(1)1
수학 영역
•
•
수학 A 형 정답
1
④
2
①
3
⑤
4
②
5
⑤
6
⑤
7
④
8
③
9
④
10
②
11
③
12
①
13
①
14
③
15
⑤
16
③
17
①
18
④
19
②
20
②
21
③
22
23
24
25
26
27
28
29
30
해 설
출제의도 지수가 유리수인 수들의 곱을 계산한다
1. [ ] .
,
∴
×
×
출제의도 행렬의 덧셈과 실수배의 뜻을 알고 이를
2. [ ] ,
계산한다.
,
이므로
출제의도 행렬의 곱셈과 분배법칙을 이용하여 계
3. [ ]
산한다.
다른풀이
[ ]
행렬의 연산에 대한 분배법칙을 적용하면
∴
4. 출제의도 행렬의 거듭제곱을 이용하여 값을 구한다[ ] .
이므로
에서 각각의
성분이 같아야 하므로
∴
출제의도 지수법칙을 이해하고 지수방정식의 해를
5. [ ]
구한다.
에서
∴
에서
∴
∴ × ×
참고
[ ]
지수함수
은 일대일 함수이다 따라서.
이면
이다.
출제의도 행렬의 역행렬을 이용하여 값을 구한다
6. [ ] .
의 역행렬을 구하면
× ×
이므로
∴
출제의도 행렬을 이용하여 연립일차방정식의 해의
7. [ ]
조건에 맞는 값을 구한다.
주어진 연립방정식을
⋯㉠
이라 하면 이㉠ , 이외의 해를 가져야 하
므로 행렬
의 역행렬이 존재하지 않아야 한
다 왜냐하면 행렬.
이 역행렬을 가진다고 가
정하면 다음과 같은 모순이 생긴다.
이 행렬의 역행렬을
이라 하자.
이 역행렬을 의 양변의 왼쪽에 곱하면㉠
즉,
이 되어 해는 ,
뿐이다 이는. ㉠이 , 이외의 해를
갖는다는 조건에 모순이므로 행렬
의 역행
렬이 존재하지 않아야 한다 따라서.
× ×
∴
다른풀이
[ ]
주어진 연립방정식
을 정리하면
와 같이 나타낼 수 있다 이 연립방정식이. ,
이외의 해를 가져야 하므로 해가 무수히 많아
야 한다.
에서 이므로 이를 에
대입하여 에 관하여 정리하면,
위 등식이 의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로
∴
출제의도 지수법칙을 이해하고 식을 간단히 한다
8. [ ] .
×
×
한편
이므로
∴
출제의도 행렬의 거듭제곱을 추측하여 조건에 맞
9. [ ]
는 값을 구한다.
에서
이므로
따라서
∴ , 이므로
참고
[ ]
케일리 해밀턴 정리에 의하면
-행렬
에 대하여 등식
이 항상 성립한다.
따라서
에 대하여 다음과 같이 성립한다.
× ×
∴
출제의도 조건에 맞는 행렬을 이해하고 그 결과
10. [ ]
를 파악한다.
행렬 의 거듭제곱을 차례로 구해 보면
⋯
위와 같이 반복되어 나타난다 따라서 음이 아닌 자.
연수 에 대하여 다음과 같이 성립한다.
)
ⅰ 이면
)
ⅱ 이면
)
ⅲ 이면
)
ⅳ 이면
따라서 임의의 자연수 에 대하여 은 네 행렬
, , , 중에서 어느 하나와 일치한다.
∴ 이므로 집합 의 원소의 개
수는 이다.
참고
[ ]
케일리 해밀턴 정리에 의하면
-행렬
에 대하여 등식
이 항상 성립한다.
따라서
에 대하여 다음과 같이 성립한다.
× ×
∴
출제의도 지수함수의 그래프를 이해하여 대소 관
11. [ ]
계를 구한다.
지수함수
에서 밑이 이므로 보다 크다 따.
라서 함수
의 그래프에서 의 값이 증가하면
의 값도 증가한다 즉. , 이면
이 성립
한다.
주어진 조건에서
,
한편 지수함수의 성질에 의하여
이므로
따라서
∴ ⋯㉠
또,
이므로
즉
,
따라서
이므로
⋯㉡
에 의해
,
㉠ ㉡
학년도 월 고 전국연합학력평가 정답 및 해설
2012
6
2
2
다른풀이
[ ]
함수
의 그래프와 의 그래프를 이용하여
, ,
의 대소 관계를 표현하면 다음과 같다.
∴
출제의도 지수함수를 이해하고 합성함수의 그래
12. [ ]
프의 개형을 구한다.
합성함수 ∘ 는 다음과 같다.
∘
따라서
≥
)
ⅰ ≥ 일 때,
의 그래프는
의 그래프를 축의
방향으로 만큼 평행이동시킨 것이다.
)
ⅱ 일 때,
이므로
의 그래프는
의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평
행이동시킨 것이다.
에 의하여
), )
ⅰ ⅱ ∘ 의 그래프의 개형을
그리면 다음과 같다.
출제의도 생태계의 먹이 사슬 관계를 행렬로 표
13. [ ]
현하고 이를 해석한다.
각 생물을 꼭짓점으로 하고 연결선을 변으로 하는
그래프는 다음과 같다.
한편 위 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬이
이므로 제행에 있는 모든 성분의 합은 제행에 해
당하는 생물이 먹이 사슬 관계를 가지는 생물의 수
와 일치한다 각 행의 모든 성분의 합은. , , , ,
이다 따라서 제. 행에 해당하는 생물 는 개의
생물과 먹이 사슬 관계를 맺고 있으므로 풀 이다‘ ’ .
출제의도 행렬의 역행렬과 거듭제곱을 이용하여
14. [ ]
행렬의 성질을 증명한다.
를 의 원소라 하면 어떤 자연수 에 대
하여
⋯(*)
이다.
( )ⅰ ≤ 일 때, ∈이다.
( )ⅱ ≥ 일 때, 가 역행렬을 갖는다고 하자.
의 양변에
(*)
을 곱하면
그런데 영행렬 는 역행렬을 갖지 않으므로 모순이다.
그러므로 의 역행렬이 존재하지 않는다 따라서.
이다.
이때,
그러므로
⋯
에서
이다.
또,
이므로 이다.
따라서
이므로 ∈이다.
∴ ⊂
한편, 의 원소는 모두 의 원소이므로 ⊂ 이다.
∴
출제의도 주어진 조건에 맞는 행렬의 성질을 추
15. [ ]
론한다.
.
ㄱ ∈, ∈이므로 , 이다.
따라서
∴ ∈ ( )참
.
ㄴ ∈에 대하여
라 하자.
따라서 이므로 , ( )참
.
ㄷ ㄴ에 의해
,
라 놓을 수
있다 그러면.
∴ ( )참
따라서 옳은 것은 ㄱ ㄴ ㄷ, , 이다.
출제의도 지수함수의 그래프 위의 점을 좌표로
16. [ ]
표현하여 값을 구한다.
점 가 선분 의 중점이므로 이다.
따라서 두 점 , 의 좌표를 , 로
놓을 수 있다.
곡선 ․과 직선
가 점
를 지나므로
․
⋯㉠
또 곡선, ․과 직선
가 점
를 지나므로
․
⋯㉡
㉡÷㉠에서
․
․
∴ 이고 에서㉠
출제의도 검색과 관련하여 주어진 조건에 맞는
17. [ ]
행렬의 성분을 구한다.
번 책은 번 키 워드 기초 와‘ ’ 번 키 워드 이론‘ ’
만 포함하고, 번 키 워드 수학 과‘ ’ 번 키 워드 심‘
화 는 포함하지 않으므로’
,
,
,
번 책은 번 키 워드 기초‘ ’, 번 키 워드 수학 과‘ ’
번 키 워드 이론 을 포함하고‘ ’ , 번 키 워드 심화‘ ’
는 포함하지 않으므로
,
,
,
번 책은 번 키 워드 심화 만 포함하고‘ ’ , 번 키 워
드 기초‘ ’, 번 키 워드 수학 과‘ ’ 번 키 워드 이론‘ ’
은 포함하지 않으므로
, , ,
번 책은 번 키 워드 수학 과‘ ’ 번 키 워드 심화‘ ’
를 포함하고, 번 키 워드 기초 와‘ ’ 번 키 워드 이‘
론 은 포함하지 않으므로’
,
,
,
따라서 행렬 를 구하면 다음과 같다.
참고
[ ]
도서관에 있는 많은 책들 중에서 원하는 도서를 찾
아내기 위해서는 검색 엔진을 사용한다 모든 책에는.
키 워드가 부여되어 있는데 검색어와 키 워드가 맞,
으면 원하는 도서를 찾을 수 있다.
행렬
이고 키 워드 수학 과 이론 은 각‘ ’ ‘ ’
각 두 번째 네 번째 키 워드에 해당하므로,
을
곱하여 검색 결과를 찾는다 그러면.
이 되어 키 워드 수학 과 이론 중에서 번 책은 한, ‘ ’ ‘ ’ 1
개 번 책은 두 개, 2 , 번 책은 한 개를 포함하고 있
음을 알 수 있다 이때 번 책이 검색 결과에 따른. , 2
우선순위가 가장 높다.
출제의도 재료와 관련하여 연립일차방정식을 세
18. [ ]
워 행렬의 성분을 구한다.
3
제품 , 를 각각 개, 개 만들 때 사용되는 금과
은의 양이 각각 g, g이므로 연립방정식을 세우면
정리하면
이고 이를 행렬로 표현하면 다음과 같다, .
행렬
의 역행렬을 양변의 왼쪽에 곱하면
한편 주어진 조건에서
이므로
, ∴
출제의도
19. [ ] 역행렬이 존재하기 위한 조건을 이용하
여 값을 구한다.
주어진 행렬이 역행렬을 가지려면
≠
≠
라 하면 함수 의 그래프가
축과 만날 때, 의 값은 이다 따라서 위 조건.
을 만족시키려면 ≤ ≤ 에서 의 그래프가
축과 만나지 않아야 한다 그러기 위해서는.
≤ ≤ 인 임의의 실수 에 대하여 또는
이어야 한다.
이므로 다음과 같
은 두 가지 경우를 생각한다.
)
ⅰ 인 경우
최솟값 에서
)
ⅱ 인 경우
최댓값 에서
에서 구하는
), )
ⅰ ⅱ 값의 범위는
또는
따라서 이하의 자연수 의 값은
, , , , , , 이고 개수는 이다.
출제의도 거듭제곱근의 성질을 이용하여 그래프
20. [ ]
를 이해한다.
에서
)
ⅰ
일 때,
즉, 또는 일 때,
또는
이므로 실수 의
값은 개이다.
∴
)
ⅱ
일 때,
즉, 또는 일 때, 이므로 실수
의 값은 개이다.
∴
)
ⅲ
일 때,
을 만족시키는 실수 의 값은 존재
하지 않는다.
∴
에 의해 함수
), ), )
ⅰ ⅱ ⅲ 의 그래프는 다음
과 같다.
다른풀이
[ ]
를 만족시키는 실수
는
의 네제곱근
중 실수인 것이다.
)
ⅰ
일 때,
의 네제곱근 중 실수인 것은
,
이므로
)
ⅱ
일 때,
의 네제곱근 중 실수인 것은
이므로
)
ⅲ
일 때,
의 네제곱근 중 실수는 존재하지 않으므로
출제의도 국악과 관련하여 지수함수의 함숫값을
21. [ ]
이용하여 참 거짓을 판단한다, .
.
ㄱ
․
․
참
( )
고선 의 진동수
. ‘ ’
ㄴ 는
․
․
․
이때 무역 의 진동수는, ‘ ’
․
․
․
․
․
․
․
․
( )참
대려 의 진동수
. ‘ ’
ㄷ 는
․
․
이때 협종 의 진동수는, ‘ ’
․
․
또 중려 의 진동수는, ‘ ’
․
․
×
․
․
․
․
․
․
․
(거짓)
따라서 옳은 것은ㄱ ㄴ, 이다.
다른풀이
[ ]
.
ㄱ
․
․
이므로 번호가 씩 증가할 때마다 진동수는
배가 된다 참. ( )
.
ㄴ 무역 의 번호는 고선 의 번호보다‘ ’ ‘ ’ 만큼 크므로
무역 의 진동수는
‘ ’ 의
배
이다 참. ( )
.
ㄷ 협종 의 번호는 대려 의 번호보다‘ ’ ‘ ’ 만큼 크고,
중려 의 번호는 대려 의 번호보다
‘ ’ ‘ ’ 만큼 크므로
협종 과 중려 의 진동수의 곱은
‘ ’ ‘ ’
․
․
․
(거짓)
출제의도 행렬이 서로 같을 조건을 이해하여 값
22. [ ]
을 구한다.
가 성립하려면 두 행렬 , 의 각각의 성분이
같아야 하므로 , , ,
따라서 ,
∴
출제의도 거듭제곱근의 뜻을 이해하고 이를 이
23. [ ] ,
용하여 값을 구한다.
,
을 등식
에 대입하면
×
․
즉,
, 가 유리수이므로
,
따라서 ,
∴
출제의도 행렬의 거듭제곱을 이용하여 값을 계산
24. [ ]
한다.
따라서
이고 모든 성분의 합은,
∴
참고
[ ]
임을 추론할 수 있다.
출제의도 행렬이 나타내는 그래프를 그려서 조건
25. [ ]
에 맞는 경로를 추론한다.
주어진 행렬을 그래프로 나타내면
이다 꼭짓점. 를 출발하여 모든 꼭짓점을 오직 한
번씩만 지나 꼭짓점 로 돌아오는 경로를 살펴보면,
)
ⅰ
)
ⅱ
)
ⅲ
4
)
ⅳ
이상에서 구하는 개수는 이다.
출제의도 지수함수의 그래프를 이용하여 주어진
26. [ ]
선분의 길이를 구한다.
두 점 , 의 좌표가 이므로
,
선분 의 중점의 좌표가 이므로
양변에
를 곱하여 정리하면
×
이를 풀면
또는
이므로
에서
따라서 선분 의 길이 은
∴
다른풀이
[ ]
,
라 하면
선분 의 길이는 이다.
선분 의 중점의 좌표가 이므로
,
․
∴
×
출제의도 역행렬의 정의를 이용하여 행렬의 성분
27. [ ]
의 값을 구한다.
조건 가 에서( )
조건 나 에서( )
⋯ ㉠
조건 나 의 양변의 왼쪽에( ) 를 곱하면
⋯ ㉡
에서
,
㉠ ㉡
∴ , 이므로
출제의도 지수부등식과 집합의 관계를 이해하고
28. [ ]
주어진 최댓값을 구한다.
, 이므로
∴
한편,
․
․
․
,
∴
⊂ 이므로
≤ ≤
따라서 의 최댓값은
출제의도 두 직선의 수직조건과 지수함수의 그래
29. [ ]
프를 활용하여 주어진 값을 구한다.
점 의 좌표는 이다.
곡선
위의 점 의 좌표를 이라 하면
,
∴
직선 의 기울기는 이고 ∠ °이므로
직선 의 기울기는
이다.
두 점 , 를 지나는 직선의 방정식은
점 의 좌표가 이므로 점 의 좌표는
또 점, 는 곡선 위의 점이므로
,
∴
다른풀이
[ ]
두 점 , 의 좌표는 , 이다.
이때,
곡선
위의 점 의 좌표를 이라 하면
⋯(*)
이때,
이고
이다.
삼각형 는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리
에 의해
∴
를 (*)에 대입하면
∴
출제의도 연립방정식과 행렬의 성질을 이용하여
30. [ ]
주어진 조건에 맞는 값을 구한다.
주어진 연립방정식은 , 이외의 해를 갖는
다. 정리하면
⋯ ㉠
이
㉠ , 이외의 해를 가지므로
∴ 또는
)
ⅰ 일 때 주어진 연립방정식의 해를, ,
라 하면
따라서 이고
이므로
)
ⅱ 일 때 주어진 연립방정식의 해를, ,
라 하면
따라서 이고
이므로
∴
