-2}{a-10}<0 / 2<a<10
따라서 정수 a는 3, 4, 5, y, 9의 7개이다.
13
이차방정식 x@+ax+a=0이 허근을 가지므로 이 이차방 정식의 판별식을 D1이라 하면D1=a@-4a<0 a{a-4}<0
/ 0<a<4 yy ㉠
이차방정식 x@+ax-a+3=0이 실근을 가지므로 이 이 차방정식의 판별식을 D2라 하면
D2=a@-4{-a+3}>0
a@+4a-12>0, {a+6}{a-2}>0 / a<-6 또는 a>2 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 2<a<4
따라서 정수 a는 2, 3이므로 그 합은 5이다.
14
이차방정식 x@+2{a+1}x+a+3=0이 실근을 가지므 로 이 이차방정식의 판별식을 D1이라 하면D1
4 ={a+1}@-{a+3}>0 a@+a-2>0, {a+2}{a-1}>0
/ a<-2 또는 a>1 yy ㉠
이차방정식 x@-2x-a@+5=0이 실근을 가지므로 이 이 차방정식의 판별식을 D2라 하면
D2
4 =1-{-a@+5}>0 a@-4>0, {a+2}{a-2}>0
/ a<-2 또는 a>2 yy ㉡ 두 이차방정식 중 적어도 하나는 실근을 가지므로 조건을
만족시키는 a의 값의 범위는 ㉠, ㉡을 합친 범위이다.
/ a<-2 또는 a>1
15
이차방정식 x@-2{k+1}x+4=0의 두 근을 a, b, 판별 식을 D라 하면! D
4={k+1}@-4>0에서 k@+2k-3>0 {k+3}{k-1}>0 / k<-3 또는 k>1 @ a+b=2{k+1}>0에서 k>-1
# ab=4>0
!, @, #에 의하여 k>1
16
이차방정식 x@+{k-1}x+k+2=0의 두 근을 a, b, 판 별식을 D라 하면! D={k-1}@-4{k+2}>0에서 k@-6k-7>0, {k+1}{k-7}>0 / k<-1 또는 k>7
@ a+b=-k+1<0에서 k>1 # ab=k+2>0에서 k>-2 !, @, #에 의하여 k>7 따라서 실수 k의 최솟값은 7이다.
17
이차방정식 x@+4{m-1}x+m@-m-6=0의 두 근을 a, b라 하면ab=m@-m-6<0
{m+2}{m-3}<0 / -2<m<3 따라서 정수 m은 -1, 0, 1, 2의 4개이다.
18
이차방정식 x@-{k@-2k-8}x-k+3=0의 두 근을 a, b라 하면! ab=-k+3<0에서 k>3
@ a+b=k@-2k-8>0에서 {k+2}{k-4}>0 / k<-2 또는 k>4 !, @에 의하여 k>4
따라서 정수 k의 최솟값은 5이다.
19
f{x}=x@+2ax+6-a라 하고 이1 x
x=-a y=f{x}
차방정식 f{x}=0의 판별식을 D라 하면
! D
4=a@-{6-a}>0에서
a@+a-6>0, {a+3}{a-2}>0 / a<-3 또는 a>2
@ f{1}=a+7>0에서 a>-7 # -a>1에서 a<-1
!, @, #에 의하여 -7<a<-3 따라서 실수 a의 최댓값은 -3이다.
20
f{x}=x@+{a+2}x+5라 하면-1 x y=f{x}
f{-1}=-a+4<0 / a>4
21
f{x}=x@+2{k-2}x-k+2라 하-1 4 x
x=-k+2 y=f{x}
고 이차방정식 f{x}=0의 판별식을 D라 하면
! D
4={k-2}@-{-k+2}>0
에서
k@-3k+2>0, {k-1}{k-2}>0 / k<1 또는 k>2
@ f{-1}=-3k+7>0에서 k<7
3
f{4}=7k+2>0에서 k>-2 7 # -1<-k+2<4에서 -2<k<3 !, @, #에 의하여
-2
7<k<1 또는 2<k<7 3
22
f{x}=x@-{k+1}x-4k라-1 0 2 3
a b x
y=f{x}
하면 f{x}=0의 한 근이 -1 과 0 사이에 있을 조건은 f{-1}f{0}<0이므로
{-3k+2}{-4k}<0, 4k{3k-2}<0 / 0<k<2
3 yy ㉠
f{x}=0의 한 근이 2와 3 사이에 있을 조건은 f{2}f{3}<0이므로
{-6k+2}{-7k+6}<0, {6k-2}{7k-6}<0 / 1
3<k<6
7 yy ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 1
3<k<2 3 따라서 p=1
3 , q=2 3 이므로 p+q=1
87~89쪽
1 ③ 2 2 3 2 4 ④ 5 j26k 6 8 7 {2, -2} 8 300 m `9 ④ 10 ④ 11 ⑤ 12 ④ 13 ③ 14 77 15 ② 16 17 17 4 18 {3+j3, 2j3}
19 ㈎ c ㈏ 2a@+2b@+9c@-6ac ㈐ 2a@+2b@+9c@-6ac 20 풀이 참조
1
ABZ=1{3+1}@+3{2a-2}@3=14a@-8a+203=4j2 4a@-8a+20=32, a@-2a-3=0{a+1}{a-3}=0 / a=3 {? a>0}
2
ABZ=1{a-1+1}@+3{2-a-2}@3=12a@3BCZ=1{5-a+1}@+3{4-2+a}@3=12a@-8a+403 2ABZ=BCZ이므로 212a@3=12a@-8a+403 8a@=2a@-8a+40, 3a@+4a-20=0
{3a+10}{a-2}=0 / a=2 {? a는 정수}
3
ABZ<5이므로1{-1-a}@+3{a-6}@3<5 2a@-10a+37<25, a@-5a+6<0 {a-2}{a-3}<0 / 2<a<3 따라서 정수 a는 2, 3의 2개이다.
4
ABZ =1a@+{-2a3+4-2}@3 =15a@-8a+43=r5[a-45 ]@+4 5 y 따라서 a=4
5 일 때 ABZ의 길이가 최소이므로 B[4
5 , 12
5 ] / OBZ=r[4
5 ]@+[12
5 ]@y=4j10k 5
5
P{a, 0}이라 하면APZ=BPZ에서 APZ @=BPZ @이므로 {a+3}@+{-3}@={a-2}@+{-2}@
10a=-10 / a=-1 / P{-1, 0}
Q{0, b}라 하면
AQZ=BQZ에서 AQZ @=BQZ @이므로 3@+{b-3}@={-2}@+{b-2}@
-2b=-10 / b=5 / Q{0, 5}
/ PQZ=11@+5@3=j26k
6
APZ=BPZ에서 APZ @=BPZ @이므로 {a+1}@+{b-1}@={a-3}@+{b+1}@a@+2a+b@-2b+2=a@-6a+b@+2b+10 / 2a-b=2 yy ㉠
또 점 P{a, b}가 직선 y=-x+4 위의 점이므로 b=-a+4 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=2 / a@+b@=8
7
삼각형 ABC의 외심을 P{x, y}라 하면 APZ=BPZ=CPZ에서 APZ @=BPZ @=CPZ @APZ @=BPZ @에서 {x-6}@+{y-1}@={x+1}@+{y-2}@
/ 7x-y=16 yy ㉠
BPZ @=CPZ @에서 {x+1}@+{y-2}@={x-2}@+{y-3}@
/ 3x+y=4 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=-2 따라서 점 P의 좌표는 {2, -2}이다.
8
오른쪽 그림과 같이 A 지점 yA x O 200 P 300
500 Q
C B 이 원점, B 지점이 x축 위에
오도록 좌표평면을 잡으면 P{0, 200}, Q{500, 300}
C{a, 0}이라 하면
PCZ=QCZ에서 PCZ @=QCZ @이므로 a@+{-200}@={a-500}@+{-300}@
1000a=300000 / a=300
따라서 A 지점과 C 지점 사이의 거리는 300 m이다.
86쪽
1 ⑴ 5 ⑵ 8 ⑶ 6 ⑷ 4
2 ⑴ 1, 5 ⑵ -5, 3
3 ⑴ 5 ⑵ 4 ⑶ 6 ⑷ 4j5 ⑸ j13k 4 ⑴ {3, 0} ⑵ {10, 0} ⑶ {2, 0}
5 ⑴ {0, 1} ⑵ {0, 0} ⑶ {0, -1}
6 ⑴ CC=90!인 직각삼각형
⑵ CB=90!인 직각이등변삼각형
⑶ BCZ=CAZ인 이등변삼각형
⑷ 정삼각형