• 수학 영역 •
수학 A 형 정답
1 ④ 2 ① 3 ⑤ 4 ② 5 ⑤
6 ⑤ 7 ④ 8 ③ 9 ④ 10 ②
11 ③ 12 ① 13 ① 14 ③ 15 ⑤ 16 ③ 17 ① 18 ④ 19 ② 20 ② 21 ③ 22 23 24 25 26 27 28 29 30
해 설
1. [출제의도] 지수가 유리수인 수들의 곱을 계산한다.
,
∴ ×
×
2. [출제의도] 행렬의 덧셈과 실수배의 뜻을 알고, 이를 계산한다.
,
이므로
3. [출제의도] 행렬의 곱셈과 분배법칙을 이용하여 계 산한다.
[다른풀이]
행렬의 연산에 대한 분배법칙을 적용하면
∴
4. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 값을 구한다.
이므로
에서 각각의 성분이 같아야 하므로 ∴
5. [출제의도] 지수법칙을 이해하고 지수방정식의 해를 구한다.
에서
∴
에서
∴
∴ ×
×
[참고]
지수함수 은 일대일 함수이다. 따라서 이면 이다.
6. [출제의도] 행렬의 역행렬을 이용하여 값을 구한다.
의 역행렬을 구하면 × ×
이므로
∴
7. [출제의도] 행렬을 이용하여 연립일차방정식의 해의
조건에 맞는 값을 구한다.
주어진 연립방정식을
⋯㉠이라 하면 ㉠이 , 이외의 해를 가져야 하 므로 행렬
의 역행렬이 존재하지 않아야 한 다. 왜냐하면 행렬
이 역행렬을 가진다고 가 정하면 다음과 같은 모순이 생긴다.이 행렬의 역행렬을
이라 하자.
이 역행렬을 ㉠의 양변의 왼쪽에 곱하면
즉,
이 되어 해는 , 뿐이다. 이는 ㉠이 , 이외의 해를 갖는다는 조건에 모순이므로 행렬
의 역행 렬이 존재하지 않아야 한다. 따라서 × ×
∴ [다른풀이]
주어진 연립방정식
을 정리하면
와 같이 나타낼 수 있다. 이 연립방정식이 ,
이외의 해를 가져야 하므로 해가 무수히 많아 야 한다.
에서 이므로 이를 에 대입하여 에 관하여 정리하면,
위 등식이 의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로
∴
8. [출제의도] 지수법칙을 이해하고 식을 간단히 한다.
×
×
한편
이므로
∴
9. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 추측하여 조건에 맞 는 값을 구한다.
에서
이므로 따라서
∴ , 이므로 [참고]
케일리-해밀턴 정리에 의하면 행렬
에 대하여 등식 이 항상 성립한다.
따라서
에 대하여 다음과 같이 성립한다. × ×
∴
10. [출제의도] 조건에 맞는 행렬을 이해하고 그 결과 를 파악한다.
행렬 의 거듭제곱을 차례로 구해 보면
⋯
위와 같이 반복되어 나타난다. 따라서 음이 아닌 자 연수 에 대하여 다음과 같이 성립한다.
ⅰ) 이면
ⅱ) 이면
ⅲ) 이면
ⅳ) 이면
따라서 임의의 자연수 에 대하여 은 네 행렬
, , , 중에서 어느 하나와 일치한다.
∴ 이므로 집합 의 원소의 개 수는 이다.
[참고]
케일리-해밀턴 정리에 의하면 행렬
에 대하여 등식 이 항상 성립한다.
따라서
에 대하여 다음과 같이 성립한다. × ×
∴
11. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하여 대소 관 계를 구한다.
지수함수 에서 밑이 이므로 보다 크다. 따 라서 함수 의 그래프에서 의 값이 증가하면
의 값도 증가한다. 즉, 이면 이 성립 한다.
주어진 조건에서
,
한편 지수함수의 성질에 의하여
이므로
따라서
∴ ⋯㉠ 또,
이므로
, 즉 따라서 이므로 ⋯㉡
㉠, ㉡에 의해 [다른풀이]
함수 의 그래프와 의 그래프를 이용하여
, , 의 대소 관계를 표현하면 다음과 같다.
∴
12. [출제의도] 지수함수를 이해하고 합성함수의 그래 프의 개형을 구한다.
합성함수 ∘ 는 다음과 같다.
∘ 따라서
≥ ⅰ) ≥ 일 때,
의 그래프는 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 것이다.
ⅱ) 일 때,
이므로 의 그래프는
의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 것이다.
ⅰ), ⅱ)에 의하여 ∘ 의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.
13. [출제의도] 생태계의 먹이 사슬 관계를 행렬로 표 현하고 이를 해석한다.
각 생물을 꼭짓점으로 하고 연결선을 변으로 하는 그래프는 다음과 같다.
한편 위 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬이 A B C D E
A B C D E
이므로 제행에 있는 모든 성분의 합은 제행에 해 당하는 생물이 먹이 사슬 관계를 가지는 생물의 수 와 일치한다. 각 행의 모든 성분의 합은 , , , ,
이다. 따라서 제행에 해당하는 생물 D는 개의 생물과 먹이 사슬 관계를 맺고 있으므로 ‘풀’이다.
14. [출제의도] 행렬의 역행렬과 거듭제곱을 이용하여 행렬의 성질을 증명한다.
를 의 원소라 하면 어떤 자연수 에 대 하여 ⋯(*) 이다.
(ⅰ) ≤ 일 때, ∈이다.
(ⅱ) ≥ 일 때, 가 역행렬을 갖는다고 하자.
(*)의 양변에 을 곱하면
그런데 영행렬 는 역행렬을 갖지 않으므로 모순이다.
그러므로 의 역행렬이 존재하지 않는다. 따라서
이다.
이때,
그러므로
⋯ 에서
이다.
또, 이므로 이다.
따라서 이므로 ∈이다.
∴ ⊂
한편, 의 원소는 모두 의 원소이므로 ⊂ 이다.
∴
15. [출제의도] 주어진 조건에 맞는 행렬의 성질을 추 론한다.
ㄱ. ∈, ∈이므로 , 이다.
따라서
∴ ∈ (참) ㄴ. ∈에 대하여
라 하자.
따라서 이므로 , (참) ㄷ. ㄴ에 의해
,
라 놓을 수있다. 그러면
∴ (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
16. [출제의도] 지수함수의 그래프 위의 점을 좌표로 표현하여 값을 구한다.
점 A가 선분 OB의 중점이므로 OA OB 이다.
따라서 두 점 A, B의 좌표를 A , B 로 놓을 수 있다.
곡선 ․과 직선 가 점 A를 지나므로
․⋯㉠
또, 곡선 ․과 직선 가 점 B를 지나므로
․⋯㉡
㉡÷㉠에서
․
․
∴ 이고 ㉠에서
17. [출제의도] 검색과 관련하여 주어진 조건에 맞는 행렬의 성분을 구한다.
번 책은 번 키 워드 ‘기초’와 번 키 워드 ‘이론’
만 포함하고, 번 키 워드 ‘수학’과 번 키 워드 ‘심 화’는 포함하지 않으므로
, , ,
번 책은 번 키 워드 ‘기초’, 번 키 워드 ‘수학’과
번 키 워드 ‘이론’을 포함하고, 번 키 워드 ‘심화’
는 포함하지 않으므로
, , ,
번 책은 번 키 워드 ‘심화’만 포함하고, 번 키 워 드 ‘기초’, 번 키 워드 ‘수학’과 번 키 워드 ‘이론’
은 포함하지 않으므로
, , ,
번 책은 번 키 워드 ‘수학’과 번 키 워드 ‘심화’
를 포함하고, 번 키 워드 ‘기초’와 번 키 워드 ‘이 론’은 포함하지 않으므로
, , , 따라서 행렬 를 구하면 다음과 같다.
[참고]
도서관에 있는 많은 책들 중에서 원하는 도서를 찾
아내기 위해서는 검색 엔진을 사용한다. 모든 책에는 키 워드가 부여되어 있는데, 검색어와 키 워드가 맞 으면 원하는 도서를 찾을 수 있다.
행렬
이고 키 워드 ‘수학’과 ‘이론’은 각 각 두 번째, 네 번째 키 워드에 해당하므로
을곱하여 검색 결과를 찾는다. 그러면
이 되어, 키 워드 ‘수학’과 ‘이론’ 중에서 1번 책은 한 개, 2번 책은 두 개, 번 책은 한 개를 포함하고 있 음을 알 수 있다. 이때, 2번 책이 검색 결과에 따른 우선순위가 가장 높다.
18. [출제의도] 재료와 관련하여 연립일차방정식을 세 워 행렬의 성분을 구한다.
제품 P, Q를 각각 개, 개 만들 때 사용되는 금과 은의 양이 각각 g, g이므로 연립방정식을 세우면
정리하면
이고, 이를 행렬로 표현하면 다음과 같다.
행렬
의 역행렬을 양변의 왼쪽에 곱하면
한편 주어진 조건에서
이므로 , ∴
19. [출제의도] 역행렬이 존재하기 위한 조건을 이용하 여 값을 구한다.
주어진 행렬이 역행렬을 가지려면
≠
≠
라 하면 함수 의 그래프가
축과 만날 때, 의 값은 이다. 따라서 위 조건 을 만족시키려면 ≤ ≤ 에서 의 그래프가
축과 만나지 않아야 한다. 그러기 위해서는
≤ ≤ 인 임의의 실수 에 대하여 또는
이어야 한다.
이므로 다음과 같 은 두 가지 경우를 생각한다.
ⅰ) 인 경우
최솟값 에서
ⅱ) 인 경우
최댓값 에서
ⅰ), ⅱ)에서 구하는 값의 범위는
또는
따라서 이하의 자연수 의 값은
, , , , , , 이고 개수는 이다.
20. [출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 그래프 를 이해한다.
에서
ⅰ) 일 때,
즉, 또는 일 때,
또는 이므로 실수 의 값은 개이다.
∴
ⅱ) 일 때,
즉, 또는 일 때, 이므로 실수
의 값은 개이다.
∴
ⅲ) 일 때,
을 만족시키는 실수 의 값은 존재 하지 않는다.
∴
ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 함수 의 그래프는 다음 과 같다.
[다른풀이]
를 만족시키는 실수 는 의 네제곱근 중 실수인 것이다.
ⅰ) 일 때,
의 네제곱근 중 실수인 것은
, 이므로
ⅱ) 일 때,
의 네제곱근 중 실수인 것은
이므로
ⅲ) 일 때,
의 네제곱근 중 실수는 존재하지 않으므로
21. [출제의도] 국악과 관련하여 지수함수의 함숫값을 이용하여 참, 거짓을 판단한다.
ㄱ.
․
․
(참) ㄴ. ‘고선’의 진동수 는
․
․
․
이때, ‘무역’의 진동수는
․
․
․
․
․
․
․
․
(참) ㄷ. ‘대려’의 진동수 는
․
․
이때, ‘협종’의 진동수는
․
․
또, ‘중려’의 진동수는
․
․
×
․
․
․
․
․
․
․
(거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
[다른풀이]
ㄱ.
․
․
이므로 번호가 씩 증가할 때마다 진동수는
배가 된다. (참)
ㄴ. ‘무역’의 번호는 ‘고선’의 번호보다 만큼 크므로
‘무역’의 진동수는 의
배 이다. (참)
ㄷ. ‘협종’의 번호는 ‘대려’의 번호보다 만큼 크고,
‘중려’의 번호는 ‘대려’의 번호보다 만큼 크므로
‘협종’과 ‘중려’의 진동수의 곱은
․
․
․ (거짓)
22. [출제의도] 행렬이 서로 같을 조건을 이해하여 값 을 구한다.
가 성립하려면 두 행렬 , 의 각각의 성분이 같아야 하므로 , , , 따라서 ,
∴
23. [출제의도] 거듭제곱근의 뜻을 이해하고, 이를 이 용하여 값을 구한다.
, 을 등식 에 대입하면
×
․
즉,
, 가 유리수이므로 ,
따라서 ,
∴
24. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 값을 계산 한다.
따라서
이고, 모든 성분의 합은
∴
[참고]
임을 추론할 수 있다.25. [출제의도] 행렬이 나타내는 그래프를 그려서 조건 에 맞는 경로를 추론한다.
주어진 행렬을 그래프로 나타내면
이다. 꼭짓점 A를 출발하여 모든 꼭짓점을 오직 한 번씩만 지나 꼭짓점 A로 돌아오는 경로를 살펴보면,
ⅰ) ABCDEA
ⅱ) ABDCEA
ⅲ) AEDCBA
ⅳ) AECDBA
이상에서 구하는 개수는 이다.
26. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 주어진 선분의 길이를 구한다.
두 점 A, B의 좌표가 이므로 A , B
선분 AB의 중점의 좌표가 이므로
양변에 를 곱하여 정리하면
× 이를 풀면
또는
이므로
에서
따라서 선분 AB의 길이 은
∴
[다른풀이]
,
라 하면선분 AB의 길이는 이다.
선분 AB의 중점의 좌표가 이므로
,
․
∴ ×
27. [출제의도] 역행렬의 정의를 이용하여 행렬의 성분 의 값을 구한다.
조건 (가)에서
조건 (나)에서
⋯ ㉠조건 (나)의 양변의 왼쪽에 를 곱하면
⋯ ㉡㉠, ㉡에서
∴ , 이므로
28. [출제의도] 지수부등식과 집합의 관계를 이해하고 주어진 최댓값을 구한다.
, 이므로
∴
한편, ․
․
․
,
∴
⊂ 이므로
≤ ≤
따라서 의 최댓값은
29. [출제의도] 두 직선의 수직조건과 지수함수의 그래 프를 활용하여 주어진 값을 구한다.
점 P의 좌표는 이다.
곡선 위의 점 Q의 좌표를 Q 이라 하면
, ∴ Q
직선 PQ의 기울기는 이고 ∠RPQ °이므로 직선 PR의 기울기는
이다.
두 점 P, R를 지나는 직선의 방정식은
점 R의 좌표가 이므로 점 R의 좌표는
또, 점 R는 곡선 위의 점이므로
,
∴
[다른풀이]
두 점 P, Q의 좌표는 P , Q 이다.
이때, PQ
곡선 위의 점 R의 좌표를 R 이라 하면
⋯(*) 이때, RQ 이고
RP 이다.
삼각형 PQR는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리 에 의해
RQ PQ RP
∴
를 (*)에 대입하면
∴
30. [출제의도] 연립방정식과 행렬의 성질을 이용하여 주어진 조건에 맞는 값을 구한다.
주어진 연립방정식은 , 이외의 해를 갖는 다. 정리하면
⋯ ㉠㉠이 , 이외의 해를 가지므로
∴ 또는
ⅰ) 일 때, 주어진 연립방정식의 해를 ,
라 하면
따라서 이고 이므로
ⅱ) 일 때, 주어진 연립방정식의 해를 ,
라 하면
따라서 이고 이므로
∴
수학 B 형 정답
1 ④ 2 ① 3 ① 4 ② 5 ①
6 ⑤ 7 ② 8 ⑤ 9 ④ 10 ③
11 ④ 12 ① 13 ④ 14 ③ 15 ⑤ 16 ② 17 ① 18 ⑤ 19 ③ 20 ② 21 ③ 22 23 24 25 26 27 28 29 30
해 설
1. A형과 같음.
2. A형과 같음.
3. [출제의도] 등차수열의 일반항을 구한다.
첫째항을 , 공차를 라 하자.
이므로 ⋯㉠
이므로 ⋯㉡
㉡-㉠을 계산하면
∴ …㉢
㉢을 ㉠에 대입하면
∴
×
[다른풀이]
첫째항을 , 공차를 라 하면
라 하면
×
이므로 수열 는 첫째항이 , 공차가 인 등 차수열이다.
, 이므로 , 에서
의 공차는 이다.
이므로 구하는 값은
×
[다른풀이]
수열 이 등차수열이므로
공차 는
따라서 ×
4. A형과 같음.
5. [출제의도] 합의 기호를 이용하여 수열의 합을 구한다.
⋯
⋯
따라서 구하는 값은 이다.
[다른풀이]
수열 의 제항부터 제항까지의 합을 이라 하 자.
이므로
⋯ 즉 ⋯㉠
이므로 ㉠에 를 대입하면
6. A형과 같음.
7. [출제의도] 서로 다른 두 등차수열에서 공통으로 나 타나는 수의 개수를 구한다.
: , , , , , , , , ⋯
은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열이므 로 의 배수이다.
그런데, 수열 과 에 공통으로 들어 있는 수 는 양의 정수이다.
수열 의 양인 항들을 작은 수부터 나열한 것을
이라 하면
: , , , , , ⋯ ,
그러므로 수열 과 의 공통항을 나열하면
, , ⋯ ,
즉, 공통항은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 이다.
따라서 공통항으로 이루어진 수열의 일반항은
번째 항이 마지막 항이라고 하면 은
≤ 을 만족하는 최대의 정수이다.
≤
≤
≤
따라서 구하는 수의 개수는 이다.
[다른풀이]
은 첫째항이 , 공차가 이므로
은 첫째항이 , 공차가 이므로
이므로
양변에 를 더하면
과 가 서로 소이므로 는 의 배수이다.
(는 자연수)
이므로
≤ ≤
≤ ≤
따라서 구하는 수의 개수는 이다.
8. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다.
이므로 양변에 밑이 5인 로그를 취하면 loglog
log log
log, log로 놓으면
이므로
log log
의 값에 관계없이 log log의 값이 일정하 므로 의 값에 관계없이 의 값이 일정 하다. 즉
(는 상수) 가 에 관한 항등식이므로
,
따라서 구하는 의 값은 이다.
[다른풀이]
이므로
즉
⋯㉠
조건에서 log log의 값이 일정하므로
log log (는 상수) ⋯㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
log log
log
loglog
log
log log
log log log
log ⋯㉢
에 관계없이 ㉢이 성립해야 하므로
따라서 구하는 의 값은 이다.
9. A형과 같음.
10. [출제의도] 로그방정식의 해를 구한다.
log log이므로 주어진 방정식은
log× log log ×log
log로 놓으면
또는
즉 log 또는 log log 또는 log
또는
따라서 두 근의 곱은 × [다른풀이]
log log이므로 주어진 방정식은
log×log log ×log
log로 놓으면
또는
즉 log 또는 log
각 식의 양변에 상용로그를 취하면 logloglog 또는 logloglog loglog log 또는 loglog log 각 식의 양변을 log로 나누면 log 또는 log
또는
따라서 두 근의 곱은 ×
11. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 등비수열의 공 비를 구하고 수열의 합을 구한다.
은 첫째항이 , 공비가 인 등비수열이므로
, , loglog
이므로
loglog
log log log
⋯
따라서 구하는 값은
12. A형과 같음.
13. [출제의도] 로그의 정의를 이용하여 상용로그의 지 표와 가수를 구한다.
는 정수, ≤
log 이므로 , 는 각각 log의 정수부분과 소수부분이다.
즉 , 는 각각 log의 지표와 가수이다.
이므로 ≤log 즉, 이다.
이므로 log 즉, 이다.
이므로 log 즉, 이다.
≤ 이므로
≤log 즉, 이다.
log
따라서 log
[다른풀이]
(다)의 식에 을 대입하면
에서
따라서
(다)의 식에 을 대입하면
×××에서
×××
따라서
(다)의 식에 을 대입하면
×××에서
×××
따라서
(다)의 식에 을 대입하면
×××
×××
이므로
(다)의 식에 를 대입하면
따라서 구하는 값은 log
14. A형과 같음.
15. [출제의도] 이차식으로부터 수열의 여러 가지 성질 을 발견한다.
ㄱ. 일 때,
즉, 수열 은 첫째항이 이고 공차가 2인 등 차수열이다. (참)
ㄴ. 일 때,
수열 의 계차수열을 이라 하면
즉, 계차수열 은 첫째항이 이고 공차가 2인 등차수열이다.
그러므로 수열 의 계차수열은 공차가 2인 등 차수열이다. (참)
ㄷ. 일 때,
제항부터 제항까지의 합이 인 수 열의 일반항 을 구하자.
≥ 일 때,
이므로 ( ≥ ) ⋯㉠
㉠에 을 대입하면 × 이고,
× ×
그러므로 수열 은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열이다.
따라서 은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수 열의 제1항부터 제항까지의 합을 의미한다.
(참)
따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다.
[다른풀이]
ㄷ. 일 때,
×
즉, 은 첫째항이 , 공차가 인 등차수열의 제1항 부터 제항까지의 합을 의미한다.
16. [출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구한다.
log
log log
log 이므로 주어진 함수 log
는 log 이다.
이 함수의 그래프는 log를 축 방향으로 만 큼 평행이동 시킨 것이다.
로그함수 log 의 그래프와 선분 BD로 둘러 싸인 부분의 넓이를 라 하자.
그림에서와 같이 선분 BD를 연결하면 넓이 는 평 행사변형 ABDC에서 를 뺀 것이다.
즉 ∆ADC ⋯㉠
그런데 로그함수 log의 그래프와 선분 AC로 둘러싸인 부분의 넓이는 로그함수 log 의 그 래프와 선분 BD로 둘러싸인 부분의 넓이와 같으므 로 이다.
즉 ∆ADC ⋯㉡
㉠㉡을 계산하면
∆ADC
삼각형 ADC는 밑변이 4, 높이가 1인 직각삼각형이 므로
∆ADC
× × 따라서 × [다른풀이]
log
log log
log 이므로 주어진 함수 log
는 log 이다.
그러므로 log
의 그래프를 축 방향으로 만큼 평행이동 시키면 log의 그래프와 일치한다.
점 A, 점 C를 축 방향으로 만큼 평행이동 시킨 점을 각각 A′, C′이라 하면 넓이 는 log의 그 래프와 세 선분 AA′, A′C′, C′C로 둘러싸인 넓이와 같다.
그러므로 넓이의 합 는 사다리꼴 A′ADC′의 넓 이와 같다.
A′A C′DAD
× ×
17. A형과 같음.
18. [출제의도] 두 그래프의 교점의 개수를 수열로 나 타내고 합을 구한다.
, 이므로
ⅰ) 일 때,
이므로 즉
ⅱ) ≤ log일 때,
≤ 이므로
즉, 이므로
의 그래프는 의 그래프를 축 방향으로 만큼 평행이동 시킨 것이다.
ⅲ) log ≤ log일 때,
≤ 이므로
즉, 이므로
의 그래프는 의 그래프를 축 방향으로 만큼 평행이동 시킨 것이다.
ⅳ) log ≤ log일 때,
≤ 이므로
즉, 이므로
의 그래프는 의 그래프를 축 방향으로 만큼 평행이동 시킨 것이다.
다음의 그래프는 각각의 의 범위에 따라 의 그래프를 평행이동하는 과정을 보여주는 것이다.
그러므로 ∘ 의 그래프와 ,
, 일 때
의 그래프를 그리면 그림과 같 다.
그림을 참고하여 ,,일 때
과
의 그래프가 만나는 점의 개수 을 구하 면
일 때
의 절편이 log이므로 교점의 개수
일 때
의 절편이 log이므로 교점의 개 수
일 때
의 절편이 log이므로 교점의 개 수
따라서
[참고]
자연수 에 대해
log ≤ log 일 때
≤ 이므로
즉, 이므로 의 그 래프는 의 그래프를 축 방향으로 만큼 평 행이동 시킨 것이다.
(는 자연수)일 때 직선
의 절편이 log이므로 교점 의 개수는
19. [출제의도] 로그의 계산을 활용한 실생활 문제를 해결한다.
떨어진 곳에서 느낀 감각강도 과 떨어진 곳에서 느낀 감각강도 는
log�
