Øw Š ¹ ÅX ì Ä § ŽÛ à Å] K ¤• ¤õ u § “ Ó Þ” X ¢ T Æ X Ø× Dù o Ú 4  ˜ mU ê s0 n É8 ý 4 ® o

Ç U

Øw Š ¹ ÅX ì Ä § ŽÛ à Å] K ¤• ¤õ u §  “ Ó Þ” X ¢ T Æ X Ø× Dù o Ú 4  ˜ mU ê s0 n É8 ý 4 ®  o

Ù

• v' Ö <¦ 

^∗

 â

" é ¶@ /† < Ɠ § Ó ü to † < Æõ , $ í z Œ ™ 461-701 (2007¸   12 Z 4 11{ 9  ~ à Î6 £ §)

‘ :

r ƒ  ½ ¨\ " f  H ï  r“ ¦„  & h  Õ ª 2 ;† < Êà º (Green function)\  ¦  6   x # Œ s “ : r oÖ  ¦`  ¦ ´ òÖ  ¦& h Ü ¼– Ð > í ß –   H

~

½

ÓZ O `  ¦ > hµ 1 Ï % i  . à ºu & h Ü ¼– Ð s “ : r oÖ  ¦_  > í ß –`  ¦   HX <  H ´ ú §“ É r ( Ž É Ó'   " é ¶s  כ ¹½ ¨÷ &Ù ¼– Ð, ´ òÖ  ¦

$ í

`  ¦ Z  }s   H  כ “ É r ×  æכ ¹ô  Ç õ ] j ×  æ_  
 ÷ &% 3  . \  -t  s “ : r oë  H) 3 ° ú כ˜ Ð   H F  g  à º™ èg 1 J " é ¶



 (s “ : r)\  { 9     H  â Ä º, % ƒ6 £ § Y >  > h_  ± ú “ É r 5 Å q~ à Ì © œI – Ð Ø  æì  r >  " é ¶ _  € ª œ & h   © œI \  ¦ l Õ ü t½ + É Ã

º e ”    H & ñ `  ¦ “ ¦, È Ò% ò ƒ  í ß – \  ¦  6   x # Œ ± ú “ É r \  -t   © œI ü < Õ ª ü @_   © œI – Ð
¾ º# Q > í ß –`  ¦

• ¸2 Ÿ ¤ # Œ ´ òÖ  ¦$ í `  ¦ Z  }% i  . ï  r“ ¦„  & h  Green † < Êà º  H { 9  _  e ” _ _  0 Au  (r

⁰

)ü < “ ¦„  & h Ü ¼– Ð ¹ ¡ §f ”  s

  H { 9  _  C & h \  e ”   H   É r 0 Au  (r)\  ¦ ƒ    r v   H  ⠖ Ð& h ì  r`  ¦ € 9 כ ¹– Ð   HX <, rõ  r

⁰

 Òì  r`  ¦ ì  ro  r

v • ¸2 Ÿ ¤ # Œ > í ß –_  ´ òÖ  ¦`  ¦ Z  }% i Ü ¼ 9, ¢ ¸ô  Ç & h ì  r½ ¨ç ß –`  ¦
¾ º# Q y Œ • ½ ¨ç ß –\ " f  © œ ´ òÖ  ¦& h Ü ¼– Ð > í ß – s

 s À Ò# Qt • ¸2 Ÿ ¤ % i  . s – РÒ'  1F  g  s “ : r oÖ  ¦\  @ /ô  Ç > í ß –`  ¦ : Ÿ xK  > hµ 1 ϝ ) a ~ ½ ÓZ O `  ¦ _ …Û ¼à Ô % i   H X

<, Z  }“ É r ´ òÖ  ¦$ í `  ¦ ° ú “ ¦, q “ §& h  î ß –& ñ  ) a   õ \  ¦ % 3 6 £ §Ü ¼– Ð+ ‹ 4 Ÿ ¤¸ ú šô  Ç ë  H] j\   Ö ¸6   x½ + É Ã º e ”   H  „ ½ Ós  | ¨ c Ã

º e ” 6 £ §`  ¦ S X ‰“   % i  .

PACS numbers: 31.15.Gy, 31.15.Kb, 32.80.Fb Keywords: s“:roÖ¦, ïr“¦„&h Green †<Êú, â–Ð&hìr

I. " e  ] Ø

"

é

¶  ¢ ¸  H ì  r _  2 [/ å L“ É r @ /> h € ª œ % i † < Æ_   1 l x† < Êà º\  ¦

>

í ß –† < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ s À Ò# Q”   . ´ ú §“ É r € ª œ % i † < Æ “ §õ " f\ " f  H K

$ 3 & h “   K \  ¦ % 3   H ~ ½ ÓZ O \  œ í& h `  ¦ ´ ú Æ Ò>  ÷ &t ë ß –,  Å Ò ç

ß

–é ß –ô  Ç Ã º™ è\ " f_  F  gs “ : r o > í ß –\ " f• ¸  F  g s “ : r o

\



¦  À ҍ  H  â Ä º\   H K $ 3 & h  K \  ¦ % 3 `  ¦ à º \ O >  ÷ &# Q à ºu 

&

h

 > í ß –“ É r € 9 à º& h “   ~ ½ ÓZ O s   ) a . ( Ž É Ó' _  / å L5 Å qô  Ç µ 1 τ   õ

 † < Êa  S' Ÿ § > =~ ½ ÓZ O  [1], B-spline~ ½ ÓZ O  [2],  7 H_ … \  ¦– Ð r  Ð

3

x~ ½ ÓZ O  (Monte Carlo simulation) [3], Floquet~ ½ ÓZ O  [4], ¢ ¸





H r ç ß –\  _ ” > rô  Ç Ã »Y U` ç  ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ f ” ] X  É Ò  H 1 p x [5]_ 



€ ª œô  Ç r • ¸ ÷ &“ ¦ e ” t ë ß –, œ íy © œ§ 4  Y Us $ _  > hµ 1 Ï 1 p xÜ ¼

–

Ð “  K  B Ä º y © œô  Ç Y Us $  © œ\  _ ô  Ç " é ¶ -F  g _   © œ  ñ Œ • 6

 

xõ  ° ú  “ É r D h– Ðî  r ‰ & ³ © œ`  ¦ [ O " î l  0 Aô  Ç Ã ºu & h  > í ß –_ 

€ 9

כ ¹$ í 1 p xÜ ¼– Ð “   # Œ  À Ò# Q  ½ + É ë  H] j_  # 3 0 A  8¹ ¡ ¤ V

,

# Qt €  " f, & h & h   8 ´ ú §“ É r ( Ž É Ó'   " é ¶_  כ ¹½ ¨ € 9 כ ¹ 

>

  ) a .  1 l x† < Êà º_  l Õ ü t`  ¦ 0 AK  l $ † < Êà º\  ¦  6   x   H

 â

Ä º, r Û ¼% 7 ›s  4 Ÿ ¤¸ ú šK | 9 à º2 Ÿ ¤ ¢ ¸  H { 9  [ þ t_  0 Au  Y O 

#

Qt >  ÷ &  H s “ : r o õ & ñ \ " f% ƒ! 3  r Û ¼% 7 ›_  / B Nç ß –& h  ì  r

Ÿ

í\  ¦ ß ¼>  K  ½ + Éà º2 Ÿ ¤ l $ † < Êà º_  à º (N ) ´ ú §s  € 9 כ ¹

∗E-mail: [email protected]

>  ÷ & 9, N _  7 £ x  H N

²

∼ N

³

\  q Y V   H > í ß – Ò{ Œ ™

`



¦ Å Ò>   ) a . : £ ¤y , „   ç ß –_   © œ› ' a› ' a>  ë  H] j ÷ &  H 3^ ‰ s  © œ_  ë  H] j_   â Ä º F  gs “ : r o_  > í ß –“ É r B Ä º j Ë µ[ þ t

>

 ÷ &“ ¦,  F  g  s “ : r o (multi-photon ionization) [6] ¢ ¸





H s ×  æs “ : r o (double ionization) [7] 1 p x_  ë  H] j  H  8¹ ¡ ¤

#

Q 90 >”   . > í ß –`  ¦ ç ß –é ß – >  l  0 AK  — ¸4 S q ( J $ ™[ > `  ¦



6   x  
 " é ¶`  ¦ ×  ¦# Œ" f Ò q ty Œ •  
 [8] ô  Ç > h_  „    ë

ß

–s   © œ  ñ Œ •6   x_  Šҝ ) a % i ½ + É`  ¦ ô  Ç   H   H  (single-active approximation) [9]\  ¦   H 1 p x_  ~ ½ ÓZ O s  ë  H] j_  K   ~ ½ ÓZ O  Ü

¼– Ð r • ¸÷ &# QM ® o“ ¦ ´ ú §“ É r Ó ü to ‰ & ³ © œ`  ¦ q “ §& h  ë ß –7 á ¤Û ¼X O >  [

O

" î K M ® o . Õ ª Q
  8 & ñ S X ‰ô  Ç > í ß –`  ¦ l  0 AK " f  H ˜ Ð



  8 z  ´] j_  r Û ¼% 7 ›`  ¦ q 5 p w >  l Õ ü tK   “ ¦, s   H / B I (

Ž

É Ó'   " é ¶_  ] jô  Çs    H › ¸| \   Ò` ” y >   ) a .

s

 ƒ  ½ ¨\ " f  H · ú ¡\ " f ƒ  / å Lô  Ç ë  H] j[ þ t`  ¦ F G4 Ÿ ¤ l  0 A ô



Ç 
_  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð ï  r“ ¦„  & h  Green † < Êà º [10]\  ¦  6   xô  Ç



. „    Õ ª \  -t  & " f Ø  æì  ry  " é ¶ Ù þ ˜Ü ¼– РÒ'  Y O 

#

Q| 9  M :, “ ¦„  % i † < Æ& h “    ⠖ Ð\  ¦     H  z  ´`  ¦ s 6   x 

€



,  1 l x† < Êà º_  > í ß –`  ¦ € ª œ % i † < Æ& h Ü ¼– Ð   H  כ ˜ Ð  “ ¦

„



& h “   „   “   \  ¦ s 6   x½ + É  â Ä º  8¹ ¡ ¤ ´ òÖ  ¦& h “   > í ß –s 

|

¨

c à º e ” `  ¦  כ s  .

F 

g ü <  © œ  ñ Œ •6   x   H > _  „  ^ ‰ K x 9 ž Ðm î ß –`  ¦ H “ ¦

€   H  H " é ¶ _  K x 9 ž Ðm î ß – H

a

ü < „   ü < y n C_   © œ  ñ

-112-



Œ

•6   x`  ¦
 ? /  H ( J $ ™[ >  V (t)_  ½ + ËÜ ¼– Ð ³ ð‰ & ³ ) a . H = H

a

+ V (t). ( J $ ™[ > “ É r ¢ ¸ô  Ç  A ü < ° ú  s  ì  rK ½ + É Ã º e ”  .

V (t) = V

+

e

^−iωt

+ V

−

e

^iωt

(1)

#

Œl " f ω   H y n C_  Å Ò à ºs “ ¦, V

−

= V

₊^†

s  . |φ

n

iõ  E

n

`  ¦ y Œ •y Œ • H

a

_  “ ¦Ä » 7 ˜' ü < “ ¦Ä »° ú כs  “ ¦ €   F  g  1> h_  f  ¨Ã º\  _ K  Ò q tl   H s “ : r oÖ  ¦(Γ

1

)“ É r  6 £ §õ  ° ú  s  Å

Ò# Q”   .

Γ

1

= 2π X

n

|hφ

n

|V

+

|φ

0

i|

²

δ(E

n

− E

ω

) (2)

#

Œl " f E

ω

= E

0

+ ω s “ ¦, ½ + Ë`  ¦
 ? /l  0 AK   6   xô  Ç t

³ ðà º n“ É r ƒ  5 Å q © œI \  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç . s   7 Hë  H\ " f  H " é ¶  é

ß

–0 A> \  ¦ > 5 Å q  6   xô  Ç . (~ = e = m

e

= 1) s  > í ß –\ " f

 © œ ~ 1 t  · ú §“ É r  Òì  r“ É r ƒ  5 Å q © œI \  ¦
 ? /  H  Òì  r_  >  í

ß

–“  X < ƒ  5 Å q © œI \  ¦ > í ß –\ " f Ÿ í† < Ê÷ &t  · ú §• ¸2 Ÿ ¤ d ”  (2)\  ¦



6 £ §õ  ° ú  s    + þ A “ ¦,

Γ

1

= 2πhφ

0

|V

−

δ(E

ω

− H

a

) V

+

|φ

0

i (3) resolvent ƒ  í ß – “   G(E) = 1/(E − H

a

)ü < lim

ε→0

1/(x + iε) = Pr(1/x) − iπδ(x)_  † ½ Ó1 p xd ” `  ¦ s 6   x €   (ε  H Á ºô  Ç

™

è_  € ª œÃ º– Ð  ¾ ú  Ü ¼– Ð ( 4 R
  H  â > › ¸| `  ¦ 0 AK    6

 

xô  Ç ), d ”  (3)“ É r  6 £ §õ  ° ú  s  ç ß –é ß –y  ³ ð‰ & ³ ) a .

Γ

1

= −2Imhφ

0

|V

−

G(E

ω

)V

+

|φ

0

i (4)

#

Œl " f, | ˜ φi = V

+

|φ

0

i– Ð & ñ _  €   h ˜ φ|G(E

ω

)| ˜ φi_  > í ß –s 

€ 9

כ ¹ >  ÷ &  HX <, G(E

ω

)| ˜ φi = X

n

1 E

ω

− E

n

|nihn| ˜ φi + G(E

ω

)| ˜ ψi (5)

ü

< ° ú  s  % ƒ6 £ § m > h_  5 Å q~ à Ì © œI (|ni)ü <
 Qt   © œI  (| ˜ ψi):

| ˜ ψi = P | ˜ φi, P = 1 −

m−1

X

n=0

|nihn| (6)

–

Ð ì  ro ½ + É Ã º e ”  . # Œl " f P   H % ƒ6 £ § m > h_  5 Å q~ à Ì © œI 

\



¦ ì  ro  l  0 Aô  Ç È Ò% ò ƒ  í ß – s  . s ü < ° ú  s  È Ò% ò ƒ  í ß –



\  ¦  6   x # Œ % ƒ6 £ § Y >  > h_  5 Å q~ à Ì © œI ü < Õ ª ü @_   © œI 

–

Ð
¾ º  H  כ “ É r, % ƒ6 £ §_  Y >  > h_  5 Å q~ à Ì © œI  s “ : r oÖ  ¦_ 

>

í ß –\  l # Œ t  · ú §  H   H & h `  ¦ s 6   xô  Ç  כ s l • ¸ “ ¦,

Green † < Êà º\  ¦ “ ¦„  & h Ü ¼– Ð 2 [/ å L`  ¦ ½ + É M :, y © œ >  ½ ¨5 Å q ) a 5

Å

q~ à Ì © œI _  _ p  ï  r“ ¦„  & h  Green † < Êà ºü < † < Êa   6   x½ + É M

: & ñ S X ‰ >  & ñ _ | ¨ c à º \ O    H & h `  ¦ “ ¦ 9 l  0 AK  • ¸{ 9 

% i  . ‘ : r > í ß –\ " f  H | ˜ ψi\  ¦ €  $  H

a

_  “ ¦Ä » © œI _  $ í ì



rÜ ¼– Ð
è  H Ê ê\  % ƒ6 £ § m > h_  $ í ì  r`  ¦ 0Ü ¼– Ð Z  ~  ç ß –é ß – y

  Ò  ¦ à º e ”  . È Ò% ò ƒ  í ß – \  ¦  6   xô  Ç  â Ä ºü < Õ ªX O t  · ú §

“ É

r  â Ä º_  s “ : r oÖ  ¦ > í ß –° ú כ“ É r, F  g _  \  -t  ë  H) 3 ° ú כ





H% ƒ      â Ä º\   H,  H s 
t  · ú §l  M :ë  H\  È Ò% ò

ƒ



í ß – _   6   xÜ ¼– Ð { 9  Ò_  > í ß –s  € 9 כ ¹\ O >  ÷ &Ù ¼– Ð >  í

ß

–_  ´ òÖ  ¦$ í \  l # Œ½ + É Ã º e ” >   ) a .

II ] X \ " f  H ï  r“ ¦„  & h  Green † < Êà º\  ¦ • ¸{ 9  # Œ à º™ èg 1 J

"

é

¶ (s “ : r)_  1F  g  s “ : r oÖ  ¦`  ¦ > í ß –   HX < € 9 כ ¹ô  Ç  © œ [

jô  Ç “ ¦ 9 † ½ Óõ  > í ß –_  ´ òÖ  ¦$ í `  ¦ 0 AK  “ ¦ 9K  ÷ &  H

 כ

[ þ t\  @ /ô  Ç [ O " î `  ¦ “ ¦, III] X \ " f  H s \  @ /ô  Ç _ …Û ¼ à

Ô   õ \  ¦ ˜ Ð# Œ ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f ] jî ß –ô  Ç ~ ½ ÓZ O _   { © œ$ í `  ¦  Ž 

ž Ð % i  .

II. Ç U Øw Š ¹ ÅX ì Ä Green ] K ¤• ¤

I ] X \ " f ƒ  / å Lô  Ç + þ AI – Ð s “ : r oÖ  ¦`  ¦ > í ß – l  0 AK " f





H # Q‹ "  í  Hç ß –(T )\  & ñ _  ) a  1 l x† < Êà º ψ(~ r

⁰

, T )_  0 Au  ~ r

⁰

 Green † < Êà º G(~r, ~ r

⁰

; E)\  _ K    É r 0 Au (~r)– Ð ƒ    ÷ &  H S

X

‰Ò  ¦`  ¦ ½ ¨ l  0 Aô  Ç  ⠖ Ð& h ì  r Ψ(~r) =

Z

_∞

0

d~ r

⁰

G(~r, ~ r

⁰

; E) ψ(~ r

⁰

, T ) (7)

`



¦ € 9 כ ¹– Ð ô  Ç . # Œl " f ψ(~ r

⁰

, T )  H e ” _ _  r ç ß – T \ " f ½ ¨ ô



Ç ƒ  í ß – V

+

|φi_  / B Nç ß –& h  ì  rŸ í– Ð, r ∼ ∞\  @ /K  ×  æd ” \ 

"

f  ¾ ú  Ü ¼– Ð
  H ' Ÿ 1 l x ψ(~ r

⁰

, T ) ∼ P

n

f

n

e

^iknr

/r, k = p 2µ(E − E

n

) `  ¦ ˜ Ðs   H  כ Ü ¼– Ð Floquet ~ ½ ÓZ O `  ¦ s 6   x ô



Ç  F  g s “ : r o_  l Õ ü t\ " f ´ ú §s   6   x ) a  [11]. ¢ ¸ô  Ç, d

”

 (7)\  e ”   H Green † < Êà º G(~r, ~ r

⁰

; E)\  @ /K , ‘ : r ƒ  ½ ¨\ 

"

f  H ï  r“ ¦„  & h  Green † < Êà º G

cl

(~r, ~ r

⁰

; E)– Ð  6   xô  Ç  [12, 13]. à º™ è" é ¶  ë  H] j_   â Ä º, y Œ •î  r1 l x| ¾ Ó\  @ /ô  Ç † ½ Ó[ þ t“ É r ì  r o

0 p x Ù ¼– Ð Å Ò# Q”   \  -t ü < y Œ •î  r1 l x| ¾ Ó\  @ / # Œ t 2 £ §

~

½

ӆ ¾ Ó_  † ½ Ó[ þ t– Ð & ñ _  ) a Green † < Êà º g

^l

(r, r

⁰

; E)\  ¦ j þ t à º e ” 



.

G

cl

(~r, ~ r

⁰

; E) → g

^l

(r, r

⁰

; E) = X class. traj.

exp [iS

l

(r, r

⁰

; E) − iM

l

π/2]

√ 2µ [E − U (r) − l(l + 1)/(2r

²

)]

^1/4

[E − U (r

⁰

) − l(l + 1)/(2r

⁰²

)]

^1/4

(8)

#

Œl " f — ¸Ž  H 0 p xô  Ç “ ¦„  & h  C & h \  @ /ô  Ç l # Œ[ þ t`  ¦  8K 



 “ ¦, M

l

“ É r Maslov index [10,14]– Ð ( J $ ™[ > _  — ¸€ ª œ\ 



 É r 0 A © œ_     oü < › ' aº   ) a € ª œ“  X <,   H & h Ü ¼– Ѝ  H C & h 

\

" f ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦  Ë ¨  H S  Ã º\  ¦
  · p . s   â Ä º_  \ V\ " f





H œ íl _  „   _  ~ ½ ӆ ¾ Ó\     1 ¢ ¸  H 0_  ° ú כ`  ¦ ° ú   H .

Ã

º™ èg 1 J " é ¶  (s “ : r)_   â Ä º U (r) = −Z/r (Z  H " é ¶     

ñ)s “ ¦,  Œ •6   x| ¾ Ó(action) S

l

(r, r

⁰

; E)  H  6 £ §õ  ° ú  s  Å Ò# Q

”



 .

S

_l

(r, r

⁰

; E) = Z

r⁰→r

du p(u) (9)

p(u) = ± p 2µ p

E + (Z/u) − l(l + 1)/(2u

²

) (10)

#

Œl " f µ  H „   _  ¨ 8 Ší ß –| 9 | ¾ Ós  . œ íl \  p(r

⁰

) < 0“  

 â

Ä º, „    Ù þ ˜`  ¦ † ¾ ÓK    r

T

(turning point)_  0 A u

\  e ”   H ( J $ ™[ >  © œ# 4 \   Òv 9 y “ ¦
š ¸€  " f Ù þ ˜Ü ¼– РÒ'  Y

O

# Qt   H  ⠖ Ð (A) ÷ &“ ¦, p(r

⁰

) > 0“    â Ä º, „    % ƒ 6

£

§Â Ò'  ×  æd ” Ü ¼– РÒ'   ¾ ú  Ü ¼– Ð
  H  ⠖ Ð (B)\  ¦ Ò q ty Œ •

½ +

É Ã º e ”  .  ⠖ Ð& h ì  r° ú כ J(x)`  ¦  A ü < ° ú  s  J(x) ≡

Z

_x

rT

du p(u) (11)

–

Ð & ñ _ \  ¦ €  ,  ⠖ Ð A\  _ ô  Ç  Œ •6   x| ¾ Ó (S

^A_l

)õ   ⠖ Ð B\  _

ô  Ç  Œ •6   x| ¾ Ó (S

_l^B

)“ É r y Œ •y Œ •

S

_l^A

(r, r

⁰

; E) = J(r) + J(r

⁰

), S

_l^B

(r, r

⁰

; E) = J(r) − J(r

⁰

) (12) s

 ÷ &# Q ô  Ç   _  & h ì  r° ú כ > í ß –Ü ¼– Ð — ¸Ž  H  ⠖ Ð\  @ /ô  Ç  Œ • 6

 

x| ¾ Ó`  ¦ > í ß –½ + É Ã º e ” >   ) a . ô  Ǽ #  J(x)\  ¦ ´ òÖ  ¦& h Ü ¼– Ð ½ ¨

l  0 AK " f  H ½ ¨ç ß –`  ¦

r

T

∼ r

δ

(1½ ¨ç ß –); r

δ

∼ r

A

(2½ ¨ç ß –); r

A

∼ ∞(3½ ¨ç ß –) (13) _

 [ j  Òì  rÜ ¼– Ð
¾ º  H  כ s  a % ~“ É rX <, 1½ ¨ç ß –\ " f  H x & h  ì



r† < Êà º ] jY  L  H\  _ ô  Ç : £ ¤s & h s  Ò q tl Ù ¼– Ð Ã ºu & h ì  r`  ¦

l  0 AK " f s = √

r − r

T

ü < ° ú  “ É r   à º  ¨ 8 Šs  € 9 כ ¹ô  Ç ½ ¨ ç

ß

–s  ÷ &“ ¦, r

_δ

  H r

_T

_  à º C  & ñ • ¸ ÷ &  H ° ú כ`  ¦ 2 [ €    ) a .

2½ ¨ç ß –“ É r { 9 ì ø Í& h “   à ºu & h ì  rÜ ¼– Ð > í ß –s  0 p xô  Ç ½ ¨ç ß –s 

 )

a . 3½ ¨ç ß –`  ¦ & ñ _    H r

A

  H Ø  æì  ry  & " f x & h ì  r† < Êà º

 & h   H' Ÿ I  (asymptotic behavior)\  ¦ ˜ Ðs   H ½ ¨ç ß –`  ¦ & ñ _

ô  Ç  כ s  . s  ½ ¨ç ß –\ " f x & h ì  r† < Êà º p(r)“ É r

p(r) = p 2µ

r E + Z

r − l(l + 1) 2r

²

' p

2µE µ

1 + Z 2Er

¶

(14)

–

Ð   H ½ + É Ã º e ” “ ¦, s  כ `  ¦ & h ì  rô  Ç  Œ •6   x| ¾ ӓ É r Z

_r

rA

du p(u) ' p

2µE(r − r

A

) + Z 2 √

E (ln r − ln r

A

) (15)

¢

¸  H k = √

2µE\  ¦  6   x # Œ Z

_r

rA

du p(u) ' k(r − r

A

) + Z

2k (ln kr − ln kr

A

) (16)

–

Ð   H ½ + É Ã º e ”  . ¢ ¸ô  Ç r → ∞{ 9  M :, d ”  (7)_  ì  r— ¸\  e

”

  H p

E + (Z/r) − l(l + 1)/(2µr

²

)_  † ½ ӓ É r √

E– Ð j þ t à º e

”

Ü ¼Ù ¼– Ð d ”  (8)\ " f & ñ _ ô  Ç Green † < Êà º  H rs  Ø  æì  ry  9 þ t M

:,  A ü < ° ú  s    H  ÷ &# Q, r, r

⁰

_  † < Êà º– Ð ì  ro \  ¦ ½ + É Ã

º e ” >  ÷ &“ ¦,

g

^l

(r, r

⁰

; E) ≈ e

i[kr+(Z/2k) ln kr]

g ˜

^l

(r

⁰

; E) (17)

#

Œl " f r

⁰

, Eë ß –_  † < Êà º– Ð ³ ð‰ & ³ ) a ˜ g

^l

(r

⁰

; E)“ É r

˜

g

^l

(r

⁰

; E) = X class. traj.

exp [i ˜ S

l

(r

⁰

; E) − iM

l

π/2]

√ 2µ E

^1/4

[E − V (r

⁰

) − l(l + 1)/(2r

⁰²

)]

^1/4

, S ˜

_l

(r

⁰

; E) = Z

_∞

r⁰

du p(u) (18)

s

– РÒ'  d ”  (7)_  > í ß –“ É r I ≡

Z

_∞

0

dr

⁰

˜ g

^l

(r

⁰

; E) ψ(r

⁰

, T ) (19) _

 + þ AI – Ð ì  ro ÷ &# Q r

⁰

ë ß –_  & h ì  rë ß – > í ß – €    ) a . r ç ß – s

  â õ † < Ê\     ψ(r

⁰

, T )_  ° ú כs  ² ú ˜ t >  ÷ &Ù ¼– Ð I ° ú כ

`



¦ > í ß – €   r ç ß –_     o\    É r s “ : r oÖ  ¦_  > í ß –s   0 p

xK ”   . s  M : ˜ S

l

(r

⁰

; E)_  y Œ • r

⁰

\  @ /ô  Ç ° ú כ`  ¦ $  © œK ¿ º

#

Q  Ö ¼X <, & h ì  rs  Á ºô  Ç@ / t  l M :ë  H\ , r

⁰

s  Ø  æì  r y

  H ° ú כ\  @ /K  K $ 3 & h  K \  ¦ ½ ¨   H  כ s  € 9 כ ¹  . s 

\



¦ 0 AK  Ä º‚  , d ”  (14)\ " f   H ô  Ç † ½ Ó`  ¦ & h ì  r\ " f ì  ro r  v

€  , Ä »´ ò( J $ ™[ >  V

⁰

(r) ≡ U (r) − l(l + 1)/(2µr

²

)– Ð & ñ _ 

½ + É M :,

Z

_r

rA

du p

E − V

⁰

(u) = Z

_r

rA

du √ E

µ 1 + Z

2Eu

¶

+ Z

_r

rA

du ·p

E − V

⁰

(u) − √ E

µ 1 + Z

2Eu

¶¸

(20) Ü

¼– Ð ÷ &# Q ' Í   P : † ½ ӓ É r ì  r$ 3 K 
š ¸“ ¦, ¿ º  P : † ½ Ó`  ¦ 1/u\  @ /K  „  > h €  ,

Z

_r

rA

du ³ a

₂

u

²

+ a

3

u

³

+ a

4

u

⁴

+ · · ·

´

(21) s

 ÷ &# Q e ” _ _  r° ú כ\  @ /K  B Ä º À 1 Ïo  ° ú כ`  ¦ % 3 `  ¦ à º e ” 



.

d

”

 (19)\ " f ψ(r, T )  H T = 0{ 9  M : hr|V

+

|φ

0

i– РÒ'  Ø  ¦ µ

1

Ï # Œ, r ç ß – ∆t t ± ú ˜ M :, ”  ' Ÿ ƒ  í ß –  e

^−iHa∆t

\  ¦  6   x

# Œ ½ ¨ô  Ç . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  6   x   H l $ † < Êà º– Ð  6   x 





H Sturmian † < Êà º S

_nl^κ

(r)  H

S

^κ_nl

(r) = 1 (2l + 1)!

s

(n + l)!

(n − l − 1)! (−2iκr)

^l+1

e

^iκr

×

1

F

1

(l + 1 − n; 2l + 2; −2iκr) (22)

–

Ð & ñ _ ÷ &  HX <, à º™ è" é ¶  l $ † < Êà ºü < q 5 p wô  Ç g 1 Js  ÷ &t  ë

ß

–, 4 Ÿ ¤™ èà º“   B > h  à º κ\  ¦ & h { © œy  ‚  × þ ˜½ + É  â Ä º rs  9 þ t M

:, t à º† < Êà º& h Ü ¼– Ð y Œ ™™ è   H  â > › ¸| `  ¦ ¸ ú ˜ ë ß –7 á ¤ >  [

O

& ñ ÷ &# Q s “ : r oÖ  ¦_  > í ß –\  B Ä º Ä »6   xô  Ç  כ Ü ¼– Ð · ú ˜ 9

”



 † < Êà ºs  .

III. T Æ X Ø× Dù o Ú 4  ˜ m ? _­ Ž² Ž



{ Œ • © œI \  e ”   H à º™ èg 1 J " é ¶ (s “ : r)_  1F  g  s “ : r o Ö



¦“ É r  6 £ §õ  ° ú  “ É r { Œ —˜ 2 ³ K  Γ

1

= 4πZ

⁶

ω

⁵

exp[−(4Z/k) tan

⁻¹

(k/Z)]

1 − exp(−2πZ/k) (23)

 ” > rF ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç s \  @ /ô  Ç Ã ºu & h  > í ß –“ É r, / B N" î s  \ O 

`



¦  â Ä º B Ä º ç ß –é ß – # Œ, l $ † < Êà º\  ¦ s 6   x # Œ ½ + É  â Ä º 30> h & ñ • ¸_  l $ † < Êà º\  ¦ ° ú “ ¦• ¸ B Ä º & ñ S X ‰ô  Ç ° ú כ`  ¦ % 3 `  ¦ Ã

º e ”  . Õ ª Q
  1 l x† < Êà º r ç ß –\       ½ + É  â Ä º Õ ª

° ú

כ`  ¦ > í ß – l  0 AK " f  H à ºu K  € 9 à º& h s  . s \  ¦ 0 A K

  1 l x† < Êà º_  / B Nç ß –& h  ì  rŸ í\  ¦  – Ð & h ì  r   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ × þ ˜

½ +

É Ã º• ¸ e ” “ ¦, l $ † < Êà º\  ¦  6   x # Œ Õ ª > à º\  ¦ ' Ÿ § > =– Ð ë ß – [

þ

t# Q" f Û  ¦ à º• ¸ e ”  . l $ † < Êà º\  ¦  6   x   H  â Ä º, ô  Ç& ñ  ) a Ã

º(\ V\  ¦ [ þ t# Q N s  “ ¦  )_  l $ † < Êà º\  ¦  6   x½ + É Ã º µ 1 Ú

\

 \ O l M :ë  H\  0 p xô  Ç ô  Ç & ñ S X ‰ô  Ç > í ß –`  ¦ l  0 AK " f  H N _  à º\  ¦ ß ¼>    H  כ s   | à Ðf ” ½ + É  כ s  . K x 9 ž Ðm î ß –

Fig. 1. Maximum eigenvalues of the hydrogen atom vs number of radial (Sturmian) basis functions with |κ| = 0.9, θ = 0.1.

_

 @ /y Œ • o\  ¦ : Ÿ xK  “ ¦Ä »° ú כ`  ¦ ½ ¨ >  ÷ &€   Y >  > h_  5 Å q~ à Ì © œ I

_  \  -t ü <  8 ´ ú §“ É r à º_  € ª œ_  \  -t ° ú כs 
š ¸>  ÷ &





HX <, 5 Å q~ à Ì © œI _   â Ä º B Ä º & ñ S X ‰ô  Ç ° ú כ`  ¦ Šҍ  H ì ø ̀  , € ª œ Ã

º_   â Ä º  H “  0 A& h “   ° ú כs   ) a .

Fig. 1 “ É r  6   xô  Ç t 2 £ § l $ † < Êà º_  à º\     \  -t 

“

¦Ä »° ú כ_  þ j@ /° ú כ`  ¦
  · p  כ Ü ¼– Ð l $ † < Êà º à º_  7 £ x

\

    ³ ð‰ & ³÷ &  H \  -t _  ° ú כs  / å L   >  7 £ x >  ÷ &

#

Q s “ : r o\  ¦  À ҍ  HX < e ” # Q B Ä º Ä »o   . Õ ª Q
 @ /y Œ •



o\  × ¼  H q 6   x (∝ N

²

∼ N

³

)`  ¦ y Œ ™î ß – €   & h & ñ ô  Ç N ° ú כ _

 ‚  × þ ˜s  B Ä º ×  æכ ¹  . : £ ¤y  s  ƒ  ½ ¨_  þ j7 á x 3 l q& h s  Ã

º™ è\  @ /ô  Ç > í ß –s   m  , ¿ º > h s  © œ_  „   ,  F  g 

\



¦  z ª œô  Ç  כ s l  M :ë  H\  & h ] X ô  Ç þ j™ è N ° ú כ`  ¦ ½ ¨   H  כ

“ É

r B Ä º ×  æכ ¹  . ¢ ¸ô  Ç  À ҍ  H ë  H] j\    , l $ † < Êà º

–

Ð  6   x   H † < Êà º S

_nl^κ

(r)_  B > h  à º“   κ_  ‚  × þ ˜s  N ° ú כ

`



¦ ×  ¦s   HX < s 6   x| ¨ c à º e ”   HX <, { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð κ_  ] X @ /° ú כ s

 1\   Ö  ¦Ã º2 Ÿ ¤  H \  -t  © œI \  ¦  8 ¸ ú ˜  Ò  ¦ à º e ”   H X

< ì ø ÍK  / B N" î 1 p x_  ‰ & ³ © œ`  ¦  À ҍ  HX <  H  Ò& h ½ + Ë   [15].

‘ :

r ƒ  ½ ¨_  > í ß –_  î ß –& ñ $ í `  ¦ _ …Û ¼à Ô l  0 AK " f  1 l x Ó

ü

6 £ §s  r ç ß –\       † < Ê\     s “ : r oÖ  ¦_  ° ú כs  \ O  

      H\  ¦ S X ‰“     H  כ s  € 9 כ ¹  . G(E)  1 l xÓ ü  6

£

§\   Œ •6   x`  ¦ ½ + É M :  1 l xÓ ü 6 £ §s  r ç ß –\     \ O  
    





H_  l ï  rs  ÷ &  H r ç ß –(characteristic time: τ )`  ¦ Ò q ty Œ •

½ +

É € 9 כ ¹ e ”  . ë ß –€  • \  -t  E = E

0

+ ω s “ : r o ë  H )

3

° ú כ`  ¦  Å   H \  -t  “ ¦ €   @ /| Ä Ì 1/E\  K { © œ   H r  ç

ß

–s  “ ¦ ½ + É Ã º e ” l  M :ë  H\ , ë ß –€  • { 9     H F  g _  \ 



-t  20eV s  “ ¦ ô  Ç €  , s  r ç ß –“ É r " é ¶ é ß –0 A– Ð ¨ 8 Ší ß –

½ +

É M :, τ ≈ 1/(20 − 13.6) × (0.5/13.6) ≈ 0.24 _  ° ú כ`  ¦ ° ú 





H .   " f r ç ß – ç ß –  `  ¦ s  כ `  ¦ l ï  rÜ ¼– Ð › ¸& ñ # Œ s 

“ :

r oÖ  ¦_  > í ß –° ú כs  î ß –& ñ  o÷ &  H τ ° ú כ`  ¦ ¹ 1 ԍ  H  כ s  € 9 כ ¹ 

Fig. 2. Estimation of ionization rate (a.u.) vs time (a.u.) for time step, 0.25, photon energy, 20 eV, N=150.



. î ß –& ñ $ í \  % ò † ¾ Ó`  ¦ ×  ¦ à º e ”   H ¢ ¸ 
_  “     H 0 A © œ





 o\  ¦ Šҍ  H Maslov index [14]“  X <, ( J $ ™[ > _  — ¸€ ª œ\   



 ˜ Ð& ñ `  ¦ ½ + É  â Ä º, M

l

2 π = µ 1

2 + l + 1 2 − p

l(l + 1)

¶

π (24)

  ) a . Fig. 2   H ˜ Ð& ñ ÷ &l  „  õ  ˜ Ð& ñ  ) a Ê ê_  s “ : r oÖ  ¦ _

 r ç ß –& h     o\  ¦
  · p  כ Ü ¼– Ð { 9     H F  g _  \  - t

  H 20 eV s “ ¦, > í ß –\ " f “ ¦ 9 ) a 5 Å q~ à Ì © œI _  à º 3> h

 ÷ &• ¸2 Ÿ ¤ % i  . Õ ªa Ë >\ " f z  ´‚  “ É r 0 A © œ ˜ Ð& ñ `  ¦ ô  Ç  כ s 

“

¦, & h ‚  “ É r ˜ Ð& ñ `  ¦ t  · ú §“ É r  כ s  .  6   xô  Ç t 2 £ §† < Êà º_  Ã

º  H € 9 כ ¹ô  Ç Ã º˜ Ð  Ø  æì  ry  ´ ú §“ É r 150s % 3 “ ¦, r ç ß –ç ß –  “ É r

· ú

¡\ " f ƒ  / å Lô  Ç τ ° ú כ_  > í ß –   õ “   0.25(a.u.)s % 3  . s 

˜

Ð   8  H r ç ß –ç ß –  `  ¦ ¿ º% 3 `  ¦  â Ä º  H ¿ º   õ _  s 

 ì  r" î >  ˜ Ð% i   (Õ ªa Ë >\ " f  H Ÿ í† < Ê÷ &t  · ú §6 £ §). z  ´] j

–

Ð 50> h_  t 2 £ §† < Êà º– Е ¸  _  ° ú  “ É r   õ \  ¦ ˜ Ð% i t ë ß –, 0 A



©

œ˜ Ð& ñ \  _ ô  Ç ´ òõ ë ß –`  ¦ ˜ Ðl  0 AK  Ø  æì  ry   H à º_  t 2 £ §

†

<

Êà º\  ¦  6   xô  Ç  כ s  . – Ђ  “ É r d ”  (23)_  > í ß –  õ – Ð Γ

1

= 0.586 (a.u.) \  K { © œô  Ç . s “ : r oÖ  ¦“ É r s  ° ú כ`  ¦ ×  æd ”  Ü

¼– Ð   1 l x`  ¦ ˜ Ðs   HX <, ˜ Ð& ñ `  ¦ ô  Ç  â Ä º ×  æd ” \   8   î



r  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ”  . – Ђ  “ É r 1F  g  s “ : r oÖ  ¦`  ¦ € ª œ 

% i

† < Æ& h Ü ¼– Ð ½ ¨ô  Ç & ñ S X ‰ô  Ç ° ú כs Ù ¼– Ð ×  æd ” \   8 ¾ ú š>     ô



Ç   H  z  ´“ É r “ ¦„  & h    H \  _ ô  Ç   õ ° ú כs  & ñ S X ‰ô  Ç ° ú כ

\

  8 ¸ ú ˜ ´ ú   H   H  כ `  ¦ _ p  >   ) a .

Fig. 3 “ É r È Ò% ò ƒ  í ß – _   6   xÜ ¼– Ð ] jü @÷ &  H 5 Å q~ à Ì © œI  _

 à º\  ¦  7 €  " f s “ : r oÖ  ¦`  ¦ > í ß –ô  Ç  כ Ü ¼– Ð & h ‚  “ É r 7> h_  5 Å q~ à Ì © œI \  ¦ ] jü @ô  Ç > í ß –s “ ¦ z  ´‚  “ É r 3> h_  5 Å q~ à Ì



©

œI \  ¦ ] jü @ô  Ç  â Ä º_  > í ß –  õ s  . F  g _  \  -t 

20 eV _   â Ä º ¿ º   õ _  s  ˜ Ðs t  · ú §  HX < ì ø ÍK  F  g



_  \  -t  15 eV – Ð ë  H) 3 ° ú כ (13.6 eV)õ   Ö  ¦  â

Fig. 3. Same as Fig. 2, but for two photon energies: 20 eV and 15 eV; dotted line is for 7 bound states while solid line is for 3 bound states included in the calculation.

Ä

º €  •ç ß –_  s \  ¦
 Í Ç r`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . 50 eV \  @ /K 

"

f• ¸ > í ß – % i   HX <, s  M :  H ¿ º  â Ä º_  s  „  ) €
 t

 · ú §  H   õ \  ¦ ˜ Ð% i   (Õ ªa Ë >\ " f  H Ò q t| Ä ÌH † d). s   H \  - t

 ë  H) 3 ° ú כ\   î  r  â Ä º, 5 Å q~ à Ì © œI _  Ÿ í† < Ê # ŒÂ Ò    õ

\  % ò † ¾ Ó`  ¦ p u >  # Œ r ç ß –ç ß –  `  ¦ a % vy  
 t 2 £ §† < Ê Ã

º_  à º\  ¦ Z þ t# Œ    H  8¹ ¡ ¤   – Ðî  r > í ß –› ¸| s  H † d`  ¦ _

p ô  Ç .

15 eV_   â Ä º, t 2 £ §† < Êà º_  à º\  ¦  Ë ¨# Q€  " f > í ß –_  î

ß

–& ñ $ í `  ¦ _ …Û ¼à Ô % i   HX <, r ç ß – ç ß –  s  0.25 a.u. “    â Ä

º t 2 £ §† < Êà º_  à º (N ) 100> h s  © œs  € 9 כ ¹ô  Ç   õ 
 M

®

o“ ¦, s   H > í ß –_  ß ¼l  & f ” `  ¦ _ p ô  Ç . s  ° ú כ (N )`  ¦

×



¦s €  " f î ß –& ñ  ) a   õ \  ¦ % 3 l  0 AK " f  H r ç ß – ç ß –  `  ¦  8 a

%

v>  # Œ    HX <, s   H % i r  > í ß –_  ß ¼l  & f ” `  ¦ _  p

ô  Ç .   " f s  ¿ º ] j€  •› ¸| s  s “ : r oÖ  ¦ > í ß –_  ´ òÖ  ¦

$ í

`  ¦   & ñ   H  © œ ×  æכ ¹ô  Ç “   – Ð  Œ •6   x >  ÷ &  HX <, ‘ : r

ƒ



½ ¨_  > í ß –   õ , { 9     H F  g _  \  -t  s “ : r o ë  H )

3

° ú כ˜ Ð  Ø  æì  ry   H  â Ä º Z  }“ É r ´ òÖ  ¦$ í `  ¦ ° ú 6 £ §õ  1 l xr \  q

“ §& h  î ß –& ñ & h “     õ \  ¦
 Í Ç r`  ¦ · ú ˜ à º e ” % 3  . s   H s 

% ò

% i \ " f “ ¦„  & h “     H  ¸ ú ˜ ÷ &  H  כ Ü ¼– Ð K $ 3 ½ + É Ã º e ” 



. ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f > hµ 1 Ïô  Ç ~ ½ ÓZ O _   6   xÜ ¼– Ð,   É r > í ß –õ  _

  © œ  H s & h “   5 Å q~ à Ì © œI _  › ¸] X s  0 p x† < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ ë



H) 3 ° ú כ   H% ƒ_  \  -t \ " f_  % ƒo  0 p xK & ’   HX < s   H

€ ª

œ % i † < Æ& h “   > í ß –õ  “ ¦„  % i † < Æ& h “   > í ß –_   © œ& h `  ¦   ½ + Ë ô



Ç _ p  e ”  . Õ ª Q
 ‘ : r ƒ  ½ ¨_   © œ  H 3 l q³ ð“   ´ òÖ  ¦

$ í

s    H €  \  e ” # Q" f  H ô  Ç>  ¢ ¸ô  Ç ” > rF ô  Ç “ ¦ ½ + É Ã º e ” 



. s  ƒ  ½ ¨\ " f S X ‰˜ Ðô  Ç > í ß –_  ´ òÖ  ¦$ í `  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð † ¾ Ó Ê ê 3^ ‰ë  H] j (3-body problem)ü < ° ú  s  ç ß –é ß – t ë ß – B Ä º > í ß –

l  # Q 9î  r ë  H] j\ " f r Û ¼% 7 ›_  \  -t   H  â Ä º, ï  r“ ¦

„



& h  Green † < Êà º\  ¦ & h 6   x   H ƒ  ½ ¨ à º' Ÿ | ¨ c à º e ” `  ¦  כ Ü

¼– Ð \ V © œ ) a .

P c

p 8 ý ò k >

‘ :

r ƒ  ½ ¨_  õ & ñ \ " f ´ ú §“ É r › ¸ƒ  `  ¦ K  ï  r p ² D G USC @ /

†

<

Æ_  Robin Shakeshaft “ §Ã ºa  y Œ ™ × ¼w n m  .

Y c

p w Š à U Ø ”  ô

[1] A. Becker and F. H. M. Faisal, J. Phys. B 38, R1 (2005).

[2] X. Tang, H. Rudolph and P. Lambropolous, Phys.

Rev. Lett. 65, 3269 (1990).

[3] R. Dum, P. Zoller and H. Ritsch, Phys. Rev. A 45, 4879 (1992).

[4] R. M. Potvliege, R. Shakeshaft, Atoms in Intense Laser Fields (Academic, New York, 1990), p. 373.

[5] K. J. Schafer, K. C. Kulander, Phys. Rev. A 42, 5794 (1990).

[6] R. Shakeshaft, Phys. Rev. A 60, 1280 (1999).

[7] G. Tanner, K. Richter and J-M. Rost, Rev. Mod.

Phys. 72, 497 (2000).

[8] C. W. Byun, N. N. Choi, M-H. Lee and G. Tanner Phys. Rev. Lett. 98, 113001 (2007).

[9] A. Sanpera, P. J¨onsson, J. B. Watson and K. Bur- nett, Phys. Rev. A 51, 3148 (1995).

[10] M. Brack, R. K. Bhaduri, Semiclassical Physics (Westview, Boulder, 2003).

[11] M. D¨orr, R. M. Potvliege and R. Shakeshaft, Phys.

Rev. A 43, 3729 (1991).

[12] M. C. Gutzwiller, J. Math. Phys. 12, 343 (1971).

[13] M. C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics (Springer-Verlag, New York, 1990).

[14] H. Friedrich and J. Trost, Phys. Rev. A 54, 1136 (1996).

[15] M.-G. Baik, Proc. Int’l. Symp. Laser Spectroscopy

10, 103 (2002).

Development of a Method for Calculating the Ionization Rate by Using the Semiclassical Green’s Function

Moon-Gu Baik

^∗

Department of Physics, Kyungwon University, Seongnam 461-701 (Received 11 December 2007)

We have developed an efficient calculational method for estimating ionization rates by using a semiclassical Green’s function because methods that make numerical calculations more efficient are important in atomic physics due to the requirements for huge computer resources. For the problem of ionization where no resonance is expected, we can assume that the first few bound states are enough to describe the whole system. We use a projection operator to separate those few states from the other states, which saves computational effort. The semiclassical Green’s function, including path integrals from a position (r

⁰

) to another positions (r) on the path, could be expressed as the product of two functions (r

⁰

and r). Moreover, we divided the integration path into three sections to reduce the computational efforts further. We tested the proposed method by calculating the 1-photon ionization rate of a hydrogen-like atom (or ion), and we confirmed that the proposed method was highly efficient with quite stable results. We expect this method to be applicable to complex systems.

PACS numbers: 31.15.Gy, 31.15.Kb, 32.80.Fb

Keywords: Ionization rate, Semiclassical Green function, Path integral

∗E-mail: [email protected]