소거법칙 (Cancellation law)

군 (Groups)

현대대수학1 <제4절>

이상준 교수

(덕성여대 수학과)

교재 : 현대대수학(제7판)

John B. Fraleigh 지음, 강영욱, 강병련 옮김

관찰: 실수의 덧셈, 곱셈

„ 예제: 이항구조 < R , + > 는 다음의 성질을 만족한다.

„ (a + b) + c = a + (b + c) : 결합법칙

„ a + 0 = a : 항등원 0이 존재

„ a + (-a) = 0 : 각 원소 a의 역원 -a이 존재

„ 예제: 이항구조 < R , ⅹ > 는 다음의 성질을 만족한다.

„ (a ⅹ b) ⅹ c = a ⅹ (b ⅹ c) : 결합법칙

„ a ⅹ 1 = a : 항등원 1이 존재

„ 𝑎 × ^𝟏_𝒂 = 1 : 각 원소 a의 역원 ^𝟏_𝒂 이 존재

군 (Group)

„ 정의1: 집합 G와 이항연산 *가 다음 3가지 조건을 만족하면

< G , * >를 군(group)이라 한다.

„ 모든 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺에 대해 𝒂 ∗ 𝒃 ∗ 𝒄 = 𝒂 ∗ (𝒃 ∗ 𝒄) : 결합법칙

„ 모든 𝑥 ∈ 𝐺에 대해서 𝒙 ∗ 𝒆 = 𝒆 ∗ 𝒙 = 𝒙 가 되는 G의 원소 e가 존재 : 항등원의 존재

„ 각각의 𝑎 ∈ 𝐺 에 대해 𝒂 ∗ 𝒂⁵ = 𝒂⁵ ∗ 𝒂 = 𝒆 인 G의 원소 𝑎⁵이 존재 : a의 역원의 존재

„ 정의2: 군 < G, * >가 교환법칙을 만족하면,

(즉 모든 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺에 대해 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒃 ∗ 𝒂이면)

예제

„ 예제4.4: < 𝑍⁸, + > 는 군인가?

„항등원이 존재하지 않기 때문에 군이 아니다.

„ 예제4.5: < 𝑍⁸ ∪ 0 , + >는 군인가?

„1에 대한 역원이 존재하지 않기 때문에 군이 아니다.

„ 예제4.6: Z, Q, R, C는 덧셈에 대해 아벨군인가?

„아벨군의 모든 조건을 만족하므로 아벨군이다.

„ 예제4.7: < 𝑍⁸, = >는 군인가?

„ 정의: 𝑸^∗,𝑹^∗,𝑪^∗ 는 𝑄, 𝑅, 𝐶 에서 0을 제외한 집합이다.

„ 예제4.8: 𝑄⁸,𝑅⁸,𝑄^∗,𝑅^∗,𝐶^∗는 곱셈 아래서 아벨군이다.

„ 결합법칙

„ 항등원

„ 역원

„ 교환법칙

„ 예제4.9: F를 R에서 R로의 모든 함수의 집합이라 하자.

그러면 < F, + >는 아벨군이다.

„ 결합법칙

„ 항등원

„ 역원

„ 교환법칙

„ 정의: 𝑴_𝒎×𝒏(𝑹)은 실수를 성분으로 갖는 mⅹn 행렬의 집합

„ 예제4.11: < 𝑀_H×I 𝑅 , + > 는 아벨군이다.

„ 결합법칙

„ 항등원은 0행렬

„ M의 역원은 –M

„ 교환법칙

„ 정의: 𝑴_𝒏(𝑹)은 실수를 성분으로 갖는 nⅹn 행렬의 집합

„ 예제4.12: < 𝑀_I 𝑅 , = > 는 군이 아니다.

„ 이유: 행렬식(determinant)이 0이면 역행렬이 존재하지 않는다.

정의 (행렬식, determinant):

„ 정의: GL(n,R)은 실수를 성분으로 갖고 역행렬이 존재하는 nⅹn 행렬의 집합

„GL(n,R)을 n차 일반선형군(the general linear group of degree n) 이라 부른다.

„ 예제 4.13: < GL n, R , = > 는 군이다.

„결합법칙

„항등원

„역원

„ 문제: < GL n, R , = > 은 아벨군인가?

„ 예제 4.14: 𝑄⁸위에서 *를 𝑎 ∗ 𝑏 = ^ST_U 라고 정의하자. < 𝑄⁸ , ∗ >은 군이다.

„ 풀이: (수업시간)

„결합법칙:

„항등원:

„역원:

„ 예제 4.14: 𝑄⁸위에서 *를 𝑎 ∗ 𝑏 = ^ST_U 라고 정의하자. < 𝑄⁸ , ∗ >은 군이다.

„ 풀이:

„결합법칙:

„ 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ ^TV_U = ^STV_W

„ 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = ^ST_U ∗ 𝑐 = ^STV_W

„항등원:

„ ^SX

U = 𝑎

„ 𝑒 = 2 로 항등원이 존재한다.

„역원:

„ ^SV_U = 2

소거법칙 (Cancellation law)

„ 정리 4.15(소거법칙): < G, * >가 군이고 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 라 하자.

„ ① a ∗ b = a ∗ c 이면 b = c 이다.

„ ② b ∗ a = c ∗ a 이면 b = c 이다.

„ 증명①: a ∗ b = a ∗ c 라고 하자.

„ 𝑎⁵ ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎⁵ ∗ ( 𝑎 ∗ 𝑐 ) ← 𝑎⁵는 a의 역원

„ 𝑎⁵ ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎⁵ ∗ 𝑎 ∗ 𝑐 ← 결합법칙

„ 𝑒 ∗ 𝑏 = 𝑒 ∗ 𝑐 ← 𝑎⁵의 정의

„ 𝑏 = 𝑐 ← 항등원 e의 정의

„ 정리 4.15 (소거법칙): < G, * >가 군이고 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 라 하자.

① a ∗ b = a ∗ c 이면 b = c 이다.

② b ∗ a = c ∗ a 이면 b = c 이다.

„ 증명②: (연습)

방정식

„ 정리 4.16 : < G , * >가 군이고 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝐺라 하자.

„ ① 방정식 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑏 는 유일한 해 x를 가진다.

„ ② 방정식 𝑦 ∗ 𝑎 = 𝑏 는 유일한 해 y를 가진다.

„ 증명①: 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑏

„ 𝑎⁵ ∗ 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑎⁵ ∗ 𝑏

„ 𝑎⁵ ∗ 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑎⁵ ∗ 𝑏

„ 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑎⁵∗ 𝑏 이므로 𝑥 = 𝑎⁵ ∗ 𝑏

„ 정리 4.16 : < G , * >가 군이고 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝐺라 하자.

① 방정식 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑏 는 유일한 해 x를 가진다.

② 방정식 𝑦 ∗ 𝑎 = 𝑏 는 유일한 해 y를 가진다.

„ 증명②: (연습)

항등원과 역원의 유일성

„ 정리 4.17: < G, * >는 군이다.

„① 항등원은 유일하다.

„② 𝑎 ∈ 𝐺 이면 a의 역원은 유일하다.

„ 증명① (교재): 𝑒, 𝑒⁵ 가 항등원이라고 가정하자.

„ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑒⁵ = 𝑒′ ⟹ 𝑒 = 𝑒⁵

„ 증명① (교수): 어떤 𝑔 ∈ 𝐺 에 대해 𝑔 ∗ 𝑒 = 𝑔 그리고 𝑔 ∗ 𝑒⁵ = 𝑔

„ 𝑔 ∗ 𝑒⁵ = 𝑔 ∗ 𝑒

„ 소거법칙에 의해 𝑒 = 𝑒⁵

„ 정리 4.17: < G, * >는 군이다.

① 항등원은 유일하다.

② 𝑎 ∈ 𝐺 이면 a의 역원은 유일하다.

„ 증명②: (연습)

역원의 성질

„ 따름정리 4.18: (𝑎 ∗ 𝑏)⁵= 𝑏⁵ ∗ 𝑎⁵

„ 증명:

„(1) 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑏⁵ ∗ 𝑎⁵ = 𝑒 인가?

„ 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑏⁵ ∗ 𝑎⁵ = 𝑎 ∗ 𝑎⁵ = 𝑒

„(2) 𝑏⁵ ∗ 𝑎⁵ ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑒 인가?

„ 𝑏⁵ ∗ 𝑎⁵ ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏⁵ ∗ 𝑏 = 𝑒

군임을 보일 때

„ 정리: 집합 G와 이항연산 *가 다음 3가지 조건을 만족하면

< G , * >를 군(group)이다.

„ 모든 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺에 대해 𝒂 ∗ 𝒃 ∗ 𝒄 = 𝒂 ∗ (𝒃 ∗ 𝒄) : 결합법칙

„ 모든 𝑥 ∈ 𝐺에 대해서 𝒆 ∗ 𝒙 = 𝒙 가 되는 G의 원소 e가 존재한다.

„ 각각의 𝑎 ∈ 𝐺 에 대해 𝒂⁵ ∗ 𝒂 = 𝒆 인 G의 원소 𝑎⁵이 존재한다.

„ 질문: 군의 정의와 무엇이 다른가?

유한군과 연산표

„ 질문1 : 크기가 2인 군은 몇 개일까?

„ 연산표의 조건

„ ① 각 원소는 연산표의 각 행과 열에 반드시 한 번씩 나타나야 한다.

„ 소거법칙이 성립해야 하기 때문이다.

„ ② 결합법칙이 성립하는지 확인해야 한다.

* e a

e e a

a a ?

„ 질문1 : 크기가 2인 군은 몇 개일까?

„ 답:

„결합법칙이 만족하는가? 그렇다 왜나하면…

가 있으니까!

* e a

e e a

a a e

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

„ 질문2 : 크기가 3인 군은 몇 개일까?

„결합법칙이 만족하는가? 그렇다 왜냐하면,

가 있으니까!

* e a b

e e a b

a a

b b

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0