dx F dM =

5-4 전단력 F와 모멘트 M과의 관계

 c요소의 평형

 a요소

같은 보에서 하중이 없는 구역의 미소요소 dx를 a

dx F dM =

)

0

( x dx w

dF = − ,

0 )

( + =

+

−

⋅

− F dx M M dM

 b요소

분포하중이 있는 구역의 미소요소 dx를 b

,

0 ) (

) ( :

0

∑ ^P

^{= F − w x dx − F + dF =}

∑ ^M

^{= 0 : − F ⋅ dx − M + w} ₂

^{( dx )}

^{+ ( M + dM ) = 0}

dx F

dM =

0(

2 2

x dx w

M

d

^{F =} ∫ ^{− w}

^{( x ) dx + C}

∫∫

=

w

x

dx dx C

x C

M

집중하중 직하점의 요소 dx를 c

F와 M사이의 관계는 M의 극치조건을 제시 dM/dx=F=0 인 곳에서 M_max 위치, 크기 계산

[그림 5-10]

[예제 5-1] 외팔보 상에 집중하중 P₁, P₂ 이 작용시 SFD, BMD ?

① P₁

만이 있을 때(제1도) P

F

= − Px M = −

(상수)

(x의 1차식)

② P2만이 있을 때(제2도)

③ P1과 P2가 같이 있을 때(제3도) 길이 b의 외팔보라 가정

→ ①과 동일

①과 ②를 중첩

[그림 1]

④ 구간별로 F와 M에 관한 일반식을 구함(제4도)

1

1

P

F = −

)

(

1 1

1

P x x a M P a

M = − = 에서

= −

 BC구간

 AC구간

F

= − P

− P

) (

2 2 1

2

P x P x a

M = − − −

a P M

a

x

= :

= −

b P l P M

l

x

= :

= −

−

[예제5-2] SFD와 BMD를 그려라

① 전단력(원점을 자유단에 둔다) BC구간 0≤

x

l

a

F

= w

x

AC구간

_{l − a ≤ x}

_{≤ l :} F

= w

( l − a )

R

= w

( l − a ) = F

[그림 2]

② 굽힘모멘트

BC구간

0 ≤ x

≤ l − a :

2

2 1 0 1

x

M = − w

:

1

= 0 x

1

l a : x = −

2

l a : x = −

: l x =

2

l : x

a

l − ≤ ≤

1

= 0 M

2 )

(

0 ,

1

a l M

= − w −

AC구간

⁾

)( 2

(

0 2

a x l

a l w

M = − − − −

2 ) ( ²

0 ,

2

a l M

w

−

=

2

) ( ^{2 2}

0 ,

2

a l

M

w

−

=

(직선)

③ 고정단 모멘트

) 2 (

) (

max 2

2

0

l a M

M

w

−

=

[예제 5-3] [그림 3]처럼 외팔보의 자유단에 모멘트가 작용하는 기본형 의 경우 SFD와 BMD를 그려라

[그림 3]

자유단에서 가 되는 위치에서 FBD를 도시하면 [그림(a)]와 같다. 이 때 는 이 경우에는 없다. 왜냐하면 작용력이 없고 M₀만 작용하기 때문 이다.따라서 SFD도 없고 BMD선도가 (b)처럼 된다.

고정단모멘트(fixing moment) : M_B=M₀

 풀이

[예제 5-4]

∑ ^M

^{= : 0 − 10 R}

^{+ 2 × 8 × 11 + 32 = 0}

kN R

= 20 . 8

∑ ^P

^R

^R

kN R

= 30 − 20 . 8 = 9 . 2 전체 FBD에서

5

0 ≤ x ≤

^{∴ F = − 2 x ( kN )} F

F

= − 10 )

2

(

m kN x

M = − ⋅

∴ M

= ^{0 ,} M

8

5 ≤ x

≤ R

− F

− 2 x

= 0

F

R

x

kN

F

8 .

8

= 4

=

F

2 0 2

) 5

( − +

+

⋅

=

− x

x M

x R

) (

) 5

(

1

R x x kN m

M =

− − ⋅

∴ ^M

^{= − 25}

6 .

8 1

1₌ = −

M

각 구간의 전단력과 모멘트의 일반식과 SFD, BMD ?

[그림 4]

11

8 ≤ x

≤ R

− F

− 16 = 0 ∴ F

= R

− 16 = 4 . 8 ( kN ) 0

) 4 (

16 )

5

(

− +

+ ×

− =

− R

x M x

) )(

4 (

16 ) 5

( _{2 2}

2

R x x kN m

M

∴

M

= − 1 . 6

8 .

11

12

2₌

= M

4

0 ≤ x

≤

3

3 2

3 + −

=

x x

F

F

= − 9 . 2 8 .

4

= 4

=

F

2 8 . 9

3 2 3 3 3

x x x

M

= − − M

= 0 8 .

4

= 12

=

M

M

= 0

AB

F F

958 .

= 2

x M

) (

2 .

max 15

kN m

M

전단력이 0이 되는 곳

식에서 이 되는 대입

[예제 5-5] 양단지지보에 5ton의 하중 가 점에서 점까지 이동할 때,

(a) 지지점 , 의 반력은 어떻게 변화하는가?

(b) 점의 굽힘모멘트는 어떻게 변화하는가?

이동하중 W가 A점보다 x거리에 올 때

 풀이

kgf kgf kgf

kgf

kgf [그림 5]

[예제 5-6] 보의 위에 이동하는 차가 있다. 차에 걸리는 하중 가 있을 때, 차가 어느 위치에 올 때 최대굽힘모멘트가 생기는가?

① W₁

의 밑에서 M

이 생기는 경우

이므로 식 R_A 에 x값을 대입하여 정리하면 [그림 6]

[예제 5-6] 보의 위에 이동하는 차가 있다. 차에 걸리는 하중 가 있을 때, 차가 어느 위치에 올 때 최대굽힘모멘트가 생기는가?

① W₂

의 밑에서 M

이 생기는 경우

이므로

M_C와 M_D의 대소관계를 비교한다.

이면