3 1
원 x@+y@+2x-2y+1=0, 즉 {x+1}@+{y-1}@=1의 중심의 좌표는 {-1, 1}, 반지름의 길이는 1이다.
주어진 직선과 원의 중심 사이의 거리를 각각 구하여 반 지름의 길이와 비교하면
ㄱ. |-1+1+1|
j1+1l =1
j2<1이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.
ㄴ. |-1+2+3|
j1+4l =4
j5>1이므로 만나지 않는다.
ㄷ. |-4+3+6|
j16+9l =1이므로 한 점에서 만난다.
ㄹ. |-3-1-6|
j9+1l =j10k>1이므로 만나지 않는다.
따라서 보기 중 원과 만나는 직선은 ㄱ, ㄷ이다.
2
y=kx+2를 x@+y@=1에 대입하면 x@+{kx+2}@=1/ {k@+1}x@+4kx+3=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D
4=4k@-3{k@+1}=0 k@-3=0, k@=3 / k=j3 {? k>0}
다른 풀이
원의 중심 {0, 0}과 직선 y=kx+2, 즉 kx-y+2=0 사이의 거리가 반지름의 길이 1과 같아야 하므로 |2|
1k@+13=1, 2=1k@+13 k@+1=4, k@=3 / k=j3 {? k>0}
3
원의 중심 {0, 0}과 직선 3x-y+k=0 사이의 거리가 반지름의 길이 j10k보다 작아야 하므로|k|
j9+1k <j10k |k|<10 / -10<k<10
따라서 정수 k는 -9, -8, -7, y, 9의 19개이다.
4
원의 중심 {1, 0}과 직선 x-y+n=0 사이의 거리가 반 지름의 길이 2보다 커야 하므로|1+n|
j1+1l >2 |1+n|>2j2
/ n<-1-2j2 또는 n>-1+2j2
이때 2<2j2<3이므로 자연수 n의 최솟값은 2이다.
5
원의 중심 {0, 0}과 직선 2x-y-k=0 사이의 거리가 반 지름의 길이 j5와 같아야 하므로|-k|
j4+1l =j5, |k|=5 / k=5 {? k>0}
y=2x-5를 x@+y@=5에 대입하면 x@+{2x-5}@=5, x@-4x+4=0 {x-2}@=0 / x=2
따라서 교점의 좌표는 {2, -1}이므로 a=2, b=-1 / k+a+b=6
6
원의 중심 {2, k}와 직선 3x+4y+5=0 사이의 거리가 반 지름의 길이 3보다 작아야 하므로|6+4k+5|
j9+16l <3, |4k+11|<15 / -13
2 <k<1
따라서 k의 값이 될 수 없는 것은 ⑤이다.
7
원의 중심의 좌표를 {a, 2a}라 하면 r=|a+4a-3|j1+4k =|a+4a-7|
j1+4k yy ㉠ |5a-3|=|5a-7|
5a-3=-{5a-7}
j16+9k =2
이때 원의 반지름의 길이는 3이므로 ABZ=213@-2@3=2j5
9
x@+y@-4x-6y-12=0에서 {x-2}@+{y-3}@=25 원의 중심 C{2, 3}과{x-2}@+{y-3}@=25 직선 3x+4y-3=0 사
이의 거리는 |6+12-3|
j9+16k =3
이때 원의 반지름의 길이는 5이므로 ABZ=215@-3@3=8
/ sABC= 1 2\8\3=12
10
x@+y@-8x+6y+16=0에서 {x-4}@+{y+3}@=9 이 원이 직선 y=2x-k에 2x-y-k=0 의 거리는 13@-2@3=j5 즉, 원의 중심 {4, -3}과직선 2x-y-k=0 사이의 거리가 j5이므로
|8+3-k|
j4+1l =j5, |11-k|=5 / k=6 또는 k=16 따라서 구하는 k의 값의 합은 6+16=22
11
OPZ=312
x@+y@-2x+4y-11=0에서 {x-1}@+{y+2}@=16 이 원의 중심을 C{1, -2}, 접 y=1a+4a+3133
이때 sAPC는 직각삼각형이 므로
CAZ @=APZ @+CPZ @, a@+4a+13=3@+4@
a@+4a-12=0, {a+6}{a-2}=0 / a=2 {? a>0}
13
x@+y@-6x-8y+16=0에서 {x-3}@+{y-4}@=9 이 원의 중심이 C{3, 4}이므로 y삼각형 ABP의 넓이가 최소일 때의 삼각형의 높이를 h라 하면
h=2j5-j5=j5 또 선분 AB의 길이는 ABZ=14@+2@3=2j5
따라서 삼각형 ABP의 넓이의 최솟값은 1
2\ABZ\h= 12\2j5\j5=5
18
직선 4x-y+1=0의 기울기가 4이므로 기울기가 4이고 원 x@+y@=9에 접하는 직선의 방정식은 {4-5j2}+{4+5j2}=821
기울기가 tan`60!=j3이고 원 x@+y@=12에 접하는 직 선의 방정식은y=j3x-j12k\1{j3}@3+13 / y=j3x-4j3 y=j3x+4j3
4j3
2\8\8j3=32j3
14
x@+y@+4x-2y+1=0에서 {x+2}@+{y-1}@=4이 원의 중심을 C{-2, 1}이 y APZ=1{2j5}@-2@3=4
CPZ와 ABZ의 교점을 Q라 하면 CPZ\ABZ이므로 1
15
원의 중심 {-1, 3}과 직선 3x+4y+1=0 사이의 거리 를 d라 하면d=|-3+12+1|
j9+16l =2
원의 반지름의 길이를 r라 하면 r=1이므로 M=d+r=2+1=3, m=d-r=2-1=1 / Mm=3
16
x@+y@-6x-2y+8=0에서 {x-3}@+{y-1}@=2 이 원의 중심 {3, 1}과 직선 x-y+k=0 사이의 거리는 |3-1+k|원의 중심 {-2, 2}와 직선 x-2y-4=0 사이의 거리는 |-2-4-4|
22
원 x@+y@=5 위의 점 {a, b}에서의 접선의 방정식은 ax+by=5 / y=-ab x+5 b 이 접선의 기울기가 2이므로 -a
b=2 / a=-2b yy ㉠ 또 점 {a, b}는 원 x@+y@=5 위의 점이므로
a@+b@=5 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-2, b=1 또는 a=2, b=-1 / ab=-2
23
원 x@+y@=4 위의 점 {1, j3}에서의 접선의 방정식은 x+j3y=4/ x+j3y-4=0
이 직선이 원 {x-a}@+y@=9에 접하므로 |a-4|
j1+3l =3, |a-4|=6 / a=-2 또는 a=10
따라서 모든 상수 a의 값의 합은 -2+10=8
24
원의 중심 {1, 2}와 점 {-2, 6}을 지나는 직선의 기울기는 6-2-2-1=-4 3 기울기가 3
4 이고 점 {-2, 6}을 지나는 접선의 방정식은 y-6=3
4 {x+2}
/ 3x-4y+30=0 따라서 a=3, b=-4이므로 a+b=-1
25
원 x@+y@=25 위의 점 P{-3, 4}에서의 접선의 방정식 은 -3x+4y=25이므로 x축과 만나는 점은A[- 253 , 0]
y
x -3x+4y=25
5 -5
-5 5
B A
O P{-3, 4}
25 -\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\3
점 A에서 가장 가까운 원 위의 점은 B{-5, 0}이므로 ABZ=-5+ 253 =10
3 / sABP= 12\10
3 \4=20 3
26
점 {1, 3}을 지나고 주어진 원에 접하는 직선의 기울기를 m이라 하면y-3=m{x-1} / mx-y-m+3=0
원의 중심 {2, 0}과 이 직선 사이의 거리가 반지름의 길 이 j5와 같아야 하므로
|2m-m+3|
1m@+13 =j5, |m+3|=15{m@+1}3 {m+3}@=5{m@+1}, 2m@-3m-2=0 {2m+1}{m-2}=0 / m=-1
2 또는 m=2 따라서 두 접선의 기울기의 곱은
-1
2\2=-1
27
점 {2, 1}을 지나고 주어진 원에 접하는 직선의 기울기를`m이라 하면
y-1=m{x-2} / mx-y-2m+1=0
원의 중심 {4, 0}과 이 직선 사이의 거리가 반지름의 길이 1과 같아야 하므로
|4m-2m+1|
1m@+13 =1, |2m+1|=1m@+13 {2m+1}@=m@+1, 3m@+4m=0 m{3m+4}=0 / m=-4
3 또는 m=0 따라서 접선의 방정식은
y-1=0 또는 4x+3y-11=0 그런데 a=0이므로 a=4, b=3 / a+b=7
28
접점의 좌표를 {x1, y1}이라 하면 접선의 방정식은 x1x+y1y=4이 직선이 점 A{4, -2}를 지나므로 4x1-2y1=4 yy ㉠
또 점 {x1, y1}은 원 위의 점이므로 x1@+y1@=4 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x1=0, y1=-2 또는 x1=8
5 , y1=6 5
C[5*, 5^]
O 2
-2
-2 B A
2 4
y
x
따라서 B{0, -2}, C[ 85 , 6
5 ]이라 하면 sABC= 12\4\[ 65+2]= 325
120쪽
1 ⑴ {5, 6} ⑵ {-2, -2}
2 ⑴ {0, 1} ⑵ {-8, 6}
⑶ {-1, 7} ⑷ {-5, 2}
3 ⑴ {3, -1} ⑵ {0, 7}
⑶ {-6, -2} ⑷ {-5, 6}
4 ⑴ a=5, b=-5 ⑵ a=-4, b=-6 5 ⑴ x+y-2=0 ⑵ {x-1}@+{y+3}@=4 6 ⑴ 2x+3y+1=0 ⑵ y=-2{x-1}@-1 7 ⑴ x+2y-6=0 ⑵ {x-2}@+{y+3}@=5 8 ⑴ a=3, b=-4 ⑵ a=-2, b=-5
121~122쪽
1 {5, -1} 2 ① 3 ① 4 1 5 ④ 6 -6 7 ② 8 7 9 ④ 10 6 11 ③ 12 ⑤ 13 ② 14 -1
2
1
P{a, b}라 하면 평행이동한 점의 좌표는 {a-2, b+3}이므로
a-2=3, b+3=2 / a=5, b=-1 따라서 점 P의 좌표는 {5, -1}이다.
2
주어진 평행이동에 의하여 점 {a, 3}은 점 {a+2, 4}로 옮겨지므로4=3{a+2}+1, 3a=-3 / a=-1
3
주어진 평행이동은 {x, y} 1! {x+2, y-2}이 평행이동에 의하여 점 {a, b}는 점 {a+2, b-2}로 옮겨지므로
a+2=8, b-2=7 / a=6, b=9 / a-b=-3