이 중 이 유럽식 콜옵션이 t 시점에 행사된다고 가정한 [St − K]+ 값을 내재가치라고 합니다. 본 유럽콜옵션의 만기시점은 T이고, 잔여기간은 τ이다.
편미분방정식
원자과정 {Su}가 다음 확률미분방정식을 만족한다고 가정해보자. 방정식 (4.10)은 원자 자산이 기하학적 브라운 운동을 겪는 블랙-숄즈 방정식입니다.
마팅게일법
또한, 이 ξT를 확률측도 Q의 확률측도 P에 대한 라돈-니코딤 밀도라고 한다. 그러나 위험중립 확률이 국가가격이라는 점을 고려하면 위험중립 추정방법이 연구되기 시작했다고 할 수 있다. Debreu(1959) 및 Arrow(1964). 이번 섹션에서는 위험 중립 가치 평가 방법을 사용하여 유럽 콜 옵션에 대한 블랙숄즈 방정식을 도출해 보겠습니다.
확률 측정값 Q는 확률 측정값 P와 동일하다는 것이 분명합니다. 따라서 확률 측정값 Q는 확률 측정값 P의 동등한 마틴게일 측정값입니다. 금융 파생 상품 가치의 확률론적 이동 원인 V(St, t )은 원본 자산입니다.
따라서 이 금융 파생상품은 원시 자산과 무위험 채권으로 복제될 수 있습니다.
Feynman-Kac정리와 Kolmogolov방정식
이러한 조건에서 g(x, t)는 다음 편미분 방정식을 충족합니다. Kolmogorov의 역미분 방정식을 사용하면 유럽 옵션에 대한 Black-Scholes 방정식이 됩니다. 다음 정리는 Kolmogorov의 역미분 방정식을 다룹니다.
이러한 조건에서 전이 확률 밀도 함수 p(t, T; x, y)는 다음 편미분 방정식을 만족합니다. Kolmogorov의 순방향 미분 방정식을 사용하여 유럽식 콜 옵션에 대한 Black-Scholes 방정식을 유도해 보겠습니다. Kolmogorov의 순미분 방정식은 Fokker-Planck 방정식이라고도 합니다.
다음 정리는 Kolmogor 미분 방정식을 나타냅니다.
효용함수와 CAPM
CAPM
Black and Scholes(1973)는 CAPM(Capital Asset Pricing Model)을 사용하여 Black-Scholes 방정식을 도출했습니다. Ito-Doeblin 보조정리에서 볼 수 있듯이, Su를 원래 자산으로 하는 금융파생상품의 시점 t에서 볼 수 있습니다. 이 투자자가 s시점에 n번째 위험금융상품에 투자한 비율을 θs(n)이라고 하면 다음과 같은 식이 성립한다.
투자자가 시간 간격 [t, T]에서 효용함수 u의 기대값을 최대화한다고 가정합니다. 여기서 σS와 M은 이 위험 금융상품의 수익률과 시장포트폴리오 수익률 간의 공분산이다. 이 시장 모델에서 Su를 주요 자산으로 하는 유럽식 옵션을 도입하고 시점 t에서 이 유럽식 옵션의 비재무적 가치를 F = F(St, t)로 가정하겠습니다.
여기서 μF는 다음과 같습니다. t는 이 유럽 옵션의 기대 수익률이고, σF와 M은 시장 포트폴리오 수익률 θt(M)과 이 유럽 옵션 수익률 간의 공분산입니다.
복소함수
즉, 위험 중립 확률 측정 Q 하에서 확률 변수 xT의 확률 분포는 다음과 같습니다. 식(5.33)에서 알 수 있듯이 등가 마틴게일 측정값 QU의 위험 중립 확률 측정값 Q에 대한 라돈-니코디m 밀도는 다음과 같습니다. 따라서 등가 마틴게일 측정 QU 하에서 확률 변수 xT의 특성 함수 fU(θ)는 다음과 같습니다.
확률 측정값 Q 및 QU에 해당하는 확률 밀도 함수를 각각 q 및 qU라고 하면 다음 방정식이 적용됩니다. 이번 절에서는 이 속성과 Plancharel-Parseval 방정식을 이용하여 European call 옵션에 대한 Black-Scholes 방정식을 구해보겠습니다. 이 위험중립 확률측정치 Q에 대응하는 확률밀도함수를 fT(x)로 나타내면, 현재 시점 t에서의 유러피언 콜옵션의 비재무적 가치 Ct는 다음과 같다.
확률 밀도 함수 fT(x)의 푸리에 변환 fˆT(θ)는 다음과 같습니다.
정보이론
g(z)에서 g(z) + δg(z)로 가는 확률 밀도 함수의 변화로 인한 라그랑주 함수 L의 첫 번째 변화 δL은 다음과 같습니다. 즉, 변분법을 통해 라그랑주 함수의 첫 번째 조건은 다음과 같다는 것을 알 수 있다. 즉, 최대 엔트로피 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다.
랜덤 변수의 확률 밀도 함수 g(x)가 주어지면 Kullback-Leibler 정보 번호도 사용됩니다. 여기서 Ptk, Btk 및 Atk는 이 하위 구간에 정의된 확률 측정값입니다. 따라서 제약조건(9.12)을 만족하면서 Kullback-Leibler 정보 집합을 최소화하는 확률 측정 B는 다음 식을 만족한다.
방정식(9.22)에서 볼 수 있듯이 Kullback-Leibler 정보 세트를 최소화하는 확률 측정은 위험 중립 확률 측정 Q입니다.
SLSG전략
여기서, {WtQ}는 위험 중립 확률 측정 Q 하의 브라운 운동입니다. 따라서 시간 t에서 상태 Ft, T에서 상태 Fu로의 전이 확률 밀도 함수 p(t, u; Ft, T, Fu, T)는 다음과 같습니다. , 시간 u에서의 T는 다음과 같다. 여기서 n(x)는 표준 정규 확률 밀도 함수입니다.
여기서 LuK는 시간 u에서의 행사가격 K로부터 현지 시간이라고 합니다. 따라서 VVL의 전략은 자체 자금 조달 조건을 충족하지 않습니다. 시간 u에 Su가 있고 만료 시간 T에 행사가격 K가 있는 유럽식 콜 옵션의 현재 시간 t에 공정 가치 Ct(σ)는 다음 방정식을 만족한다는 것을 알 수 있습니다.
시간 u에서 원래 자산이 Su이고 만료 시간 T에서 행사 가격이 K인 유럽식 콜 옵션에 대한 블랙숄즈 값 Ct는 다음 방정식을 만족한다는 것을 알 수 있습니다.
결론
또한 Cutland, Kopp 및 Willinger(1991)는 비표준 분석을 사용하여 Black-Scholes 방정식을 도출했지만 이 논문에서는 이에 대해 다루지 않았습니다. 마지막으로 오늘날의 Black-Scholes-Merton 방정식 또는 이 방정식의 발견자는 M입니다. 우리가 이미 언급했듯이 1997년에 노벨 경제학상은 M.
Taleb은 Black-Scholes-Merton 방정식과 그 발견자들에 대한 유명한 비평가입니다. 블랙-숄즈-머튼 방법을 날카롭게 비판하는 본 논문의 요지는 다음과 같다. 셋째, 1973년 Black-Scholes-Merton 방정식이 발표된 이후에도 옵션 거래자들은 이 방정식을 사용하지 않고 대신 자신의 경험에서 도출된 방정식(상향식 휴리스틱)을 사용합니다.
Taleb (2011): "Options traders use (very) sophisticated heuristics, never the Black-Scholes-Merton formula", Journal of Economic Behavior &.
