6 Z 4, pp. 575∼581

(1)

6 Z 4, pp. 575∼581

X

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[

j" î @ / < Æ § ( É Ó' 6 £ x6 £ x õ < Æõ , ] j ; 390-711 (2011¸ 3 Z 4 28{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2011¸ 6 Z 4 1{ 9 > F S X & ñ )

ª \ O j Ë µ` ¦ " f Ð / B N Ä » ¦ Y O o b # Q4 R e H ª 8 £ ¤ s _ ª © I \ ¦ y y ª 4 ¤ l Ð 4 ¤

H ô Ç/ B M 4 ¤ \ _ # % 6 £ § _ ª \ O 2 ³ © I 4 ¤ Ê ê 4 ¤ © I [ þ t \ # Qb G> H t \ ¦ ¸

% i . ô Ç/ B M 4 ¤ ë ß ` ¦ 6 x H â Ä º " é ¶ 4 ¤ : r[ þ t s _ ª \ O j Ë µ É r " é ¶ : r _ \ O j Ë µ Ð / å L

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ô Ç/ B M 4 ¤ \ " f ª \ O j Ë µ É r Ð > r ÷ &t · ú § H .

Ù þ

d # Q: ª 4 ¤ , ª \ O j Ë µ, ª , \ O j Ë µ+ þ A$ í

Broadcasting and Preservation of Quantum Entanglement via Local Copying

Eui-Soon Yim ^∗

Department of Computer Applied Science, Semyung University, Jechon, 390-711 (Received 28 March 2011 : accepted 1 June 2011)

We investigate how the quantum entanglement shared by two distant partners can be broadcasted to clones via only local quantum copying. We find that the nonlocal entanglement of a remote pair can be partially broadcasted to remote pairs and dynamically decreased with the help of local copying in various quantum copying machines. Further, we show that the entanglement cannot be preserved by local copying.

PACS numbers: 03.67.-a, 03.65.Bz

Keywords: Quantum cloning, Quantum entanglement, Quantum broadcasting, Entanglement of formation

I. " e Â ] Ø

ª > í ß õ ª : x \ " f ª \ O j Ë µ(quantum entanglement) H ì r í ß ª > í ß (quantum computation) [1],

ª x 9 | 9 ï× ¼(quantum dense coding) [2], ª ñ

< Æ(quantum cryptography) [3], ª " é ¶ s 1 l x(quantum teleportation) [4] 1 p x \ Ù þ d > h¥ Æ Ü ¼ Ð 6 £ x6 x ÷ & , s ª

\ O

j Ë µ É r É r §ê ø Í\ ¸ B Ä º y # ~ 1 > y û Z÷ &Ù ¼ Ð

ª & h Ü ¼ Ð \ O ) e H > \ @ /ô Ç # Q " í ß ¸ s \ O j Ë µ` ¦ y

èr ~ ´ Ã º e [5]. ª & ñ Ð\ ¦ % o ½ + É M : © × æ כ ¹

∗

E-mail: [email protected]

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Ç כ [ þ t × æ H ª & ñ Ð b # Q4 R e H ¿ º { 9 [ þ t

s _ ô Ç/ B M © ' a ' a > (nonlocal correlation) 7 £ ¤ ª

\ O

j Ë µÜ ¼ Ð ³ ð & ³ ) a H כ s . Õ ª QÙ ¼ Ð ª \ O j Ë µs y © § 4

y © § 4 ½ + ÉÃ º2 ¤ 8 u e ¦ ½ + É Ã º e . s s Ä »

Ð Â Òì r& h Ü ¼ Ð \ O 2 ³ © I [ þ t ÐÂ Ò' ¢ - a ô Ç ª \ O j Ë µ © I

\

¦ ë ß × ¼ H & ñ ] j(purification) õ & ñ s Bennett 1 p x s % 6 £ § ]

jî ß ô Ç s Ê ê Ð ´ ú §s ½ ¨÷ &# Q ¸ ¦ e [6]. s כ É r ª

ñ < Æ\ " f ] X @ /& h Ü ¼ Ð î ß ô Ç : x ` ¦ ½ ¨ & ³½ + É Ã º e

H l ì ø Í` ¦ ] j/ B N ô Ç [3]. ô Ç¼ # ª & ñ ] j õ & ñ _ % i õ & ñ

¸ 0 p x . s \ ¦ ª (quantum broadcasting)s

ô Ç [1,7]. ª ¸ ª \ O j Ë µ 8 £ ¤& ñ õ \ ¦ q x 9 Û

¼X O > ÐÍ Ç rÜ ¼ Ð+ q x 9 & ñ Ð\ ¦ Ò q t$ í ¦ Ä »t H ª

-575-

(2)

ñ ^ > \ _ 6 £ x6 x 1 p x \ Ä »6 x H כ s Ð ¦÷ &% 3

[8].

#

Q | Ã Ð[ þ t \ > & ñ Ð\ ¦ ì r C H ¸ Õ ª & ñ Ð

ª & ñ Ð ª % i < Æ_ ] jô Ç` ¦ ~ Ã Î H . s Qô Ç ] jô Ç

É

r & ñ Ð_ ì r í ß % o ü < W 1à Ô0 >ß ¼\ " f_ : x 1 p x` ¦ À Ò

H ª & ñ Ð s : r \ " f y ô Ç ë H ] js . í H Ã ºô Ç © I [ þ t _

s © & h ª H ª 4 ¤ ü < 1 l x{ 9 [9].

_ í H Ã ºô Ç © I |Ψi\ ¦ s © & h Ü ¼ Ð H Ä »{ 9 ô Ç ~ ½ Ó Z O

É r ¿ º > Y L © I |Ψi ⊗ |Ψi ÷ & ¸2 ¤ H כ X <, 7

£

¤ s © & h 4 ¤ \ ¦ H כ X <, p t _ ª © I [ þ t

`

¦ & ñ S X > 4 ¤ ½ + É Ã º \ O H í H Ã ºô Ç © I \ @ /ô Ç 4 ¤

F K t & ñ o (no-cloning theorem) [10] H s \ ¦ F K t Ù ¼

Ð s © & h ª ¸ F K t ) a . s \ ¦ F K t & ñ o

(no-broadcasting theorem) [1,7] Â Ò É r . s \ ¦ Ã ºd Ü

¼ Ð ³ ð & ³ 6 £ § õ ° ú . { 9 § 4 © I 4 ¤ " é ¶ : r` ¦ ˆ

ρ ^(id) a = |ΨihΨ| ¦ Ø ¦§ 4 © I \ ¦ ˆ ρ ^(out) _ab s ½ + É M :, 4 ¤

F K t & ñ o H ˆ ρ ^(out) _ab 6= ˆ ρ ^(id) a ⊗ ˆ ρ ^(id) _b e ` ¦ _ p ¦, F

K t & ñ o H Tr b ρ ˆ ^(out) _ab 6= ˆ ρ ^(id) a , Tr _a ρ ˆ ^(out) _ab 6= ˆ ρ ^(id) _b e ` ¦ _ p

ô Ç . s _ p \ " f 4 ¤ F K t & ñ o H F K t & ñ o _

: £ ¤ Ã ºô Ç \ V ¦ ½ + É Ã º e . # l " f Tr ^a ü < Tr ^b H a ü <

b \ @ /ô Ç Â Òì r ¥& h (partial trace)s .

Õ

ªX O % 6 £ § \ Y O o b # Q4 R e H ¿ º | Ã Ðs \ O 2 ³ © I

\ ¦ / B N Ä » ¦ e ` ¦ M :, y _ ª 4 ¤ l Ð ô Ç /

B

M 4 ¤ \ ¦ Ã º' % i 4 ¤ ) a © I [ þ t _ ª \ O j Ë µ É r # Q b

G> | ¨ c ? Buzek 1 p x s ô Ç/ B M ª 4 ¤ \ _ K " é ¶ _ ª

\ O j Ë µ © I # Qb G> H t \ @ /K % 6 £ § Ü ¼ Ð Ð

¦ [1]ô Ç Ê ê s \ @ /K z ´+ « >& h ½ ¨ & ³õ ª ñ x 9 o 4

¤ ] j 1 p x Ü ¼ Ð_ S X © 1 p x s s , X4 R M ® o [7,11]. Buzek 1 p x

É

r Ã Ð ¦ë H ³ [1]\ " f ô Ç © _ " é ¶ A \ O 2 ³ © I 1 l x1 p x >

\ O

2 ³ ¿ º © Ü ¼ Ð þ j& h ì r o ) a " é ¶ A © _ \ O j Ë µ_ ì ø Í

`

¦ & ñ _ ½ + É Ã º e ¦ & ñ % i . Õ ªo ¦ Õ ª[ þ t É r Buzek- Hillery _ # 3 6 x ª 4 ¤ l UQCM (Universal Quantum Cloning Machine) [12]\ ¦ 6 x ô Ç ô Ç/ B M 4 ¤ _ â Ä º ô Ç © _

" é ¶ A \ O 2 ³ © I Â Òì r& h Ü ¼ Ð \ O 2 ³ # Q © Ü ¼ Ð H

d` ¦ Ð ¦ % i . · ú ¡\ " f / å L % i 1 p w s s ë H ] j H ª (

É Ó' ü < ª & ñ Ð < Æ : £ ¤ y ª ñ < Æõ ª : x 1 p x _

6 £ x6 x \ B Ä º × æ כ ¹ô Ç ë H ] js .

s

7 Hë H \ " f H Buzek 1 p x _ Ã Ð ¦ë H ³ [1]_ 7 H _ \ ¦

&

h ¸_ 0 A © -/ B N 4 ¤ l EPC-QCM(Equtorial Phase- Covariant QCM) [13], ¸ 0 A © -/ B N 4 ¤ l MPC- QCM(Meridian Phase-Covariant QCM) [14], Õ ªo ¦ Bruss _ Ð ¸> \ O H © I -_ > r 4 ¤ l (Bruss’s State- dependent QCM without ancilla) [15] Ð S X © # ª \ O j Ë

µs < Ê` ¦, Õ ªo ¦ Buzek-Hillery_ UQCMõ EPC- QCM _ â Ä º ô Ç/ B M 4 ¤ \ _ # ÷ & H ª \ O j Ë µ_

ª É r Ð > r ÷ & H t \ @ /K ¸ ¦ ô Ç . s \ ¦ 0 A # II] X \ " f H ô Ç © _ ª © I \ O ) e 6 £ §` ¦ S X H Peres-Horodecki & ñ o (Peres-Horodecki theorem) [16]õ

ª \ O j Ë µ_ ß ¼l \ ¦ 8 £ ¤& ñ H ª + þ A$ í (Entanglement of Formation) x 9 ª 4 ¤ l [ þ t _ 4 ¤ ½ ©g Ë :[ þ t` ¦ è> hô Ç

. III] X \ " f H Y O o b # Q4 R e H \ O 2 ³ © I \ ¦ ô Ç/ B M 4 ¤

l Ð 4 ¤ H ^ > \ @ /K è> h ¦, # Q 4 ¤ l [ þ t _

4 ¤ © I [ þ t \ Peres-Horodecki & ñ o \ ¦ & h 6 x # ª

\ O j Ë µs ÷ & H % ò % i [ þ t` ¦ ¸ ô Ç . ¢ ¸ô Ç ª + þ A$ í ` ¦

>

í ß # ª \ O j Ë µs ô Ç/ B M 4 ¤ \ " f Ð > r ÷ & H t \ ¦ ¸

¦, Õ ª õ [ þ t` ¦ IV] X \ " f & ñ o x .

II. Peres-Horodecki X N ËP , ° n ×Ì ö] k ùV R Ë, ×

È k Ä

s

] X \ " f H Peres-Horodecki & ñ o , & Û ¼ü < ª

\ O j Ë µ+ þ A$ í _ Ã ºd ^ > \ @ / # 7 H ô Ç 6 £ §, ª 4 ¤ _

# Q ½ ©g Ë :[ þ t \ s \ ¦ & h 6 x # ª 4 ¤ [ þ t _ Peres- Horodecki & ñ o , \ O j Ë µ+ þ A$ í ` ¦ > í ß ô Ç .

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼ Ð ¿ º > Aü < B Ð ½ ¨$ í ) a ½ + Ë$ í > _ ¸ H ª

© I H |Ψi _AB = P

i,j c _ij |ii _A ⊗ |ii _B Ð ³ ð & ³ ) a . |Ψi A = P

i c ^A _i |ii A , |Ψi B = P

i c ^B _i |ii B ½ + É M : " f Ð © ñ 6 x t

· ú § H ¿ º > Aü < B Ð ½ ¨$ í ) a ½ + Ë$ í > _ © I H c ij = c ^A _i c ^B _j s # Q ô Ç . Õ ª QÙ ¼ Ð # Q " Ñ ü t Ð ½ ¨$ í ) a > _ ª

© I |Ψi ^AB = P

i,j c ij |ii A ⊗ |ii B c ^ij 6= c ^A _i c ^B _j s , Õ

ª ½ + Ë$ í > H ì r o Ô ¦ 0 p x © I (inseparable state)\ e

. 7 £ ¤, # Q " © I ì r o Ô ¦ 0 p x © I Õ ª © I H \ O

2 ³ © I (entangled state)s [16, 17]. Peres-Horodecki

&

ñ o [16]\ _ , ¿ º Û ¼ 2 ; 1/2 Ð ½ ¨$ í ) a > _ ª © I

ì r o © I \ e ` ¦ 9 כ ¹Ø æì r ¸| É r Õ ª > _ Â Òì r o

À D K(partial transposition) ° ú כs ª s . ¿ º Û ¼ 2 ; 1/2 { 9

Ð ½ ¨$ í ) a > _ x 9 ¸ í ß (density operator)ü <

'

a ) a x 9 ¸' § > =(density matrix) H

ρ _mµ,nν = he _m |hf _µ |ˆ ρ|e _n i|f _ν i , (1) s

j þ t Ã º e . # l " f {|e ⁿ i}, {|f ν i} H y y Û ¼ 2 ; 1/2 > _ n =! Qà Ô / B N ç ß _ f § ½ © o ) a l $ \ ¦

?

/ 9, ½ ¨^ & h Ü ¼ Ð H |e 0 i a = |0i _a , |e ₁ i a = |1i _a õ |f 0 i b =

|0i b , |f 1 i b = |1i b Ð Å Ò# Q . s M :, ˆ ρ _ Â Òì r o À D K ˆ

ρ ^T

²

H

ρ ^T _mµ,nν

²

= ρ mν,nµ (2)

Ð & ñ _ ) a . Õ ª QÙ ¼ Ð © I ˆ ρ ì r o Ô ¦ 0 p x © I | ¨ c

9 כ ¹Ø æì r ¸| É r Â Òì r o À D K í ß d (3)_ ¦Ä »° ú כ

(3)

[ þ

t × æ & h # Q ¸ 6 £ § ¸| s . s ¸| É r ¿ º ' § > = d

W 3 = det





ρ ^T _00,00

²

ρ ^T _00,01

²

ρ ^T _00,10

²

ρ ^T _01,00

²

ρ ^T _01,01

²

ρ ^T _01,10

²

ρ ^T _10,00

²

ρ ^T _10,01

²

ρ ^T _10,10

²





= det





ρ _00,00 ρ _01,00 ρ _00,10 ρ _00,01 ρ _01,01 ρ _00,11 ρ 10,00 ρ 11,00 ρ 10,10



 , (3)

W 4 = det







ρ ^T _00,00

²

ρ ^T _00,01

²

ρ ^T _00,10

²

ρ ^T _00,11

²

ρ ^T _01,00

²

ρ ^T _01,01

²

ρ ^T _01,10

²

ρ ^T _01,11

²

ρ ^T _10,00

²

ρ ^T _10,01

²

ρ ^T _10,10

²

ρ ^T _10,11

²

ρ ^T _11,00

²

ρ ^T _11,01

²

ρ ^T _11,10

²

ρ ^T _11,11

²







= det







ρ 00,00 ρ 01,00 ρ 00,10 ρ 01,10

ρ 00,01 ρ 01,01 ρ 00,11 ρ 01,11

ρ 10,00 ρ 11,00 ρ 10,10 ρ 11,10

ρ 10,01 ρ 11,01 ρ 10,11 ρ 11,11





 (4)

×

æ & h # Q ¸ 6 £ § s # Q ô Ç H ¸| õ 1 l x1 p x [1].

"

é

¶ A H ¿ º ' § > =d W 1 = ρ ^T _00,00

²

ü < W ² = ρ ^T _00,00

²

ρ ^T _01,01

²

− ρ ^T _00,01

²

ρ ^T _01,00

²

_ ° ú כ ¸ S X # t ë ß , ª % i < Æ\ " f x 9

¸ í ß ˆ ρ H ª s # Q Ù ¼ Ð, 7 £ ¤ x 9 ¸ í ß _ ¸ H

"

é

¶ è[ þ t s 6 £ § s m Ù ¼ Ð s ¿ º ' § > =d ¸ 6 £ § s m .

Ã

Ð ¦ë H ³ [17,18]\ " f s p 7 H _ % i 1 p w s , Ñ ü t Ð ½ ¨$ í

)

a > \ " f ô Ç © _ Ç ©c ± _ & Û ¼ H C(Φ) = |hΦ|Φi| Ð

&

ñ _ ) a . # l " f |Φi H Û ¼ 2 ; + '| 9 l í ß (spin-flip operation) (σ y ⊗ σ y )|Φ ^∗ i` ¦ ? / ¦, |Φ ^∗ i H ³ ðï r l

$

{|00i, |01i, |10i, |11i}\ " f í H Ã ºô Ç © I |Φi_ 4 ¤ è/ B NÓ o s

¦, σ ^y = 0 −i i 0

H Pauli í ß s . Õ ªo ¦ í H Ã º ô

Ç © I _ \ O j Ë µ+ þ A$ í É r

E f = ε(C(Φ)) (5) Ü

¼ Ð & ñ _ ½ + É Ã º e . # l " f < ÊÃ º ε É r

ε(C) = h 1 + √ 1 − C ² 2

!

(6) s

¦,

h(x) = −x log ₂ x − (1 − x) log ₂ (1 − x) (7)

Ð & ñ _ ) a . Õ ª QÙ ¼ Ð < ÊÃ º ε(C) H 0 ≤ C ≤ 1 \ " f é ß

¸7 £ x < ÊÃ ºs . 7 £ ¤, C = 0{ 9 M : E ^f = 0 s ¦, C = 1{ 9 M

: E ^f = 1 s 9, von Neumann ' pà Ô Ðx ü < { 9 u ô Ç .

ô

Ç¼ # , ô Ç © _ Ç ©c ± _ + '[ O © I (mixed state)_ \ O j Ë

µ+ þ A$ í ¸ d (5) - (7)Ü ¼ Ð & ñ _ | ¨ c Ã º e 6 £ § s 7 £ x" î ÷ &% 3 [17]. s + '[ O © I \ " f & Û ¼ H

C(ρ) = max{0, λ ₁ − λ ₂ − λ ₃ − λ ₄ } (8) Ü

¼ Ð & ñ _ ) a . # l " f ρ H + '[ O © I _ x 9 ¸' § > =s

¦, ρ_ ³ ðï r l $ \ " f_ 4 ¤ è/ B NÓ o ρ ^∗ \ @ / #

ρ = (σ y ⊗ σ y )ρ ^∗ (σ y ⊗ σ y ) (9)

½ + É M :, λ ⁱ H ρρ _ ¦Ä »° ú כ_ ] jY L H` ¦ ? /a Ë > í H Ü ¼ Ð & ñ

§ >

=ô Ç כ s . Õ ª Q ô Ç © _ Ç ©c ± Ð H Ñ ü t Ð ½ ¨$ í ) a

>

\ @ /K " f ¸ \ O j Ë µ+ þ A$ í _ Ã ºd ^ > H · ú 94 R e t

· ú

§ .

s

7 Hë H \ " f ¸ ½ + É ª 4 ¤ l [ þ t _ þ j& h 4 ¤ ½ ©g Ë :

É

r 6 £ § õ ° ú .

1. Buzek-Hillery ª 4 ¤ l UQCM [12]:

U |0i|i|Ai = r 2

3 |00i|A 0 i + r 1

6 (|01i + |10i) |A 1 i , U |1i|i|Ai =

r 2

3 |11i|A 1 i + r 1

6 (|01i + |10i) |A 0 i(10) 2. & h ¸ 0 A © -/ B N ª 4 ¤ l EPC-QCM [13]:

U |0i|i|Ai =

"

1 2 +

r 1 8

!

|00i + 1 2 −

r 1 8

!

|11i

#

|A ₀ i + r 1

8 (|01i + |10i) |A ₁ i , U |1i|i|Ai =

"

1 2 +

r 1 8

!

|11i + 1 2 −

r 1 8

!

|00i

#

|A 1 i + r 1

8 (|01i + |10i) |A 0 i (11) 3. ¸ 0 A © -/ B N ª 4 ¤ l MPC-QCM [14]:

U |0i|i|Ai =

"r 2 5 |00i +

r 1

10 (|01i + |10i)

#

|A 0 + r 2

5 |00i|A 1 i ,

(4)

U |1i|i|Ai =

"r 2 5 |11i +

r 1

10 (|01i + |10i)

#

|A 1 + r 2

5 |11i|A 0 i (12)

Fig. 1. (Color online) An entangled pair of spin-1/2 par- ticles a ₁ , b ₁ is shared by two distant parties 1 and 2, which then perform local operations using two quantum copiers X a and X b . Each party obtains two output par- ticles a 1 , a 2 and b 1 , b 2 , respectively.

4. Bruss _ Ð ¸> \ O H © I -_ > r ª 4 ¤ l [15]:

U |0i|i = a|00i + b (|01i + |10i) + c|11i ,

U |1i|i = a|11i + b (|01i + |10i) + c|00i (13)

#

l " f

a = 1 2

1 √ 1 + s ² + 1

, b = s

2 √

1 + s ² , c = 1

2

1 √ 1 + s ² − 1

(14) s

¦, s = sin 2θs .

III. X ¢% ¤ ª × Ê ÝX N ËÊ Ý + s ÇÊ Ý À X Ø8 ý

\ O

j Ë µ \ ¦ 7 H _ ½ + É Ä ºo _ ô Ç/ B M 4 ¤ ^ > H 6 £ § õ

° ú

. Y O o b # Q4 R e H ª 8 £ ¤ î qo Û ¼ü < µ 1 Ñ É r ì r o Ô ¦ 0 p x

© I ˆ ρ ^(id) _a

1

b

1

\ ¦ / B N Ä » ¦ e ¦ . # l " f a ¹ É r î qo Û ¼

b ¹ É r µ 1 Ñs / B N Ä »ô Ç { 9 \ ¦ · p . s ] j î qo Û ¼ü < µ 1 Ñ

É

r y y _ ª 4 ¤ l X ^a ü < X ^b \ ¦ 6 x # s

/ B N Ä »ô Ç ª © I \ ¦ 4 ¤ y y a ¹ , a 2 ü < b ¹ , b 2 ` ¦ % 3

H . s M : ¿ º ª 4 ¤ l X ^a ü < X ^b H % 6 £ § ' p # Q " ©

'

a ' a > ¸ \ O H ì r o ) a © I \ e ¦ & ñ . s õ & ñ

`

¦ Fig. 1 \ Ð% i .

s

M : y 4 ¤ l _ { 9 § 4 © I H

|Ψi ^(id) _a

1

b

₁

= α|00i a

₁

a

₂

+ β|11i b

₁

b

₂

(15) s

. # l " f α, β H y y z ´Ã ºs ¦, α ² + β ² = 1 s

. s { 9 § 4 © I H α _ 0õ 1` ¦ ] jü @ô Ç ¸ H % ò

%

i \ " f ì r o Ô ¦ 0 p x © I s . 7 £ ¤, 0 < α < 1 ½ ¨ç ß \ " f d

(3)õ (4) × æ & h # Q ¸ 6 £ § s . z ´] j Ð H W 3 , W ₄

¸¿ º 6 £ § s . s ] j î qo Û ¼ü < µ 1 Ñs l / B N Ä » ¦ e

H y © I \ ¦ _ 4 ¤ l Ð 4 ¤ 4 ¤ l ü < W 1 4 ¤

[ þ t s D ¥ ½ + Ë ) a Ø ¦§ 4 © I |Ψi ^(out) a

1

a

2

X

a

b

1

b

2

X

_b

\ ¦ % 3 H . s Ø

¦§ 4 © I _ x 9 ¸ í ß \ ¦ 4 ¤ l [ þ t \ @ /K Â Òì r ¥

&

h

(partial trace)` ¦ 2 [ W 1 4 ¤ : r[ þ t s _ x 9 ¸ í

ß ˆ ρ ^(out) _a

1

a

2

b

1

b

2

\ ¦ % 3 H . s \ ¦ r & h { © ô Ç Â Òì r ¥& h

`

¦ 2 [ ô Ç/ B M 4 ¤ : r[ þ t(local clones) s _ ' § > = í ß

ˆ ρ ^(out) a

₁

a

₂

ü < ˆ ρ ^(out) _a

1

b

2

, " é ¶ 4 ¤ : r[ þ t s _ ' § > = í ß [ þ t ˆ

ρ ^(out) _a

1

b

₂

, ˆ ρ ^(out) _a

2

b

₁

, ˆ ρ ^(out) _a

1

b

₁

, ˆ ρ ^(out) _a

2

b

₂

` ¦ % 3 ` ¦ Ã º e . ' § > = í ß _

@ /g A$ í \ _ # ô Ç/ B M 4 ¤ : r[ þ t s _ ¿ º ' § > = í ß

ü < " é ¶ 4 ¤ : r[ þ t s _ W 1 ' § > = í ß [ þ t É r " f Ð ° ú

. Ä ºo ¦ 9 H y ª 4 ¤ l [ þ t _ Ø ¦§ 4 ' § > = í

ß [ þ t É r A ü < ° ú . Õ ªo ¦ y Ø ¦§ 4 ' § > = í ß \ @ / K

Peres-Horodecki & ñ o \ ¦ & h 6 x # % 3 É r y Ø ¦§ 4 © [ þ t _

ì r o 0 p x % ò % i (separable region)õ ì r o Ô ¦ 0 p x % ò

% i

(inseparable region)` ¦ Table 1 \ & ñ o % i .

1. Buzek-Hillery _ # 3 6 x ª 4 ¤ (UQCM) [12]:

ˆ ρ ^(out) _a

₁

_a

₂

=







A 0 0 0 0 B B 0 0 B B 0 0 0 0 C





 ,

ˆ ρ ^(out) _a

1

b

₂

=







P 0 0 Q 0 R 0 0 0 0 R 0 Q 0 0 S







(16)

#

l " f A = ² 3 α ² , B = ¹ ₆ , C = ² ₃ α ² , P = ^24α ₃₆

²

⁺¹ , Q =

4 9 αβ, R = ₃₆ ⁵ , S = ^24β ₃₆

²

⁺¹ s .

2. & h ¸ 0 A © -/ B N ª 4 ¤ l EPC-QCM [13]:

ˆ ρ ^(out) _a

₁

_a

₂

=







A 0 0 B 0 B B 0 0 B B 0 B 0 0 C







,

(5)

Table 1. Separable-Inseparable regions of quantum clones via local copying .

Quantum Copier Fidelity Separable region of ˆ ρ

^(out)a1a2

Inseparable region of ˆ ρ

^(out)_a

1b₂

Buzek-Hillery UQCM [12] 0.833 0.259 ≤ α ≤ 0.966 0.332 ≤ α ≤ 0.943 Equtorial PC-QCM [13] 0.854 0 ≤ α ≤ 1 0.356 ≤ α ≤ 0.934 Meridian PC-QCM [14] F (θ) =

₁₀⁹

−

¹₅

sin

²

θ +

¹₅

sin θ 0.259 ≤ α ≤ 0.966 0.332 ≤ α ≤ 0.943

Eastern 0.9 ≤ F ≤ 0.95 Equal to its of the Buzek-Hillery UQCM Bruss State-dependent QCM [15] F (θ) =

¹₂

1 + √

^1−S²

1+S²

+

^S²_1+S^(1+S)₂

, Inseparable in near-all region, i.e. separable in 0.986 ≤ F ≤ 1, S = sin 2θ α > 0.985 (Refer Fig. 2)

ˆ ρ ^(out) _a

1

b

₂

=







P 0 0 Q 0 R S 0 0 S R 0 Q 0 0 T







(17)

#

l " fA = α ² a ² + β ² b ² , B = ¹ ₈ , C = α ² b ² + β ² a ² , P = α ² a ² + β ² b ² , Q = ³ ₈ αβ, R = ¹ ₈ , S = ¹ ₈ αβ, T = α ² b ² + β ² a ² s ¦, a = ¹ 2 + ^√ ¹

8 , b = ¹ ₂ − ^√ ¹

8 s .

ˆ ρ ^(out) _a

₁

_a

₂

=







A B B 0 B C C D B C C D 0 D D E





 ,

ˆ ρ ^(out) _a

1

b

2

=







P Q Q R Q S T U Q T S U R U U V







(18)

#

l " f A = ⁴ 5 α ² , B = ¹ ₅ α ² , C = ₁₀ ¹ , D = ¹ ₅ β ² , E = ⁴ ₅ β ² , P = ^1+80α ₁₀₀

²

, Q = ^1+8α ₅₀

²

, R = ^1+4αβ ₂₅ , S = ₁₀₀ ⁹ , T = ₂₅ ¹ , U = ^1+8β ₅₀

²

, V = ^1+80β ₁₀₀

²

s .

ˆ ρ ^(out) _a

1

a

₂

=







A B B −C B C C D B C C D

−C D D E





 ,

ˆ ρ ^(out) _a

1

b

₂

=







P Q Q R Q S T U Q T S U R U U V







(19)

#

l " f A = α ² a ² + β ² c ² , B = (α ² a + β ² c)b, C = b ² , D = (α ² c + β ² a)b, P = A, E = α ² c ² + β ² a ² , Q = (α ² a − β ² c)b(a + c), U = −(α ² c − β ² a)b(a + c), R = b ² [(a + c) ² + 4αβ(a ² + c ² )], T = b ² [(a + c) ² − 8αβb ² ], V = E, S = C s ¦, a = ¹ ₂

√ 1

1+s

²

+ 1

, b = ^s

2 √ 1+s

²

, c = ¹ ₂

√ 1

1+s

²

− 1 s

.

Fig. 2. (Color online) Negativity of W ₃ of Bruss’s State- dependent QCM. Left is W ₃ of local clones a ₁ , a ₂ and right is W ₃ of remote clones a ₁ , b ₂ .

Table 1 \ y 4 ¤ l _ 4 ¤ ] j[ þ t _ | 9 & ñ S X

`

¦ & ñ o % i . ³ ð\ " f · ú Ã º e 1 p w s ¸ H 4 ¤ l [ þ t \ " f /

B

N: x& h ¸_ þ v É r " é ¶ 4 ¤ ] j © [ þ t(a 1 − b 1 , a 1 − b 2 , a 2 − b 1 , a 2 − b 2 ) _ ì r o Ô ¦ 0 p x % ò % i s ô Ç/ B M 4 ¤ ] j © (a ¹ − a 2 ü <

b 1 − b 2 ) _ ì r o 0 p x % ò % i î ß \ e H כ s . Õ ª Q { 9

É r Qt [ j 4 ¤ l [ þ t × æ EPC-QCM _ # 3 0 A Ð

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`

¦ ] jü @ô Ç _ % ò % i \ " f ¸ ú s , X . ì ø Í \ 4 ¤ _

| 9

õ ª \ O j Ë µ > r F % ò % i , 7 £ ¤ ì r o Ô ¦ 0 p x % ò % i s \

(6)

Fig. 3. (Color online) Total EoF(Entanglement of For- mation) of Input and Outputs of Buzek-Hillery UQCM and Equatorial Phase-covariant QCM.

Ä

º 4 ¤ : r[ þ t s _ 8 ú x \ O j Ë µ+ þ A$ í ` ¦ Ð# ï r . 4 ¤ : r [

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1

a

2

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ˆ ρ ^(out) _b

1

b

2

1

b

2

, ˆ ρ ^(out) _a

2

b

1

, ˆ ρ ^(out) _a

1

b

1

, ˆ

ρ ^(out) _a

2

b

2

) Ü ¼ Ð ½ ¨$ í ) a . Ã Ð ¦ë H ³ [1]\ " f Buzek 1 p x É r " é ¶ A

ª \ O j Ë µÜ ¼ Ð ÷ &l \ ¦ l @ / % i Ü ¼ , Fig. 3 É r Õ ªX O t

H H כ ` ¦ ì r" î y Ð# ï r . " f ô Ç/ B M 4 ¤ \ _ K

ª \ O j Ë µs ÷ & H õ & ñ \ " f ª \ O j Ë µ_ ° ú כ É r Ð > r ÷ &

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\

" f É r % ò % i Ð ¸y 9 \ O j Ë µ+ þ A$ í ° ú כs ß ¼ H כ s

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l x{ 9 ô Ç | 9 _ 4 ¤ ] j\ ¦ % 3 l 0 A # y Ã ºK H ¸ ú 6 £ § s

½ + É Ã º e . EPC-QCM_ â Ä º ô Ç/ B M 4 ¤ ] j[ þ t É r % ò % i

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" f ì r o 0 p x s Ù ¼ Ð × æd Â Òì r _ { 9 Â Ò\ " fë ß ª \ O j Ë

µs > r F ô Ç . Õ ª QÙ ¼ Ð EPC-QCM É r ¸ ú 6 £ § \ O s ª

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j Ë µ` ¦ ½ + É Ã º e Ü ¼ , UQCM Ð 8 ´ ú § É r % ò % i \ " f

ª \ O j Ë µ` ¦ 8 ´ ú §s < Hz ´ H é ß & h ` ¦ ° ú H . s ' a& h

\

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0 p x % ò % i î ß \ e H כ s . Õ ªo ¦ ì ø Í& h Ü ¼ Ð 4 ¤ _

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Ç/ B M 4 ¤ \ _ # ÷ & H ª \ O j Ë µ_ ª õ ' aº K

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{ 9 7 á x EPC-QCM_ â Ä º " é ¶ u · ú § H \ O j Ë µ É r µ 1 ÏÒ q t t

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§Ü ¼ UQCM Ð 8 V , É r % ò % i \ " f 8 ´ ú § É r \ O j Ë µ < H z

´` ¦ · p . Õ ª QÙ ¼ Ð ô Ç/ B M 4 ¤ \ _ ô Ç ª \ O j Ë µ_

\ " f ª \ O j Ë µ É r Ð > r ÷ &t · ú § H .

Y

c p w Ã U Ø ô

[1] V. Buzek, V. Vedral, M. B. Plenio, P. L. Knight and M. Hillery, Phys. Rev. A 55, 3327 (1997).

[2] C. H. Bennett and S. J. Wiesner, Phys. Rev. Lett.

69, 2881 (1992).

[3] A. K. Ekert, Phys. Rev. Lett. 67, 661 (1991).

[4] C. H. Bennett, H. G. Brassard, C. Crepeau, R.

Jozsa, A. Peres and W. K. Wootters, Phys. Rev.

Lett. 70, 1895 (1993).

[5] R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki and K.

Horodecki, Rev. Mod. Phys. 81, 865 (2009).

[6] C. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popesscu and B.

Sshumacher, Phys. Rev. A 53, 2046 (1996).

[7] H. Barnum, C. M. Caves, C. A. Fuchs, R. Jozsa and B. Schumacher, Phys. Rev. Letts. 76, 2818 (1996).

[8] S. Adhikati and B. S. Choudhury, Phys. Rev. A 74, 032323 (2006).

[9] G. M. D’Ariano, C. Macchiavello and P. Perinotti, Phys. Rev. Letts. 95, 060503 (2005).

[10] W. K. Wootters and W. H. Zurek, Nature 299, 802 (1982).

[11] I. Ghiu and A. Karlsson, Phys. Rev. A 72, 032331

(2005).

(7)

[12] V. Buzek and M. Hillery, Phys. Rev. A 54, 1844 (1996).

[13] D. Bruss, M. Cinchetti, G. M. D’Ariano and C. Mac- chiaello, Phys. Rev. A 62, 012302 (2000).

[14] M. Siomau and S. Fritzsche, J. Eur. Phys. D 57, 293 (2010).

[15] D. Bruss, D. P. Divincenzo, A. Ekert, C. A. Fuchs, C. Macchiavello and J. A. Smolin, Phys. Rev. A 57,

2368 (1998).

[16] A. Peres, Phys. Rev. Letts. 77, 1413 (1996); M.

Horodecki, P. Horodecki and R. Horodoecki, Phys.

Letts. A 223, 1 (1996).

[17] W. K. Wootters, Quan. Infor. Comp. 1, 27 (2001);

Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998).

[18] E. S. Yim, New Physics: Sae Mulli 60, 637(2010).

6 Z 4, pp. 575∼581

6 Z 4, pp. 575∼581

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Broadcasting and Preservation of Quantum Entanglement via Local Copying

Eui-Soon Yim ∗

Department of Computer Applied Science, Semyung University, Jechon, 390-711 (Received 28 March 2011 : accepted 1 June 2011)

PACS numbers: 03.67.-a, 03.65.Bz

Keywords: Quantum cloning, Quantum entanglement, Quantum broadcasting, Entanglement of formation

I. " e Â ] Ø

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

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E-mail: [email protected]

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  y © § 4 ½ + ÉÃ º2  ¤  8 u e    ¦ ½ + É Ã º e   . s   s Ä »

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-575-

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Eui-Soon Yim ^∗

ª > í ß õ ª : x \ " f ª \ O j Ë µ(quantum entan- glement) H ì r í ß ª > í ß (quantum computation) [1],

ª x 9 | 9 ï× ¼(quantum dense coding) [2], ª ñ

< Æ(quantum cryptography) [3], ª " é ¶ s 1 l x(quantum teleportation) [4] 1 p x \ Ù þ d > h¥ Æ Ü ¼ Ð 6 £ x6 x ÷ & , s ª

j Ë µ É r É r §ê ø Í\ ¸ B Ä º y # ~ 1 > y û Z÷ &Ù ¼ Ð

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