1.
직선 를 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 직선이 포물선 에 접할 때, 의 값은?1 )[1994학년도 수능 2차]
①
②
③
④
⑤
2.
포물선 의 점 에서의 접선과 축, 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?2)[3점][1998학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
3.
쌍곡선
위의 점 에서의 접선과 축, 축으 로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?3 ) (단,
[3점][1998학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
4.
이차곡선 과 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원이 서로 다른 네 점에서 만날 때, 의 범위는?4 )[3점][2000학년도 수능]
① ＜ ≤ ② ＜＜ ③ ≤ ＜
④ ＜＜ ⑤ ≥
5.
쌍곡선
위의 점 에서의 접선이 축과 만나는 점의 좌표는?5)
[3점][2001학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
6.
방정식 이 나타내는 도형이 축에 평행인 주축을 갖는 쌍곡선이 되기 위한 의 값의 범위는?6)[2점][2002학년도 수능]
① ＜ ② ＞ ③ ＜
④ ＞ ⑤ ＞
단원 : 이차곡선
7.
그림과 같이 원점을 중심으로 하는 타원의 한 초점을 F라 하 고, 이 타원이 축과 만나는 한 점을 A라고 하자. 직선 AF의 방정식이
일 때, 이 타원의 장축의 길이는?7)
[2점][2003학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
8.
8) 그림과 같이 중심이 F,이고 반지름의 길이가 인 원과 중심이F′ ,이고 반지름의 길이가 인 원이 있다.큰 원에 내접하고 작은 원에 외접하는 원의 중심P는F와 F′을 두 초점으로 하는 타원
위를 움직인다.
이때, 의 값을 구하시오.
[3점][2003년 6월]
9.
9 ) 케플러의 법칙에 의하여 다음 사실이 알려져 있다.행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도를 따라 공 전한다. 태양으로부터 행성까지의 거리를, 행성의 속력을
라 하면 장축과 공전궤도가 만나는 두 지점에서 거리와 속력의 곱의 값은 서로 같다.
두 초점 사이의 거리가 인 타원궤도를 따라 공전하는 행성이 있다. 단축과 공전궤도가 만나는 한 지점과 태양 사이의 거리가
이다. 장축과 공전궤도가 만나는 두 지점에서의 속력의 비가
일 때,
의 값은?
[3점][2003년 9월]
①
②
③
④
⑤
10.
두 타원이 점 F를 한 초점으로 공유하고 서로 다른 두 점 P Q에서 만난다. 두 타원의 장축의 길이가 각각 이고, 두 타원의 나머지 초점을 각각 F, F라 할 때,
PF PF
QF QF
의 값은?10)[3점][2004학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
11.
11) 다음은 포물선 위의 꼭짓점이 아닌 임의의 점 P에서 의 접선과 축과의 교점을T, 포물선의 초점을F라고 할 때,FP FT임을 증명한 것이다.
<증명>
점 P의 좌표를 이라고 하면, 접선의 방정식은 가
이 식에 을 대입하면 교점 T의 좌표는 이다.
초점 F의 좌표는 나 이므로
FT 다
한편 FP
다
따라서FP FT이다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?
[3점][2004년 9월]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
12.
12) 두 초점을 공유하는 타원
과 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선의 한 점근선이 일 때, 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 사이의 거리는?
[3점][2004년 9월]
①
②
③
④ ⑤
13.
13) 두 포물선 , 의 초점을 각각 F F 라고 할 때, FF의 값을 구하시오.[3점][2004년 10월]
14.
직선 가 쌍곡선
에 접할 때, 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는? 1 4)
[3점][2005년 9월]
①
②
③ ④
⑤
15.
15) 그림과 같이 타원
의 장축을 등분한 후 장 축의 양 끝점을 제외하고 각 등분점에서 장축에 수직인 직선을 그어 축 윗쪽 부분에 있는 타원과의 교점을 차례로
P P P ⋯ P라 하자.
타원의 한 초점을 F라고 할 때,
FPk의 값을 구하시오.
[4점][2004년 10월]
16.
그림과 같이 두 점 F , F′ 을 초점으로 하는 타 원
과 직선 의 교점을 A B라 하자.
두 점 C , D 에 대하여, 사각형 ADBC의 넓이를 구하시오. (단, 와 는 양수이다.) 16)
[4점][2005년 10월]
17.
오른쪽 그림은 한 변의 길이가 인 정육각형 ABCDEF의 각 변을 장축으 로 하고, 단축의 길이가 같은 타원 개 를 그린 것이다.그림과 같이 정육각형의 꼭짓점과 이웃 하는 두 타원의 초점으로 이루어진 삼 각형 개의 넓이의 합이
일 때, 타원의 단축의 길이는?17)[3점][2006학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
18.
쌍곡선
의 두 초점을 각각 F, F′이라 하고, 꼭짓 점이 아닌 쌍곡선 위의 한 점 P의 원점에 대한 대칭인 점을 Q 라 하자. 사각형 F′QFP의 넓이가 가 되는 점 P의 좌표를
라 할 때, 의 값은?18)
[3점][2006학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
19.
타원
의 두 초점을 F F′이라 하자.
이 타원 위의 점 P가 OP OF를 만족시킬 때,
PF ⋅PF′의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.) 19)
[4점][2006년 9월]
20.
초점이 F인 포물선 위에 FP 인 점 P가 있다. 그 림과 같이 선분 FP의 연장선 위에 FP PQ가 되도록 점 Q를 잡을 때, 점 Q의 좌표는?20)[3점][2007학년도 수능]
①
② ③
④
⑤
21.
쌍곡선
의 두 초점 , 을 각각 F F′이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점P ＞에 대하여 선분F′P 위의 점Q가 FP PQ를 만족시킬 때, 점Q 가 나타내는 도형 전체의 길이는? 21 )
[4점][2006년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
22.
쌍곡선
과 직선 는 상수의 교점 의 개수에 대한 설명 중 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것 은? 22)
[3점][2006년 10월]
< 보 기 >
ㄱ. 이고 일 때 교점은 없다.
ㄴ. 이고 일 때 교점은 개이다.
ㄷ.
이고 일 때 교점은 개이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
23.
타원
의 두 초점을 F F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P가 OP OF 을 만족시킬 때, 선분 PF의 길이는 이
24.
쌍곡선 에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은? 24)[3점][2007년 9월]
<보 기>
ㄱ. 점근선의 방정식은 , 이다.
ㄴ. 쌍곡선 위의 점에서 그은 접선 중 점근선과 평행한 접선이 존재한다.
ㄷ. 포물선 ≠ 는 쌍곡선과 항상 두 점에서 만난다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
25.
타원 의 두 초점 사이의 거리를 라 할 때, 의 값을 구하시오. 25 )[3점][2007년 9월]
26.
두 포물선 와 가 초점을 공유할 때, 상 수 의 값은? 26)[2점][2007년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
27.
그림과 같이 좌표평면에 중심의 좌표가 각각 , , 이고 반지름의 길이가 모두 같은 개 의 원에 동시에 접하고, 초점이 축 위에 있는 타원이 있다.
이 타원의 두 초점 사이의 거리가 일 때, 장축의 길이를 구하시오. (단, 네 원의 중심은 타원의 외부에 있다.) 27)
[4점][2007년 10월]
28.
쌍곡선
의 두 초점을 F F′이라 하자. 쌍곡선 위 의 한 점 P에 대하여 ∠F′PF의 이등분선이 축과 점 A 에서 만날 때, 삼각형 PF′F의 둘레의 길이를 구하시오. 28)
[3점][2007년 10월]
29.
다음은 어느 이차곡선을 작도하는 과정이다.[1단계] 정점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 를 그리고, 원 밖의 한 점 Q를 잡는다.
[2단계] 동점 R은 원 위를 움직인다.
[3단계] 두 점 P와 R를 지나는 직선 과 QR의 수직이등분선
이 만나는 점을 O라 하자.
위 과정에서 점 O의 자취가 그리는 이차곡선에 대하여
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? 29)
[3점][2007년 10월]
< 보 기 >
ㄱ. OP와 OQ의 길이의 차는 일정하다.
ㄴ. 점 Q는 이차곡선의 초점이다.
ㄷ. 작도된 이차곡선을 반사거울로 생각하고, 점 P에서 이 곡선 위로 빛을 쏘면 점 Q를 지난다.
① ㄷ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
30.
로그함수 log 의 그래프가 포물선 의 초 점을 지나고, 이 로그함수의 그래프의 점근선이 포물선 의 준선과 일치할 때, 두 상수 , 의 합 의 값은?30)[3점][2008학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
31.
그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점을 F, F′이라 하 자. 제 사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P와 제 사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 Q에 대하여 PF′ QF′ 일 때, QF PF의 값 을 구하시오.3 1)
[3점][2008학년도 수능]
32.
좌표평면에서 원 위를 움직이는 점 P a b와 점 A 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점Q 전체의 집합 을라 하자. (단, ≠ )(가) 점Q는 선분OP 위에 있다.
(나) 점Q를 지나고 직선AP에 평행한 직선이 ∠OQA를 이등분한다.
집합의 포함관계로 옳은 것은? 32)
[4점][2008년 9월]
① ⊂
② ⊂
③ ⊂
④ ⊂
⑤ ⊂
33.
쌍곡선 위의 점P 에서의 접선 에 대하 여 원점 O에서 에 내린 수선의 발을 H, 직선 OH와 이 쌍곡선 이 제1사분면에서 만나는 점을 Q라 하자. 두 선분OH와 OQ의 길이의 곱 OH⋅OQ를 구하시오. 33)[3점][2008년 9월]
34.
그림과 같이 타원
에 내접하는 정 삼각형 ABC가 있다. 타원의 두 초점 F, F′이 각각 선분 AC, AB 위에 있을 때,
의 값은? (단, 점 A는 축 위에 있다.) 34) [3점][2008년 10월]
①
②
③
④
⑤
35.
아래 그림과 같이 초점 F 에서 포물선 위의 점 A를 향하여 출발한 빛이 포물선에 반사되어 축에 평 행하게 진행된다. 이 빛이 포물선 위의 점 B 에서 다시 반사되어 축과 만나는 점을 C라 하자. 이 때, 세 선분 길이의 합 FA AB BC의 값을 구하시오.(단, 포물선 위 의 점 A는 제 사분면 위에 있다.)35)
[3점][2008년 10월]
36.
세 이차곡선 ≠
≠±
각각에 대하여, 곡선 위에 있는 임의의 점에서의 접선의 기울기 들의 집합을 라 하자. 다음 <보기>에서 옳은 것만 을 있는 대로 고른 것은?36)
[3점][2008년 10월]
< 보 기 >
ㄱ.
∈ㄴ. ㄷ. ⊃
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
37.
타원
의 네 꼭짓점을 연결하여 만든 사각형에 내 접하는 타원
이 있다. 타원
의 두 초점이 F , F′ 일 때,
이다. 의 값을 구하시오.37)
(단, 는 서로소인 자연수이다.)
[3점][2009학년도 수능]
38.
그림과 같이 두 점 F , F′ 을 초점으로 하는 쌍곡 선
과 점 F를 초점으로 하는 포물선
가 있다.
쌍곡선 위의 임의의 점 P에 대하여 PF PF′ 이 성립하고, 포물선의 꼭짓점 A에 대하여 AF′ FF′ 이 성립한다.
이때,
의 값은? (단, 이다.)
39.
쌍곡선 의 초점을 지나고 점근선과 평행한 4 개의 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는? 3 9)[3점][2009년 9월]
①
②
③
④
⑤
40.
40) 타원
위를 움직이는 점 에서의 접선을 이라 하자. 또, 두 초점 에서 직선 에 내린 수선의 발을 각각
라 하자.
일 때, 사이의 관계를 나타내는 그 래프의 개형은?
[3점][2009년 10월]
41.
41) [그림 ]과 같이 반지름의 길이가 , 모선의 길이가 인 원뿔 두 개가 점 O를 공유하면서 밑면이 서로 평행한 입체도형 을 라 하자. 의 밑면과 수직인 평면 로 를 자르면 단면 에 쌍곡선이 생긴다. [그림 ]와 같이 반지름의 길이가 인 두 개의 구가 잘린 입체도형의 옆면 및 단면에 접할 때, 두 개의 구와 평면 가 접하는 점을 각각 F F라 하자. 이 때, 쌍곡선 위의 점 P에 대하여 PF PF의 값을 구하시오.[4점][2009년 10월]
42.
포물선 위의 점 P 에서의 접선이 축과 만나는 점을 Q라 하자. PQ 일 때, 의 값은? 4 2)[3점][2010학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
43.
좌표평면에서 두 점 , 에 대하여 장축이 선분인 타원의 두 초점을 , ′이라 하자. 초점이 이고 꼭짓점 이 원점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 , 라 하자.
일 때, 두 선분 와 ′의 길이의 곱 × ′ 의 값은
이다. 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 서로소인 자연수이다.) 43)
[3점][2010년 9월]
44.
그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점을 F , F′ 이라 하자. 두 점 F F′을 지름의 양 끝점으로 하는 원 과 쌍곡선
이 제사분면에서 만나는 점을 P라 할 때, cos∠PFF′의 값은? (단, 는 양수이다.) 44)
[4점][2010년 10월]
① ② ③
45.
좌표평면 위의 점 에서 쌍곡선 에 그은 접 선의 방정식을 이라 할 때, 의 값은? (단, ,은 상수이다.) 45)
[3점][2010년 9월]
①
② ③
④ ⑤
46.
46) 쌍곡선
의 점근선과 직선 가 제사분면에 서 만나는 점을 P라 하자. 중심이 원점이고 점 P를 지나는 원 이 쌍곡선과 제사분면에서 만나는 점을 Q, 축과 만나는 두 점을 각각 A B라 할 때, AQ × BQ의 값은?
[3점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
47.
좌표평면에서 점 와 타원
위의 점 에 대하여 두 점 와 를 지나는 직선이 원 과 만 나는 두 점 중에서 가 아닌 점을 라 하자. 점 가 타원 위 의 모든 점을 지날 때, 점 가 나타내는 도형의 길이는? 47 )
[점][2011학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
48.
그림과 같이 좌표평면에서 축 위의 두 점 에 대하여 꼭짓점 이 인 포물선 과 꼭짓점이 인 포물선 가 다음 조건을 만족 시킨다. 이때, 삼각형의 넓이 는? 48)[4점][2011학년도 수능]
(가) 의 초점은 이고, 의 초점은 원점 이다.
(나) 과 는 축 위의 두 점 에서 만난다.
(다)
① ② ③
④ ⑤
49.
그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 OAB의 무게 중심 G가 축 위에 있다. 꼭짓점이 O이고 초점이 인 포물선 과 직선 GB가 제 사분면에서 만나는 점을 P라 할 때, 선분 GP의 길이를 구하시오. (단, O는 원점이다.) 49)[4점][2011년 6월]
50.
점 에서 타원
에 그은 두 접선의 접점을 각각 P Q라 하고, 타원의 두 초점 중 하나를 F라 할 때, 삼각 형 PFQ의 둘레의 길이는 이다. 의 값을 구하시 오. (단, 는 유리수이다.) 50 )
[4점][2011년 6월]
51.
그림과 같이 포물선 의 초점을 F라 하고, FA 을 만족하는 포물선 위의 점 A 에서의 접선이 축과 만나 는 점을 B라 하자. 삼각형 ABF의 넓이가 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 이다.) 51)
[4점][2011년 7월]
52.
원 과 쌍곡선 이 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 양수 의 최댓값은? 52)[3점][2011년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
53.
두 초점이 ′이고, 장축의 길이가 , 단축의 길이가 6인 타 원이 있다. 중심이 이고 점 ′을 지나는 원과 이 타원의 두 교점 중 한 점을 라 하자. 삼각형 ′의 넓이는?53)[3점][2011년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
54.
쌍곡선
위의 점 에서의 접선이
타원
의 넓이를 이등분할 때, 의 값을 구하 시오.54)
[4점][2011년 9월]
55.
그림과 같이 평면 위에 놓여 있는 원기둥을 평면 와 °를 이루는 평면으로 잘랐을 때의 단면은 타원이다. 이 타원 위 의 점에서 평면 까지 거리의 최솟값은 , 최댓값은 이다. 타 원의 두 초점 중 평면 와 더 멀리 떨어진 초점으로부터 평면
까지의 거리를 구하시오.55)
[4점][2011년 10월]
56.
한 변의 길이가 인 정육각형 ABCDEF와 쌍곡선 가 다 음 조건을 만족시킨다.(가) 쌍곡선 의 초점은 점 A와 점 D이다.
(나) 쌍곡선 의 점근선은 직선 BE와 직선 CF이다.
쌍곡선 와 변 AB가 만나는 점을 P라 할 때, DP AP의 값 은?56)
[3점][2011년 10월]
①
② ③ ④ ⑤
57.
포물선 의 초점을 F라 할 때, 중심이 원점이고 한 초점이 F이며 또 다른 초점이 F′인 타원이 있다. 이 타원이 포 물선 와 제사분면에서 만나는 점을 P, 포물선 의 준선과 제사분면에서 만나는 점을 Q라 하자.
∠F′QP °일 때, 이 타원의 장축의 길이는?57)
[3점][2011년 10월]
① ② ③
④ ⑤
58.
포물선 의 초점과 포물선 위의 점 에서의 접 선 사이의 거리를 라 하자. ≥ 을 만족시키는 자연수 의 최솟값을 구하시오.58)[4점][2012학년도 수능]
59.
한 변의 길이가 인 마름모 ABCD에 대하여 대각선 BD 를 장축으로 하고, 대각선 AC를 단축으로 하는 타원의 두 초점 사이의 거리가 이다. 마름모 ABCD의 넓이는?59)[3점][2012학년도 수능]
① ② ③
④ ⑤
60.
60) 포물선 의 초점을 , 포물선의 준선이 축 과 만나는 점을 라 하자. 포물선 위의 점 에 대하여 이고 가 되도록 하는 의 값이 또는 일 때,
의 값을 구하시오. (단, ≠ 이다.)
[4점][2012년 5월]
61.
61) 그림과 같이 좌표평면에서 원점 를 중심으로 하고 반지름 의 길이가 인 원 위의 점 에서 축에 내린 수선의 발을′이라 하자. 점 ′을 초점으로 하고, 축 위에 있는 원의 지 름을 장축으로 하는 타원에 대하여 점 에서 타원에 그은 접선
의 기울기가
일 때, 직선 의 기울기는?
[4점][2012년 5월]
①
②
③
④
⑤
62.
포물선 의 초점을 , 준선이 축과 만나는 점을 , 점 를 지나고 기울기가 양수인 직선 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 , 라 하자. 일 때, 직선 의 기울기는?62)[4점][2012년 6월]
①
②
③
④
⑤
63.
쌍곡선
의 두 꼭짓점은 타원
의 두 초점이다. 의 값은?63)
[3점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
64.
64) 원 과 축의 두 교점을 초점으로 하고, 원의 중심을 지나는 타원의 장축의 길이를 구하시오.[점][2012년 7월]
65.
65) 그림과 같이 F 을 초점으로 하는 포물선 와 F 과 F′ 을 초점으로 하는 쌍곡선
이 제사분면에서 만나는 점을 A라 하자.
AF , cos∠AFF′
일 때, 의 값은?
[점][2012년 7월]
O F
F′
A
① ② ③ ④ ⑤
66.
66) 그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 O이고 초점이 F인 포물선과 점 F를 지나고 기울기가 인 직선이 만나는 두 점을 각각 A B라 하자. 선분 AF를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 일 때, 선분 AB의 길이는 이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 정수이다.)
[4점][2012년 9월]
67.
67) 좌표평면에서 쌍곡선
의 한 점근선에 평행하고 타원
에 접하는 직선을 이라 하자. 원점과 직선 사이의 거리가 일 때,
의 값은?
[3점][2012년 9월]
① ②
③ ④
⑤
68.
68) 쌍곡선
위의 점 에서의 접선이 축과 만나 는 점의 좌표는?
[3점][2012년 10월]
① ②
③ ④
⑤
69.
69) 그림과 같이 초점이 F인 포물선 위에∠OFA ∠AFB
인 두 점 A B가 있다. 삼각형 AFB의 넓 이는? (단, O는 원점이고 두 점 A B는 제사분면 위의 점이 다.)
[4점][2012년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
70.
자연수 에 대하여 포물선 의 초점 F를 지나는 직선 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 P Q라 하자. PF 이고
FQ 이라 할 때,
의 값은?70)
[4점][2013학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
71.
71) 직선 위의 점 에서 타원
에 그은 두 접선 의 기울기의 곱이
이다. 점 의 좌표를 라 할 때, 의 값은?
[4점][2013년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
72.
쌍곡선 위의 점 에서의 접선이 쌍곡선의 한 점근선과 수직이다. 의 값은?72) (단, 는 양수이다.)[3점][2013학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
73.
73) 그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점은 , ′이고, 점 를 중심으로 하는 원 는 쌍곡선과 한 점에서 만난다. 제
사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 에서 원 에 접선을 그었을 때 접점을 라 하자. 일 때, 선분 ′의 길이는?
[3점][2013년 6월]
① ②
③ ④
⑤
74.
74) 좌표평면에서 포물선 위의 점 에 대하여 점 는 다음 조건을 만족시킨다.(가) 점 가 원점이면 점 도 원점이다.
(나) 점 가 원점이 아니면 점 는 점 , 원점 그리고 점 에서의 접선이 축과 만나는 점을 세 꼭짓점으 로 하는 삼각형의 무게중심이다.
점 가 포물선 위를 움직일 때 점 가 나타내는 곡 선을 라 하자. 점 을 지나는 직선이 곡선 와 두 점
, 에서 만나고 일 때, 두 점 , 의 좌표의 값 의 합을 구하시오.
[4점][2013년 6월]
75.
75) 반지름의 길이가 , 중심이 O인 원을 밑면으로 하고 높이가인 원뿔이 평면 위에 놓여있다. 그림과 같이 원뿔을 평 면 와 평행하고 원뿔의 밑면의 중심 O를 지나는 평면으로 자 를 때 생기는 단면의 일부분은 포물선이다. 이때 단면의 넓이 는? (단, 원뿔의 한 모선이 평면 에 포함된다.)
[점][2013년 7월]
O
①
②
③
④ ⑤
76.
76) 점근선의 방정식이 ±
이고, 한 초점의 좌표가
인 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.
[점][2013년 7월]
77.
77) [그림 ]과 같이 타원
과 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC가 있다. 변 A B는 축 위에 있고 꼭짓점 A, C 는 타원 위에 있다. 한 변이 축 위에 놓이도록 정삼각형 ABC 를 축을 따라 양의 방향으로 미끄러짐 없이 회전시킨다. 처음 위치에서 출발한 후 변 BC가 두 번째로 축 위에 놓이고 꼭짓 점 C는 타원 위에 놓일 때가 [그림 ]이다. 의 값을 구 하시오.
[점][2013년 7월]
O
B A
C
O
A C B
[그림 ] [그림 ]
78.
78) 타원
의 한 초점을 , 이 타원이 축과 만나는 점 중에서 좌표가 음수인 점을 , 축과 만나는 점 중에서 좌표가 양수인 점을 라 하자.
∠
이고 삼각형 의 넓이는 일 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.)
[3점][2013년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
79.
79) 그림과 같이 두 초점이 , ′ 인 쌍곡선
위의 점 에서의 접선과 축과의 교점이 선 분 ′를 로 내분할 때, 의 값을 구하시오.
(단, , 는 상수이다.)
80.
80) 그림과 같이 점 A 을 중심으로 하고 반지름의 길이가인 원과 타원
의 한 교점을 P라 하자. 점 B
에 대하여 PA PB 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2013년 10월]
81.
81) 그림과 같이 한 초점이 F이고 점근선의 방정식이 , 인 쌍곡선이 있다. 제사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P에 대하여 선분 PF의 중점을 M이라 하자. OM , MF 일 때, 선분 OF의 길이는? (단, O는 원점이다.)
[4점][2013년 10월]
82.
82) 좌표평면에서 포물선 에 접하는 두 직선 의 기울 기가 각각 이다. 가 방정식 의 서 로 다른 두 근일 때, 과 의 교점의 좌표는?[3점][2014학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
83.
83) 좌표평면에서 포물선 의 초점을 F, 포물선 의 초점을 F라 하자. 점 P는 다음 조건을 만족시 킨다.
(가) 중심이 위에 있고 점 F을 지나는 원과 중심이
위에 있고 점 F를 지나는 원의 교점이다.
(나) 제 사분면에 있는 점이다.
원점 O에 대하여 OP의 최댓값을 구하시오.
[4점][2014년 6월]
84.
84) 그림과 같이 축 위의 점A a와 두 점 ′을 초점으로 하는 타원
위를 움직이는 점 가 있다.
AP FP의 최솟값이 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2014학년도 수능]
85.
85) 아래 그림과 같이 두 초점 F F′이 축 위에 있는 타원
위의 점 P가 FP 를 만족시킨다. 점 F에서 선 분 PF′에 내린 수선의 발 H에 대하여 FH 일 때, 상수
의 값은?
[4점][2014년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
86.
86) 그림과 같이 포물선 의 초점 F를 중심으로 하고 원 점을 지나는 원 가 있다. 포물선 위의 점 A와 점 B에 대하여 선분 FA와 선분 FB가 원 와 만나는 점을 각각 P, Q라 할 때, 점 P는 선분 FA의 중점이고, 점 Q는 선분 FB를 로 내 분하는 점이다. 삼각형 AFB의 넓이가 일 때, 의 값은? (단, 점 A와 점 B는 제사분면 위에 있다.)[4점][2014년 7월]
B
O
A
P Q
F
① ② ③ ④ ⑤
87.
87) 그림과 같이 두 초점이 F, F′인 타원 위를 움 직이는 제1사분면 위의 점 P에서의 접선 이 축과 만나는 점 을 Q, 점 P에서 접선 과 수직인 직선을 그어 축과 만나는 점 을 R라 하자. 세 삼각형 PRF, PF′R, PFQ의 넓이가 이 순서대 로 등차수열을 이룰 때, 점 P의 좌표는?[4점][2014년 7월]
F′
P
88.
88) 쌍곡선
위의 점 A 에서의 접선이 축과 만나는 점을 B라 하자. 이 쌍곡선의 두 초점 중 좌표가 양수인 점을 F라 할 때, 삼각형 FAB의 넓이는?
[3점][2014년 6월]
①
②
③
④
⑤
89.
89) 자연수 에 대하여 직선 이 꼭짓점의 좌표가 이고 초점이 인 포물선에 접할 때,
의 값은?
[3점][2014년 9월]
① 70 ② 72 ③ 74 ④ 76 ⑤ 78
90.
90) 1보다 큰 실수 에 대하여 타원
의 두 초점과 쌍 곡선 의 두 초점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이가 12일 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2014년 9월]
91.
91) 자연수 에 대하여 점 을 지나고 제사분면에서 포 물선 에 접하는 직선의 기울기를 이라 하자.
의 값을 구하시오.
[3점][2014년 10월]
92.
92) 그림과 같이 포물선 의 초점 F를 지나는 직선과 포 물선이 만나는 두 점 A, B에서 준선 에 내린 수선의 발을 각 각 C, D라 하자. AC 일 때, 선분 BD의 길이는[3점][2015학년도 수능]
① ②
③ ④
⑤
93.
93) 타원
의 두 초점 중 좌표가 양수인 점을 F, 음 수인 점을 F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P를 ∠FPF′
가 되도록 제 사분면에서 잡고, 선분 FP의 연장선 위에 좌표가 양수인 점 Q를 FQ 이 되도록 잡는다. 삼각형 QF′F의 넓이를 구하시오.
[4점][2015학년도 수능]
94.
그림과 같이 두 점 F , F′ c 을 초점으로 하고 장축의 길이가 4인 타원이 있다. 점 F를 중심으로 하고 반 지름의 길이가 인 원이 타원과 점 P에서 만난다. 점 P에서 원에 접하는 직선이 점 F′을 지날 때, 의 값은? 94)[3점][2015년 6월]
① ② ③
95.
포물선 에 접하고 기울기가
인 직선의 절편을 구하시오. 95)
[3점][2015년 6월]
96.
그림과 같이 초점이 각각 F, F′과 G, G′이고 주축의 길이가, 중심이 원점 O인 두 쌍곡선이 제사분면에서 만나는 점을 P, 제사분면에서 만나는 점을 Q라 하자.
PG × QG , PF× QF 일 때, 사각형 PGQF의 둘레의 길이 는? (단, 점 F의 좌표와 점 G의 좌표는 양수이다.) 96)
[4점][2015년 6월]
① ② ③
④ ⑤
97.
97) 그림과 같이 포물선 위의 네 점 A, B, C, D를 꼭짓 점으로 하는 사각형 ABCD에 대하여 두 선분 AB와 CD가 각 각 축과 평행하다. 사각형 ABCD의 두 대각선의 교점이 포물 선의 초점 F와 일치하고 DF 일 때, 사각형 ABCD의 넓이는?[4점][2015년 7월]
A
B
C
D
O F
① ② ③
④ ⑤
98.
98) 원 과 쌍곡선
이 서로 다른 네 점에서 만나고 이 네 점은 원의 둘레를 등분한다. 이 쌍곡선의 한 점 근선의 방정식이 일 때, 의 값은? (단, , 는 상 수이다.)
[3점][2015년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
99.
그림과 같이 초점이 F인 포물선 위의 한 점 P에서의 접선이 축과 만나는 점의 좌표가 이다. cos∠PFO의 값 은? (단, O는 원점이다.)99)[3점][2015년 9월]
①
②
③
④
⑤
100.
두 초점이 F F′인 쌍곡선
위의 점 P가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 P는 제 사분면에 있다.
(나) 삼각형 PF′F가 이등변삼각형이다.
삼각형 PF′F의 넓이를 라 할 때, 모든 의 값의 곱은? 1 00) [4점][2015년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
101.
101) 좌표평면에서 포물선 에 접하는 기울기가
인 직 선과 축, 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.
[3점][2015년 10월]
102.
102) 그림과 같이 좌표평면에 축 위의 두 점 F, F′과 점 P 이 있다. 삼각형 PF′F가 ∠FPF′
인 직각이등 변삼각형일 때, 두 점 F, F′을 초점으로 하고 점 P를 지나는 타원과 직선 PF′이 만나는 점 중 점 P가 아닌 점을 Q라 하자.
삼각형 FPQ의 둘레의 길이가 일 때, 삼각형 FPQ의 넓 이는?
[4점][2015년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
103.
103 ) 포물선 위의 점 A 에서의 접선을 이라 하자.직선 과 포물선의 준선이 만나는 점을 B, 직선 과 축이 만 나는 점을 C, 포물선의 준선과 축이 만나는 점을 D라 하자.
삼각형 BCD의 넓이는?
[3점][2016학년도 수능]
①
② ③
④
⑤
104.
104 ) 그림과 같이 실수 에 대하여 함수 의 그래프와포물선 가 있다. 포물선 위의 점 에서의 접 선이 축과 만나는 점을 함수 의 그래프가 지날 때, 의 값은?
[3점][2016년 4월]
O
105.
105) 그림과 같이 초점이 F인 포물선 위의 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 삼각형 PFH의 넓이가 일 때, 선분 PF의 길이는? (단, 점 P의 좌표는 점 F의 좌표 보다 크다.)
[3점][2016년 4월]
O F H
P
① ② ③ ④ ⑤
106.
106) 닫힌 구간 에서 정의된 함수 는
≤ ≤ ≤
이다. 좌표평면에서 인 실수 에 대하여 함수 의 그래프와 타원
이 만나는 서로 다른 점의 개수를
라 하자. 함수 가 불연속이 되는 모든 의 값들의 제곱 의 합은?
[4점][2016년 4월]
① ②
③
④
⑤
107.
107 ) 그림과 같이 타원
의 두 초점 중 좌표가 양수 인 점을 F, 음수인 점을 F′이라 하자. 타원 위의 점 P에 대하여 선분 PF′의 중점 M의 좌표가 이고 PM PF일 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.)
[4점][2016년 4월]
O
F F′
M
P
① ② ③ ④ ⑤
108.
108 ) 쌍곡선
이 점 을 지나고 두 점근선의 방 정식이 , 이다. 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시 오. (단, , 는 상수이다.)
[3점][2016년 4월]
109.
109) 그림과 같이 포물선 위의 점 A 에서 이 포 물선의 준선 에 내린 수선의 발을 B라 하자. 다음은 점 A에 서의 접선과 직선 OB가 만나는 점을 P라 할 때, 점 P의 좌표 를 구하는 과정이다. (단, ≠ 이고, O는 원점이다.)포물선의 방정식 의 양변을 에 대하여 미분하여 정리하면
㈎ (단, ≠ )
이므로 점 A 에서의 접선의 방정식을 구하면
㈏ × ⋯⋯㉠
이다.
B ㈐ 이므로 직선 OB의 방정식은
㈐
⋯⋯㉡
이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 P의 좌표를 구하면
㈐ ×
이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 라 하고, (다)에 알맞은 수를 라 할 때, ×의 값은?
[4점][2016년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
110.
110 ) 타원 의 한 초점의 좌표가 일 때, 의 값을 구하시오.[4점][2016년 6월]
111.
111 ) 그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점을 F F′이라 하고, 이 쌍곡선 위의 점 P를 중심으로 하고 선분 PF′을 반지 름으로 하는 원을 C라 하자. 원 C위를 움직이는 점 Q에 대하 여 선분 FQ의 길이의 최댓값이 일 때, 원 C의 넓이는?
(단, PF′ PF)
[4점][2016년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
112.
112) 두 양수 , 에 대하여 포물선 와 직선 가 만나는 두 점 중 제사분면 위의 점을 A, 포물 선의 준선과 축이 만나는 점을 B, 직선 와 축이 만나는 점을 C라 하자. 삼각형 ABC의 무게중심이 포물선의 초 점 F와 일치할 때, AF BF의 값을 구하시오.
[4점][2016년 7월]
113.
113) 타원
의 두 초점을 F, F′라 하자. 타원 위의 점 P가 ∠FPF′
를 만족시킬 때, 삼각형 FPF′의 넓이는?
[3점][2016년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
F′ F
O
P
114.
114 ) 좌표평면에서 초점이 F인 포물선 위의 점 A가AF 을 만족시킨다. 점 B 에 대하여 AB 일 때,
의 값을 구하시오.
[3점][2016년 9월]
115.
115 ) 그림과 같이 타원
의 두 초점 F F′이고, 제 사분면에 있는 두 점 P Q는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) PF
(나) 점 Q는 직선 PF′과 타원의 교점이다.
삼각형 PFQ의 둘레의 길이와 삼각형 PF′F의 둘레의 길이의 합을 구하시오.
[4점][2016년 9월]
116.
116) 타원
의 두 초점 F , F′ 에 대하여 선분 F′F를 지름으로 하는 원이 있다. 타원과 원의 교점 중 제
사분면에 있는 점을 P라 하자. 원 위의 점 P에서의 접선이
축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가
일 때, 타원의 장축 의 길이는? (단, , 는 인 상수이다.)
[4점][2016년 10월]
① ② ③
④ ⑤
117.
117) 좌표평면에서 두 초점이 ′인 쌍곡선
이 타원
과 제1사분면에서 만나는 점을 라 하자.
삼각형 ′에 내접하는 원과 선분 가 만나는 점을 라 할 때, 이다. 의 값을 구하시오.
(단, 점의 좌표는 양수이고, 는 정수이다. )
[4점][2016년 10월]
