I. 서 론
2. 비모수 이중차분모형
(2.8)
의 확률분포는 실험군 여부에 따라 달라질 수 있지만, 동일한 그룹 내에서 는 기간의 변화에 영향을 받지 않는 것으로 가정한다. 정책 시행을 가정했을 때 가격 반응 또한 이와 유사한 방법으로 가정한다.
(2.9) Athey와 Imbens는 이와 같은 방법으로 비모수적(nonparametric) 추정 모형 을 고안하여 이를 선형구조에 기반을 둔 이중차분(DID)에 대응되게끔 CIC (changes-in-changes) 모형이라 명명하였다. 언급하였다시피 분석에 있어 주 요 관심의 대상인 평균정책효과(average treatment effect)는 식 (2.6)의 계수
로 추정되는바,
. (2.10)여기서 는 실제로 알뜰주유소로 전환한 경우 정책 시행 후 실험군에 속 했던 주유소의 휘발유 가격을 나타내며 관찰이 가능한 변수이다. 따라서 이 변수가 따르는 확률분포는 선험적인 분포(empirical distribution)를 이용하여 추정하는 것이 가능하고 이를 이용하여 또한 비모수적방법으로 (nonparametrically) 추정이 가능해 진다. 반면 은 동일한 주유소가 알뜰 주유소로 전환하지 않았을 때 책정했었을 가상의 가격을 나타내어 관찰이 가 능하지 않은 까닭에 위와 동일한 방법으로 추정하는 것이 어렵다.
이에 저자들은 먼저 대조군의 관찰된 변화를 조사하고, 해당 관측치를 이용 해 기별 대조군 가격 변수의 확률분포를 구하였다. 나아가 실험군의 주유소들 이 정책이 부재했을 경우 따랐을 확률분포를 대조군의 확률분포에 “빗대어”9)
9) 보다 정확하게는 “대조군 확률분포들의 조합(combination)과 변환(transformation)을 통 하여”
추정하였다. 즉 몇 가지 추가적인 가정을 통해서 의 분포에 대한 결과를 도출한 바, 이는 다음과 같은 식으로 요약되며
(2.11) 여기서 는 확률변수 의 분포를 의미한다.10)11) 1기, 2기 확률변수와 분포 간의 관계가 [그림 II-2]에 보다 명료하게 표현되어 있다.
[그림 Ⅱ-2] 비모수 이중차분모형의 인과관계효과
10) 역함수 은 ∈ 과 의 컴팩트(compact)한 써포트(support) 에 대하여 다음과 같이 정의된다.
∈ ≥
11) , , 는 모두 해당변수들이 관찰 가능함으로 추정 가능한 확률 분포들임을 주지할 필요가 있다.
[그림 Ⅱ-3] 비모수 이중차분모형의 인과관계효과
식 (2.11)의 오른쪽 확률분포의 조합은 최종단계에서 의 분포가 1기 실 험군 가격 변수인 의 분포를 이용해 도출되게 됨을 뜻한다. 다시 말하면 알뜰주유소 전환이 일어나지 않은 경우 동일 주유소의 휘발유 가격분포는 정 책 시행 전인 1기의 가격 분포와 기본적으로 유사할 것이라는 논리다. 단 변 수 가 취하게 되는 값의 범위가 차이가 날 수 있는 바,
로 정의 되는 경우,
⇔
(2.12) 위와 같은 관계가 성립되게 된다.12) 따라서 위의 식을 (2.10)에 대입하게 되면 평균정책효과는 다음과 같이 변환되며 이 형태를 기준으로 추정량이 도출되 어 추정이 이루어지게 된다. (2.13) CIC 모형의 가정은 DID 모형의 가정과 근본적으로는 크게 다르지 않다.
Athey and Imbens(2006)에서 전제한 가정 중 첫 번째는 정책 부재 시 식
12) [그림 II-3]을 참조하시오.
(2.11)의 관계가 성립한다는 것이다. 실험군 여부, 즉 알뜰주유소의 전환 여부 는 여타의 다른 관찰되지 않은 변수들과 함께 주유소의 가격결정에 영향을 미치지만 그 방식은 직접적이지 않을 수도 있음을 의미한다. 두 번째로 함수
의 변수 에 대한 단조성은 주유소의 휘발유 가격이 시간에 따라 변하는 패턴을 규정한다. [그림 Ⅱ-2]에서 살펴본 바와 같이 실험군과 대조군의 가격 추이는 관찰기간 동안 동일한 패턴을 유지하여 추세선이 교차하거나 크기가 역전되는 현상이 나타나지 않는바 해당 가정에 부합한다 하겠다. 세 번째 가 정은 각 그룹에 속한 주유소들은 시간이 지나도 고정되어 있음을 전제한다.
이에 실험군과 대조군은 관찰 기간 동안 동일하게 유지하고 분석을 시행하였 다. 마지막으로 (2.12)와 같은 변환(transformation)이 가능하려면 의 써포 트가 의 써포트에, 의 써포트는 의 써포트에 포함되는 것을 의미 한다. 이는 자영주유소에 비해 직영주유소의 영업 가능한 환경이 더 포괄적임 을 뜻할 뿐 아니라 자영주유소가 영업을 개시할만한 곳이라면 직영주유소도 진입할 수 있음을 뜻한다. 직영주유소와 자영주유소의 분포에 비추어 보아도 이는 실제와 부합하는 가정이라고 할 수 있다.