도형의 닮음

개념 ^콕콕

본문 | 77, 79 쪽

0417

 ⑴ 점 E ⑵ FGÓ ⑶ ∠H

0418

다음과 같은 경우에는 닮은 도형이 아니다.

⑴

⑷

⑹

DN ⑺ ^DN ^DN

DN DN

 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ _ ⑸ ◯ ⑹ _ ⑺ _ ⑻ ◯

0419

⑴ ABÓ`:`DEÓ=6`:`9=2`:`3

⑵ ∠A=∠D=65ù

⑶ BCÓ`:`EFÓ=2`:`3이므로 8`:`EFÓ=2`:`3 ∴ EFÓ=12(cm)

⑷ ∠F=∠C=180ù-(65ù+75ù)=40ù

 ⑴ 2`:`3 ⑵ 65ù ⑶ 12`cm ⑷ 40ù

0420

⑴ BCÓ`:`FGÓ=12`:`9=4`:`3

⑵ ABÓ`:`EFÓ=4`:`3이므로 8`:`EFÓ=4`:`3 ∴ EFÓ=6(cm)

⑶ ∠A=∠E=75ù

⑷ ∠H=∠D=360ù-(75ù+80ù+85ù)=120ù

 ⑴ 4`:`3 ⑵ 6`cm ⑶ 75ù ⑷ 120ù

0421

⑴ ACÓ`:`AÕ'C'Ó=8`:`4=2`:`1

⑶ ADÓ`:`AÕ'D'Ó=2`:`1이므로 ADÓ`:`3=2`:`1 ∴ ADÓ=6

 ⑴ 2`:`1 ⑵ ^A'D'F'C' ⑶ 6

0422

⑴ 3`:`6=1`:`2

⑵ 5`:`x=1`:`2이므로 x=10

 ⑴ 1`:`2 ⑵ 10

0423

⑴ ABÓ`:`DEÓ=BCÓ`:`EFÓ=2`:`3, ∠B=∠E이므로

△ABC»△DEF (SAS 닮음)

⑵ ∠A=∠D, ∠C=180ù-(70ù+50ù)=60ùù이므로 ∠C=∠F

∴ △ABC»△DEF (AA 닮음)

⑶ ABÓ`:`DEÓ=BCÓ`:`EFÓ=CAÓ`:`FDÓ=1`:`2이므로

△ABC»△DEF (SSS 닮음)

 ⑴ ㉡ ⑵ ㉢ ⑶ ㉠

0424

⑴△ABC와 △CBD에서 ABÓ`:`CBÓ=9`:`12=3`:`4, ACÓ`:`CDÓ=6`:`8=3`:`4, BCÓ`:`BDÓ=12`:`16=3`:`4이므로

△ABC»△CBD (SSS 닮음)

⑵△ÂBC와△ÊDC에서 ACÓ`:ÈCÓ=6`:`3=2`:`1, BCÓ`:`DCÓ=10`:`5=2`:`1,

∠ACB=∠ECD (맞꼭지각)이므로

△ABC»△EDC (SAS 닮음)

⑶△ABC와 △AED에서 ∠A는 공통,

∠ABC=∠AED이므로

△ABC»△AED (AA 닮음)

 ⑴ △CBD, SSS ⑵ △EDC, SAS ⑶ △AED, AA

0425

 △EBD, ABÓ, 4, 2, 1, BCÓ, 3, 2, 1, ∠B,

△EBD, SAS, CAÓ, 5, 52

0426

⑴△ABD에서 ∠B+∠BAD=90ù

∠BAD+∠CAD=90ù ∴ ∠B=∠CAD

⑵△ADC에서 ∠CAD+∠C=90ù

∠BAD+∠CAD=90ù ∴ ∠C=∠BAD

⑶△ABC와 △DBA에서

∠C=∠BAD, ∠B는 공통이므로

△ABC»△DBA (AA 닮음)

△ABC와 △DAC에서

∠B=∠CAD, ∠C는 공통이므로

△ABC»△DAC (AA 닮음)

 ⑴ ∠CAD ⑵ ∠BAD ⑶ △DBA, △DAC

Ⅲ- 1. 도형의 닮음

0438

처음의 직사각형과 직사각형 ⑴에서는 16`:`24+12`:`16이고, 처음 의 직사각형과 직사각형 ⑵에서는 16`:`24=8`:`12=2`:`3이다.

따라서 처음의 직사각형과 직사각형 ⑵는 대응하는 변의 길이의 비 가 일정하므로 서로 닮은 도형이고 닮음비는 16`:`8=2`:`1이다.

 직사각형 ⑵, 2`:`1

0439

△ADE와 △ACB의 닮음비는

ADÓ`:`ACÓ=5`:`15=1`:`3이므로 EDÓ`:`BCÓ=1`:`3

6`:`BCÓ=1`:`3 ∴ BCÓ=18(cm)  18`cm

0440

 ABCD와 ^DAEF의 닮음비는

ABÓ`:`DAÓ=25`:`20=5`:`4이므로 ADÓ`:`DFÓ=5`:`4

20`:`DFÓ=5`:`4 ∴ DFÓ=16(cm)  16`cm

0441

△AOB와 △CDE의 닮음비는

OBÓ`:`DEÓ=1`:`3이므로 ABÓ`:`CEÓ=1`:`3 2`:`CEÓ=1`:`3 ∴ CEÓ=6

∴ C(5, 6)  C(5, 6)

0442

ABÓ`:`DEÓ=3`:`4이므로 ABÓ`:`16=3`:`4 ∴ ABÓ=12(cm) ACÓ`:`DFÓ=3`:`4이므로 ACÓ`:`20=3`:`4 ∴ ACÓ=15(cm)

∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ

=12+18+15

=45(cm)  ④

다른 풀이

BCÓ`:`EFÓ=3`:`4이므로 18`:`EFÓ=3`:`4 ∴ EFÓ=24(cm) 즉 △DEF의 둘레의 길이는 16+24+20=60(cm)

△ABC와 △DEF의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로

△ABC의 둘레의 길이를 l`cm라고 하면 l`:`60=3`:`4 ∴ l=45

따라서 △ABC의 둘레의 길이는 45`cm이다.

0443

닮음비가 2`:`3이므로 ABÓ`:`EFÓ=2`:`3, ABÓ`:`7=2`:`3

∴ ABÓ=;;Á3¢;;(cm)

즉  ABCD의 둘레의 길이는 ;;Á3¢;;+5+4+3=;;°3¼;;(cm)

 ABCD와  EFGH의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로

 EFGH의 둘레의 길이를 l`cm라고 하면

;;°3¼;;`:`l=2`:`3 ∴ l=25

따라서 ^EFGH의 둘레의 길이는 25`cm이다.  25`cm

0444

두 원의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 원 O'의 반지름의 길 이를 r`cm라고 하면

16`:`2r=4`:`3 ∴ r=6

따라서 원 O'의 넓이는 p_6Û`=36p(cmÛ`)  36p`cm² 보충 설명

원에서는 반지름의 길이의 비가 닮음비이므로 두 원 O, O'에서

⑴ 닮음비는 r`:`r'

⑵ 지름의 길이의 비는 2r`:`2r'=r`:`r'

⑶ 둘레의 길이의 비는 2pr`:`2pr'=r`:`r'

0445

 ABCD와 ^ EBFG의 닮음비는

BCÓ`:`BFÓ=(8+4)`:`8=12`:`8=3`:`2 ^40%

 ABCD와 ^ EBFG의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 20%

 ABCD의 둘레의 길이를 x`cm라고 하면 x`:`36=3`:`2, 2x=108 ∴ x=54

따라서 ^ ABCD의 둘레의 길이는 54`cm이다. ^40%

 54`cm

0446

두 직육면체의 닮음비는 ADÓ`:`AÕ'D'Ó=6`:`4=3`:`2 ABÓ`:`AÕ'B'Ó=3`:`2이므로 x`:`2=3`:`2 ∴ x=3 BFÓ`:`BÕ'F'Ó=3`:`2이므로 9`:`y=3`:`2 ∴ y=6

∴ xy=3_6=18  18

0447

정육면체 B의 한 모서리의 길이를 x`cm라고 하면 12`:`x=3`:`4 ∴ x=16

따라서 정육면체의 모든 모서리의 길이의 합은

16_12=192(cm)  ③

0448

①, ② 닮음비는 ADÓ`:`A'D'Ó=10`:`8=5`:`4이므로 EFÓ`:`EÕ'F'Ó=5`:`4이다.

③ GHÓ`:`GÕ'H'Ó=5`:`4이므로 GHÓ`:`6=5`:`4 ∴ GHÓ=;;Á2°;;(cm)

④ FGÓ`:`FÕ'G'Ó=5`:`4이므로 15`:`FÕ'G'Ó=5`:`4 ∴ FÕ'G'Ó=12(cm)

⑤ ^ BFGC»^ B'F'G'C', ^ CGHD»^ C'G'H'D'

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.  ⑤

0 S

Ⅲ- 1. 도형의 닮음 오른쪽 그림과 같은 경우에는 닮은 도형이

아니다.

 ⑤

0450

① 두 삼각기둥의 닮음비는 ACÓ`:`GIÓ=6`:`10=3`:`5이므로 x`:`8=3`:`5 ∴ x=;;ª5¢;;

9`:`y=3`:`5 ∴ y=15  ①

0451

두 사각뿔의 닮음비는 DEÓ`:`IJÓ=3`:`6=1`:`2

사각뿔 (나)의 높이를 h라고 하면 3.5`:`h=1`:`2 ∴ h=7 따라서 사각뿔 (나)의 부피는 ;3!;_8_6_7=112이다. ^ 112

0452

처음 원뿔과 잘라서 생기는 작은 원뿔의 닮음비는

(6+8)`:`6=14`:`6=7`:`3 ^60%

처음 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 r`:`3=7`:`3 ∴ r=7

따라서 구하는 반지름의 길이는 7`cm이다. ^40%

 7`cm

0453

두 원기둥 A, B의 닮음비는 밑면의 반지름의 길이의 비와 같으므로 18`:`27=2`:`3

이때 두 원기둥 A, B의 밑면의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으

므로 2`:`3  2`:`3

0454

두 원뿔의 닮음비는 10`:`6=5`:`3

원뿔 B의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 5`:`r=5`:`3 ∴ r=3

따라서 원뿔 B의 부피는 ;3!;_p_3Û`_6=18p(cmÜ`) ^ 18p`cmÜ`

0455

그릇 높이의 2

5 만큼 물을 채웠으므로 그릇과 물이 채워진 부분의 닮 음비는 5`:`2

이때 수면의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 15`:`r=5`:`2 ∴ r=6

따라서 수면의 넓이는 p_6Û`=36p(cmÛ`)  36p`cm²

0456

①, ⑤ AA 닮음 ③ SAS 닮음  ②, ④

① AA 닮음 ④ SSS 닮음  ①, ④

0458

△ABC와 △MON에서 ACÓ`:`MNÓ=12`:`8=3`:`2, BCÓ`:`ONÓ=9`:`6=3`:`2

∠C=∠N=25ù이므로 △ABC»△MON (SAS 닮음)

△DEF와 △LKJ에서

∠D=180ù-(45ù+80ù)=55ù=∠L, ∠F=∠J=45ù이므로

△DEF»△LKJ (AA 닮음)

 △ABC»△MON (SAS 닮음), △DEF»△LKJ (AA 닮음)

0459

△DEF에서 ∠F=180ù-(70ù+50ù)=60ù이므로

∠A=∠E=70ù, ∠B=∠F=60ù

따라서 △ABC»△EFD (AA 닮음)이므로

닮음비는 a`:`e=b`:`f=c`:`d이다.  ⑤

0460

④ ∠A=75ù, ∠D=45ù이면

△ABC에서 ∠C=180ù-(75ù+45ù)=60ù

△ABC와 △FDE에서

∠B=∠D=45ù, ∠C=∠E=60ù이므로

△ABC»△FDE (AA 닮음)  ④

0461

△ABC와 △EBD에서 ABÓ`:`EBÓ=8`:`4=2`:`1 BCÓ`:`BDÓ=10`:`5=2`:`1, ∠B는 공통이므로

△ABC»△EBD (SAS 닮음)

이때 CAÓ`:`DEÓ=2`:`1이므로 12`:`DEÓ=2`:`1

∴ DEÓ=6(cm)  ②

0462

△ABE와 △CDE에서 AEÓ`:`CEÓ=4`:`6=2`:`3

BEÓ`:`DEÓ=6`:`9=2`:`3, ∠AEB=∠CED (맞꼭지각)이므로

△ABE∽△CDE (SAS 닮음)

이때 ABÓ`:`CDÓ=2`:`3이므로 ABÓ`:`10=2`:`3

∴ ABÓ=;;ª3¼;;(cm) ^ _;;ª3¼;;`cm

0463

△ABC와 △CBD에서 ABÓ`:`CBÓ=8`:`4=2`:`1 BCÓ`:`BDÓ=4`:`2=2`:`1, ∠B는 공통이므로

△ABC»△CBD (SAS 닮음) ^60%

이때 ACÓ`:`CDÓ=2`:`1이므로 ACÓ`:`3=2`:`1

∴ ACÓ=6(cm) ^40%

 6`cm

0464

△ABC와 △DBA에서 ABÓ`:`DBÓ=6`:`9=2`:`3 BCÓ`:`BAÓ=4`:`6=2`:`3, ∠B는 공통이므로

△ABC»△DBA (SAS 닮음)

이때 ACÓ`:`DAÓ=2`:`3이므로 ACÓ`:`8=2`:`3

∴ ACÓ=:Á3¤: ^ ;;Á3¤;;

0465

△ABC와 △AED에서 ∠ABC=∠AED, ∠A는 공통이므로

△ABC»△AED (AA 닮음) 이때 ABÓ`:`AEÓ=ACÓ`:`ADÓ이므로 15`:`5=ACÓ`:`4 ∴ ACÓ=12(cm)

∴ CEÓ=ACÓ-AEÓ=12-5=7(cm)  ④

0466

△^ABC와△CBD에서 ∠BAC=∠BCD, ∠B는 공통이므로

△ABC»△CBD (AA 닮음) 이때 ABÓ`:`CBÓ=ACÓ`:`CDÓ이므로

14`:`7=ACÓ`:`5 ∴ ACÓ=10(cm) ^ 10`cm

0467

△ABC와 △DAC에서 ∠CBA=∠CAD, ∠C는 공통이므로

△ABC»△DAC (AA 닮음) 이때 BCÓ`:`ACÓ=CAÓ`:`CDÓ이므로

18`:`12=12`:`CDÓ ∴ CDÓ=8(cm)  8`cm

0468

△ABC와 △EDC에서 ∠BAC=∠DEC, ∠C는 공통이므로

△ABC»△EDC (AA 닮음) 이때 BCÓ`:`DCÓ=ACÓ`:`ECÓ이므로 BCÓ`:`4=(2+4)`:`3 ∴ BCÓ=8(cm)

∴ BEÓ=BCÓ-ECÓ=8-3=5(cm)  ③

0469

△ABC와 △EDA에서 ∠BAC=∠DEA (엇각),

∠ACB=∠EAD (엇각)이므로

△ABC∽△EDA (AA 닮음) 이때 ACÓ`:`EAÓ=BCÓ`:`DAÓ이므로

6`:`(6-2)=BCÓ`:`4 ∴ BCÓ=6(cm)  6`cm

0470

△AFD와 △EFB에서 ∠DAF=∠BEF (엇각),

∠ADF=∠EBF (엇각)이므로

△AFD»△EFB (AA 닮음) 이때 AFÓ`:`EFÓ=DFÓ`:`BFÓ이므로

AFÓ`:`6=12`:`9 ∴ AFÓ=8(cm)  8`cm

0471

△ABE와 △FCE에서 ∠ABE=∠FCE (엇각),

∠AEB=∠FEC (맞꼭지각)이므로 이때 △ABE»△FCE (AA 닮음) BAÓ`:`CFÓ=BEÓ`:`CEÓ=2`:`1이므로

10`:`CFÓ=2`:`1　　∴ CFÓ=5  5

0472

△ABC와 △ADF에서 ∠A는 공통,

∠B=∠ADF`(동위각)이므로

△ABC»△ADF`(AA 닮음) BDÓ=DFÓ=x`cm라고 하면 ABÓ`:`ADÓ=BCÓ`:`DFÓ이므로

20`:`(20-x)=12`:`x, 20x=240-12x 32x=240 ∴ x=;;Á2°;;

따라서 마름모의 한 변의 길이는 ;;Á2°;;`cm이므로

둘레의 길이는 ;;Á2°;;_4=30(cm)이다. ^ 30`cm

0473

△ABC와 △DEC에서 ∠A=∠EDC=90ù, ∠C는 공통이므로

△ABC»△DEC (AA 닮음) 이때 BCÓ`:`ECÓ=ACÓ`:`DCÓ이므로

(8+6)`:`7=ACÓ`:`6 ∴ ACÓ=12(cm)

∴ AEÓ=ACÓ-ECÓ=12-7=5(cm)  5`cm

0474

△ABC와 △AED에서

∠ABC=∠AED=90ù, ∠A는 공통이므로

△ABC∽△AED`(AA 닮음) 이때 ABÓ`:`AEÓ=ACÓ`:`ADÓ이므로

(5+3)`:`4=(4+x)`:`5 ∴ x=6  6

0475

BDÓ`:`DCÓ=3`:`2이므로 DCÓ=10_;5@;=4(cm)

△ADC와 △BEC에서

∠ADC=∠BEC=90ù, ∠C는 공통이므로

△ADC»△BEC`(AA 닮음) 이때 ACÓ`:`BCÓ=DCÓ`:`ECÓ이므로 8`:`10=4`:`ECÓ ∴ ECÓ=5(cm)

∴ AEÓ=ACÓ-ECÓ=8-5=3(cm)  3`cm

0476

△ABC와 △GBE에서 ∠BAC=∠BGE=90ù,

∠ABC=∠GBE이므로

△ABC»△GBE`(AA 닮음)

Ⅲ- 1. 도형의 닮음 10`:`BEÓ=8`:`5 ∴ BEÓ=;;ª4°;;(cm)

∴ AEÓ=ABÓ-BEÓ=8-;;ª4°;;=;4&;(cm) ^ ;4&;`cm

0477

△ABC에서 ∠BAC+∠ACB=90ù이고

∠ACB+∠DCE=90ù이므로

∠BAC=∠DCE

또 ∠B=∠CDE=90ù이므로

△ABC»△CDE (AA 닮음) 이때 ABÓ`:`CDÓ=BCÓ`:`DEÓ이므로 3`:`6=BCÓ`:`10 ∴ BCÓ=5(cm)

∴ △ABC=;2!;_5_3=;;Á2°;;(cmÛ`) ^ ;;Á2°;;`cmÛ`

0478

△ACD에서 ∠A+∠D=90ù이고

△BED에서 ∠B+∠D=90ù이므로

∠A=∠B

또 ∠ACD=∠BCP=90ù이므로

△ACD∽△BCP(AA 닮음)

이때 ACÓ`:`BCÓ=CDÓ`:`CPÓ이므로 ACÓ`:`6=6`:`4

∴ ACÓ=9(cm)

∴ APÓ=ACÓ-CPÓ=9-4=5(cm)  5`cm

0479

△CDE와 △DEF에서 CDÓEFÓ이므로

∠CDE=∠DEF`(엇각), ∠DEC=∠EFD=90°이므로

△CDE»△DEF`(AA 닮음)

이때 CDÓ`:`DEÓ=DEÓ`:`EFÓ이므로 9`:`DEÓ=DEÓ`:`4

DEÓ Û`=36 ∴ DEÓ=6(cm)  6`cm

0480

ADÓ는 BCÓ의 수직이등분선이므로 BDÓ=CDÓ=6(cm)

△ABD와 △DCE에서

∠B=∠C, ∠ADB=∠DEC=90°이므로

△ABD»△DCE`(AA 닮음) 이때 ABÓ`:`DCÓ=BDÓ`:`CEÓ이므로 18`:`6=6`:`CEÓ ∴ CEÓ=2(cm)

∴ AEÓ=ACÓ-CEÓ=18-2=16(cm)  16`cm

0481

ABÓ Û`=BDÓ_BCÓ이므로 5Û`=3(3+x) ∴ x=:Á3¤:

ACÓ Û`=CDÓ_CBÓ이므로 yÛ`=:Á3¤:_:ª3°:= 400 9 　　∴ y=:ª3¼:

∴ x+y=:Á3¤:+:ª3¼:=12 ^ 12

ABÓ_ACÓ=BCÓ_ADÓ이므로

12_9=15_ADÓ　　∴ ADÓ=:£5¤;;`(cm) ^ _;;£5¤;;`cm

0483

ADÓ Û`=BDÓ_CDÓ이므로

4Û`=BDÓ_2 ∴ BDÓ=8(cm)

∴ △ABC=;2!;_(8+2)_4=20(cmÛ`) ^ 20`cmÛ`

0484

ADÓ=BCÓ=5(cm)이고 ADÓ Û`=DHÓ_DBÓ이므로

5Û`=4_BDÓ ∴ BDÓ=;;ª4°;;(cm) ^40%

∴ BHÓ=BDÓ-DHÓ=;;ª4°;;-4=;4(;(cm) ^20%

AHÓ Û=BHÓ_DHÓ=;4(;_4=9 ∴ AHÓ=3(cm) ^40%

 3`cm

0485

△DBC와 △PDO에서

∠DBC=∠PDO (엇각), ∠DCB=∠POD=90ù이므로

△DBC»△PDO (AA 닮음) 이때 DCÓ`:`POÓ=BCÓ`:`DOÓ이므로

9`:`4.5=12`:`DOÓ ∴ DOÓ=6(cm)  6`cm 보충 설명

직사각형 ABCD에서 크기가 같은 각을 표시한 후 닮음인 두 삼각 형을 찾는다.

" &

' 0

" &

' 0

$ 크기가 같은

각 표시

⑴△DBC와 △FBO에서 ∠B는 공통,

∠BCD=∠BOF=90ù이므로

△DBC»△FBO`( AA 닮음)

⑵△FBOª△EDO`( ASA 합동)이므로 FOÓ=EOÓ

0486

△ABE와 △ADF에서 ∠ABE=∠ADF

∠AEB=∠AFD=90ù이므로

△ABE»△ADF (AA 닮음) 이때 AEÓ`:`AFÓ=BEÓ`:`DFÓ이므로

6`:`8=BEÓ`:`2 ∴ BEÓ=;2#;(cm) ^ _;2#;`cm

0487

△BCE와 △FDE에서 ∠BCE=∠FDE=90ù,

∠BEC=∠FED`(맞꼭지각)이므로

△BCE»△FDE`( AA 닮음)

DFÓ=AFÓ-ADÓ=16-12=4(cm)이고 BCÓ`:`FDÓ=BEÓ`:`FEÓ이므로

12`:`4=BEÓ`:`5 ∴ BEÓ=15(cm) 15`cm

0488

△ABC와 △FEC에서 ∠B=∠FEC=90ù, ∠C는 공통이므로

△ABC»△FEC`(AA 닮음)

 DBEF의 한 변의 길이를 x`cm라고 하면 ABÓ`:`FEÓ=BCÓ`:`ECÓ이므로 10`:`x=15`:`(15-x) 15x=150-10x, 25x=150 ∴ x=6

∴  DBEF=6_6=36(cmÛ`)  36`cm²

0489

△ABC'과 △DC'E에서 `∠A=∠D=90ù,

∠ABC'=90ù-∠AC'B=∠DC'E이므로

△ABC'»△DC'E (AA 닮음)`

이때 ABÓ`:`DC'Ó=AC'Ó`:`DEÓ이므로

6`:`(10-8)=8`:`DEÓ　　∴ DEÓ=;3*;(cm) ^ ;3*;`cm

0490

△BED와 △CFE에서

∠B=∠C=60ù, ∠BDE=120ù-∠BED=∠CEF이므로

△BED»△CFE (AA 닯음) 이때 BDÓ`:`CEÓ=DEÓ`:`EFÓ이므로

(15-7)`:`10=7`:`EFÓ ∴ EFÓ=:£4°:(cm)

∴ AFÓ=EFÓ=:£4°:(cm) ^ ;;£4°;;`cm

보충 설명

정삼각형 ABC에서 크기가 같은 각을 표시한 후 닮음인 두 삼각형 을 찾는다.

& $

% '

크기가 같은 각 표시

& $

% '

±±

위의 그림의 △DBE와 △ECF에서

△ABC는 정삼각형이므로 ∠B=∠C=60ù yy ㉠

△DBE에서 ∠BDE+∠DEB=180ù-60ù=120ù

∠BEC=180ù (평각)이므로

∠DEB+∠CEF=180ù-60ù=120ù

∴ ∠BDE=∠CEF yy ㉡

㉠, ㉡에서 △DBE»△ECF (AA 닮음)

0491

∠PBD=∠DBC (접은 각), ∠DBC=∠PDB (엇각)이므로

∠PBD=∠PDB

즉 △PBD는 PBÓ=PDÓ인 이등변삼각형이다.

∴ BQÓ=DQÓ=;2!;_10=5(cm)

△PBQ와 △DBC에서

`∠PBQ=∠DBC, ∠PQB=∠DCB=90ù이므로

△PBQ»△DBC (AA 닮음)

이때 BQÓ`:`BCÓ=PQÓ`:`DCÓ이므로 5`:`8=PQÓ`:`6

∴ PQÓ=:Á4°:(cm) ^ _;;Á4°;;`cm

0492

^⑤

0493

^4개

0494

^21`cm

0495

;;¢3¼;;`cm

0496

^③

0497

^⑤

0498

648p`cmÜ`

0499

^④

0500

12`cm

0501

;;¢4°;;

0502

^9`cm

0503

;2!;`cm

0504

16`cm

0505

^③

0506

^36`cmÛ`

0507

^3`cm

0508

^③

0509

^③

0510

^;;¢3¼;;`cm

0511

^③

0512

;5*;`cm

0513

^4`:`1

본문 | 89 ~ 91 쪽

실력 ^콕콕

0492

⑤ 다음 그림과 같은 두 평행사변형은 항상 닮음인 평면도형이 아니다.

 ⑤

0493

항상 닮은 도형인 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ, ㅂ의 4개이다.  4개

0494

ABÓ`:`DEÓ=2`:`3이므로 5`:`DEÓ=2`:`3

∴ DEÓ= 15 2 (cm)

ACÓ`:`DFÓ=2`:`3이므로 3`:`DFÓ=2`:`3

∴ DFÓ= 9 2 (cm)

∴ ( △DEF의 둘레의 길이) =DEÓ+EFÓ+FDÓ

= 15 2 +9+9

2 =21(cm)  21`cm

Ⅲ- 1. 도형의 닮음 ABÓ`:`DEÓ=ADÓ`:`DCÓ=36`:`24=3`:`2이므로

24`:`DEÓ=3`:`2, DEÓ=16(cm) AEÓ=ADÓ-DEÓ=36-16=20(cm)

또, ABÓ`:`AGÓ=ADÓ`:`AEÓ=36`:`20=9`:`5이므로

24`:`AGÓ=9`:`5 ∴ AGÓ=;;¢3¼;;(cm) ^ _;;¢3¼;;`cm

0496

① F'G'Ó`:`A'D'Ó=20`cm이므로 FGÓ`:`F'G'Ó=15`:`20=3`:`4

② DHÓ`:`D'H'Ó=3`:`4이므로

DHÓ`:`16=3`:`4　　∴ DHÓ=12(cm)

③ ABÓ=GHÓ=9`cm이고 ABÓ`:`A'B'Ó=3`:`4이므로 9`:`A'B'Ó=3`:`4 ∴ A'B'Ó=12(cm)

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.  ③

0497

두 원기둥의 닮음비는 밑면의 반지름의 길이의 비와 같으므로 8`:`10=4`:`5

원기둥 B의 높이를 h`cm라고 하면 12`:`h=4`:`5

∴ h=15

따라서 원기둥 B의 부피는 p_10Û`_15=1500p(cmÜ`)  ⑤

0498

물이 채워진 부분과 그릇은 서로 닮은 도형이고 닮음비는 3`:`4이다.

수면의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 r`:`12=3`:`4 ∴ r=9

물의 높이를 h`cm라고 하면 h`:`32=3`:`4 ∴ h=24

따라서 물의 부피는 ;3!;_p_9Û`_24=648p(cmÜ`) ^ 648p`cmÜ`

0499

④ ∠A=70ù, ∠D=50ù이면

△ABC에서 ∠B=180ù-(70ù+50ù)=60ù

△ABC와 △FED에서

∠B=∠E=60ù, ∠C=∠D=50ù이므로

△ABC»△FED (AA 닮음) ^ ④

0500

△^ABC와△^BCD에서 ABÓ`:`BCÓ=4`:`6=2`:`3

BCÓ`:`CDÓ=6`:`9=2`:`3, ∠ABC=∠BCD이므로

△ABC»△BCD (SAS 닮음)

이때 ACÓ`:`BDÓ=2`:`3이므로 8`:`BDÓ=2`:`3

∴ BDÓ=12(cm) ^ 12`cm

△ABC와 △ADB에서 ABÓ`:`ADÓ=12`:`9=4`:`3,

ACÓ`:`ABÓ=16`:`12=4`:`3, ∠A는 공통이므로

△ABC»△ADB (SAS 닮음)

이때 BCÓ`:`DBÓ=4`:`3이므로 15：BDÓ=4：3　　

∴ BDÓ=:¢4°: ^ _;;¢4°;;

0502

△ABC와 △DBE에서 ABÓ`:`DBÓ=12`:`8=3`:`2 BCÓ`:`BEÓ=(8+1)`:`6=3`:`2, ∠B는 공통이므로

△ABC»△DBE (SAS 닮음)`

이때 ACÓ`:`DEÓ=3`:`2이므로 ACÓ`:`6=3`:`2

∴ ACÓ=9(cm)  9`cm

0503

△ABC와 △EBD에서

∠A=∠BED, ∠B는 공통이므로

△ABC»△EBD (AA 닮음) 이때 ABÓ`:`EBÓ=BCÓ`:`BDÓ이므로 ABÓ`:`3=6`:`4 ∴ ABÓ=;2(;(cm)

∴ ADÓ=ABÓ-DBÓ=;2(;-4=;2!;(cm)` ^ _;2!;`cm

0504

BDÓ=CDÓ= 1 2 BCÓ= 1 2 _48=24(cm)이므로 BFÓ=DFÓ= 1 2 BDÓ= 1 2 _24=12(cm)

△ABC와 △FBE에서

∠A=∠BEF=90ù, ∠B는 공통이므로

△ABC»△FBE`(AA 닮음) 이때 BAÓ`:`BFÓ=BCÓ`:`BEÓ이므로

36`:`12=48`:`BEÓ ∴ BEÓ=16(cm)  16`cm

0505

△ABE와 △CBD에서 ∠ABE=∠CBD,

∠A=∠C이므로

△ABE»△CBD (AA 닮음) 이때 ABÓ`:`CBÓ=AEÓ`:`CDÓ이므로 6`:`9=AEÓ`:`6 ∴ AEÓ=4(cm)

∴ DEÓ=ADÓ-AEÓ=9-4=5(cm)  ③

0506

△AMD와 △EMC에서 ∠AMD=∠EMC`(맞꼭지각), DMÓ=CMÓ, ∠ADM=∠ECM=90ù이므로

△AMDª△EMC`(ASA합동)

이때 ECÓ=ADÓ=6(cm)이므로 BEÓ=6+6=12(cm)

△APD와 △EPB에서

∠APD=∠EPB`(맞꼭지각), ∠DAP=∠BEP`(엇각)이므로

△APD»△EPB(AA 닮음)이고, 닮음비는 ADÓ`:`EBÓ=6`:`12=1`:`2 따라서 △PBE의 높이는 9_;3@;=6(cm)

∴ △PBE=;2!;_12_6=36(cmÛ`) ^ 36`cmÛ`

0507

△ADC와 △BEC에서

∠ADC=∠BEC=90ù, ∠C는 공통이므로

△ADC»△BEC (AA 닮음)

이때 DCÓ=;3!; BCÓ=;3!;_18=6(cm)이고 ACÓ`:`BCÓ=DCÓ`:`ECÓ이므로

12`:`18=6`:`ECÓ ∴ ECÓ=9(cm)

∴ AEÓ=ACÓ-ECÓ=12-9=3(cm)  3`cm`

0508

△ABC와 △DEF에서

∠EDF=∠BAD+∠ABD=∠BAF+∠CAF=∠BAC

∠DEF=∠EBC+∠BCE=∠EBC+∠ABD=∠ABC 이므로 △ABC»△DEF(AA 닮음)

이때 ABÓ`:`DEÓ=ACÓ`:`DFÓ이므로 7`:`DEÓ=10`:`5 ∴ DEÓ=;2&;(cm) BCÓ`:`EFÓ=ACÓ`:`DFÓ이므로

13`:`EFÓ=10`:`5 ∴ EFÓ=;;Á2£;;(cm)

∴ (△DEF의 둘레의 길이)=DEÓ+EFÓ+FDÓ

=;2&;+;;Á2£;;+5=15(cm) ^ ③

0509

ADÓ=BCÓ=10`cm, AC'Ó`:`C'DÓ=3`:`2이므로 AC'Ó=10_;5#;=6(cm), C'DÓ=10-6=4(cm)

△ABC'»△DC'P(AA 닮음)이므로 ABÓ`:`DC'Ó=ACÓ'`:`DPÓ, 8`:`4=6`:`DPÓ

∴ DPÓ=3(cm)

ABÓ`:`DC'Ó=BC'Ó`:`C'PÓ, 8`:`4=10`:`C'PÓ

∴ C'PÓ=5(cm)

직각삼각형 DC'P에서 DPÓ Û`=PHÓ_PC'Ó이므로

3Û`=PHÓ_5 ∴ PHÓ=;5(;(cm) ^ ^③

0510

 ABCD는 한 변의 길이가 10+6=16(cm)인 정사각형이므로 BCÓ=DCÓ=16(cm), BPÓ=BCÓ-PCÓ=16-8=8(cm), PFÓ=DFÓ=10(cm)

△QBP와 △PCF에서 ∠B=∠C=90ù,

∠BQP=90ù-∠BPQ=∠CPF이므로

△QBP»△PCF`(AA 닮음)

이때 PQÓ`:`FPÓ=BPÓ`:`CFÓ이므로 PQÓ`:`10=8`:`6

∴ PQÓ=;;¢3¼;;(cm) ^ _;;¢3¼;;`cm

0511

△ABE와 △ECD에서 ∠B=∠C yy ㉠

△ABE는 ABÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로 ∠AEB=∠B

△ECD는 ECÓ=EDÓ인 이등변삼각형이므로 ∠EDC=∠C

∴ ∠AEB=∠EDC yy ㉡

㉠, ㉡에서 △ABE»△ECD`(AA 닮음) 이때 ABÓ`:`ECÓ=BEÓ`:`CDÓ이므로 9`:`6=6`:`CDÓ

∴ CDÓ=4(cm)  ③

0512

∠B=∠C=60ù yy ㉠

∠BED=120ù-∠BDE=∠CDA yy ㉡

㉠, ㉡에서 △EBD»△DCA (AA 닮음)

이때 ACÓ=BCÓ=10(cm)이고 BEÓ`:`CDÓ=BDÓ`:`CAÓ이므로 BEÓ`:`2=8`:`10 ∴ BEÓ=;5*;(cm) ^ _;5*;`cm

0513

A4 용지의 짧은 변의 길이를 a라고 하면 A6 용지의 짧은 변의 길이는 ;2!;a

A8 용지의 짧은 변의 길이는 ;2!;_;2!; a=;4!; a

따라서 A4 용지와 A8 용지의 닮음비는 a`:`;4!; a=4`:`1 ^ 4`:`1

Ⅲ- 1. 도형의 닮음

0514

^16p`cm

0515

^16p`cm

0516

;;Á2°;;`cm

0517

^7`cm

0518

0519

³¹

0520

;;ª2Á;;`cm

0521

;;£2°;;`cm

0522

;;Á2°;;`cm

0523

^15`cm

0524

;;ª5¢;;`cm

0525

;;Á5¥;;`cm 본문 | 92 ~ 93 쪽

서술형 ^콕콕

0514

단계 1 두 원기둥 A, B의 높이의 비가 7`:`14=1`:`2이므로 닮음비는 1`:`2이다.

단계 2 원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 4`:`r=1`:`2이므로 r=8

따라서 원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이는 8`cm이다.

단계 3 원기둥 B의 밑면의 둘레의 길이는 2p×8=16p(cm)이다.

 16p`cm

0515

두 원뿔 A, B의 모선의 길이의 비가 10`:`15=2`:`3이므로

닮음비는 2`:`3이다. ^40%

원뿔 A의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면

r`:`12=2`:`3　　 ∴ r=8 ^40%

따라서 원뿔 A의 밑면의` 둘레의`길이는

2p_8=16p(cm)이다. ^20%

 16p`cm

0516

단계 1 △ABC와 △ADB에서

문서에서 2020 수학의 바이블 BOB 유형 중2-2 답지 정답 (페이지 38-49)

개념 콕콕

0417

0418

0419

0420

0421

0422

0423

0424

0425

0426

0438

0439

0440

0441

0442

0443

0444

0445

0446

0447

0448

0450

0451

0452

0453

0454

0455

0456

0458

0459

0460

0461

0462

0463

0464

0465

0466

0467

0468

0469

0470

0471

0472

0473

0474

0475

0476

0477

0478

0479

0480

0481

0483

0484

0485

0486

0487

0488

0489

0490

0491

0492

0493

0494

0495

0496

0497

0498

0499

0500

0501

0502

0503

0504

0505

0506

0507

0508

개념 ^콕콕

실력 ^콕콕

서술형 ^콕콕