§ 2 유리수와 순환소수
개념정리
1. 순환소수
2. 순환소수 의 표현
3.순순환소수 와 혼순환소 수
0. 5757… 과 같이 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배 열이 한없이 되풀이 되는 소수를 순환소수라 하고, 되풀이되는 한 부분인 57을 순환마디라고 한다.
순환소수는 그 순환마디의 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어서 나타낸다.
이 때, 찍는 점을 순환점이라고 한다.
(1) 순순환소수 : 소수 부분이 모두 순환마디로 된 소수
(2) 혼순환소수 : 소수점 아래의 숫자 중 일부분만 순환마디로 된 소수
예제1)
을 소수로 나타낼 때, 소수점 아래 80번째에 있는 숫자를 구하여라.
모범답안)
즉, 순환마디가 076923 이므로 순환마디가 6개의 숫자로 되어 있다. 따라서 소수점 아래 자리 수를 6으로 나눌 때의 나머지에 따라 그 숫자가 결정된다. 80은 6으로 나누면 나머지가 2이므로 순환마디 076923의
두 번째 숫자인 7이 된다.
답 7
예제2) … 일 때, 소수점 아래 20번째 자리의 숫자를 구하여라.
모범답안) 소수 첫째, 셋째 자리 숫자, 즉 홀수번째 자리 숫자는 2이고 짝수번째 자리 숫자는 1이다. 20번째 자리 숫자는 1이다.
답 1
예제3) 다음 순환소수를 분수로 나타내어라.
(1) (2)
모범답안)
(1) 라고 놓으면 … .... ① ① 의 양변에 10을 곱하면
… … ② ② - ① 하면 …
-) …
∴
∴
답
(2) 라고 놓으면 … … ① ① 의 양변에 100을 곱하면 … … ② ② - ① 하면 …
-) …
∴
∴
답
예제4) 를 분수로 나타내어라.
모범답안)
… … ① 순환마디가 3개이므로 1000을 곱한다.
… … ② ① 과 ②의 소수 부분이 같아졌으므로 ② - ① 하면
∴
답
(이것을 변변을 뺀다고 한다.)
유제1) 순순환소수를 분수로 고칠 때, 분모와 순환마디와는 어떤 관계가 있는가?
모범답안) 답 순환마디의 개수만큼 분모에 9가 배열된다.
예제5) 다음 순환소수를 정수 또는 분수로 나타내어라.
(1) (2) (3)
모범답안) (1)
(2)
(3)
답 (1)
(2)
(3) 4
유제2) 다음 ☐ 안에 >, < , = 의 기호를 적당히 써넣어라.
(1) ☐ (2) ☐ (3) ☐
모범답안) 답 ① = ② > ③ >
핵심정리 <순순환소수를 분수로 나타내는 방법>
순순환소수를 분수로 나타낼 때에는 다음과 같음을 알 수 있다.
분모 : 순환마디의 숫자 개수만큼 9를 배열한다.
분자 : 순환마디를 쓴다.
예제6) (1) 다음 순환소수를 정수 또는 분수로 고쳐라.
① ② ③ 1.030303…
(2) 일 때, ☐ 이다. ☐ 안에 알맞은 수를 구하여라.
모범답안) (1) ①
②
③ …
답 ① 3 ②
③
(2) … … ① … … ②
② - ①하면
답 375
유제3) 일 때, 를 에 대한 식을 세워서 분수로 나타내어라.
모범답안) … … ① … … ②
② - ① 하면 ∴
답
예제7) 순환소수 를 분수로 나타내어라.
모범답안) 라고 놓으면
0.513232… …①
순환되지 않는 숫자가 2개이므로 ①의 양변을 100배 한다.
100 51.3232… …②
순환마디가 2개이므로 ②의 양변을 100배 한다.
10000 5132.3232… …③
③ - ② 하면
…
- ) 51.3232…
5132-51 = 5081 ∴
답
예제8) 순환소수 를 분수로 나타내어라.
모범답안) 3. 라고 놓으면 3.4323232… …①
순환되지 않는 숫자가 1개이므로 양변에 10을 곱해준다.
10 34.323232… …②
순환마디가 2개이므로 양변에 100을 곱해준다.
1000 3432.3232… …③
③ - ② 하면 3432.3232…
-) 34.3232…
3432-34 = 3398 ∴
답
유제4) 을 분수로 나타내어라.
모범답안) 라고 하면 0.25333… …①
순환되지 않는 숫자가 2개일 때, 을 곱해준다.
100 25.333… …②
순환마디가 1개이므로 ②의 양변에 10을 곱해준다.
10000 253.333… …③
②, ③의 소수 부분이 같아지므로 ③ - ② 하면 즉 소수부분이 소거된다.
∴
(<주의> 약분이 되나 살핀다. ) 답
