2017, 28
(5)
,981–999
분산성분모형 관리도의 설계와 효율
†
ᄌ
ᅩ찬양
1
·박창순2
12중앙대학교 통계학과
ᄌ ᅥ
ᆸᄉ ᅮ 2017ᄂ ᅧ ᆫ 7ᄋ ᅯ ᆯ 5ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2017ᄂ ᅧ ᆫ 8ᄋ ᅯ ᆯ 22ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2017ᄂ ᅧ ᆫ 8ᄋ ᅯ ᆯ 31ᄋ ᅵ ᆯ
요 약
ᄃ
ᅡ ᆫᄉ ᅮ ᆫᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅩᄅ ᅧᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄑ ᅭᄌ ᅮ ᆫᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄀ ᅡ ᆫ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅩᄅ ᅧᄒ ᅡᄌ ᅵ ᄋ ᅡ ᆭᄀ ᅩ ᄀ ᅩ ᆼᄌ ᅥ ᆼᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ.
ᄑ
ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄀ ᅡ ᆫ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄌ ᅩ ᆫ ᄌ ᅢᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅧ ᆼᄋ ᅮᄋ ᅦᄂ ᅳ ᆫ, ᄀ ᅩ ᆼᄌ ᅥ ᆼᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄀ ᅪᄉ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄃ ᅡ. ᄀ ᅩ ᆼᄌ ᅥ ᆼᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄀ ᅪᄉ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄃ ᅬᄆ ᅧ ᆫ ᄌ ᅩ ᆸ ᄋ ᅡᄌ ᅵ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵ ᄒ ᅡ
ᆫᄀ ᅨᄅ ᅩ ᄋ ᅵ ᆫᄒ ᅢ ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩᄋ ᅴ ᄆ ᅵ ᆫᄀ ᅡ ᆷᄃ ᅩᄂ ᅳ ᆫ ᄒ ᅣ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄃ ᅬᄌ ᅵᄆ ᅡ ᆫ ᄀ ᅪᄃ ᅩᄒ ᅡ ᆫ ᄋ ᅩᄀ ᅧ ᆼᄇ ᅩᄋ ᅲ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅡ ᆯᄉ ᅢ ᆼᄉ ᅵᄏ ᅵ ᆫᄃ ᅡ. ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅩ ᆼᄌ ᅥ ᆼᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ ᄋ
ᅳᄅ ᅩ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅥ ᆼᄇ ᅮ ᆫ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ, ᄌ ᅳ ᆨ ᄇ ᅧ ᆫᄃ ᅩ ᆼ ᄋ ᅴ ᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅵ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅢ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄀ ᅪ ᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄀ ᅡ ᆫ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄀ ᅮᄇ ᅮ ᆫ ᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅩᄅ ᅧᄒ ᅡ ᆫᄃ ᅡ.
ᄀ ᅪ
ᆫ ᄅ ᅵᄒ ᅡ ᆫᄀ ᅨᄂ ᅳ ᆫ ᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅢ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄀ ᅪ ᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄀ ᅡ ᆫ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄆ ᅩᄃ ᅮ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄉ ᅥ ᆯᄌ ᅥ ᆼᄒ ᅡᄀ ᅩ ᄀ ᅳᄋ ᅦ ᄄ ᅡᄅ ᅳ ᆫ ᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫᄅ ᅥ ᆫᄀ ᅵ ᆯᄋ ᅵᄅ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄒ ᅭ ᄋ
ᅲ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡ ᆯᄑ ᅧ ᄇ ᅩᄋ ᅡ ᆻᄃ ᅡ. ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄒ ᅧ ᆼᄐ ᅢᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅡᄌ ᅡ ᆼ ᄂ ᅥ ᆯᄅ ᅵ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄃ ᅬᄂ ᅳ ᆫ X, EWMA, CUSUM ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩᄅ ᅳ ᆯ ᄀ ᅩᄅ ᅧᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ
ᅵᄒ ᅡ ᆫᄀ ᅨ ᄉ ᅥ ᆯᄌ ᅥ ᆼᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅢ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄆ ᅡ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅧ ᆼᄋ ᅮ (Case I)ᄋ ᅪ ᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄀ ᅡ ᆫ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄃ ᅩ ᄒ ᅡ ᆷᄁ ᅦ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅧ ᆼᄋ ᅮ (Case II)ᄅ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄒ ᅢ ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩᄋ ᅴ ᄒ ᅭᄋ ᅲ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅵᄀ ᅭᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄄ ᅩᄒ ᅡ ᆫ, ᄀ ᅩ ᆼᄌ ᅥ ᆼ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄀ ᅡ ᄌ ᅮᄋ ᅥᄌ ᅵ ᆫ ᄀ ᅧ ᆼᄋ ᅮᄋ ᅪ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄃ ᅮ ᄀ ᅧ ᆼᄋ ᅮᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅢᄉ ᅥ ᄃ
ᅩ ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩᄋ ᅴ ᄒ ᅭᄋ ᅲ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅵᄀ ᅭᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄀ ᅳ ᄀ ᅧ ᆯᄀ ᅪ, ᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄀ ᅡ ᆫ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄌ ᅳ ᆼ ᄀ ᅡᄒ ᅡ ᆯ ᄄ ᅢ Case Iᄋ ᅴ ᄋ ᅩᄀ ᅧ ᆼᄇ ᅩᄋ ᅲ ᆯᄋ ᅳ ᆫ ᄀ ᅳ ᆸᄀ ᅧ ᆨᄒ ᅵ ᄌ ᅳ ᆼ ᄀ
ᅡᄒ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆫᄆ ᅧ ᆫ Case IIᄋ ᅴ ᄀ ᅧ ᆼᄋ ᅮᄋ ᅦᄂ ᅳ ᆫ ᄃ ᅩ ᆼᄋ ᅵ ᆯᄒ ᅡᄀ ᅦ ᄋ ᅲᄌ ᅵ ᄃ ᅬ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅡ ᆯ ᄉ ᅮ ᄋ ᅵ ᆻᄋ ᅥ ᆻᄃ ᅡ.
ᄌ
ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄃ ᅡ ᆫᄉ ᅮ ᆫᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ, ᄋ ᅩᄀ ᅧ ᆼᄇ ᅩᄋ ᅲ ᆯ, ᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫᄅ ᅥ ᆫᄀ ᅵ ᆯᄋ ᅵ, ᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄀ ᅡ ᆫ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫ, ᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅢ ᄇ ᅮ ᆫ ᄉ ᅡ ᆫ.
1. 서론 과
ᆫ리도는 통계적 공정관리를위한 수단으로서 공정품질의 상태를판단하는데 사용된다. 공정에서는 과
ᆫ리도를적용할 때 시간의 흐름에 따라 표본을 추출하고 추출된표본으로 공정의 상태를 판단하는데, 이
ᆯ반적으로 모든표본집단이 같은 분포를따른다고 가정한다. 이러한 가정을따르는관리도를표준관리 ᄃ
ᅩ (standard control chart)라 한다. 표준관리도에서는표본내 분산 (within-sample variance)만을고 ᄅ
ᅧ하여관리한계, 평균런길이 등을구하지만 이 경우 표본간 분산 (between-sample variance)을무시하 ᄀ
ᅦ된다. 이 때 표본간 분산이 현저히 작은 경우 문제가 발생하지 않으나, 그렇지 않은경우 공정분산 ᄋ
ᅵ 과소추정 (under estimate)되어관리한계가 좁아지므로 평균런길이가 작아지게된다. 이와 같은경 ᄋ
ᅮ관리도의 민감도는향상되지만 오경보가 과도하게 발생되므로 바람직하지 못한 현상이라 할 수 있다.
ᄄ
ᅡ라서 변동의 원인이 표본내 뿐만 아니라 표본간에도 발생하는확률모형, 즉 분산성분모형에 대한 연 ᄀ
ᅮ가 되어져왔다. Park (1997)은 분산성분모형의 평균을관리하기 위해 X, EWMA관리도를연구하 ᄋ
ᅧᆻ고, Mullins (2003)는화학실험에서 표본간 분산이 존재할 때관리한계를계산하는 방법을연구하였 ᄃ
ᅡ. Woodall과 Thomas (1995), Laubscher (1996)은표본간 분산을포함하는관리모델을 일반화 하였 ᄋ
ᅳ며, Tsai와 Hsieh (2009)는 분산성분을 관리하기 위한 관리도를제안하였다. 최근 Pascual과 Park (2017)은 분산성분이 존재할 때 웨이블공정 (Weibull process)의 백분율, 평균을 관리하기 위한 관리
†
ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ 2015ᄂ ᅧ ᆫᄃ ᅩ ᄌ ᅮ ᆼ ᄋ ᅡ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄌ ᅡ ᆼᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅵ ᄀ ᅳ ᆷ ᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅥ ᆺᄋ ᅵ ᆷ.
1
(06974) ᄉ ᅥᄋ ᅮ ᆯᄐ ᅳ ᆨᄇ ᅧ ᆯᄉ ᅵ ᄃ ᅩ ᆼ ᄌ ᅡ ᆨᄀ ᅮ ᄒ ᅳ ᆨᄉ ᅥ ᆨᄅ ᅩ 83, ᄌ ᅮ ᆼ ᄋ ᅡ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄉ ᅥ ᆨᄉ ᅡᄀ ᅪᄌ ᅥ ᆼ.
2
ᄀ ᅭᄉ ᅵ ᆫᄌ ᅥᄌ ᅡ: (06974) ᄉ ᅥᄋ ᅮ ᆯᄐ ᅳ ᆨᄇ ᅧ ᆯᄉ ᅵ ᄃ ᅩ ᆼ ᄌ ᅡ ᆨᄀ ᅮ ᄒ ᅳ ᆨᄉ ᅥ ᆨᄅ ᅩ 83, ᄌ ᅮ ᆼ ᄋ ᅡ ᆼᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ. Email:[email protected]
ᄃ
ᅩ를 제안하였다. 분산성분모형에 관한 최근 국내 연구로는사영을 이용한 분산성분 분석 방법 (Choi, 2014; Choi, 2015)을 들수 있다.
ᄋ
ᅵ 논문에서는 공정에서 표본간 분산이 있는경우, 이를고려한 공정표본의 분산을 추정하여관리한 ᄀ
ᅨ를 설정하고, 그에 따른효율을살펴보고자 한다. 공정의 평균을관리하는세 가지 대표적관리유형, ᄌ
ᅳᆨ X, 지수가중이동평균 (exponentially weighted moving average; EWMA) 관리도, 누적합관리도 (cumulative sum; CUSUM)관리도를활용하였다.
Park과 Lee (2014)에 의하면, 표준관리도의 절차는아래와 같다. 표준관리도에서는반응값이 아래와 ᄀ
ᅡ
ᇀ은확률모형을따르는것으로 가정한다.
Xij= µ + σW · ϵij, i = 1, 2, · · · , g, j = 1, 2, · · · , n. (1.1) ᄃ
ᅡᆫ µ는평균, σW는표본내 표준편차, n은표본크기, g는표본군의 수를나타내며, ϵij ∼ iid N (0, 1)이 ᄃ
ᅡ. 식 (1.1)로부터 공정품질 특성치 X가 N(µ, σW2 )을따를때, 공정평균 X는 N (µ, σW2 /n)를따르게 되
ᆫ다. 표준관리도에서의 평균변화량은 σW/√
n의 배수로 나타내어 µ = µ0+ δσW/√
n이라 정의한다.
1.1. X 관리도
X 관리도는 공정평균을관리하고자 하는관리도로서 Shewhart 관리도 중가장 널리 사용되며, 관리 ᄒ
ᅡᆫ계는아래 식과 같이 설정한다.
µ0− c ·σW
√n < Xi< µ0+ c ·σW
√n, i = 1, 2, · · · . (1.2)
ᄃ
ᅡᆫ, 표본평균 Xi는관리통계량, µ0는 목표치, c는관리한계계수이며관리한계선은 µ0를 중심으로 표준 ᄋ
ᅩ차의관리한계계수배만큼크거나 같은값을의미한다. X 관리도에서의 절차는 관리한계선이 표시된 ᄃ
ᅩ표 상에관리통계량 값을 찍어나가는 일련의 과정을의미한다. 이 때, 평균런길이는검정력의 역수이 ᄆ
ᅳ로 X 관리도의 평균런길이는아래와 같이 표현된다 (부록 A.1참조). 단, δ = (µ − µ0)/(σW/√ n)이 ᄃ
ᅡ.
ARLX(c, δ) = 1
1 − Φ(c − δ) + Φ(−c − δ). (1.3) 1.2. EWMA 관리도
EWMA관리도는 시간에 따라 가중치를달리 설정하는관리도로서, 현시점에서 과거로 갈수록가중 ᄎ
ᅵ를기하적으로 작게 주는방법이다. EWMA관리도의관리한계는아래와 같이 설정한다.
µ0− c ·σW
√n· r λ
2 − λ< Xi< µ0+ c ·σW
√n · r λ
2 − λ, i = 1, 2, · · · . (1.4) ᄃ
ᅡᆫ, c는관리한계계수이며 λ는가중치이다. EWMA관리도에서의 절차는가중치를설정한다는점을제 ᄋ
ᅬ하고는 X 관리도와 같으나, EWMA관리도의 평균런길이에 대한 함수의 정확한 표현은알려져 있지 ᄋ
ᅡ
ᆭ다. 이 논문에서는 통계패키지 R에서 “SPC” library의 xewma.arl을활용하여 계산하였다. 이를 통 ᄒ
ᅢ 구한 평균런길이는다음과 같이 표현한다.
ARLEW M A(λ, c, δ) = xewma.arl(λ, c, δ). (1.5) 1.3. CUSUM 관리도
CUSUM관리도는 현재의관측값과 함께 과거의관측값을 공정의 상태판단에 사용하는방법으로, 관 ᄅ
ᅵ모수가 평균일 때 CUSUM관리도의관리한계는아래와 같이 설정한다.
max0≤r≤i
( i X
l=i−r+1
Xl− µ0
σW/√ n − k
)
≥ h, i = 1, 2, · · · . (1.6)
ᄃ
ᅡᆫ, k는 참고값, h는결정구간이다. CUSUM 관리도의 평균런길이에 대한 정확한 표현은알려져 있지 ᄋ
ᅡ
ᆭ다. 이 논문에서는 통계패키지 R에서 “SPC” library의 xcusum.arl을활용하여 계산하였다. 이를 통 ᄒ
ᅢ 구한 평균런길이는아래와 같이 정의한다.
ARLCU SU M(k, h, δ) = xcusum.arl(k, h, δ). (1.7)
2. 분산성분모형 ᄑ
ᅭ준관리도가 표본내 분산만을 사용하여 관리도의 모수를 가정하는데 반해, 분산성분모형은 표본간 부
ᆫ산을추가하여 고려함으로서 공정분산의 과소추정을방지할 수 있다. 공정품질특성치를 X라 하고 공 저
ᆼ에서 째 표본의 j번째관측값을 Xij라 할 때 표본내 분산과 표본간 분산을고려한관측값의 분산성분 ᄆ
ᅩ형은아래와 같이 표현된다.
Xij= µ + σB· wi+ σW· ϵij, i = 1, 2, · · · , g, j = 1, 2, · · · , n. (2.1) ᄃ
ᅡᆫ, σB는표본간 표준편차, σW는표본내 표준편차, n은 표본크기, g는표본군의 수, wi는 i번째 표본 ᄋ
ᅦ 해당하는오차, ϵij는 i번째 표본의 j번째 품질특성치에 해당하는오차를나타낸다. 이 때 wij, ϵij는 ᄃ
ᅩᆨ립동일분포 (independent identically distributed; iid) N(0, 1)를따른다고 가정한다. 공정평균을관 ᄅ
ᅵ하는데 사용되는 통계량으로 표본평균 X를사용하고, X 관리도의 평균과 표준편차는 식 (2.1)로부터 µX= µ, σX=pσB2 + σW2 /n이 되어 아래 분포를따르게된다.
Xi ∼ N (µ, σ2B+ σW2 /n). (2.2) 과
ᆫ리한계를설정할 때관리통계량 X의 평균의관리모수 µX,0와 표준편차의관리모수 σX,0를사용한 ᄃ
ᅡ. 이 때, 평균의관리값 µ0가 주어진 경우에는 µX,0= µ0를사용한다. 반면에 σX,0는표본내 분산만 으
ᆯ고려할 때, 표본내 분산과 표본간 분산을모두 고려할 때에 따라 다르게 설정한다. 이 때, 표본내 분 ᄉ
ᅡᆫ만 고려하는경우는 CaseⅠ, 표본내 분산과 함께 표본간 분산을이용하는경우를 CaseⅡ라 정의한다.
CaseⅠ:
σX,0= σW/√
n. (2.3)
