4
8
x@+y@-2x-2ay-25=0에서 {x-1}@+{y-a}@=a@+26이 원을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 {x-1}@+{-y-a}@=a@+26
/ {x-1}@+{y+a}@=a@+26
이 원의 중심 {1, -a}가 직선 x+2y-3=0 위에 있으 므로
1-2a-3=0 / a=-1
9
포물선 y=x@+ax+b를 원점에 대하여 대칭이동한 포물 선의 방정식은-y={-x}@+a\{-x}+b
/ y=-x@+ax-b=-[x- a2 ]@+a@
4-b 이 포물선의 꼭짓점 [ a2 ,
a@
4-b]가 점 {4, 8}과 일치하 므로
a 2=4, a@
4-b=8 / a=8, b=8 / a+b=16
10
x@+y@-4x+2y-4=0에서 {x-2}@+{y+1}@=9 이 원을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 {x+1}@+{y-2}@=9이때 직선 y=2x+k가 이 원의 넓이를 이등분하려면 원 의 중심 {-1, 2}를 지나야 하므로
2=-2+k / k=4
11
포물선 y=-x@+x-2를 원점에 대하여 대칭이동한 포 물선의 방정식은-y=-{-x}@-x-2 / y=x@+x+2
따라서 이차방정식 x@+x+2=kx-2, 즉
x@+{1-k}x+4=0의 판별식을 D라 하면 D=0이어야 하므로
D={1-k}@-16=0, k@-2k-15=0 {k+3}{k-5}=0 / k=5 {? k>0}
12
점 {a, -2}를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {-a, 2}이 점을 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 점의 좌표는
{-a+4, -1}
이 점이 점 {1, b}와 일치하므로
-a+4=1, -1=b / a=3, b=-1 / ab=-3
2
점 {a+2, 3}을 y축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {-a-2, 3}이 점을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {a+2, -3}
이 점이 점 {5, b}와 일치하므로 a+2=5, -3=b / a=3, b=-3 / a+b=0
3
점 A{a, b}가 직선 y=x+2 위에 있으므로 b=a+2 / A{a, a+2}점 A{a, a+2}를 y축에 대 y
O a+2x
a+2
a a
-a B A
C 하여 대칭이동한 점은
B{-a, a+2}
점 A{a, a+2}를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한
점은 C{a+2, a}
/ sABC= 12\2a\2=2a 따라서 2a=4이므로 a=2
4
점 {a, b}를 x축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {a, -b}이 점이 제2사분면 위에 있으므로 a<0, -b>0 / a<0, b<0
점 {a+b, ab}를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {-a-b, -ab}
이때 a<0, b<0이므로 -a-b>0, -ab<0 따라서 점 {-a-b, -ab}는 제4사분면 위에 있다.
5
점 {5, -1}을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 점 {-1, 5}로 옮겨지므로 직선 2x+y-5=0을 직선 y=x 에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은2y+x-5=0 / x+2y-5=0
6
직선 y=mx+3을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방 정식은 -y=mx+3 / y=-mx-3이 직선을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 -y=mx-3 / y=-mx+3
이 직선이 점 {2, 1}을 지나므로 1=-2m+3 / m=1
7
직선 y=12 x-5를 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 방 정식은 y=-1
2 x-5
이 직선에 수직인 직선의 기울기는 2이므로 기울기가 2이 고 점 {-4, 1}을 지나는 직선의 방정식은
y-1=2{x+4} / y=2x+9
13
점 {-3, 1}을 x축의 방향으로 a만큼 평행이동한 점의 좌표는{-3+a, 1}
이 점을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 {1, -3+a}
이 점이 직선 2x-y-1=0 위에 있으므로 2-{-3+a}-1=0
/ a=4
14
원 {x+2}@+{y+5}@=9를 x축의 방향으로 a만큼, y축 의 방향으로 b만큼 평행이동한 원의 방정식은{x-a+2}@+{y-b+5}@=9
이 원을 y축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 {-x-a+2}@+{y-b+5}@=9
/ {x+a-2}@+{y-b+5}@=9
이 원의 중심 {2-a, b-5}가 점 {-3, 2}와 일치하므로 2-a=-3, b-5=2
/ a=5, b=7 / a+b=12
15
포물선 y=x@-x+a를 y축에 대하여 대칭이동한 포물선 의 방정식은y={-x}@-{-x}+a=x@+x+a
이 포물선을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2 만큼 평행이동한 포물선의 방정식은
y-2={x+1}@+x+1+a / y=x@+3x+a+4
이 포물선이 포물선 y=x@+3x+10과 일치하므로 a+4=10
/ a=6
16
직선 l의 기울기를 m이라 하면 직선 l의 방정식은 y-7=m{x-1}/ y=mx-m+7
이 직선을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만 큼 평행이동한 직선의 방정식은
y+3=m{x-2}-m+7 / y=mx-3m+4
이 직선을 원점에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은 -y=-mx-3m+4
/ y=mx+3m-4 이 직선이 점 {3, 8}을 지나므로 8=3m+3m-4, 6m=12 / m=2
17
원 {x-a}@+{y-b}@=36을 x축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은{x-a}@+{-y-b}@=36 / {x-a}@+{y+b}@=36
이 원을 x축의 방향으로 4만큼 평행이동한 원의 방정식은 {x-4-a}@+{y+b}@=36
이 원이 x축과 y축에 동시에 접하므로 |a+4|=|-b|=6
/ a=2, b=6 {? a>0, b>0}
/ a-b=-4
18
점 B{6, 1}을 x축에 대하여 대칭이동한 점을 B'이라 하 면 B'{6, -1}이므로APZ+BPZ =APZ+BX'PZ
>AXB'Z
=1{6-2}@+{-1-33}@3
=4j2
따라서 APZ+BPZ의 최솟값은 4j2이다.
19
점 A{2, 3}을 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A'이라 하 면 A'{-2, 3}점 B{5, 1}을 x축에 대하여 대칭이동한 점을 B'이라 하 면 B'{5, -1}
/ APZ+PQZ+QBZ =AX'PZ+PQZ+QXB'Z
>AX'B'Z
=1{5+2}@+{-1-33}@3
=j65kk
따라서 APZ+PQZ+QBZ의 최솟값은 j65k이다.
20
점 A{6, 2}를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점을 A' 이라 하면 A'{2, 6}이고APZ+BPZ =AX'PZ+BPZ
>AX'BZ 직선 A'B의 방정식은 y-6=-1-6
3-2 {x-2} / y=-7x+20
따라서 점 P는 두 직선 y=x, y=-7x+20의 교점이므로 x=-7x+20 / x=5
2 즉, 점 P의 좌표는
[ 52 , 5 2 ]
21
방정식 f{x+1, -y}=0이 나타내는 도형은 방정식 f{x, y}=0이 나타내는 도형을 x축에 대하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 ⑤이다.22
방정식 f{x, -y}=0, f{-x, y}=0, f{-x, -y}=0 이 나타내는 도형은 방정식 f{x, y}=0이 나타내는 도형 을 각각 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동한 것이므로 다 음 그림과 같다.
y
x f{x, y}=0
f{-x, y}=0 f{x, -y}=0
f{-x, -y}=0
-3 3
-2 2 O
따라서 구하는 넓이는 1
2\6\4=12
23
[그림 2]의 도형은 [그림 1]의 도형을 x축에 대하여 대칭이 동한 후 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것으로 볼 수 있으므로f{x, y}=0 1! f{x, -y}=0 1! f{x+1, -{y-2}}=0
/ f{x+1, -y+2}=0
또 [그림 1]의 도형을 원점에 대하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것 으로도 볼 수 있으므로
f{x, y}=0 1! f{-x, -y}=0 1! f{-{x+1}, -{y-2}}=0
/ f{-x-1, -y+2}=0 따라서 구하는 방정식은 ㄱ, ㄷ이다.
24
방정식 g{x, y}=0이 나타내는 도형은 방정식 f{x, y}=0이 나타내는 도형을 y축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것으로 볼 수 있 으므로f{x, y}=0 1! f{-x, y}=0 1! f{-x, y+1}=0
/ g{x, y}=f{-x, y+1}
25
점 {1, 1}은 두 점 {a, 3}, {4, b}를 이은 선분의 중점이 므로a+4
2 =1, 3+b 2 =1
/ a=-2, b=-1 / ab=2
26
점 {-1, -1}은 두 원의 중심을 이은 선분의 중점이므로 1+a2 =-1, -2+b
2 =-1 / a=-3, b=0 / a+b=-3
27
포물선 y=-x@+6x-2=-{x-3}@+7의 꼭짓점의 좌 표는{3, 7}
포물선 y=x@-2x+4={x-1}@+3의 꼭짓점의 좌표는 {1, 3}
점 P의 좌표를 {a, b}라 하면 점 {a, b}는 두 포물선의 꼭짓점을 이은 선분의 중점이므로
a=3+1
2 =2, b=7+3 2 =5 따라서 점 P의 좌표는 {2, 5}
28
직선 y=2x-3 위의 점 {x, y}를 점 {-2, 1}에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 {x', y'}이라 하면x+x'
2 =-2, y+y' 2 =1 / x=-4-x', y=2-y' 이를 y=2x-3에 대입하면 2-y'=2{-4-x'}-3 / y'=2x'+13
따라서 대칭이동한 직선의 방정식은 y=2x+13이므로 a=2, b=13 / a-b=-11
29
두 점 {7, -3}, {a, b}를 이은 선분의 중점 [ 7+a2 ,-3+b
2 ]가 직선 x-2y-3=0 위의 점이므로 7+a
2 -2\-3+b 2 -3=0 / a-2b=-7 yy ㉠
한편 두 점 {7, -3}, {a, b}를 지나는 직선이 직선 x-2y-3=0, 즉 y=1
2 x-3
2 에 수직이므로 b+3
a-7\1
2=-1 / 2a+b=11 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=5 / ab=15
30
두 원의 중심의 좌표가 각각 {2, -1}, {-4, 3}이고 두 원의 중심을 이은 선분의 중점 {-1, 1}이 직선 y=ax+b 위의 점이므로1=-a+b yy ㉠
한편 두 점 {2, -1}, {-4, 3}을 지나는 직선이 직선 y=ax+b에 수직이므로
3+1
-4-2\a=-1 / a=3 2 이를 ㉠에 대입하여 풀면 b=5
2 / a+b=4
31
점 A{1, 0}을 직선 x-y+1=0에 대하여 대칭이동한 점을 A'{a, b}라 하면 AXA'Z의 중점 [ 1+a2 ,b
2 ]가 직선 x-y+1=0 위의 점이므로
1+a 2 -b
2+1=0 / a-b=-3 yy ㉠
한편 직선 AA'은 직선 x-y+1=0, 즉 y=x+1에 수직 이므로
b
a-1\1=-1 / a+b=1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2
즉, 점 A'의 좌표는 {-1, 2}이므로 APZ+PBZ =AX'PZ+PBZ
>AX'BZ
=1{3+1}@+{1-32}@3
=j17k
따라서 APZ+PBZ의 최솟값은 j17k이다.
32
원 C1의 중심의 좌표가 {-1, -2}이고, 원 C2의 중심의 좌표를 {a, b}라 하면 두 원의 중심을 이은 선분의 중점 [ -1+a2 , -2+b2 ]가 직선 x+2y-5=0 위의 점이므로 -1+a
2 +2\-2+b 2 -5=0 / a+2b=15 yy ㉠
한편 두 점 {-1, -2}, {a, b}를 지나는 직선이 직선 x+2y-5=0, 즉 y=-1
2 x+5
2 에 수직이므로 b+2
a+1\[- 12 ]=-1 / 2a-b=0 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=6
따라서 원 C2의 중심의 좌표는 {3, 6}이므로 두 원의 중 심 사이의 거리는
1{3+1}@+{6+32}@3=4j5 / M=4j5+2, m=4j5-2 / Mm=76