연립일차방정식

개념 ^콕콕

본문 | 81, 83 쪽

455

⑴ 7x-4=0 ⇨ 미지수가 1개인 일차방정식

⑷ 차수가 2이므로 일차방정식이 아니다.

⑸ ^{3x- 1} 2 y=0 ⇨ 미지수가 2개인 일차방정식

⑹ x-4=0 ⇨ 미지수가 1개인 일차방정식

 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ × ⑸ ◯ ⑹ ×

456

 ⑴ 800x+600y=4800 ⑵ x=y-3

⑶ 4x+5y=60 ⑷ 4x+2y=28

457

⑴ (-1)+5_3+16

⑵ ^3+5_4+16

⑶ 6+5_2=16

⑷ 21+5_(-1)=16

 ⑴ × ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯

458

 ⑴ _{x 1 2 3 4 5 6 7}

y 11 9 7 5 3 1 -1

⑵ (1, 11), (2, 9), (3, 7), (4, 5), (5, 3), (6, 1)

459

 ⑴ à x+y=12

x-y=8 ⑵ à x+y=35

400x+200y=9400 ⑶ à x+y=25 3x+2y=61

460

⑴à 1+2_(-2)=-3 3_1-(-2)+1

⑵à 2_1-(-2)=4 1+3_(-2)=-5

⑶à 1+(-2)=-1 4_1+3_(-2)=-2

⑷à 1+5_(-2)=-9 3_1-2_(-2)+1

 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ×

461

 ⑴ _{x 1 2 3 4 5}

y 4 3 2 1 0

(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)

⑵ _{x 1 2 3 4 5}

y 8 5 2 -1 -4

(1, 8), (2, 5), (3, 2) ⑶ (3, 2)

462

x-y=1의 양변에 2를 곱한 후 두 식의 차를 이용하여 연립방정식 을 푼다.  2, 2, 5, 1, 1, 2, 2, 1

463

⑴à2x-3y=3 yy`① x+3y=6 yy`②

①+②를 하면 3x=9 ∴ x=3

x=3을 ①에 대입하면 6-3y=3, -3y=-3 ∴ y=1

⑵à4x+5y=6 yy`① 3x-2y=-7 yy`②

①_3-②_4를 하면 23y=46 ∴ y=2 y=2를 ①에 대입하면 4x+10=6, 4x=-4 ∴ x=-1

 ⑴ x=3, y=1 ⑵ x=-1, y=2

464

x=-2y+18을 x-3y=-2에 대입하여 연립방정식을 푼다.

 3, -20, 4, 4, 10, 10. 4

465

⑴ày=-3x yy`① 5x+y=-6 yy`②

①을 ②에 대입하면 5x+(-3x)=-6, 2x=-6 ∴ x=-3

x=-3을 ①에 대입하면 y=-3_(-3) ∴ y=9

⑵à2x=y+11 yy`① 2x=5y-1 yy`②

①을 ②에 대입하면 y+11=5y-1, -4y=-12 ∴ y=3

y=3을 ①에 대입하면 2x=14 ∴ x=7

 ⑴ x=-3, y=9 ⑵ x=7, y=3

466

⑴ 괄호를 풀어서 정리하면

Ⅳ- 1. 연립일차방정식 à3x-2y=8 yy`①

2x+y=3 yy`②

①+②_2를 하면 7x=14 ∴ x=2 x=2를 ②에 대입하면 4+y=3 ∴ y=-1

⑵à0.2x-0.3y=0.4 yy`① 0.1x+0.3y=0.8 yy`② ①_10, ②_10을 하면

à2x-3y=4 yy`③ x+3y=8 yy`④ ③+④를 하면 3x=12 ∴ x=4

x=4를 ④에 대입하면 4+3y=8, 3y=4 ∴ y= 4 3

⑶ ( { 9

x 2- y 3= 1 2 yy`① x 3-y=-2 yy`② ①_6, ②_3을 하면

à3x-2y=3 yy`③ x-3y=-6 yy`④

③-④_3을 하면 7y=21 ∴ y=3 y=3을 ④에 대입하면 x-9=-6 ∴ x=3

 ⑴ x=2, y=-1 ⑵ x=4, y= 4 3 ⑶ x=3, y=3

467

⑴àx-y=1 yy`①

3x-4y=1 yy`②에서 ①_3-②를 하면 y=2 y=2를 ①에 대입하면 x-2=1 ∴ x=3

⑵àx+y=2x-9

x+y=-y+3 ⇨ àx-y=9 yy`① x+2y=3 yy`②에서 ①-②를 하면 -3y=6 ∴ y=-2

y=-2를 ①에 대입하면 x+2=9 ∴ x=7

⑶ ( { 9

x+y3 =4 x-3y

2 =4

⇨ àx+y=12 yy`① x-3y=8 yy`②에서 ①-②를 하면 4y=4 ∴ y=1

y=1을 ①에 대입하면 x+1=12 ∴ x=11

 ⑴ x=3, y=2 ⑵ x=7, y=-2 ⑶ x=11, y=1

468

⑴à2x-y=2 yy`① 6x-3y=5 yy`② ①_3을 하면

6x-3y=6 yy`③

②, ③의 x, y의 계수는 각각 같고 상수항은 다르므로 해가 없다.

⑵à3x-2y=1 yy`① -9x+6y=-3 yy`②

469

^⑤

470

^4개

471

^-3

472

^①

473

^④

474

^③

475

^④

476

⁷

477

⁵

478

^④

479

^④

480

⁸

481

^④

482

^⑤

483

^{ㄴ, ㄷ}

484

²

485

⁴

486

^③

487

¹

488

⁷

489

^③

490

^③

491

^④

492

⁵

493

^④

494

^②

495

^{x=6, y=2}

496

^-4

497

^⑤

498

³

499

^④

500

³

501

^⑤

502

^{x=-1, y=3}

503

^⑤

504

^{x=4, y=-1}

505

⁶

506

x=-2, y=1

507

^x=-1

508

²

509

x=4, y=-1

510

⁴

511

^-7

512

³

513

^③

514

^{x=4, y=3}

515

^①

516

¹⁰

517

²

518

^③

519

⁶

520

^②

521

^-1

522

⁴

523

⁷

524

^③

525

^②

526

⁴

527

^{x=6, y=4}

528

^{x=2, y=-1}

529

^{a=5, b=1}

530

^④

531

¹

532

^-4

533

^⑤

534

¹³

535

²

536

^③

537

^④

538

^①

539

⁴⁰

본문 | 84 ~ 92 쪽

유형 ^콕콕

469

① 미지수가 2개인 일차식

② 5x-6=0 ⇨ 미지수가 1개인 일차방정식

③ 일차방정식이 아니다.

④ 분모에 미지수가 있으므로 일차방정식이 아니다.  ⑤

470

ㄱ. 일차방정식이 아니다.

ㄴ. 미지수가 1개인 일차방정식

ㅁ. 2x+7=0 ⇨ 미지수가 1개인 일차방정식 ㅂ. 미지수가 2개인 일차식

따라서 미지수가 2개인 일차방정식이 아닌 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ, ㅂ의 4

개이다.  4개

471

7y-3=2(x+3y)-5에서

7y-3=2x+6y-5, -2x+y+2=0 ①_(-3)을 하면

-9x+6y=-3 yy`③

②, ③의 x, y의 계수와 상수항이 각각 같으므로 해가 무수히 많다.

 ⑴ 해가 없다. ⑵ 해가 무수히 많다.

따라서 a=-2, b=1이므로

a-b=-2-1=-3  -3

472

(a+1)x-4=(3+2a)x-7y에서 (-a-2)x+7y-4=0 이 등식이 미지수가 2개인 일차방정식이므로 -a-2+0

∴ a+-2  ①

473

주어진 해를 5x-2y=12에 각각 대입하면

① 5_2-2_(-1)=12

② 5_4-2_4=12

③ 5_6-2_9=12

④ 5_8-2_12+12

⑤ 5_10-2_19=12

따라서 해가 아닌 것은 ④이다.  ④

474

x=2, y=-1을 주어진 일차방정식에 각각 대입하면

① 2-1+4

② 2-(-1)+2

③ 2_2-3_(-1)=7

④ 2+2_(-1)+5

⑤ 4_2-5_(-1)+2 ^{ ③}

475

(1, 21), (2, 17), (3, 13), (4, 9), (5, 5), (6, 1)의 6개

 ④

476

x+7y=20의 해는 (6, 2), (13, 1), (20, 0)의 3개이므로

a=3 ^45%

3x+2y=21의 해는 (1, 9), (3, 6), (5, 3), (7, 0)의 4개이므로

b=4 ^45%

∴ a+b=3+4=7 10%

 7

보충 설명

x, y는 음이 아닌 정수이므로 0 또는 자연수이다. 0을 빼먹지 않도 록 주의한다.

477

x=-1, y=-2를 2x-ay-8=0에 대입하면 -2+2a-8=0, 2a=10

∴ a=5  5

478

x=a, y=a+6을 4x+y=26에 대입하면

4a+(a+6)=26, 5a=20

∴ a=4  ④

479

x=a, y=-1을 3x-y=4에 대입하면 3a+1=4, 3a=3 ∴ a=1

x=b, y=b+2를 3x-y=4에 대입하면 3b-(b+2)=4, 3b-b-2=4

2b=6 ∴ b=3

∴ a+b=1+3=4  ④

480

x=1, y=-2를 ax+2y-1=0에 대입하면

a-4-1=0 ∴ a=5 ^50%

따라서 x=-3을 5x+2y-1=0에 대입하면

-15+2y-1=0, 2y=16 ∴ y=8 ^50%

 8

481

x, y가 자연수이므로 2x+y=11의 해는 (1, 9), (2, 7), (3, 5), (4, 3), (5, 1)이고, x+3y=13의 해는 (10, 1), (7, 2), (4, 3), (1, 4)이다.

따라서 주어진 연립방정식의 해는 (4, 3)이다.  ④

482

x=3, y=-2를 주어진 연립방정식에 각각 대입하면

① à3+2_(-2)=-1

3-2_(-2)+3 ② à2_3+(-2)=4 3+(-2)+3

③ à-3+(-2)=-5

5_3+2_(-2)+10 ④ à3+-2+2 3-2_(-2)=7

⑤ à2_3+3_(-2)=0

3_3+4_(-2)=1  ⑤

483

x=3, y=-1을 각 일차방정식에 대입하면

ㄱ. 3-2_(-1)+1 ㄴ. -3+4_(-1)=-7 ㄷ. 2_3+3_(-1)=3 ㄹ. 3_3+-5_(-1)+3 따라서 구하는 두 일차방정식은 ㄴ, ㄷ이다.  ㄴ, ㄷ

484

x, y가 자연수이므로 x+3y=10의 해는 (1, 3), (4, 2), (7, 1)이 고 4x+y=18의 해는 (1, 14), (2, 10), (3, 6), (4, 2)이다.

따라서 연립방정식의 해는 x=4, y=2이므로 a=4, b=2

∴ a-b=4-2=2  2

Ⅳ- 1. 연립일차방정식

485

x=-a+6, y=2를 5x+ay=3에 대입하면 5(-a+6)+2a=3, -3a=-27 ∴ a=9 x=-3, y=2를 bx-4y=7에 대입하면 -3b-8=7, -3b=15 ∴ b=-5

∴ a+b=9+(-5)=4  4

486

x=3, y=1을 x-y=m에 대입하면 3-1=m ∴ m=2

따라서 x=3, y=1을 2x+ny=3에 대입하면

6+n=3 ∴ n=-3  ③

487

x=4, y=b를 4x+3y=7에 대입하면 16+3b=7, 3b=-9 ∴ b=-3 x=4, y=-3을 3x-ay=6에 대입하면 12+3a=6, 3a=-6 ∴ a=-2

∴ a-b=-2-(-3)=1  1

488

x=-2를 4x+y=-10에 대입하면

-8+y=-10 ∴ y=-2 ^50%

x=-2, y=-2는 연립방정식의 해이므로 x=-2, y=-2를 ax-3y=-8에 대입하면 -2a+6=-8, -2a=-14

∴ a=7 ^50%

 7

489

à3x-4y=8 yy`① 2x+3y=11 yy`②

①_2-②_3을 하면 -17y=-17 ∴ y=1 y=1을 ①에 대입하면

3x-4=8, 3x=12 ∴ x=4  ③

490

à6x-5y=13 yy`① 5x+2y=17 yy`②

y를 소거하려면 ①_2+②_5를 하면 37x=111 ∴ x=3

따라서 필요한 식은 ③이다.  ③

491

①, ②, ③, ⑤ x=2, y=1

④ x=2, y=2 ^{ ④}

492

x=-7, y=-6을 ax+by=4에 대입하면 -7a-6b=4 yy`①

x=5, y=2를 ax+by=4에 대입하면 5a+2b=4 yy`②

①+②_3을 하면 8a=16 ∴ a=2 ^40%

a=2를 ①에 대입하면 -14-6b=4

-6b=18 ∴ b=-3 ^40%

∴ a-b=2-(-3)=5 20%

 5

493

àx=5y-3 yy`① 2x+3y=7 yy`②

①을 ②에 대입하면 2(5y-3)+3y=7 10y-6+3y=7, 13y=13 ∴ y=1 y=1을 ①에 대입하면 x=5-3=2

따라서 a=2, b=1이므로 a-b=2-1=1  ④

494

à3x=2y+8 yy`① 3x-5y=11 yy`②

①을 ②에 대입하면 (2y+8)-5y=11, -3y=3

∴ k=-3 ^{ ②}

495

4x-2y-1=3(x+y)-5에서 x-5y=-4 yy`①

x의 값이 y의 값의 3배이므로 x=3y` yy`②

②를 ①에 대입하면

3y-5y=-4, -2y=-4 ∴ y=2

y=2를 ②에 대입하면 x=6  x=6, y=2

496

ày=4x+3 yy`① 2x-y=1 yy`②

①을 ②에 대입하면 2x-(4x+3)=1 2x-4x-3=1, -2x=4

∴ x=-2

x=-2를 ①에 대입하면 y=-8+3=-5

따라서 x=-2, y=-5를 3x+ay-14=0에 대입하면 -6-5a-14=0, -5a=20

∴ a=-4  -4

497

괄호를 풀어 정리하면 à3x+4y=-5 yy`① x+2y=-3 yy`②

①-②_3을 하면 -2y=4 ∴ y=-2 y=-2를 ②에 대입하면 x-4=-3 ∴ x=1 따라서 a=1, b=-2이므로

a-b=1-(-2)=3 ^{ ⑤}

498

괄호를 풀어 정리하면 à5x+2y=6 yy`① -3x+2y=-2 yy`②

①-②를 하면 8x=8 ∴ x=1 x=1을 ①에 대입하면 5+2y=6, 2y=1 ∴ y= 12

따라서 a-1=1, b= 12이므로 a=2, b=1 2

∴ a+2b=2+2_ 12=3 ^{ 3}

499

괄호를 풀어 정리하면 àx-3y=-2 yy`① -x+10y=16 yy`②

①+②를 하면 7y=14 ∴ y=2

y=2를 ①에 대입하면 x-6=-2 ∴ x=4

따라서 a=4, b=2이므로 4x=2 ∴ x= 12 ^{ ④}

500

괄호를 풀어 정리하면 à4x+y=6 yy`① -3x-2y=3 yy`②

①_2+②를 하면 5x=15 ∴ x=3 x=3을 ①에 대입하면 12+y=6 ∴ y=-6 x=3, y=-6을 5x+2y=a에 대입하면

15-12=a ∴ a=3  3

501

à0.5x+0.3y=0.4 yy`① 0.02x+0.1y=-0.16 yy`②

①_10을 하면

5x+3y=4 yy`③

②_100을 하면

2x+10y=-16 yy`④

③_2-④_5를 하면 -44y=88 ∴ y=-2 y=-2를 ④에 대입하면

2x-20=-16, 2x=4 ∴ x=2

∴ x-y=2-(-2)=4  ⑤

502

à0.1x+0.2y=0.5 yy`① 0.03x+0.05y=0.12 yy`②

①_10을 하면

x+2y=5 yy`③

②_100을 하면

3x+5y=12 yy`④

③_3-④를 하면 y=3 y=3을 ③에 대입하면

x+6=5 ∴ x=-1  x=-1, y=3

503

à0.3(x-y)+0.2y=-0.1 yy`① 0.6x+0.1y=1 yy`②

①_10을 하면 3(x-y)+2y=-1 3x-3y+2y=-1

∴ 3x-y=-1 yy`③

②_10을 하면

6x+y=10 yy`④

③+④를 하면 9x=9 ∴ x=1

x=1을 ④에 대입하면 6+y=10 ∴ y=4

따라서 a=1, b=4이므로 2a+b=2_1+4=6  ⑤

504

à0.2x+0.3y=1.3 yy`① 0.1x-0.2y=-0.4 yy`②

①_10을 하면

2x+3y=13 yy`③

②_10을 하면

x-2y=-4 yy`④

③-④_2를 하면 7y=21 ∴ y=3 y=3을 ④에 대입하면 x-6=-4 ∴ x=2 a=2, b=3이므로 연립방정식 à2x-3y=11 yy`⑤

3x+2y=10 yy`⑥에서

⑤_3-⑥_2를 하면 -13y=13 ∴ y=-1 y=-1을 ⑤에 대입하면

2x+3=11, 2x=8 ∴ x=4  x=4, y=-1

505

( { 9

x+y 2 -x-y

3 =-2 yy`① 2x-y

3 +x+y

6 =3 yy`②

①_6을 하면 3(x+y)-2(x-y)=-12 3x+3y-2x+2y=-12

∴ x+5y=-12 yy`③

Ⅳ- 1. 연립일차방정식

②_6을 하면 2(2x-y)+(x+y)=18 4x-2y+x+y=18

0.4x+0.3y=-0.5 yy`① 1 6 x+1

à0.H2x+0.H5y=0.H3 yy`① 3x-y=13 yy`②

à0.H4x-0.H1y=0.H6 yy`① 0.3(2x+y)-0.4(x+y)=0.2 yy`②

①에서 4

②_10을 하면 3(2x+y)-4(x+y)=2

∴ 2x-y=2 yy`④

①에서 3(3x+2)=2(y-1), 9x+6=2y-2

∴ 9x-2y=-8 yy`③

(2x+1)`:`5=(y-2)`:`2 yy`① x 2 -y-2

3 =1

3 yy`②

①에서 2(2x+1)=5(y-2), 4x+2=5y-10

∴ 4x-5y=-12 yy`③

②_6을 하면 3x-2(y-2)=2, 3x-2y+4=2

∴ 3x-2y=-2 yy`④ ^30%

③_3-④_4를 하면

3ax-by=bx+(3-a)y+24=x-y+13에 대입하면 12a+5b=5a+4b+9=22

Ⅳ- 1. 연립일차방정식

①_3-②_5를 하면 -19y=19 ∴ y=-1 y=-1을 ②에 대입하면 3x-2=1, 3x=3 ∴ x=1 따라서 x=1, y=-1을 2x+ay=3에 대입하면

2-a=3 ∴ a=-1  -1

522

à3x-y=10 yy`① 2x+y=6+a yy`② x의 값이 y의 값의 2배이므로

x=2y yy`③

③을 ①에 대입하면

6y-y=10, 5y=10 ∴ y=2 y=2를 ③에 대입하면 x=2_2=4 따라서 x=4, y=2를 ②에 대입하면

8+2=6+a ∴ a=4  4

523

주어진 연립방정식 à4x+5y=5x+ay

3(x+y)=2(1-y)+1 의 해는

연립방정식 ({ 9

3(x+y)=2(1-y)+1 y= 1 2 x-6

의 해와 같다.

à3x+5y=3 yy`① x-2y=12 yy`②

①-②_3을 하면 11y=-33 ∴ y=-3 y=-3을 ②에 대입하면 x+6=12 ∴ x=6 x=6, y=-3을 4x+5y=5x+ay에 대입하면 24-15=30-3a, 3a=21

∴ a=7  7

524

à2x-3y=-5 yy`① x+2y=5+a yy`② x`:`y=2`:`3이므로 3x=2y

∴ x= 2 3 y yy`③

③을 ①에 대입하면 4 3 y-3y=-5, -5

3 y=-5 ∴ y=3 y=3을 ③에 대입하면 x=2

따라서 x=2, y=3을 ②에 대입하면

2+6=5+a ∴ a=3  ③

525

x=6, y=-4는 bx-y=-14의 해이므로 6b+4=-14, 6b=-18 ∴ b=-3 x=-1, y=-1은 x+ay=-2의 해이므로

-1-a=-2, -a=-1 ∴ a=1 즉, 주어진 연립방정식은 àx+y=-2

-3x-y=-14

∴ x=8, y=-10  ②

보충 설명

연립방정식 àax+by=c yy`① a'x+b'y=c' yy`②에서

①을 잘못 보고 구한 해는 ②에 대입하면 식이 성립하고,

②를 잘못 보고 구한 해는 ①에 대입하면 식이 성립한다.

526

à2x+y=5 yy`① x-3y=-1 yy`② x=3을 ①에 대입하면 6+y=5 ∴ y=-1

②에서 잘못 본 y의 계수를 a라고 하면 x+ay=-1 yy`③

x=3, y=-1을 ③에 대입하면 3-a=-1, -a=-4 ∴ a=4

따라서 y의 계수를 4로 잘못 보고 풀었다.  4

527

x=3을 2x+y=16에 대입하면 6+y=16 ∴ y=10

x=3, y=10을 bx+3y=18에 대입하면 3b+30=18, 3b=-12 ∴ b=-4 이때 b의 값이 a의 값보다 5만큼 작으므로 b=a-5 ,-4=a-5 ∴ a=1 즉, 주어진 연립방정식은 àx+3y=18

2x+y=16

∴ x=6, y=4  x=6, y=4

528

연립방정식àax+by=6

bx-ay=-2에서 a와 b를 서로 바꾼 연립방정식 àbx+ay=6

ax-by=-2에 x=-2, y=1을 대입하면 àa-2b=6 -2a-b=-2

∴ a=2, b=-2

a=2, b=-2를 처음 연립방정식에 대입하면 à2x-2y=6 -2x-2y=-2

∴ x=2, y=-1  x=2, y=-1

529

두 연립방정식은 àax+y=-7

x-y=-5 , à3x+4y=6

2x+by=-1이므로

연립방정식 àx-y=-5 yy`① 3x+4y=6 yy`②에서

①_3-②를 하면 -7y=-21 ∴ y=3 y=3을 ①에 대입하면 x-3=-5 ∴ x=-2 x=-2, y=3을 ax+y=-7에 대입하면 -2a+3=-7, -2a=-10 ∴ a=5 x=-2, y=3을 2x+by=-1에 대입하면

-4+3b=-1, 3b=3 ∴ b=1  a=5, b=1

530

두 연립방정식은 àax-y=14 0.8x+0.1y=3,

({ 9

5x-by=16 x- 5 2 y=9

이므로

연립방정식 ({ 9

0.8x+0.1y=3 x- 5 2 y=9

, 즉 à8x+y=30 yy`① 2x-5y=18 yy`②

①-②_4를 하면 21y=-42 ∴ y=-2 y=-2를 ①에 대입하면 8x-2=30, 8x=32 ∴ x=4 x=4, y=-2를 ax-y=14에 대입하면 4a+2=14, 4a=12 ∴ a=3

x=4, y=-2를 5x-by=16에 대입하면 20+2b=16, 2b=-4 ∴ b=-2

∴ a+b=3+(-2)=1  ④

531

두 연립방정식은 àax+by=6

x+y=7 , à3x-2y=1 bx+ay=7이므로 연립방정식 àx+y=7

3x-2y=1을 풀면 x=3, y=4 40%

x=3,``y=4를 àax+by=6

bx+ay=7에 대입하면 à3a+4b=6

4a+3b=7 ^10%

∴ a= 10 7 , b=3

7 ^40%

∴ a-b= 10 7 -3

7 =1 ^10%

 1

532

àx+ay=4 yy`① bx+4y=-8

①_(-2)를 하면 -2x-2ay=-8 해가 무수히 많으므로 b=-2, 4=-2a

∴ a=-2, b=-2

∴ a+b=-2+(-2)=-4  -4

533

⑤ à3x-y=-4 yy`① -3x+y=4 yy`②

①_(-1)을 하면 -3x+y=4 yy`③

②, ③의 x, y의 계수와 상수항이 각각 같으므로 해가 무수히 많다.

 ⑤

534

àx-4y=-2 yy`① 2x+(5-k)y=-4

①_2를 하면 2x-8y=-4 해가 무수히 많으므로 5-k=-8

∴ k=13  13

535

à(a-1)x-(b-1)y=2 yy`① (b+6)x-ay=4

①_2를 하면 2(a-1)x-2(b-1)y=4 해가 무수히 많으므로

2(a-1)=b+6, -2(b-1)=-a

∴ à2a-b=8 yy`② a-2b=-2 yy`③

②-③_2를 하면 3b=12 ∴ b=4 b=4를 ③에 대입하면 a-8=-2 ∴ a=6

∴ a-b=6-4=2  2

536

à12x-8y=10

6x-ay=3 yy`①

①_2를 하면 12x-2ay=6 해가 없으므로 -8=-2a

∴ a=4  ③

537

④ àx+4y=1 yy`① -2x-8y=2 yy`②

①_(-2)를 하면

-2x-8y=-2 yy`③

②, ③의 x, y의 계수는 각각 같고 상수항은 다르므로 해가 없다.

 ④

538

àax-6y=8

2x+3y=b yy`①

Ⅳ- 1. 연립일차방정식

540

^{a=0, b+-2}

541

^⑤

542

^-2

543

⁸

544

^{x=1, y=2}

545

^ㄹ

546

^④

547

7

548

①

549

¹ ₂

550

⁵

551

^②

552

^x=3 _{5 , y=-}² ₅

553

¹⁵

554

^②

555

^②

556

^x=-19 _{5 , y=}⁸ ₅

557

⁶

558

x=2, y=-3

559

⁹

560

^③

561

^③

562

㉡, x=1, y=5

본문 | 93 ~ 95 쪽

실력 ^콕콕

540

ax(x-3)-y+5x=(b+1)y-1에서 axÛ`+(-3a+5)x+(-b-2)y+1=0 이 등식이 미지수가 2개인 일차방정식이 되려면 a=0, -b-2+0

∴ a=0, b+-2  a=0, b+-2

541

각 일차방정식의 해를 구해 보면

① (0, 3), (3, 2), (6, 1), (9, 0)의 4개

② (0, 8), (1, 6), (2, 4), (3, 2), (4, 0)의 5개

③ (0, 10), (2, 5), (4, 0)의 3개

①_(-2)를 하면 -4x-6y=-2b

해가 없으므로 a=-4, b+-4  ①

539

à4x+y=3 yy`① 8x-ay=b yy`②

①_2를 하면

8x+2y=6 yy`③

②, ③에서 해가 없으므로

2=-a, 6+b ∴ a=-2, b+6 따라서 a=-2를 5x-ay=b에 대입하면 5x+2y=b

x=-2, y=2를 5x+2y=b에 대입하면 -10+4=b ∴ b=-6

∴ aÛ`+bÛ`=(-2)Û`+(-6)Û`=40  40

④ (0, 16), (5, 12), (10, 8), (15, 4), (20, 0)의 5개

⑤ (0, 18), (2, 15), (4, 12), (6, 9), (8, 6), (10, 3), (12, 0)

의 7개 ^{ ⑤}

542

x=1, y=3을 ax+(a+1)y=7에 대입하면 a+3(a+1)=7, 4a=4 ∴ a=1 x=b, y=2를 x+2y=7에 대입하면 b+4=7 ∴ `b=3

∴ a-b=1-3=-2  -2

543

x=a-7, y=2를 5x+ay=7에 대입하면 5(a-7)+2a=7, 7a=42 ∴ a=6 x=-1, y=2를 bx-3y=-8에 대입하면 -b-6=-8, -b=-2 ∴ b=2

∴ a+b=6+2=8  8

544

5(x+2)-6y=3에서 5x-6y=-7 yy`① x의 값이 y의 값의 1 2 배이므로

x= 1 2 y, 즉 y=2x yy`②

②를 ①에 대입하면 5x-12x=-7 -7x=-7 ∴ x=1

x=1을 ②에 대입하면 y=2  x=1, y=2

545

ㄱ. x를 소거하려면 ①_3-②_4를 한다.

ㄴ. y를 소거하려면 ①_2+②를 한다.

ㄷ. 대입법으로 풀려면 ①을 y=-4x-9로 바꾼 후 ②에 대입한다.

ㄹ. ①_2+②를 하면 11x=-22 ∴ x=-2 x=-2를 ①에 대입하면 -8+y=-9 ∴ y=-1

 ㄹ

546

①, ②, ③, ⑤ x=-2, y=-3

④ x=2, y=-3  ④

547

괄호를 풀어 정리하면 à4x-3y=15 yy`① x+y=2 yy`②

①+②_3을 하면 7x=21 ∴ x=3 x=3을 ②에 대입하면 3+y=2 ∴ y=-1 x=3, y=-1을 2x-y=a에 대입하면

6+1=a ∴ a=7  7

548

( {9

0.1x-0.15y=0.5 yy`① 1 5 x- 1

10 y=-1

5 yy`②

①_100을 하면 10x-15y=50

∴ 2x-3y=10 yy`③

0.3x+0.1y=0.9 yy`① 2 5 x- 1

à0.H5x+0.H4y=0.H2 yy`① (x+2)`:`(y-3)=3`:`2 yy`②

②에서 2(x+2)=3(y-3), 2x+4=3y-9

∴ 2x-3y=-13 yy`④

24x+11y=10 yy`②

①_12-②를 하면

x=4, y=3을 주어진 방정식 ax-by=2bx-ay+2=-x+5y 에 대입하면

Ⅳ- 1. 연립일차방정식

555

x=3, y=2를 주어진 연립방정식 à(x+5)`:`y=2a`:`b

bx-ay=-1 에 대입하면 à8`:`2=2a`:`b

3b-2a=-1 ⇨ àa=2b yy`① -2a+3b=-1 yy`②

①을 ②에 대입하면 -4b+3b=-1 -b=-1 ∴ b=1

b=1을 ①에 대입하면 a=2

∴ 3a+b=3_2+1=7 ^{ ②}

556

연립방정식 àax+by=-13

-bx+ay=1 에서 a와 b를 서로 바꾼 연립방정식 àbx+ay=-13

-ax+by=1 에 x=1, y=-4를 대입하면 à-4a+b=-13

-a-4b=1 ∴ a=3, b=-1

a=3, b=-1을 처음 연립방정식에 대입하면 à3x-y=-13 x+3y=1

∴ x=- 19 5 , y=8

5 ^{ x=- 19} 5 , y=8 5

557

연립방정식 [x-2y=5

-x+y=a에서 x와 y를 서로 바꾼 연립방정식은 ày-2x=5

-y+x=a

x=b, y=-1을 y-2x=5에 대입하면 -1-2b=5, -2b=6 ∴ b=-3

x=-3, y=-1을 -y+x=a에 대입하면 a=-2

∴ ab=-2_(-3)=6  6

558

à5x-4y=9 yy`① 2x-3y=5 yy`②

①_2-②_5를 하면 7y=-7 ∴ y=-1

y=-1을 ①에 대입하면 5x+4=9, 5x=5 ∴ x=1 a=1, b=-1이므로

àx-y=5 yy`③ -x-y=1 yy`④

③+④를 하면 -2y=6 ∴ y=-3

y=-3을 ③에 대입하면 x+3=5 ∴ x=2  x=2, y=-3

559

두 연립방정식은 àax-by=3

6x+y=1 , à3x-y=8

x+2by=11이므로

①+②를 하면 9x=9 ∴ x=1

x=1을 ①에 대입하면 6+y=1 ∴ y=-5 x=1, y=-5를 x+2by=11에 대입하면 1-10b=11, -10b=10 ∴ b=-1

x=1, y=-5, b=-1을 ax-by=3에 대입하면 a-5=3 ∴ a=8

∴ a-b=8-(-1)=9  9

560

àx+ay=2 yy`① bx+12y=-8

①_(-4)를 하면 -4x-4ay=-8

따라서 b=-4, 12=-4a이므로 a=-3, b=-4

∴ a-b=-3-(-4)=1  ③

561

à3x-3ay=9

3x+(b-4)y=6의 해가 없으므로 -3a=b-4

∴ 3a+b=4 yy ① à2x+(3a-4)y=4 yy ②

3x+(1-b)y=6 yy ③에서

②_3, ③_2를 하면 à6x+3(3a-4)y=12

6x+2(1-b)y=12 의 해가 무수히 많으므로 3(3a-4)=2(1-b)

∴ 9a+2b=14 yy ④

①, ④를 연립하여 풀면 a=2, b=-2

∴ a+b=2+(-2)=0 ^{ ③}

562

처음으로 잘못된 부분은 ㉡이다.

({ 9

0.3x-0.5y=-2.2 yy`① x+y 4 -x-y

8 =2 yy`②

①_10을 하면

3x-5y=-22 yy`③

②_8을 하면 2(x+y)-(x-y)=16

x+3y=16 yy`④

③-④_3을 하면 -14y=-70 ∴ y=5 y=5를 ④에 대입하면 x+15=16 ∴ x=1

 ㉡, x=1, y=5

563

¹

564

¹¹

565

⁷

566

¹¹

567

⁷

568

⁵

569

²

570

⁴

571

x=2, y=2

572

^{x=3, y=-2}

본문 | 96 ~ 97 쪽

서술형 ^콕콕

563

단계 1 x=a, y=-2를 2x-5y=4에 대입하면 2a+10=4, 2a=-6 ∴ a=-3

단계 2 x=3b, y=b를 2x-5y=4에 대입하면 6b-5b=4 ∴ b=4

단계 3 a+b=-3+4=1

 1

564

x=-4, y=a를 3x+2y=14에 대입하면

-12+2a=14, 2a=26 ∴ a=13 45%

x=b, y=2b를 3x+2y=14에 대입하면

3b+4b=14, 7b=14 ∴ b=2 45%

∴ a-b=13-2=11 10%

 11

565

단계 1 à4x-3y=5 yy`① x+4y=-13 yy`②

단계 2 ①-②_4를 하면 -19y=57 ∴ y=-3

y=-3을 ②에 대입하면 x-12=-13 ∴ x=-1

단계 3 x=-1, y=-3을 2x-3y=a에 대입하면 -2+9=a ∴ a=7

 7

566

괄호를 풀어 정리하면 à-4x+3y=3 yy`①

3x-y=4 yy`② ^20%

①+②_3을 하면 5x=15 ∴ x=3 x=3을 ②에 대입하면

9-y=4 ∴ y=5 50%

따라서 x=3, y=5를 2x+y=a에 대입하면

6+5=a ∴ a=11 30%

 11

567

단계 1 a-2b=2a+4b=8

단계 2 àa-2b=8

2a+4b=8이므로 àa-2b=8 yy`① a+2b=4 yy`②

단계 3 ①+②를 하면 2a=12 ∴ a=6

a=6을 ①에 대입하면 6-2b=8 -2b=2 ∴ b=-1

단계 4 a-b=6-(-1)=7

 7

568

x=4, y=2를 주어진 방정식에 대입하면

4a-2b=4b-4a-2=2 ^20%

즉, à4a-2b=2

4b-4a-2=2이므로 à2a-b=1 yy`①

-a+b=1 yy`② ^30%

①+②를 하면 a=2

a=2를 ②에 대입하면 -2+b=1

∴ b=3 30%

∴ a+b=2+3=5 ^20%

 5

569

단계 1 x와 y의 값의 비가 3：1이므로 x：y=3：1 ∴ x=3y

단계 2 x=3y를 x-2y=1에 대입하면 3y-2y=1 ∴ y=1 y=1을 x=3y에 대입하면 x=3

단계 3 x=3, y=1을 3x-5y=2a에 대입하면 9-5=2a ∴ a=2

 2

570

x와 y의 값의 차가 6이므로 x-y=6 (∵ x>y) ^30%

àx-y=6 yy`① 2x+3y=2 yy`② 에서

①_2-②를 하면 -5y=10 ∴ y=-2

y=-2를 ①에 대입하면 x+2=6 ∴ x=4 ^40%

따라서 x=4, y=-2를 x-ay=3a에 대입하면

4+2a=3a ∴ a=4 ^30%

 4

571

단계 1 지은이는 x+by=8은 제대로 보고 풀었으므로 x=-1, y=3을 x+by=8에 대입하면 -1+3b=8, 3b=9 ∴ b=3

단계 2 수정이는 ax+y=6은 제대로 보고 풀었으므로 x=4, y=-2를 ax+y=6에 대입하면 4a-2=6, 4a=8 ∴ a=2

단계 3 처음 연립방정식은 à2x+y=6 yy`① x+3y=8 yy`② 이므로 ①_3-②를 하면 5x=10 ∴ x=2

Ⅳ- 2. 연립일차방정식의 활용 x=2를 ①에 대입하면 4+y=6 ∴ y=2

 x=2, y=2

572

형준이는 -3x+by=-5는 제대로 보고 풀었으므로 x=5, y=-5를 -3x+by=-5에 대입하면

-15-5b=-5, -5b=10 ∴ b=-2 ^35%

민석이는 ax-y=14는 제대로 보고 풀었으므로 x=2, y=-6을 ax-y=14에 대입하면

2a+6=14, 2a=8 ∴ a=4 35%

처음 연립방정식은 à4x-y=14 yy`① -3x-2y=-5 yy`② 이므로

①_2-②를 하면 11x=33 ∴ x=3 x=3을 ①에 대입하면

12-y=14 ∴ y=-2 30%

 x=3, y=-2

개념 ^콕콕

^{본문 | 99 쪽}

573

큰 수를 x, 작은 수를 y라고 할 때, àx+y=38 yy`①

x-y=6 yy`② 에서 ①+②를 하면 2x=44 ∴ x=22

x=22를 ①에 대입하면 22+y=38 ∴ y=16 따라서 두 자연수는 16, 22이다.

 ⑴ à x+y=38

x-y=6 ⑵ x=22, y=16 ⑶ 16, 22

574

어머니의 나이를 x살, 딸의 나이를 y살이라고 하면 3년 후 어머니의 나이가 (x+3)살, 딸의 나이는 (y+3)살이므로

àx+y=58

x+3=3(y+3)에서 àx+y=58 yy`① x-3y=6 yy`②

①-②를 하면 4y=52 ∴ y=13

y=13을 ①에 대입하면 x+13=58 ∴ x=45 따라서 어머니는 45살, 딸은 13살이다.

 ⑴ _{어머니 딸}

현재 나이(살) x y

3년 후 나이(살) x+3 y+3

⑵ à x+y=58 x+3=3(y+3)

⑶ x=45, y=13 ⑷ 어머니：45살, 딸：13살

575

가로의 길이를 x`cm, 세로의 길이를 y`cm라고 할 때, ày=x+5

2(x+y)=54에서 ày=x+5 yy`① x+y=27 yy`②

①을 ②에 대입하면

x+(x+5)=27, 2x=22 ∴ x=11

x=11을 ①에 대입하면 y=11+5=16 ∴ y=16 따라서 가로의 길이는 11`cm, 세로의 길이는 16`cm이다.

 ⑴ à y=x+5

2(x+y)=54 ⑵ x=11, y=16

⑶ 가로：11`cm, 세로：16`cm

576

집에서 도서관까지의 거리를 x`km, 도서관에서 학교까지의 거리를 y`km라고 할 때, (시간)=(거리)

(속력)이므로 집에서 도서관까지 가는 데 걸린 시간은 x

6 , 도서관에서 학교까지 가는 데 걸린 시간은 y 4 이다.

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