함수공간

함수공간

함수공간, 점 열린위상

Definition 0.1. X와 Y 는 임의의 집합이고 F (X, Y )를 X에서 Y 로의 모든 함수 족이라 하자. 집합 F (X, Y )에 위상을 정의할 때 이것을 함수공간(function space) 이라 한다.

F (X, Y )는 다음과 같이 적당한 적집합과 같음을 볼 수 있다. 각 x ∈ X에 대해 Y_x = Y 라 하자. 그리고

F := Y

x∈X

Y_x

이라 하자. 그러면 F는 각 x ∈ X에 대해 a_x ∈ Y_x = Y 을 만족하는 모든 점 p =<

a_x : x ∈ X >로 이루어진다. 따라서 F = F (X, Y )이다. 이제 각 x ∈ X에 대해 사상 e_x : F (X, Y ) → Y 을

e_x(f ) := f (x)

로 정의하자. 이 e_x를 x에서의 evaluation 사상이라 한다. F = F (X, Y )이므로 e_x는 F에서 Y_x로의 정사영 π_x와 같다.

Example 0.2. I = [0, 1]일 때 F (I, R)을 생각하자. 그리고 f (x) = x², g(x) = 2x+1, h(x) = sin(πx)라 두면 f, g, h ∈ F (I, R)이다. F(I, R)에서 정의된 evaluation 사상 e_1/2를 생각하자. 그러면

e_1/2(f ) = f (1/2) = 1/4, e_1/2(g) = g(1/2) = 2, e_1/2(h) = h(1/2) = 1 임을 볼 수있다.

이제 함수족 F (X, Y )위에 F = F (X, Y )임을 이용하여 위상을 정의하자. F는 적집 합이므로 적위상을 도입할 수 있다. F상의 적위상의 정의부분기저 S는 x₀ ∈ X와 좌표공간 Y_x0 = Y 의 열린부분집합 G를 취해서

π_x⁻¹₀ (G) = {f | π_x0(f ) ∈ G}

로 표현되는 F의 모든 부분집합으로 구성된다. 따라서 π_x0(f ) = e_x0(f ) = f (x₀)

이다. 그러므로 S는 임의의 점 x₀ ∈ X를 Y 의 임의의 열린집합 G로 사상하는 모든 F (X, Y )의 부분집합으로 이루어진다. 이 때 F (X, Y )상의 이와 같은 적위 상을 점열린위상(point open topology)이라 한다. 다른 말로 하면 evaluation 사상 ex : F (X, Y ) → Y 가 연속이되는 조건을 만족하는 F (X, Y )상의 위상 중에서 가장 거친 위상이 점열린위상이다.

Example 0.3. I = [0, 1]이고 F (I, R)사의 점열린위상을 T 라 하자. 그러면 T 의 정의부분기저는

{f ∈ F (I, R) | f(j) ∈ G}

형태의 모든 부분집합으로 이루어진다. 이것은 12장에서 다룬 적공간 X =Y

i∈I

R 의 부분기저의 원소와 같음을 알 수 있다.

Example 0.4. A가 적공간 Q

α∈IX_α의 부분집합이면 A ⊂Y

α∈I

π_α(A)

이다. 그러면 당연히

A ⊂Y

α∈I

π_α(A)

이다. 이제 A = A(X, Y )를 F (X, Y )의 부분족이라 하면 A ⊂ Y

x∈X

π_x(A) = Y

x∈X

e_x(A)

이다.(여기서 e_x(A) = {f (x) | f ∈ A}이다.) 만일 {f (x) | f ∈ A}가 모든 x ∈ X에 대하여 콤팩트이면 치호노프 정리에 의해

Y

α∈I

π_α(A) ⊂ Y

x∈X

Y_x

이다.

Theorem 0.5. A를 F (X, Y )의 부분족이라 하자. A가 닫힌집합이고 모든 x ∈ X 에 대하여 {f (x) | f ∈ A}가 Y 에서 콤팩트일 때 A는 F (X, Y )상의 점열린위상에 대하여 콤팩트이다.

Proof. 위의 예를 이용하면 쉽게 증명된다.

점별 수렴, 균등 수렴

Definition 0.6. 집합 X에서 위상공간 Y 로의 함수 fn, (n ∈ N)에 대해 함수열

< fn >을 생각하자. 함수 g : X → Y 가 존재해서 모든 x ∈ X에 대해

n→∞lim f (x) = g(x)

일 때 함수열 < f_n>은 g로 점별수렴(pointwise convergence)한다고 말한다.

위 정의에서 Y 가 거리공간이면 점별수렴의 정의를 다음과 같이 표현할 수 있다.

모든  > 0와 모든 x ∈ X에 대해

∃ n₀ ∈ N such that n > n0 =⇒ d(f_n(x), g(x)) <  일 때 < f_n>은 g에 점별수렴한다.

Example 0.7. < f_n >을 I = [0, 1]에서 R로의 함수열이라 하자. 여기서 f_n(x) := xⁿ

으로 정의 하자. 함수 g : I → R을

g(x) :=







0 if 0 ≤ x < 1, 1 if x = 1

으로 정의하면 < f_n >은 g에 점별수렴한다. 각 함수 f_n이 연속일지라도 극한함수 g는 연속이 아님에 주의해야 한다.

Theorem 0.8. F (X, Y )에 속하는 함수열 < f_n >이 F (X, Y )상의 점열린위상에 관하여 g ∈ F (X, Y )로 수렴하기위한 필요충분조건은 < f_n >이 g로 점별수렴하는 것이다.

Proof. F (X, Y )상의 점열린위상의 정의에 의해 함수열 < f_n >이 F (X, Y )상의 점열린위상에 관하여 g ∈ F (X, Y )로 수렴한다는 것은 모든 사영 π_x에 대해

< π_x(f_n) >=< e_x(f_n) >=< f_n(x) >

이

π_x(g) = e_x(g) = g(x)

로 수렴한다는 것과 동치이다. 따라서 모든 x ∈ X에 대해

n→∞lim f (x) = g(x)

이 성립하는것과 동치이다. 즉, < f_n>이 g로 점별수렴하는 것과 동치이다.

Definition 0.9. 집합 X에서 거리공간 Y 로의 함수열 < f_n >을 생각하자. 모든

 > 0에 대해

∃ n₀ ∈ N such that n > n0 =⇒ d(f_n(x), g(x)) < , ∀x ∈ X

이 성립할 때 < f_n >은 함수 g : X → Y 에 균등수렴한다(uniform convergence)고 말한다.

Theorem 0.10. < f_n >은 위상공간 X에서 거리공간 Y 로의 연속함수열이라 하 자. < f_n>이 함수 g : X → Y 로 균등수렴하면 g도 연속이다.

Proof.

Example 0.11. I = [0, 1]에서 R로의 함수열 < fn = xⁿ >을 생각하자. 그러면

< f_n >은 연속함수열이다. 그리고 < f_n >은

g(x) :=







0 if 0 ≤ x < 1, 1 if x = 1

으로 정의되는 함수 g 점별수렴한다. 그러나 g는 연속이 아니다. 따라서 < f_n>은 g로 균등수렴하지 않는다.

Example 0.12. < f_n >을 다음과 같이 정의되는 F (R, R)에 속하는 함수열이라 하자.

fn(x) =







1 −_n¹|x| if |x| < n, 0 if |x| ≥ n

그러면 < f_n >은 함수 g(x) = 1에 점별수렴한다. 그러나 균등수렴하지는 않는다.

왜냐하면  = 1/2에 대해

f_n(x₀) = 0, ∀n ∈ N 을 만족하는 점 x₀ ∈ R가 존재해서

|f (x₀) − g(x0)| = 1 >  이기 때문이다.

Theorem 0.13. 집합 X에서 거리공간 (Y, d)로의 모든 유계함수족을 B(X, Y )라 하자. 그리고 e를

e(f, g) := sup{d(f (x), g(x)) | x ∈ X}

으로 정의되는 B(X, Y )상의 거리라 하자. < f_n >을 B(X, Y )에 속하는 함수열이 라 하면 < f_n >이 거리 e에 관하여 함수 g ∈ B(X, Y )에 수렴하기 위한 필요충 분조건은 < f_n >이 g에 균등수렴하는 것이다.(여기서 e에 의해 유도된 위상을 균등수렴위상(topology of uniform convergence)이라 한다.)

Proof. (=⇒)  > 0이라 하자. < f_n >이 e에 관하여 g에 수렴하므로

∃ n₀ ∈ N such that n > n0 =⇒ e(f_n, g) <  이 성립한다. 따라서

n > n₀ =⇒ d(f_n(x), g(x)) ≤ sup{d(f_n(x), g(x) | x ∈ X}

= e(f_n, g) < , ∀x ∈ X 임을 알 수 있다. 결국 < f_n>은 g에 균등수렴한다.

(⇐=)  > 0이라 하자. < f_n >이 g에 균등수렴하므로

∃ n₀ ∈ N such that n > n0 =⇒ d(f_n(x), g(x)) < 1

2, ∀x ∈ X 임을 알 수 있다. 따라서

n > n₀ =⇒ sup{d(f_n(x), g(x) | x ∈ X} ≤ 1 2 < 

을 얻는다. 즉, n > n₀이면 e(f_n, g) < 이므로 < f_n >은 e에 관하여 g에 수렴한 다.

<연습1> I = [0, 1]이라 하고 < f_n>은 다음과 같이 정의되는 F (I, R)의 함수열이 라 하자.

f_n(x) :=











4n²x if 0 ≤ x ≤ 1/2n,

−4n²x + 4n if 1/2n < x, 1/n 0 if 1/n ≤ x ≤ 1 이 때 < f_n>은 상수함수 g(x) = 0에 점별수렴함을 보여라.

(풀이)

f_n(0) = 0, ∀n ∈ N 이므로

n→∞lim f_n(0) = g(0) = 0

이다. 한편 x₀ > 0에 대해 1/n < x0을 만족하는 n₀ ∈ N가 존재한다. 그러면 이 n⁰ 에 대해

n > n₀ =⇒ f_n(x₀) = 0 =⇒ lim

n→∞f_n(x₀) = g(x₀) = 0 이 성립함을 알 수 있다. 따라서 < f_n>은 영함수에 점별수렴한다.

주의:이 문제에서 머든 n ∈ N에 대해 Z 1

0

f_n(x)dx = 1 이지만

Z 1 0

g(x)dx = 0 이다. 따라서

n→∞lim Z 1

0

f_n(x)dx 6=

Z 1 0

n→∞lim f_n(x)dx

임을 볼 수 있다.

<연습2> I = [a, b]이라 하고 < f_n >은 F (I, R)의 연속함수열이라 하자.< fn >이 함수 g ∈ F (I, R)에 균등수렴하면

n→∞lim Z b

a

fn(x)dx = Z b

a

g(x)dx 임을 보여라.

(풀이)  > 0이라 하자. < f_n >이 g에 균등수렴하므로

∃ n₀ ∈ N such that n > n0 =⇒ |f_n(x) − g(x)| < ?(b − a), f orallx ∈ [a, b]

이다. 따라서 n > n₀이면    

Z b a

f_n(x)dx − Z b

a

g(x)dx    

=    

Z b a

(f_n(x) − g(x))dx    

≤ Z b

a

|f_n(x) − g(x)|dx

<

Z b a

/(b − a)dx =  이므로 증명은 끝난다.

균등연속, 균등유계

C[0, 1]은 I = [0, 1]에서 R로의 모든 연속함수족이다. f ∈ C[0, 1]에 대해 노름

||f || := sup{|f (x)| | x ∈ I}

을 정의하면 C[0, 1]은 노름 벡터공간이 된다.

Theorem 0.14. f ∈ C[0, 1]이면 모든  > 0에 대해 δ > 0가 존재해서

|x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < , ∀x, y ∈ I 을 만족한다. 즉, f 는 균등연속이다.

Proof. I가 콤팩트 공간이므로 당연히 성립한다.(2학년 해석학 참조) Theorem 0.15. C[0, 1]은 완비노름벡터공간이다.

Proof. < f_n >을 C[0, 1]속하는 코시함수열이라 하자. 그러면 모든 x ∈ I에 대해

< f_n(x) >는 R에서 코시열이고 R은 완비이므로 수렴한다. 함수 g : I → R을 g(x) := lim

n→∞f_n(x)

으로 정의하자. 그러면 < f_n >은 g에 균등수렴하고 따라서 g는 연속이다. 즉, g ∈ C[0, 1]이다. 결국 C[0, 1]은 완비이다.

Theorem 0.16. 모든 점에서 미분가능하지 않은 연속함수 f ∈ C[0, 1]기 존재한다.

Proof. 이 정리의 증명은 학부생에게는 공부할 의미가 없어 생략한다.

Definition 0.17. A을 집합 X에서 정의된 실함수족이라 하자. 주어진 f ∈ A에 대해

∃ M ∈ R such that |f(x)| < M, ∀x ∈ X 을 만족할 때 A은 균등유계(uniformly bounded)라고 한다.

Example 0.18.

A = {f₁(x) = sin x, f₂(x) = sin(2x), f₃(x) = sin(3x), · · · }

이라 하자. | sin(x)| ≤ 1, ∀x ∈ R임을 이용하면 A는 균등유계임을 알 수 있다.

Example 0.19. A ⊂ C[0, 1]를

A = {f₁(x) = x, f₂(x) = 2x, f₃(x) = 3x, · · · }

으로 정의하자. 그러면 A의 각 함수는 유계이나 A는 균등유계가 아니다. 왜냐하면 M 을 아무리 큰 실수로 잡아도 n₀ > M 이 되는 n₀ ∈ N이 존재하여

f_n0(1) = n₀ > M 이 되기 때문이다.

문제 풀이

1. < f_n >을 위상공간 X에서 거리공간 Y 로의 연속함수열이라 하고 < f_n >이 함수 g : X → Y 로 균등수렴한다고 하자. 그러면 g는 연속임을 보여라.

(풀이) x₀ ∈ X이고  > 0이라 하자. 그러면 x₀을 포함하는 열린집합 G ⊂ X가 존재해서

x ∈ G =⇒ d(g(x), g(x₀)) < 

을 만족함을보이면 g가 x₀에서 연속임을 보이는 것이 된다. < f_n >은 g에 균등수 렴하므로

∃ m ∈ N such that d(fm(x), g(x)) < 1

3, ∀x ∈ X 임을 알 수 있다. 따라서 삼각부등식을 적용하여

d(g(x), g(x₀)) ≤ d(g(x), f_m(x)) + d(f_m(x), f_m(x₀)) + d(f_m(x₀), g(x₀))

< d(f_m(x), f_m(x₀)) + 2 3

을 얻는다. 그리고 f_m은 연속이므로 x₀을 포함하는 열린집합 G ⊂ X가 존재해서 x ∈ G =⇒ d(f_m(x), f_m(x₀)) < 1

3 이다. 위의 두 식을 함께 적용하면

x ∈ G =⇒ d(g(x), g(x₀)) <  이 성립함을 알 수 있다. 그러므로 g는 연속이다.

2. (학생들 풀이) < f_n >은 C[0, 1]에 속하는 코시함수열이다. 각 x₀ ∈ I에 대해 점렬 < f_n(x0) >은 R에서 코시열임을 보여라.

3. (학생들 풀이) F (R, R)에 속하는 함수열 < fn>은

f_n(x) :=







1 − _n¹x if |x| < n, 0 if |x| ≥ n

으로 정의된다. 이 때 < f_n >은 콤팩트집합상에서 상수함수 g(x) = 1에 균등수렴 함을 보여라.

4. (학생들 풀이) < f_n >은 C[0, 1]에 속하는 함수열이고 f_n(x) := nx(1 − x)ⁿ으로 정의된다.

(1) < f_n>은 상수함수 g(x) = 0에 점별수렴함을 보여라.

(2) < fn>은 상수함수 g(x) = 0에 균등수렴인지를 확인하여라.

(3) 다음 등식이 성립함을 보여라

n→∞lim Z 1

0

f_n(x)dx = Z 1

0



n→∞lim f_n(x) dx