I
01소수 : 11, 17, 23, 합성수 : 14, 20 024개 03a=2, b=4 04ㄱ, ㄴ, ㄹ 05⑴ 3fi ⑵ 2¤ _7› ⑶ 2¤ _3‹ _5‹ ⑷
06⑤ 072 089 095
10⑴ 2fl , 소인수 : 2 ⑵ 2‹ _3¤ , 소인수 : 2, 3
``⑶ 2‹ _5_7, 소인수 : 2, 5, 7
11③ 1272 13a=21, b=42 1415 1512 16②, ⑤
171, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 18⑤
19② 206개 21④ 22⑤
232 2424
135›1
유형 TEST
01. 소수와 합성수 002~004쪽02. 소인수분해 (062~112)부해+1~4 2017.6.29 12:59 PM 페이지062
테스트BOOK 최소한 3_5를 곱해야 하고, 그 다음 수는 3_5_2¤ ,
3_5_3¤ 등 3_5_a¤ 꼴이어야 한다.
따라서 ① 3_5, ③ 2¤ _3_5, ④ 3‹ _5=3¤ _3_5를 곱 할 수 있다.
17
225=3¤ _5¤ 이므로 3¤ 의 약수와 5¤ 의 약수를 표에 써넣어 각각 곱하면 다음과 같다.따라서 225의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225이다.
18
72=2‹ _3¤ 이므로 소인수 2와 3에 대한 지수를 비교하면⑤ 2¤ _3‹ 은 약수가 될 수 없다.
19
2¤ _3¤ _7의 약수는 (2¤ 의 약수)_(3¤ 의 약수)_(7의 약수) 꼴이다.① 21=3_7 ② 24=2‹ _3 ③ 28=2¤ _7
④ 36=2¤ _3¤ ⑤ 63=3¤ _7
20
144=2› _3¤ 이고, 144의 약수 중에서 자연수의 제곱이 되 는 수는 1인 경우 또는 소인수의 지수가 모두 짝수인 경우 이므로 1, 2¤ , 3¤ , 2› , 2¤ _3¤ , 2› _3¤ 의 6개이다.21
① 2¤ _3‹ ˙k (2+1)_(3+1)=12② 3_5fi ˙k (1+1)_(5+1)=12
③ 5_7_11¤ ˙k (1+1)_(1+1)_(2+1)=12
④ 2_3_5_7 ˙k (1+1)_(1+1)_(1+1)_(1+1)
=16
⑤ 11⁄ ⁄ ˙k 11+1=12
따라서 약수의 개수가 다른 하나는 ④이다.
22
④ 392=2‹ _7¤ 의 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)=12⑤ 819=3¤ _7_13의 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)_(1+1)=12
23
80_3« =2› _5_3« 의 약수의 개수가 30이므로 (4+1)_(1+1)_(n+1)=3010_(n+1)=30, n+1=3 ∴ n=2
24
약수의 개수가 8인 자연수는 am또는 am_bn(a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수) 꼴이다.⁄am꼴일 때, m+1=8에서 m=7
즉, 가장 작은 자연수는 2‡ =128
¤am_bn꼴일 때,
(m+1)_(n+1)=8에서 m=1, n=3 또는 m=3, n=1 즉, 가장 작은 자연수는 2‹ _3=24
⁄, ¤에서 구하는 자연수는 24이다.
_ 1 5 5¤
1 3 3¤
1_1=1 5_1=5 5¤ _1=25
1_3=3 5_3=15 5¤ _3=75
1_3¤ =9 5_3¤ =45 5¤ _3¤ =225
0 1
15=3_5이므로 3 또는 5의 배수가 아니어야 15와 서로 소가 된다.① 9=3¤ ② 18=2_3¤ ③ 25=5¤ ④ 28=2¤ _7
⑤ 51=3_17
따라서 15와 서로소인 자연수는 ④이다.
0 2
① 39와 52의 최대공약수는 13이므로 서로소가 아니다.② 3과 8은 서로소이지만 8은 소수가 아니다.
③ 서로소인 두 자연수의 공약수는 1이다.
④ 5와 15는 홀수이지만 최대공약수가 5이므로 서로소가 아니다.
01④ 02⑤ 037 04799개
05④ 06② 07⑴ 9 ⑵ 18 ⑶ 150 ⑷ 18
089개 09⑤ 1090 113
12④ 139개 14④ 1560 cm, 30 1612 cm 1728 188명 1921
2014그루 21⑤ 22②
23⑴ 120 ⑵ 36 ⑶ 882 ⑷ 1260 24①, ③
257개 266 27②, ④ 285
29a=3, b=9308 3190 3260
33② 3428 35120 36720
37③ 38오전 7시 39216개 4012 4160 cm 4271 43122 44③ 45122명 46180 47;1$7%; 48②
유형 TEST
03. 최대공약수04. 최소공배수 005~010쪽 (062~112)부해+1~4 2017.6.29 12:59 PM 페이지06303
140=2¤ _5_7의 약수 중 소수는 2, 5, 7뿐이다.(062~112)부해+1~4 2017.6.29 12:59 PM 페이지064
테스트BOOK
27
120=2‹ _3_5① 36=2¤ _3¤ 이므로 120과의 최소공배수는 2‹ _3¤ _5
이때 최소공배수가 240이므로 x_2_2_5_3=240 60_x=240 ∴ x=4
따라서 세 수는 16, 20, 24이므로 그 합은
(062~112)부해+1~4 2017.6.29 12:59 PM 페이지065
588=14_(최소공배수)
15_a_b=225 ∴ a_b=15
이때 A=15_a, B=15_b가 두 자리의 수가 되어야 하
따라서 구하는 합은 60+120+180+360=720
37
혜윤이는 4칸씩, 성준이는 3칸씩 올라가므로 4와 3의 공배수(062~112)부해+1~4 2017.6.29 12:59 PM 페이지066
테스트BOOK
01재혁 0216 03⑴ 2_3_7¤ ⑵ 24 044 054, 5 061, 3, 9 07375 0812그루 09:¡7§: 10164 11오전 10시
실력 TEST
011~013쪽60_2+2, 60_3+2, y가 될 수 있다. 2_2_3=12이면 a_b_c¤ 꼴 이때 40_ `=2‹ _5_ `이므로
(062~112)부해+1~4 2017.6.29 12:59 PM 페이지067
06
(두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 486=(최대공약수)_54∴ (최대공약수)=486÷54=9 따라서 공약수는 1, 3, 9이다.
07
30=2_3_5, N, 45=3¤ _5의 최대공약수가15=3_5이고 최소공배수가 450=2_3¤ _5¤ 이므로 가장 작은 N은 3_5¤ 이다. 이때 2와 3¤ 도 N의 약수가 될 수 있 으므로 N이 될 수 있는 수는 다음과 같다.
3_5¤, 2_3_5¤ , 3¤ _5¤ , 2_3¤ _5¤
따라서 N의 값 중 가장 큰 수는 2_3¤ _5¤ =450, 가장 작 은 수는 3_5¤ =75이므로 차는 450-75=375이다.
08
나무 사이의 간격을 최대로 하려 면 나무 사이의 간격은 180, 144, 108의 최대공약수이어야 하므로 2¤ _3¤ =36(m) …… ❶이때 180÷36=5, 144÷36=4, 108÷36=3이므로 필요한 나무는 5+4+3=12(그루) …… ❷
09
곱하는 분수를 ;aB;라고 하자.:£4∞:_;aB;, ;1^6#;_;aB;, :™8¡:_;aB;가 모두 자연수가 되려면 a는 35, 63, 21의 공약수이고, b는 4, 16, 8의 공배수이어야 한다.
이때 ;aB;가 가장 작은 분수가 되기 위해서는 a는 최대공약 수, b는 최소공배수이어야 한다.
따라서 a는 35, 63, 21의 최대공약수인 7, b는 4, 16, 8의 최소공배수인 16이므로 구하는 분수는 ;aB;=:¡7§:이다.
10
7로 나누어 3이 남는 것은 7로 나누어 4가 부족한 것과 같 고, 8로 나누어 4가 남는 것은 8로 나누어 4가 부족한 것과 같다.즉, 어떤 자연수를 6, 7, 8로 나누면 모두 4가 부족하므로 어떤 자연수는 6, 7, 8의 공배수보다 4 작은 수이다.
이 중 가장 작은 자연수이므로 어떤 자연수는 6, 7, 8의 최 소공배수보다 4 작은 수이다.
6, 7, 8의 최소공배수가 168이므로 구하는 자연수는 168-4=164
■ 참고 ■
어떤 자연수는 168-4, 168_2-4, 168_3-4, y로 무수 히 많다.
11
각 버스가 12분, 15분, 30분마다 출발하므로 세 버스가 동 시에 출발하기까지 걸리는 시간은 12, 15, 30의 공배수가된다. …… ❶
12, 15, 30의 최소공배수가 60이므로 오전 8시에서 60분 마다 세 버스가 동시에 출발하게 된다. …… ❷ 즉, 오전 8시, 9시, 10시, y에 동시에 출발하므로 세 번째 로 동시에 출발하는 시각은 오전 10시이다. …… ❸
❶버스가 출발하는 시간 사이의 관계 알기
❷동시에 출발하는 시간 간격 구하기
❸세 번째로 동시에 출발하는 시각 구하기
20 % 30 % 50 %
채점 기준 배점
01
④ 21=3_702
⑤ ;1¡0;_;1¡0;_;1¡0;_;1¡0;_;1¡0;={;1¡0;}5 =03
② 48과 33의 공약수가 1, 3이므로 서로소가 아니다.04
180=2¤ _3¤ _5이므로 소인수의 지수를 비교하면④ 2¤ _3_5¤ 은 180의 약수가 될 수 없다.
05
(3+1)_(4+1)=4_5=2006
30=2_3_5이므로 2, 3, 5의 배수가 아닌 수와 서로소이 다.따라서 30과 서로소인 수는 ⑤ 11이다.
145510fi1
❶나무 사이의 간격 구하기
❷필요한 나무가 몇 그루인지 구하기
50 % 50 %
채점 기준 배점
01④ 02⑤ 03② 04④
05③ 06⑤ 072¤ _3¤ _5¤ , 2‹ _3› _5› _7‹
0830, 42 093 10② 11②
12④ 13③ 14④ 156
16② 17;;™;6$;∞;; 18479 1929명 208군데
대단원 TEST
014~016쪽180=2¤ _3¤ _5 144=2› _3¤
108=2¤ _3‹
600=2¤ _3¤
(062~112)부해+1~4 2017.6.29 12:59 PM 페이지068
테스트BOOK
08
A=6_a, B=6_b(a, b는 서로소) 라고 하면 최소공배수가 36이므로6_a_b=36 ∴ a_b=6 yy❶
이때 a, b는 서로소이므로 a, b의 순서쌍은 (a, b)=(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)
∴ (A, B)=(6, 36), (12, 18), (18, 12), (36, 6) yy❷ 따라서 A+B의 값이 될 수 있는 수는 30과 42이다.
yy❸
09
1890=2_3‹ _5_7이므로 2_3‹ _5_7_a=b¤ 이 성립 하게 하는 가장 작은 a의 값은 2_3_5_7=210이다. 이때 (2_3‹ _5_7)_(2_3_5_7)=(2_3¤ _5_7)_(2_3¤ _5_7)
=(2_3¤ _5_7)¤ =630¤
이 되므로 b=630
∴ = =3
10
ㄱ. 20 이하의 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19로 8개이 다.ㄷ. 11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6과 같이 두 소수의 합으로 나타낼 수 없는 수도 있다.
ㄹ. 26과 39의 공약수는 1, 13이므로 서로소가 아니다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅁ으로 ② 2개이다.
11
72=2‹ _3¤ 과 a의 최대공약수가 18이어야 한다.① 18=2_3¤ 이므로 72와의 최대공약수는 2_3¤ =18
② 36=2¤ _3¤ 이므로 72와의 최대공약수는 2¤ _3¤ =36
③ 54=2_3‹ 이므로 72와의 최대공약수는 2_3¤ =18
④ 90=2_3¤ _5이므로 72와의 최대공약수는 2_3¤ =18
⑤ 162=2_3› 이므로 72와의 최대공약수는 2_3¤ =18
12
정육면체의 한 모서리의 길이는 36, 72, 84의 최대공약수 이다. 36, 72, 84의 최대공약수가 12이므로 정육면체의 한 모서리의 길이는 12 cm이다.11630210 1ba
❶a_b=6임을 알기
❷(A, B) 구하기
❸A+B의 값이 될 수 있는 수 구하기
30 % 50 % 20 %
채점 기준 배점
이때 가로로 3개, 세로로 6개, 높이로 7개씩 생기므로 정육 면체 모양의 나무토막은 3_6_7=126(개) 만들 수 있다.
13
2› _3∫ _5와 2å _3¤ _5› 의 최대공약수가 2¤ _3¤ _5이므로 a=22› _3∫ _5와 2¤ _3¤ _5› 의 최소공배수가 2› _3‹ _5ç 이므로 b=3, c=4
∴ a+b+c=2+3+4=9
14
2_3¤ , M, 2_3_5의 최대공약수가 6=2_3이고, 최소 공배수가 180=2¤ _3¤ _5이므로 가장 작은 M은 2¤ _3이 다.이때 3¤ , 5도 M의 약수가 될 수 있으므로 M이 될 수 있는 수는 2¤ _3=12, 2¤ _3¤ =36, 2¤ _3_5=60,
2¤ _3¤ _5=180이다.
따라서 M이 될 수 없는 수는 ④ 120이다.
15
어떤 자연수는 14-2=12, 26-2=24, 32-2=30의 공 약수이다.따라서 어떤 자연수 중 가장 큰 수는 12, 24, 30의 최대공 약수인 6이다.
16
세 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 동시에 맞물릴 때까지 돌 아간 톱니의 개수는 56, 40, 70의 최소공배수이므로 2‹ _5_7=280 따라서 세 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니에서 동시에 맞물리는 것은 톱니바퀴 A가 280÷56=5(바퀴) 회전한 후이다.
17
곱하는 분수를 ;aB;라고 하자.;3@5$;_;aB;, ;4#9);_;aB;가 모두 자연수가 되려면 a는 24와 30의 공약수이고,
b는 35와 49의 공배수이어야 한다.
이때 ;aB;가 가장 작은 분수가 되기 위해서는 a는 최대공약수, b는 최소공배수이어야 한다.
따라서 a는 24와 30의 최대공약수인 6,
b는 35와 49의 최소공배수인 245이므로 구하는 분수는
;aB;=;;™;6$;∞;;
56=2‹_3_7 40=2‹ _5 70=2¤_5_7 60=2‹ _5_7
(062~112)부해+1~4 2017.6.29 12:59 PM 페이지069
18
3으로 나누면 2가 남고, 4로 나누면 3이 남고, 5로 나누면 4 가 남는 수는 3으로 나누면 1이 부족하고, 4로 나누면 1이 부족하고, 5로 나누면 1이 부족한 수이다.즉, 3, 4, 5로 나누면 모두 1이 부족한 수이므로 어떤 자연 수는 3, 4, 5의 최소공배수인 60의 배수보다 1이 작은 수이 다.
이러한 수 중 500에 가장 가까운 수를 찾으면 60_8-1=479이다.
19
반의 수는 남학생 수와 여학생 수의 공약수이다. 이때, 반 의 수를 되도록 많게 해야 하므로 반의 수는 최대공약수가된다. …… ❶
420과 450의 최대공약수는 30이므로 반의 수는 30개이다.
…… ❷ 따라서 각 반의 남학생 수는 420÷30=14(명),
여학생 수는 450÷30=15(명)이므로 각 반의 학생 수는
14+15=29(명) …… ❸
20
윤희는 12 km마다 깃발을 꽂고, 경은이는 16 km마다 깃 발을 꽂으므로 12와 16의 공배수인 지점마다 두 사람의 깃 발이 같이 꽂히게 된다. 즉, 12와 16의 최소공배수가 48이 므로 48 km마다 두 사람의 깃발이 같이 꽂히게 된다.이때, 400÷48=8.3y이므로 400 km를 걸었을 때, 두 사람의 깃발이 같이 꽂힌 지점은 모두 8군데가 된다.
❶반의 수와 학생 수 사이의 관계 알기
❷반의 수 구하기
❸학생 수 구하기
30 % 30 % 40 %
채점 기준 배점
01
P(x)가 x의 약수의 개수를 나타내므로 P(72)는 72의 약수의 개수를 나타낸다.72=2‹ _3¤ 이므로 72의 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)=12 ∴ P(72)=12 P(72)_P(x)=72에서 12_P(x)=72
∴ P(x)=6
즉, x의 약수의 개수는 6이다.
6=5+1=(2+1)_(1+1)이므로
x=afi 또는 x=a¤ _b`(`a, b는 서로 다른 소수) 꼴이다.
afi 꼴 중 가장 작은 수는 2fi =32,
a¤ _b 꼴 중 가장 작은 수는 2¤ _3=12이므로 가장 작은 x의 값은 12이다.
02
구하는 수는 10, 9, 8, y, 2로 나눌 때 1이 부족한 수 중 가 장 작은 자연수이므로 10, 9, 8, y, 2의 최소공배수보다 1 작은 수이다.10, 9, 8, y, 2의 최소공배수는 2‹ _3¤ _5_7=2520이므 로 구하는 수는 2520-1=2519이다.
■ 참고 ■
소인수분해를 이용하여 최소공배수를 구하면 된다. 2부터 10 까지의 수에서 나올 수 있는 소인수는 2, 3, 5, 7이고, 이때 지수는 밑이 2인 경우 3까지, 밑이 3인 경우 2까지 나올 수 있으므로 최소공배수는 2‹ _3¤ _5_7이 된다.
03
점 A는 1초에 12 cm씩 움직이고 30과 12의 최소공배수 가 60이므로 60 cm를 움직여야 출발점으로 돌아온다.즉, 60÷12=5(초)마다 출발점으로 돌아온다.
점 B는 1초에 5 cm씩 움직이고 5와 20의 최소공배수가 20이므로 20÷5=4(초)마다 출발점으로 돌아온다.
따라서 두 점 A, B는 5_4=20(초)마다 출발점에서 만나 게 되므로 5분=300초 동안 300÷20=15(번) 만나게 된 다.
0112 022519 0315번
Ⅰ. 소인수분해