3 2
원의 반지름의 길이를 r라 하면 원의 방정식은{x+1}@+{y+1}@=r@
이 원이 점 {2, 3}을 지나므로 {2+1}@+{3+1}@=r@, r@=25 / r=5 {? r>0}
따라서 원의 둘레의 길이는 2p\5=10p
3
선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점의 좌표는 [2\4+1\12+1 , 2\5+1\{-4}
2+1 ] / {3, 2}
따라서 중심의 좌표가 {3, 2}이고 반지름의 길이가 4인 원의 방정식은
{x-3}@+{y-2}@=16
4
원의 중심의 좌표는 [-4+42 , -2+0
2 ] / {0, -1}
원의 반지름의 길이는 1
2 1{4+4}@+32@3=j17k 따라서 구하는 원의 방정식은 x@+{y+1}@=17
5
원의 중심의 좌표는 [4+22 , -3+1
2 ] / {3, -1}
원의 반지름의 길이는 1
2 1{2-4}@+{1+33}@3=j5 따라서 a=3, b=-1, r@=5이므로 a+b+r@=7
6
A{6, 0}, B{0, 4}이므로 원의 반지름의 길이는 12 1{-6}@+4@3=j13k 따라서 원의 넓이는 p\{j13k}@=13p
7
원의 중심의 좌표를 {a, 0}, 반지름의 길이를 r라 하면 {x-a}@+y@=r@이 원이 두 점 {0, 4}, {7, 3}을 지나므로 a@+4@=r@, {7-a}@+3@=r@
두 식을 연립하여 풀면 a=3, r@=25
따라서 구하는 원의 방정식은 {x-3}@+y@=25
Ⅲ-3.원의 방정식
8
원의 중심의 좌표를 {0, a}, 반지름의 길이를 r라 하면 x@+{y-a}@=r@이 원이 두 점 {2, 0}, {-2, 4}를 지나므로 2@+a@=r@, {-2}@+{4-a}@=r@
두 식을 연립하여 풀면 a=2, r@=8
즉, 원의 방정식은 x@+{y-2}@=8
ㄱ. 중심의 좌표는 {0, 2}이다.
ㄴ. 반지름의 길이가 2j2이므로 원의 둘레의 길이는 2p\2j2=4j2p
ㄷ. 2@+{4-2}@=8이므로 점 {2, 4}를 지난다.
따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
9
원의 중심의 좌표를 {a, a+1}, 반지름의 길이를 r라 하면 {x-a}@+{y-a-1}@=r@이 원이 두 점 {1, 6}, {-3, 2}를 지나므로 {1-a}@+{6-a-1}@=r@
{-3-a}@+{2-a-1}@=r@
두 식을 연립하여 풀면 a=1, r@=16
따라서 원의 넓이는 16p이다.
10
원의 중심의 좌표가 {-3, 4}이므로 {x+3}@+{y-4}@=9이 원이 점 {a, 1}을 지나므로
{a+3}@+{1-4}@=9, {a+3}@=0 / a=-3
11
중심의 좌표가 {1, 2a}인 원이 x축에 접하면 반지름의 길이는 |2a|이므로14a@+b3+13=|2a|, 4a@+b+1=4a@
/ b=-1
따라서 원 {x-1}@+{y-2a}@=4a@이 점 {-3, 4}를 지나 므로
{-3-1}@+{4-2a}@=4a@ / a=2 / a+b=1
12
원의 중심의 좌표를 {a, a+3}이라 하면 {x-a}@+{y-a-3}@={a+3}@이 원이 점 {1, 2}를 지나므로 {1-a}@+{2-a-3}@={a+3}@
a@-6a-7=0, {a+1}{a-7}=0 / a=7 {? a>0}
따라서 원의 반지름의 길이는 a+3=7+3=10
13
원의 중심의 좌표가 {5, -5}이므로 {x-5}@+{y+5}@=25이 원이 점 {0, a}를 지나므로
{0-5}@+{a+5}@=25, {a+5}@=0 / a=-5
14
원의 반지름의 길이를 r라 하면 중심의 좌표는 {-r, r}이 점이 직선 x-2y+3=0 위에 있으므로 -r-2r+3=0 / r=1
따라서 구하는 원의 방정식은 {x+1}@+{y-1}@=1
15
주어진 조건을 만족시키는 원의 중심은 제1사분면 위에 있으므로 반지름의 길이를 r라 하면 중심의 좌표는 {r, r}이다.
즉, 원의 방정식은 {x-r}@+{y-r}@=r@
이 원이 점 {4, 2}를 지나므로
{4-r}@+{2-r}@=r@, r@-12r+20=0 {r-2}{r-10}=0
/ r=2 또는 r=10 따라서 두 원의 넓이의 합은 p\2@+p\10@=104p
16
x@+y@-3x+4y=0을 변형하면 [x- 32 ]@+{y+2}@=[ 52 ]@따라서 a=3
2 , b=-2, r=5 2 이므로 a+b+r=2
17
x@+y@-2x+6y+k@-k+8=0을 변형하면 {x-1}@+{y+3}@=-k@+k+2이 방정식이 원을 나타내려면 -k@+k+2>0
k@-k-2<0, {k+1}{k-2}<0 / -1<k<2
따라서 a=-1, b=2이므로 b-a=3
18
x@+y@+kx-2y+k=0을 변형하면 [x+ k2 ]@+{y-1}@=k@4-k+1
이 방정식이 반지름의 길이가 2 이하인 원을 나타내려면 0<r k@4-k+1y<2
/ 0<k@
4-k+1<4
k@
4-k+1>0을 풀면 k@-4k+4>0, {k-2}@>0 / k=2인 모든 실수 yy ㉠ k@
4-k+1<4를 풀면
k@-4k+4<16, k@-4k-12<0 {k+2}{k-6}<0
/ -2<k<6 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2<k<2 또는 2<k<6
19
x@+y@-4x+k@-6k-3=0을 변형하면 {x-2}@+y@=-k@+6k+7이 방정식이 원을 나타내려면 -k@+6k+7>0
k@-6k-7<0, {k+1}{k-7}<0 / -1<k<7
원의 넓이가 최대이려면 반지름의 길이가 최대이어야 하 므로
-k@+6k+7=-{k-3}@+16
따라서 -1<k<7에서 k=3일 때 반지름의 길이는 최대 이고 그때의 반지름의 길이는 j16k=4이다.
20
원 x@+y@+ax+by+c=0이 점 {0, 0}을 지나므로 c=0즉, 원 x@+y@+ax+by=0이 두 점 {-4, 0}, {0, 6}을 지나므로
16-4a=0, 36+6b=0 / a=4, b=-6
/ a+b+c=-2
21
구하는 원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0으로 놓 으면 이 원이 점 {0, 0}을 지나므로C=0
즉, 원 x@+y@+Ax+By=0이 두 점 {4, -2}, {6, 2}
를 지나므로
20+4A-2B=0, 40+6A+2B=0 2A-B=-10, 3A+B=-20 / A=-6, B=-2
따라서 원 x@+y@-6x-2y=0이 점 {2, k}를 지나므로 4+k@-12-2k=0, k@-2k-8=0
{k+2}{k-4}=0 / k=4 {? k>0}
22
주어진 세 점을 A{-3, 3}, B{4, 10}, C{7, 7}이라 하 고 원의 중심을 P{a, b}라 하면APZ=BPZ=CPZ
APZ=BPZ에서 APZ @=BPZ @이므로 {a+3}@+{b-3}@={a-4}@+{b-10}@
14a+14b=98 / a+b=7 yy ㉠ APZ=CPZ에서 APZ @=CPZ @이므로
{a+3}@+{b-3}@={a-7}@+{b-7}@
20a+8b=80 / 5a+2b=20 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=5
즉, 원의 중심은 P{2, 5}이므로 반지름의 길이는 APZ=1{2+3}@+{5-33}@3=j29k
따라서 구하는 원의 넓이는 p\{j29k}@=29p
23
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은x@+y@-4+k{x@+y@-3x-6y-1}=0 (단, k=-1)
yy ㉠
이 원이 점 {0, 0}을 지나므로 -4-k=0 / k=-4 이를 ㉠에 대입하면
x@+y@-4-4{x@+y@-3x-6y-1}=0 / x@+y@-4x-8y=0
따라서 a=-4, b=-8이므로 a+b=-12
24
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은x@+y@-x+6y+4-{x@+y@-2x+ay+1}=0 / x+{6-a}y+3=0
이 직선이 직선 y=2x-1, 즉 2x-y-1=0과 수직이므로 1\2+{6-a}\{-1}=0 / a=4
25
두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은x@+y@-6x+2ay+8+k{x@+y@-4x}=0 (단, k=-1)
yy ㉠
이 원이 점 {1, 0}을 지나므로 3-3k=0 / k=1 이를 ㉠에 대입하면
x@+y@-6x+2ay+8+{x@+y@-4x}=0 x@+y@-5x+ay+4=0
/ [x- 52 ]@+[y+ a2 ]@=a@
4+9 4 이 원의 넓이가 4p이므로 a@
4+9
4=4, a@=7 / a=j7 {? a>0}
26
두 원의 교점을 지나는 직선의 방정 OA
B 식은 H
x@+y@-9
-{x@+y@-6x-8y+16}=0 / 6x+8y-25=0 yy ㉠
두 원의 교점을 각각 A, B라 하고 원 x@+y@=9의 중심 O{0, 0}에서 직선 ㉠에 내린 수선의 발을 H라 하면 OHZ=|-25|
16@+8@3=5 2 직각삼각형 AOH에서 AHZ=r3@-[ 52 ]@y= j11k
2 / ABZ=2AHZ=j11k
27
P{x, y}라 하면 APZ @+BPZ @=36에서 {x+2}@+y@+{x-4}@+y@=36 x@+y@-2x-8=0/ {x-1}@+y@=9
28
x@+y@+8x-6y+21=0을 변형하면 {x+4}@+{y-3}@=4P{m, n}이라 하면
{m+4}@+{n-3}@=4 yy ㉠ Q{x, y}라 하면
x=2+m
2 , y=-1+n 2 / m=2x-2, n=2y+1 이를 ㉠에 대입하면
{2x-2+4}@+{2y+1-3}@=4 / {x+1}@+{y-1}@=1
따라서 점 Q가 나타내는 도형은 중심이 점 {-1, 1}이고 반지름의 길이가 1인 원이므로
a=-1, b=1, r=1 / a+b+r=1
29
x@+y@+6x-6y+9=0을 변형하면 {x+3}@+{y-3}@=9P{a, b}라 하면
{a+3}@+{b-3}@=9 yy ㉠ Q{x, y}라 하면
x=2a 3 , y=2b
3 / a=3
2 x, b=3 2 y 이를 ㉠에 대입하면 [ 32 x+3]@+[ 32 y-3]@=9 / {x+2}@+{y-2}@=4
따라서 점 Q가 나타내는 도형은 반지름의 길이가 2인 원 이므로 구하는 길이는
2p\2=4p
30
P{x, y}라 하면 3BPZ=2APZ에서 9BPZ @=4APZ @99{x-1}@+y@0=49{x+4}@+y@0 x@+y@-10x-11=0
/ {x-5}@+y@=36
다른 풀이
선분 AB를 3`:`2로 내분하는 점을 C, 외분하는 점을 D 라 하면
C{-1, 0}, D{11, 0}
점 P가 나타내는 도형은 두 점 C, D를 지름의 양 끝 점으 로 하는 원이므로 중심의 좌표는
{5, 0}
또 원의 반지름의 길이는 1
2 CDZ=6
/ {x-5}@+y@=36
31
P{x, y}라 하면 OPZAPZ=2에서 OPZ=2APZ / OPZ @=4APZ @
x@+y@=49{x-3}@+y@0 x@+y@-8x+12=0 / {x-4}@+y@=4
따라서 점 P가 나타내는 도형은 반지름의 길이가 2인 원 이므로 구하는 길이는
2p\2=4p
32
P{x, y}라 하면 APZ`:`BPZ=1`:`2이므로 2APZ=BPZ에서 4APZ @=BPZ @49{x-1}@+{y+2}@0={x-1}@+{y-1}@
x@+y@-2x+6y+6=0 / {x-1}@+{y+3}@=4
따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심이 점 {1, -3}이고 반지름의 길이가 2인 원이다.
이때 CPBA의 크기가 최대가 y
x
-3 -2O
1 1
P B
A C
되려면 오른쪽 그림과 같이 직선
BP가 원에 접해야 하므로 원의 중심을 C라 하면 직각삼각형 PBC에서
BPZ=14@-2@3=2j3
115~118쪽
1 ② 2 j3 3 ④ 4 ② 5 ②
6 ⑤ 7 ③ 8 ④ 9 ③ 10 ④
11 4 12 2 13 ⑤ 14 8j55 15 ② 16 ② 17 ④ 18 y=4x-3j17k 19 5 20 8 21 ⑤ 22 -2 23 8 24 -1 25 203 26 ① 27 ⑤ 28 ⑤
114쪽
1 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ 한 점에서 만난다.(접한다.)
⑶ 만나지 않는다.
2 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ 만나지 않는다.
⑶ 한 점에서 만난다.(접한다.) 3 ⑴ -5<k<5
⑵ k=-5
⑶ k<-5 또는 k>5 4 ⑴ y=x-j2
⑵ y=-3x-2j10k
⑶ y=-x-2
⑷ y=2x-3j5 5 ⑴ x+y-2=0
⑵ x+2y-5=0
⑶ 3x-4y+25=0
⑷ 2x+3y+13=0 6 ⑴ x1x+y1y=4
⑵ x1=0, y1=2 또는 x1=8 5 , y1=6
5
⑶ y=2 또는 4x+3y-10=0