마. 총요소생산성 증가의 구성요인 분해
2) 실증분석 모형
․
, (8)
따라서 이 식은 개별기업 자료에서 수량정보만을 포함하고 가격 정보는 포함하지 않은 형태가 된다.
만약 이 식에서 기술적 효율성 수준이 시간변화에 따라 변화하지 않으면,
우변의 셋째 항은 사라 지고 생산성 증가는 기술 변화와 규모의 경제 효과에 의해서만 설 명되게 된다.
20) 만일 기술적 효율성이 시간에 따라 변화하지 않고,
규모에 대한 수확불변이라면 이 식의 오른 쪽의 둘째와 셋째 항이 사라지고 총요소생산성 증가는 곧 기술 변화를 나타낸다.
따라서 시간변화에 따라 기술적 효율성과 배분적 효율성의 변화가 없고 규 모에 대한 수확불변일 경우에만 생산성 증가가 곧 기술 변화를 의 미하게 된다.
21)음과 같은 형태로 표시된다
.
(9)
여기서 ～ 은 오차항(random noise)이고
,
≧은 기 술적 비효율성 수준을 나타내는 오차항이다.
나머지 변수명은 총요 소생산성 증가율의 측정을 위한 이론모형에서 정의한 바와 같다.
또 한 생산함수에서 기술 변화의 형태는 만약 ∀이라면 투입요 소에 대해 중립적 기술 변화를 나타내고,
만일 ∀이라면 기술 변화가 일어나지 않는다는 것을 의미한다
.
본 연구에서 총요소생산성 증가율의 측정은 생산함수를 이용하기 때문에 투입요소의 가격(요소 가격)에 대한 정보를 활용하지 않고 있 으므로 배분적 비효율성은 계산될 수 없다
.
따라서 총요소생산성 변화는 기술 변화,
규모의 경제효과,
기술적 효율성 변화라는 세 가 지 구성요인별로 추정된 생산함수의 파라미터와 생산함수 추정에 사용된 자료를 이용하여 다음 식(11)
을 이용하여 측정될 수 있게 된다.
22)확률적 변경생산함수를 나타내는 식
(9)
의 파라미터는 패널데이터 를 활용하여 특별한 추정기법들을 사용함으로써 추정될 수 있다.
특 히 기술 변화의 효과를 살펴보기 위해 추세변수 를 사용하게 되는 22) 상이한 기업의 생산함수의 파라미터가 동일하다고 하더라도 생산함수가 나타내 는 생산기술적 특성은 상이하다. 본 연구에서는 초월대수함수를 사용하고 있기 때문에 산출탄력성(또는 생산요소의 비용 몫 또는 분배율), 기술적 대체탄력성 (marginal rate of technical substitution), 기술 변화와 같은 생산기술적 특성의 측 정치는 추정된 생산함수의 파라미터에 의해서만 결정되는 것이 아니라 파라미터 추정치와 해당기업의 생산요소의 데이터 수준에 따라 결정되기 때문에 개별 기 업의 생산기술적 특성이 다르게 된다(식 (9) 참조).데 이는 여기서 확률적 변경생산함수의 확정적 부분에서 기술 변화 를 나타내는 대리변수의 역할을 수행할 뿐 아니라 오차항의 일부로 서 기술적 비효율성 수준이 시간의 변화에 따라 변화하는 정도를 계 산하는 데도 사용된다
.
특히 이상의 확률적 변경생산함수를 추정하고
,
기술적 비효율성을 나타내는 오차항의 시간변화에 따른 변화정도 즉,
기술적 효율성 증 가정도를 측정하기 위한 다양한 모형과 추정방법이 발전되어 왔다.
확률적 변경생산함수 모형은 회귀방정식 설정 및 추정방법에 따라 분류할 수 있다.
패널데이터의 경우,
각 국가의 매 연도별 기술적 비효율성을 추정하기 위해서는 식(9)
의 를 추정해야 한다.
그러 나 추정해야 할 의 수는 총NT
개(N: 횡단면 자 료의 개수, T: 시계열 자료의 개 수)로NT
개의 관찰치를 갖고 제대로 추정할 수는 없다.
따 라서 기술적 비효율성의 시간변동 패턴에 제약을 부여함으로써 추 정할 모수의 수를 줄이는 모형이 소개되었다.
23)Cornwell, Schmidt, and Sickles
(1990)는 ′형태의 설정을 소개하였다.
즉 으로 정의하면 와 같이 비효율성의 변화패턴을 시간변동의2
차함수형태의 설정을 함으로써 추 정해야 할 모수의 수를3N
개로 축소시켰다. Kumbhakar
(1990) 및Battese and Coelli
(1992)는 와 같은 설정을 소개했다.
즉Kumbhakar
는
, Battese and Coelli
는 와 같이 기술적 효율성 변화를 시간변수
t
의 지수 함수로 정의하고 이를 측정하는 것이다.
한편Lee and Schmidt
23) Cornwell, Schmidt, and Sickles(1990); Kumbhakar(1990); Battese and Coelli(1992);
Lee and Schmidt(1993) 참조
(1993)는 가장 유연한 형태의 설정을 소개하고 추정방법을 도출하였다
.
이며 여기서 는 어떤 함수형태도 가정하지 않는 자유로운 값 을 가질 수 있다
.
단 =1
의 정규화(normalization)를 가정하면 추정해 야 할 모수는 (N+T-1)개로 줄어든다.
이상의 모형에 대한 추정방법은
ui
의 확률분포를 가정하고 확률밀 도함수를 도출하여 최우법(maximum likelihood estimator)을 채택한Kumbhakar
(1990)및Battese and Coelli
(1992)와ui
를 고정된 값으로 가정하고 일반 패널데이터모형의 고정효과모형(fixed effects model)에 의해 추정하는 방법을 채택한Cornwell, Schmidt, and Sickles
(1990) 및Lee and Schmidt
(1993)로 분류된다.
예를 들면
, Battese and Coelli
(1992)는 생산함수의 오차항의 분포 를 통상적인 정규분포,
즉,
～ 로 정의하고,
기술적 효율 성을 나타내는 오차항은 양(+)
의 범위에 대해서만 정규분포를 한 다는 가정 즉,
～ (half-normal distribution)하에 시간 변화에 따라 다음과 같이 변화한다고 가정한다.
24) ∙
(10)
확률적 변경생산함수에 도입된 오차항의 분포와 변화 형태에 대한 이런 가정들을 바탕으로,
생산함수의 합성된 오차항 의 확률밀도 함수(probability density function)가 정의될 수 있고,
그에 따라 생산함 수식(9)
에 대한 로그우도함수(log likelihood function)를 유도할 수 있 다.
따라서 이 로그우도함수에 대해 최우법(maximum likelihood method)으로 파라미터를 추정하게 되면 기술적 효율성에 대한 최량선24) 기술적 효율성의 변화행태를 모형화하는 작업은 다양하게 전개되고 있다. 그 역 사적인 발전과정에 대한 요약은 K umbha kar and Lovell(2000) 참조
형불편 추정치(best linear unbiased estimator)를 구할 수 있게 된다
.
25) 본 연구에서는 총요소생산성 증가와 그 구성요인을 실제 측정하 는 것이 목적이므로 확률적 변경생산함수의 추정결과로부터Kumbhaker and Lovell
(2000)의 방법론에 따라 기술 변화,
기술적 효 율성 변화,
개별 생산요소의 산출탄력성,
전체 생산요소의 탄력성은 다음 수식(11)
을 통해 측정될 수 있게 된다.
즉,
∆
∆ ∙∙
⋯
(11)
일단 이상과 같이 총요소생산성 증가의 각 구성요인들과 생산요 소의 산출탄력성
,
규모의 탄력성 추정치가 계산되면 방정식(8)
이 나타내는 총요소생산성 증가율은 개별 기업별로 측정되고 평가,
비 교되어 경쟁력의 원천,
기업성장의 원천의 차이를 비교하는 데 사용 될 것이다.
그러나
Battese and Coelli
(1992)모형도Lee and Schmidt
(1993)처 럼 고정효과모형에 의해 추정이 가능하며 반대로Lee and Schmidt
모형도 최우법을 통해서 추정이 가능하다.
단 최우법을 이용할 경우 기술적 비효율성 변수인 와 설명변수인 생산요소 간에 상관관계 가 없다는 가정(uncorrelation assumption)이 필요하다.
하지만 이런 가정은 매우 강한 가정이다.
기업의 예로 보면 각 기업은 경험적으25) 구체적인 추정방법에 대해서는 Battese and Coelli(1992) 또는 STATA Press(2003) 참조
로 자신의 기술적 효율성 수준을 알고 있으며 이에 연동하여 생산요 소의 양도 결정할 것이다
.
따라서 현실적으로는 와 설명변수인 생 산요소 간에 상관관계가 있을 가능성이 많다.
국가의 예를 보아도 각 국가의 기술적 효율성 수준과 생산요소의 배합이 연관관계가 있 을 수 있다.
또한 이상의 모형 중
Cornwell, Schmidt, and Sickles
(1990)을 제외 한 나머지 모형은 기술적 비효율성의 시간변동패턴을 개별 국가별 로 서로 달리 추정하는 것이 아니라 표본국가의 평균적인 시간변동 패턴을 추정하고 있다는 제약이 있다.
즉 기술적 효율성의 동일 시 간변동패턴(identical temporal pattern of technical efficiency)가정이다.
이 는 모형에서 효율성의 변동패턴을 나타내는 모수가 와 같이 모 든 국가가 동일하기 때문이다.
이러한 가정 또한 매우 비현실적 제 약을 모형에 부여한다.
국가 간 효율성 수준은 매년 다르게 추정할 수 있지만 표본 내 국가 간 효율성의 순위는 매년 동일하게 추정하 기 때문이다.
이는 단기간에는 타당할 수 있으나 장기 시계열자료 를 이용할 때에는 비현실적인 가정이다.
예를 들어1997
년에 한국 의 효율성이 홍콩에 비해 낮았다면2007
년에도 낮게 추정하는 문 제,
즉 효율성의 순위가 시간이 지나도 변하지 않는다는 제약을 갖 고 있다.
이에 본 연구에서는 위 두 가지 가정을 완화시키면서 총요소생산 성을 추정할 수 있는 모형을
EU KLEMS
데이터베이스에 적용하여 분석하고자 한다.
첫째 가정은 기술적 비효율성 의 확률분포를 가 정하지 않고 고정효과모형을 이용할 수 있도록 완화된다.
둘째 가정 을 완화하는 방법은Lee
(2006)에서 찾을 수 있다.
26) 이론적으로 26) Lee, Y. H., “A Stochastic Production Frontier Model with Group-Specific Temporal크게 개선된 이 방법은 동아시아경제의 총요소생산성을 구미 선진 국과 비교하여 실증분석한
Kim and Lee
(2006)에 의해서 활용되었 다.
실증분석하는 과정을 간략히 설명하면 이 모형은Lee and Schmidt
모형의 를 로 변형한 형태이다.
즉 효율성 변동패턴인 가 모든 국가에 동일하게 적용되기 때문에 발생했던 비현실적인 가정을 완화하기 위해서 표본국가를 몇 개 그룹으로 분 류하고 그룹별로 서로 상이한 효율성 변동패턴을 가질 수 있도록를 설정한 것이다
.
즉 는 그룹g
의t
년도 효율성 요소이며 여기 에 가 결합되어g
그룹에 속한i
국가의 효율성 수준이 반영된다.
이 모형은 위에서 언급한 두 개의 비현실적인 가정을 완화할 수 있 지만 횡단면 관찰치는 적고 시계열 관찰치는 많은 패널데이터를 이 용하기에는 적합하지 않다.
왜냐하면 에 관련한 모수의 개수가G
(T-1)로T
가 커질수록 증가하기 때문이다(G: 그룹의 수).
27)이에 본 연구에서는
Lee
(2006)의 장점을 살리면서 시계열 자료가 길어도 사용하기에 적합한 수정모형을 이용한다(Lee, 2009).
아직까지 실증분석에 다양하게 활용되지 않고 있으나 본 연구에 적용할 경우 국가별,
산업별 총요소생산성 증가율의 구성요인의 차이를 보다 정 확히 규명하는 데 큰 도움이 될 수 있다.
특히 다른 국가를1
개 그룹 으로 설정하고 한국을 독립적으로 설정하면 다른 국가 평균과 대비 하여 한국의 총요소생산성 변동을 비교하는 데 유용한 모형이다.
이 모형의 설정 및 추정방법을 자세히 설명하면 다음과 같다
.
이Variation in Technical Efficiency”, European Journal of Operational Research, 2006;
Lee, Y. H., “The Group-Specific Stochastic Production Frontier Models with Parametric Specification”, European Journal of Operational Research, Forthcoming, 2009.
27) G는 그룹의 개수를 나타냄.
모형은 그룹별 효율성 변동패턴을 설정한
Lee
(2006)를Battese and
Coelli
(1992)에 적용하여 추정해야 할 모수의 수를 줄이는 방법을 적용하였다
.
즉 를 설정하여 모든 국가에 동일하 게 적용되던 를 로 변형하여 그룹 간 차이를 두면서 추정해야 할 모수의 수가 시계열 관찰치의 수와 연동되지 않도록 하였다.
이 모 형을 적용하면 회귀방정식(9)
는(12)
와 같이 변형된다.
(12)
여기서
,
는 그룹g
에 속한 국가 수,
,
.
따라서 각 국가의 효율성 변동패턴은 의 부호와 크기에 의해 결정된다.
이 모형은 비선형 모형으로 추정치를 구하기 위해서는 수량적 최 적화(numerical optimization)를 해야 한다
.
다행히Lee
(2009)가 아래 식(16)
을 도출하였기에 이를 이용한 수량적 최적화 프로그램을 이용하 면 비교적 수월하게 추정치를 구할 수 있다.
즉 식(13)
은 최소화하 는 목적함수가 되며,
식(14)-
식(15)
는 제1
계 조건(first order condition) 이다.
식(14)
를 풀면 식(16)
과 같은 해를 구할 수 있다.
따라서 식(16)
을 구하고 이를 식(13)
에 대입하여SSE
를 최소화하는 를 구하고 이를 다시 식(16)
에 대입하여 를 구하고 이를 다시 식(13)
에 대입하여 동일한 과정을 반복하여 이전 단계 추정치와 값의 변동이 없어지면 목적함수를 최소화하는 추정치를 구한 것이다.
28)28) 본 연구에서는 GAUS S 6.0 소프트웨어를 이용해 프로그래밍하였다.
′
(13)
′
(14)
′
∈′
∈′
(15)
여기서
,
′
′and
.
′
′(16)
이상의 방법으로 추정치를 구하면 개별 국가의 효율성 추정치를 구하기 위해서는 식
(17)
과 같이 상수항 추정치를 구하고 이를 식(18)
과 같이 분리한다.
,
′
′(17)
∀ ∈