• 5.3 운동에너지

5장 일과 에너지

• 5.1 일

• 5.2 일률

• 5.3 운동에너지

• 5.4 위치에너지

• 5.5 역학적 에너지 보존 법칙

• 5.6 충돌에서 운동 에너지의 변화

• 5.1 일

• 5.2 일률

• 5.3 운동에너지

• 5.4 위치에너지

• 5.5 역학적 에너지 보존 법칙

• 5.6 충돌에서 운동 에너지의 변화

‘본 강의 콘텐츠는 ‘북스힐’ 출판사에서 발행한 ‘프리물리학’과 ‘대학물리학’

의 일부 내용과 그림을 참조 또는 인용 하였음을 밝힙니다.

5.1 일

F r

q

cos F

q

m

§ 일(Work)이란?

일은 스칼라량

크기 (O), 방향 (X)

‘역학적 일’만 고려

q

sin F

물체에 일정한 힘 가 작용하여 의 변위가 발생하였다면, 이 힘은 물체에 일을 한 것이다. 이때 힘 가 물체에 한 일 은 다음과 같이 정의한다.

s r

s r

( ^{F cos q} ) ^{s Fs cos q}

W = =

F r

‘역학적 일’만 고려

F r

물체에 작용한 힘 중 변위와 나란한 성분의 힘만이 물체를 이동시키는데 일을 한다.

) X or

O ( Fs W =

§ 일의 단위

SI (MKS )단위는

N × m

dyne 10

N

1 =

J 1 /

m kg

1 m

N

1 × = ×

s

=

erg 1

/s gcm 1

cm dyne

1 × =

=

SI (MKS )단위는 이다.

erg 10

J

1 =

m N ×

일을 CGS 단위로 표현하면 …

물체에 여러 힘이 작용하여 물체에 일을 했을 때, 물체에 행 하여진 총 일은?

§ 여러 힘이 한 일

Fr E

m

Nr frk

x

, s F W _E ^E

F = W f_kscos180^o f_ks,

fk = = -

, 0 90

cos ^o =

= Ns

W_N W_g = mgscos90^o = 0 sr

g mr

(방법1) 각각의 힘이 물체에 한 일을 구해 더한다.

(방법2) 합력을 구해 합력이 물체에 한 일을 구한다.

g k N

f

FE W W W

W

W = + + +

s f

F s

f s

F ^E + (- _k ) = ( ^E - _k )

=

s f

F s

F

W ^E _k

i i ) cos ( )

(å = -

=

q

x f

F g

m N

f F

F ^E _k ^E _k

i i = + + + = ( - ) ˆ

å r r r r r

s f

F s

F

W ^E _k

i i ) cos ( )

(å = -

=

q

수직항력과 같은 구속력은 경로에 수직한 힘이므로 일을 하 지 않는다.

음의 일이 반드시 에너지의 손실을 의미하는 것은 아니다.

단지, 힘과 변위가 반대인 경우다.

5.2 일률

동일한 질량의 두 상자를 같은 높이까지 들어 올리는 데, 하나는 1초 만 에, 다른 하나는 2초가 걸렸다고 하자. 이 경우 물체에 한 일은 같지만, 효율적인 면은 다르다. 일의 효율은 같은 일을 하는데 적은 시간이 걸린 경우가 효율이 높다 하겠다.

1초 2초

§ 일률(Power)이란?

일률은 단위 시간 당 한 일로 정의

하며, 일의 효율을 말한다. t P = W

§ 일률의 단위

3 2

/ m kg

1 J/s

1 W

1 = = × s

영국식 관습 단위로 ‘마력(horsepower, hp)’을 쓰기도 한다.

W 746 hp

1 =

W는 와트(watt)라고 읽음

§ 일률의 다른 표현

t Fv F s

t Fs t

P W ÷ =

ø ç ö

è

= æ

=

=

물음 정지 상태에 있던 질량 2kg의 물체에 10N의 일정한 힘을 가했 더니, 이 물체는 의 속력을 가지게 되었다. 의 속력을 가지게 되는 순간의 일률은 얼마인가?

m/s

5 5m/s

W 50 m/s

N 50 m/s

5 N

10 ´ = × =

=

=

= Fv

t P W

5.3 운동에너지 (Kinetic Energy)

마찰이 없는 수평면에서 물체에 일정한 힘 를 수평면과 나란하게 가하여 물체를 운동시켰다고 하자. 이때, 힘

가 물체에 한 일은 물체의 속력을 증가시킨다.

Fs W =

Fr

s ma) (

i

=

v v_f

Fr

s ma) (

=

s s v m v^{f i}

)

( 2

2 2

-

=

as v

v²_f - _i² = 2

2 2

2 1 2

1

i

f mv

mv -

=

K K

K _f - _i = D

= Fr

sr

vf

m

2

2

1 mv

운동에너지 K º

K W = D

일-운동에너지 정리

단위:

J

물체에 한 일은 운동에너지의 변화량과 같다 물체의 운동 상태에 관계하는 에너지

물체에 한 일은 운동에너지의 변화량과 같다 물음 마찰이 없는 수평면 위에서 정지해 있던 질량 2kg의 물체에 수

평면과 나란하게 12N의 일정한 힘을 가하였다. 물체가 3m만큼 움직였을 때의 속력은 얼마인가?

일-운동에너지 정리( )를 이용하여 속력을 구한다.W = DK

J 36 m

3 N

12 0

cos

cos = ^o = = ´ =

= Fs Fs Fs

W

q

2 2

2

2 2 0

2 1 2

1 2

1

f f

i

f mv v v

mv

K = - = ´ ´ - =

D

K

W = D

5.4 위치에너지 (Potential Energy)

§ 중력 위치에너지

지표면 근방에서 질량 m의 물체가 갖는 중력에 의 한 위치에너지는 이 물체를 들어 올리는 데 외력이 한 일로써 정의할 수 있을까?

§ 중력 위치에너지

곤란하다. 왜?

물체 주위 공간의 공기 밀도, 상⋅하강 기류, 물체의 운동 속력 등에 따라 물체를 일정한 높이로 들어 올리는데 외력이 한 일은 다를 수 있기 때문에.

중력 위치에너지(의 변화량)는 보존력인 중력이 한 일에 음의 부호를 붙여 정의한다.

hf

D U

= - W

hi

m

hf

g mr

mgh h

h mg h

h mg

W_g = ( _f - _i)cos180^o = - ( _f - _i ) = -

i

f h

h

h = -

mgh W

U_g = - _g = D

단위:

J

• 보존력: 물체에 힘이 작용하여 닫힌(폐) 경로를 따라 운 동하였을 때, 이 물체에 하여진 일의 양이 0이 되는 경 우 이 물체에 작용한 힘을 ‘보존력’이라고 한다. 보존력 은 경로에 무관한 일을 하는 힘이다.

§ 보존력과 비보존력

(예) 중력, 용수철의 탄성력, 전기력.

A

B

A

• 비보존력: 물체에 힘이 작용하여 닫힌(폐) 경로를 따라 운동하였을 때, 이 물체에 하여진 일의 양이 0이 되지 않는 경우 이 물체에 작용한 힘을 ‘비보존력’이라고 한 다. 비보존력은 경로에 유관한 일을 하는 힘이다.

(예) 마찰력, 공기 저항력, 외력.

§ 위치에너지란?

두 물체의 상대적 위치(변화)에 관계하는 에너지로 보존 력이 한 일에 음의 부호를 붙여 정의한다.

ü 용수철의 탄성 위치에너지 ² 2

1 kx U_s =

D

W

U = -

D

ü 용수철의 탄성 위치에너지 ² 2

1 kx U_s =

D

ü 전기 위치에너지

r q k q

U

=

ü 만유인력에 의한 위치에너지

r m G m

U

= -

§ 용수철의 탄성력에 의한 위치에너지

x x

Fs

0

2

2 1 kx -

면적=

용수철의 탄성력

kx F_s = -

용수철의 탄성력에 의한 위치에너지

2 2

2 1 2

1 kx kx W

Us Fs ÷ =

ø ç ö

è æ- -

= -

= D

kx -

5.5 역학적 에너지 보존 법칙

일-운동에너지의 정리와 위치에너지의 정의로부터 …

, K W = D

K W

W =

= D

W

U = - D

만일, 계에 보존력만 작용한다면 …

K W

W =

= D U D

-

0

= D

+

D K U

0

= -

+

-

f

K U U

K

) (일정 E

U K

U

K_i + _i = _f + _f =

§ 중력장 하에서의 역학적 에너지 보존

다음의 그림에서처럼 물체에 보존력인 중력만 작용하 여 낙하한다면 역학적 에너지는 보존된다.

0

= D

+

D K U

m

hi

g mr

vi ^{2 2}

2 1 2

1

i

f mv

mv

K = -

D

hf

hi

vf

2 2

2 1 2

1

i

f mv

mv

K = -

D

i f

g mgh mgh

U = -

D

2 2

2 1 2

1

i f

g mv mv

U

K + D = - D

i

f mgh

mgh - +

f f

i

i mgh mv mgh

mv² + = ² + 2

1 2

1

물음2 처음 정지 상태에 있던 질량 의 타잔이 운 동의 최하점에 대하여 높은 바위에서 줄을 잡고 계곡 사이를 뛰어넘고 있다. 운동의 최하점에서의 타잔의 속력은 얼마인가?

타잔에게는 중력과 장력이 작용한다. 그런데, 장 력은 구속력(힘과 변위가 수직)으로 일을 하지 않는다. 그러므로 보존력인 중력만 일을 하는 셈 이므로 역학적 에너지 보존법칙을 적용하여 문 제를 풀 수 있겠다.

kg 80

= m m

5

타잔에게는 중력과 장력이 작용한다. 그런데, 장 력은 구속력(힘과 변위가 수직)으로 일을 하지 않는다. 그러므로 보존력인 중력만 일을 하는 셈 이므로 역학적 에너지 보존법칙을 적용하여 문 제를 풀 수 있겠다.

0

= D

+

DK U_g

f f

i

i mgh mv mgh

mv² + = ¹₂ ² +

2 1

) (

2 _{i f}

f g h h

v = -

\

m/s) (

10 5

10

2´ ´ =

=

0

i = v

속력이 질량에 무관!

갈릴레이의 생각 ^.^

물음3 질량이 각각 과 인 두 물체가 그 림과 같이 줄로 연결되어 있다. 처음 정지 상태로부 터 질량 의 물체가 만큼 낙하하였을 때 의 이 물체들의 속력은 얼마인가?

보존력인 중력만 일을 한다. 그러므로 역학적 에 너지 보존법칙을 적용하여 문제를 풀 수 있겠다.

m2

kg

1 = 4

m m₂ = 1kg

m1 h = 2.5m

0

= D

+

DK U_g

2 2

1 2

2 1 2

1 2

1 (m m )v_f (m m )v_i

K = + - +

D

gh m

gh m

gh m

U_g = _{1 f} - _{1 i} = - ₁ D

2 2

2 1

1 (m + m )v_f

=

m1

h

0 )

( _{1 2} ² ₁

2

1 m + m v_f - m gh =

2 1

2 1

m m

gh v_f m

= +

\

m/s 10

1 2 4

5 . 2 10

4

2 =

+

´

´

= ´