cos
오각형 HIJKL의 정사영이 오각형 OAJKC 이므로
cos
따라서
이므로 72. [정답] ④ [출제의도] 벡터
평면
과 평면 의 법선벡터는 각각
, 이므로 두 평면이 이루는 각의 크기를 θ 라 하면 cos
∙
위의 그림에서 점 A, B 와 점 Aʹ, Bʹ은 같은 점이고 AB AʹBʹ,
CD CʹDʹ, AʹDʹ ADcosθ,
BʹCʹ BC cosθ이므로
AB ,CD ,AD
,BC
따라서 사각형 ABCD의 둘레의 길이는 6이다.
73. [정답]
[출제의도] 좌표공간에서 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제 이다.
A
B
이므로 AC
BD
, 에서 CE DF ∴ EF
AE BF 이므로 □AEFB
× ×
삼각형 OAG는 직각삼각형이고 이므로
cos OA
OG
≥
정삼각형 PQR 의 넓이는
이므로
× cos ≥
×
(단, 등호는 OA , 즉 점 A가 세 꼭짓점 P, Q, R 중 하나일 때 성립한다.)
이므로 이다.
75. [정답] ①
∆ABC의 법선단위벡터를 라 하면 , .
평면의 법선단위벡터는 이다.
∴
±
∆ABC와 평면 사이의 예각을 라 하면 cos ·
·
⋯⋯ ㉠
라 하면
이것을
에 대입하면
≥ ∴
≤ ≤
cos ≤
∴ (넓이) cos ≤
[다른풀이1]평면과 이 이루는 각을 라 하면, cos ⋅
∴ 최댓값은 ⋅ cos
=
cos cos sin
sin
⋅
평면 이 구 에 접하므로 구의 중심에서 평면 에 이르는 거리는 구의 반지름의 길이와 같다.
이때, 구의 중심 에서 평면 에 이르는 거리는
이므로
에서
또는
또는
따라서 모든 실수 의 값의 합은
77. [정답]
구의 중심 에서 평면 에 이르 는 거리가 구의 반지름의 길이와 같으므로
구의 반지름의 길이를 라 하면
78. [정답] ②
주어진 구 의 방정식을 표준형으로 바꾸면
이므로 구의 중심은 P 이다.
PA
는 평면 에 평행하고 구에 접하는 평면의 법선벡터이다.
구하는 평면의 방정식을 으로 놓으면
구의 중심과 평면 사이의 거리는 구의 반지름의 길이와 같으므로
∣ ∣
∣ ∣
∴ 또는
이때, 점 A 를 지나는 평면 의 방정식은 이고, 구하는 평면의 방정식은
79. [정답]
[출제의도] 공간벡터의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.
∠PCH ∠QCH 이므로 ∠QCP 가 되어 삼각형 CPQ는 한 변의 길이가
인 직각이등변삼각형이다.
×
∴
80. [정답]
구의 중심 에서 평면에 수직이면서 원점을 지나는 평면으로 자른 구의 단면과 평면과의 관계에서
OA∙ OP 값은 결국 OA 와 점 P의 평면 위로의 수선의 발 P′ 과 원점 O를 이은 선분인 OP′ 의 곱과 같다.
그러므로 ⋅ ≤ OA∙ OP ≤ ⋅
∴ ≤ OA∙ OP ≤ 이므로 내적 OA∙ OP의 최댓값은 299이다.
81. [정답] ③
[출제의도] 연역적 추론 능력(증명) – 행렬
평면 의 방정식은 PC가 법선벡터이므로,
이므로 평면과 원점사이 거리
임을 알 수 있다.
이때,
P는 단면 위의 점이며 대입하면, 분모의 …㉮ 이 된다.
한편, AP⊥ CP 이므로 ∙
㉮ 식과 ∙ 을 통하여 임을 알 수 있다. 따라서
⇨
임을 알 수 있다.
82. [정답]
두 구 과 의 중심을 각각 라 하자.
두 구의 중심 와 점 P 를 지나는 평면으로 자른 단면을 그려보면 평면 는 반드시 점 을 지남을 알 수 있다.
원점 O 에서 평면 에 내린 수선의 발을 H라 하면 H는 점 와 점 P를 로 내분하는 점이므로
이다.따라서 평면 의 법선벡터 ()를
로 잡을 수 있고평면 의 방정식을
로 설정할 수 있다.여기에 평면 위의 점 을 대입하면
임을 알 수 있다.
평면 의 방정식은
이다.한편 Q
가 평면 위의 점이므로 대입하면
이고 이다.
83. [정답]
따라서 구하는 넓이를 라 하면
∴
84. [정답] 45
[출제의도] 평면과 구의 위치 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이 다.
구가 평면에 의해 잘린 도형은 원이다.
세 점 , , 를 지나는 평면의 방정식은
에서
원점에서 이 평면 사이의 거리는
이므로 원의 반지름의 길이는
이다.따라서 구하는 도형의 넓이는 이다.
85. [정답] ③
⋯⋯ ①
⋯⋯ ②
① ② :
∴
평면 의 식은 평면 의 법선벡터는
평면의 법선벡터는
∴ cos
∙
86. [정답] ④
[출제의도] 두 평면이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
접점으로 이루어진 도형을 포함하는 평면의 법선벡터는
이고,
평면의 법선벡터는 이므로 cos ×
⋅
87. [정답] ⑤
(가) 조건의 의미: A, B를 지름의 양 끝점으로 하는 구 위에 점 P가 있다. (수직이므로 내적=0)
(나) 조건의 의미: A에서 거리가 4인 곳에 점 P가 있다. 즉, A를 중심으로 하고 반지름이 4인 원 위에 점 P가 있다. 두 구의 공통부분은 원입니다. 그 원의 길이를 구하면 됩니다.
평면의 교선인 원 위의 점 가 지름의 양 끝점일 때 cos 는 최솟값을 갖는다.
구의 중심 에서 평면 에 이르는 거리는
이고, 구의 반지름의 길이가이므로 원 의 반지름의 길이 를 라 하면
삼각형 에서 제이코사인법칙에 의하여 cos ⋅⋅
이므로
구하는 ∙ 의 최솟값은
cos ⋅
89. [정답]
구의 방정식 에 을 대입하면
이므로
원 는 중심이 반지름의 길이가
이고 평면 에 놓인 원이다.이 때, 축을 포함하고 이 원과 오직 한 점에서 만나는 평면 는 두 점
(또는
)을 지나야 한다.따라서 평면 는 축과 직선 (또는 )를 포함한다.
이 때, 축의 방향벡터는 이고 직선 의 방향벡터 (또는 직선 의 방향벡터)는
(또는
)이므로 평면 의 법선벡터 은 벡터 와 벡터 (또는 )와 각각 수직이어야 한다.그런데 한 법선벡터가 이므로
∙ ∙ 에서 이고,
∙ ∙
에서
∴
∴
[참고]
∙ ∙
일 경우에도
이므로
이다.∴
90. [정답]
구의 중심 O 에서
평면
까지의 거리는
이고 C의 중심을 M이라 하면
OM
P Q가 원 C 의 지름의 양 끝점이므로 P Q의 중점이 C 의 중심 M이다.
따라서 원 C 의 반지름 MQ
AP AQ이므로 AQ
까지의 거리이므로OM
QM
OQ OM
∆APQ는 직각이등변 삼각형이므로
PM QM AM
∴ AP AQ
그리고 RP OM 직선 RP⊥이므로 RP ⊥AP∴ AR
RP AP
AQ AR QR이므로 ∠QAR ∘
∴ ∆AQR AP⋅ AR
×
×
∴
91. [정답]
원 과 중심에서 원 에 그은 벡터 OP와 평면 의 법선 벡터가 이루는 각 cos
원 과 중심에서 원 에 그은 벡터OQ와 평면 의 법선벡터가 이루는 각 cos
∴
평면 의 법선벡터와 평면 의 법선벡터가 이루는 각 는 cos
따라서 최단거리를 나타내는 벡터 OP와 벡터 OQ가 이루는 각은 cos
이다.
PQPQOQ OP OQ OP·OQ OP를 정리하면 최솟값은 40이다.
(제이코사인 법칙도 사용 가능하다.)
92. [정답]
[출제의도] 공간도형의 성질을 이용하여 벡터의 내적의 최댓값과 최 솟값을 구하는 문제를 해결한다.
cos
, OA
, O′B 이고OA∙ O′B OAO′B cos 이므로
≤ OA∙ O′B ≤
OA∙ OB의 최댓값은
, 최솟값은
이므로 곱은 93. [정답]
[출제의도] 벡터의 내적의 최댓값을 구할 수 있는가?
벡터 AP를 시점이 원점이 되도록 옮겼을 때, 종점을 P′이라 하자.
이때,AP∙ AQ OP′ ∙ AQ
OP′ ∙OQ OA
OP′ ∙ OQ OP′ ∙ OA
이때, 점 Q가 점 P′이 되도록 잡으면 최댓값을 가지므로
OP′ ∙ OQ OP′ ∙ OA ≤ OP′ ∙ OP′ OP′ ∙ OA
OP′ ∙ OA ··· ㉠ 한편,
AB OB OA
이고 점 B′ 을 AB OB′이라 하자.벡터 AP와 벡터 AB가 이루는 각의 크기가
이므로 그림과 같이 점 P′이 세 점 O A B′에 의하여 결정된 평면 위에 그림과 같이 P″ 에 있을 때, OP′ ∙ OA는 최솟값을 갖는다.
이때, 두 벡터 OA OB′이 이루는 각의 크기를 라 하면 cos
∙
이때, 두 벡터 OA OP″이 이루는 각의 크기는
이고 cos
cos cos sin sin
×
×
그러므로
평면
와 평면이 이루는 각을 ,
라 두면 cos
⋅
정사영을 이용하면
∴ ′ cos ×
95. [정답] ③
[출제의도] 공간도형 문제 해결하기 (ⅰ)
구의 중심 와 평면 사이의 거리를 라 하면
구와 평면이 만나서 생기는 원의 반지름을 라 하면
, 원의 넓이는 (ⅱ) 평면에 수직인 벡터
평면에 수직인 벡터
두 벡터가 이루는 각의 크기를 라 하면 cos
×
따라서 정사영의 넓이는 ×
96. [정답]
구 위의 점
에서구에 접하는 평면 의 방정식은
∴ 점
에서 구에 접하는 평면의 방정식은
∴
평면 의 법선벡터를 각각 라 하면
평면 와 평면 가 이루는 각을 라 하면 cos
∙
․ ․ ․
×
′ ․ cos에서 cos
이므로
′ ×
따라서 구하는 정사영의 넓이는 이다.
97. [정답]
[출제의도] 좌표공간에서 평면과 구의 방정식을 이해하여 관련 문항