포 화 - 불 포 화 흙 댐 의 투 수 에 관 한 수 치 해 석

碩 士 學 位 論 文

포 화 - 불 포 화 흙 댐 의 투 수 에 관 한 수 치 해 석

N u m e ri c al A n aly s i s o f S e e p ag e t h rou g h S at u rat e d - U n s at u r at e d E art h D am s

國 民 大 學 校 大 學 院

土 木 環 境 工 學 科

申 東 祐

200 0

포 화 - 불 포 화 흙 댐 의 투 수 에 관 한 수 치 해 석

N u m e ri c al A n aly s i s o f S e e p ag e t h rou g h S at u rat e d - U n s at u r at e d E art h D am s

指 導 敎 授 黃 成 一

이 論 文 을 碩 士 學 位 請 求 論 文 으 로 提 出 함

2 0 0 0 年 12月 日

國 民 大 學 校 大 學 院

土 木 環 境 工 學 科

申 東 祐

200 0

申 東 祐 의

碩 士 學 位 請 求 論 文 을 認 准 함

20 00年 12月 日

審 査 委 員 長 印

審 査 委 員 印

審 査 委 員 印

國 民 大 學 校 大 學 院

목 차

제 1장 서 론

1.1 연구배경 1

1.2 연구의 목적 및 내용 2

제 2장 불 포 화 토 의 특 성

2.1 불포화토에서의 각 성분사이의 관계 5

2.2 함수 포텐셜의 개념 6

2.2.1 포텐셜의 구성요소 7

제 3장 불 포 화 토 에 서 의 투 수 계 수

3.1 물의 흐름 10

3.1.1 함수백분율 경사 10

3.1.2 모관흡수력 경사 11

3.1.3 동수경사 11

3.2 추진 포텐셜 11

3.3 불포화토에 있어서의 Darcy ' s law 의 적용 14

3.4 투수계수 16

3.4.1 유체와 토립자 특성 16

3.4.2 투수성과 물성치와의 관계 16

3.4.3 포화도의 변화가 투수성에 미치는 영향 18

3.4.4 투수계수와 함수백분율 관계 18

3.4.5 모관흡입력과 투수계수와의 관계 22

3.4.6 체적함수백분율과 투수계수 관계 22

제 4장 함 수 특 성 곡 선

4.1 함수특성곡선 특성 25

4.2 함수특성곡선 식 27

제 5장 정 상 류 흐 름

5.1 정상류 상태의 물의 흐름 33

5.1.1 불포화토에서의 투수계수의 변화 34

5.2 정상류 상태에서의 1차원 흐름 35

5.2.1 일차원 흐름에서의 연속방정식 35

5.2.2 포화된 일차원 흐름에 대한 수학적 해 38

5.2.3 불포화토에서의 유한 차분법 40

5.3 정상류 상태에서의 2차원 흐름 45

5.3.1 이차원 흐름에서의 연속방정식 45

제 6장 흙 댐 에 서 의 흐 름

6.1 흙 댐에서 불포화토를 고려한 침윤선과 유량 해석 48 6.1.1 Br ook s 와 Cor ey (1964 )의 식을 이용한 흙 댐 해석 53 6.1.2 Gar dn er (1958)의 식을 이용한 흙 댐 해석 59 6.1.3 F r edlun d , Xin g과 Hu an g (1994 )의 식을 이용한 흙 댐 해석 69

6.1.4 S eep/ w 를 이용한 흙 댐 해석 75

6.2 침윤선의 비교 76

제 7장 결 론

참고문헌 80

A b st r act 83

표 목 차

표 3.1 다양한 흙에서의 간극분포지수와 λ

표 4.1 자주 이용되는 함수특성 곡선식(Zapat a et al., 2000)

표 6.1 흙의 종류에 따른 식6.13의 변수(F r edlund and Xing ,1994)

그 림 목 차

그림 2.1 불포화토에서의 각 성분 그림 2.2 불포화토에서의 성분 구성 그림 2.3 성분간의 관계

그림 2.4 공기와 물의 접촉면을 구로 가정시 작용하는 표면장력 그림 3.1 y방향에서 A점의 에너지

그림 3.2 불포화토에서 Dar cy의 법칙의 유효성 실험

그림 3.3 함수특성곡선 (a) 모관흡수력과 유효포화도의 관계 (b) 모관흡수력과 포화도 관계

그림 3.4 함수 특성곡선에서의 λ값 (a ) 모관흡수력과 포화도 관계 (b ) 모관흡수력과 유효포 화도 관계

그림 3.5 배수시 포화도에 따른 물과 공기의 상대 투수계수 그림 3.6 함수 특성곡선에서의 투수계수의 예측

그림 3.7 Lakeland fine sand에 대한 투수계수의 측정치와 계산치와의 비교 (a) 함수특성곡선 (b ) 체적함수백분율과 투수계수와의 관계

그림 4.1 사질토에서의 전형적인 함수특성곡선

그림 4.2 사질토, 실트 그리고 점성토에 관한 함수 특성곡선

그림 5.1 불포화토에서의 물의흐름 (a ) dam 에서의 불포화 지역과 포화지역에서의 물의 흐름 (b ) 불포화 사면에서의 물의 흐름

그림 5.2 일차원 흐름을 가지는 예 그림 5.3 불포화요소에서의 일차원 흐름 그림 5.4 포화토상에서의 1차원 정상류 흐름 그림 5.5 불포화토에서의 상향류의 흐름

그림 5.6 유량으로 산정한 불포화토에서의 하향류 흐름 그림 5.7 불포화 요소에서의 이차원 흐름

그림 6.1 불포화 개념을 적용하기 위해 적용한 흙 댐에서의 경계조건 그림 6.2 흙 댐의 해석시 고려한 절점

그림 6.3 Clay ey Silt에서의 함수특성곡선

그림 6.4 Brook s 와 Corey (1964)식을 적용한 흙 댐에서의 등수두선과 침윤선 그림 6.5 Brook s 와 Corey (1964)식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 전수두 그림 6.6 Brook s 와 Corey (1964)식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 압력수두 그림 6.7 Brook s 와 Corey (1964)식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 투수계수 그림 6.8 Gar dner (1958) 식을 적용한 흙 댐에서의 등수두선과 침윤선

그림 6.9 Gar dner (1958) 식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 전수두 그림 6.10 Gar dner (1958) 식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 압력수두 그림 6.11 Gar dner (1958) 식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 투수계수 그림 6.12 Gar dner (1958) 식을 적용한 흙 댐에서의 등수두선과 침윤선 그림 6.13 Gar dner (1958) 식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 전수두 그림 6.14 Gar dner (1958) 식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 압력수두 그림 6.15 Gar dner (1958) 식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 투수계수

그림 6.16 F redlun d 과 Xing (1994) 식을 적용한 흙 댐에서의 등수두선과 침윤선 그림 6.17 Fr edlund 과 Xing (1994) 식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 전수두 그림 6.18 Gar dner (1958) 식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 압력수두 그림 6.19 Gar dner (1958) 식을 적용한 흙 댐에서 각 절점에서의 투수계수 그림 6.20 S eep/ w 를 이용하여 얻은 등수두선과 침윤선

그림 6.21 불포화토를 고려한 해석에서 얻은 침윤선과 Cas agr an de의 침윤선 비교 그림 6.21 불포화토를 고려한 해석에서 얻은 침윤선과 Cas agr an de의 침윤선 비교

기 호 해 설

A ; 단면적

D₁₀ ; 유효입경

E ; 전 에너지

E_g ; 위치 에너지 ( E_g = M_wgy ) E_p ; 압력 에너지 ( E_p = Mwuw

w

)

Ev ; 속도 에너지 ( E_v = M_wv²_w 2 )

G_s ; 흙의 비중

K ; 흙 고유의 투수성

S ; 포화도

S_e ; 유효포화도

S_r ; 잔류포화도

T_s ; 표면장력

e ; 간극비

h_g ; 위치수두

h_p ; 압력수두

h_w ; 전 수두

k_{r w} ; 상대투수계수

k_s ; 포화시의 투수계수

k_w ; 투수계수 ( m / s)

q ; 유량

u_a ; 간극공기압

( u_a- u_w)_b ; 공기함입치

u_w ; 간극수압

v_w ; 물의 흐름 속도

; 정규화된 체적함수백분율

m ; 모관흡수력 ( u_a - u_w)

0 ; 삼투 흡수력

전 흡수력

; 체적함수백분율

s ; 포화된 체적함수백분율

; 간극크기분포지수

w ; 물의 점성

; 밀도

d ; 건조밀도

; 포텐셜

a ; 공기압 포텐셜 ( _a = P )

g ; 중력 포텐셜 ( _g = - wg h )

m ; 메트릭 포텐셜 ( _m = Ts

(

)

p ; 수중 포텐셜 ( _p = wg d )

p r e ; 압력 포텐셜

r ; 잔류체적함수비

; 삼투 포텐셜 ( = n R T C ) h_w

y ; 동수경사

요 지

지금까지의 토질역학은 해석상의 용이함으로 인하여 건조 흙 혹은 완전 포화된 흙의 거동 을 해석하는데 있어서 주안점을 두었다. 그러나, 자연지반에서의 대부분의 흙은 앞서 언급 한 두 가지 상태에만 있지는 않다. 그렇기 때문에 현장에서의 지반공학적인 문제를 해석하 기 위해서 불포화토 혹은 부분적인 포화토 상태에서의 흙의 거동에 관한 연구의 필요성이 대두되었다.

침투해석은 흙 댐뿐만 아니라 사면안정 그리고 토류구조물을 평가하는데 있어서 중요한 요 소이다. 침투속도와 유량 그리고 간극수압분포는 침투해석에 있어서 중요한 요소이고 지금 까지의 침투해석은 침윤선 위의 불포화영역을 제외하고 해석하였다. 그러나, 흙 댐에서의 침투에 관한 최근의 연구에서 불포화영역에서의 유량을 무시할 수 없다는 것을 알게 되었 다.

본 연구에서 불포화영역에서 함수특성곡선을 이용하여 투수계수를 산정하였고 포화영역뿐 만 아니라 불포화영역에서의 침투유량을 계산하였다. 따라서 본 연구에서 포화영역에서의 유량의 10～40%정도의 유량이 불포화영역을 통하여 흐르고 있다는 것을 나타내었다.

1 장 서 론

1 .1 연 구 배 경

1936년에 처음으로 열린 ' 토질역학 및 지반공학(Soil Mechanics and F oundat ion Engineering ) ' 국제 학술회의에서 T erzaghi는 흙의 거동을 지하수위 위치를 경계로 하여 흙을 분류하였다. 즉 지하수위 위에 있는 흙의 거동과 지하수위 아래에 있는 흙의 거동으로 서 흙을 불포화토와 포화토로 구별하여 흙의 거동을 설명하려 하였다. 그러나 그 후 2번째 학술회의서부터 거의 지하수위 아래에 있는 흙에 있어서의 흙의 거동과 응력상태를 연구하 였다. 그동안의 토질역학은 포화토와 건조토에 한정되어 연구되어 왔다. 그동안 불포화토 토질역학의 발전이 포화토나 건조토의 토질역학에 비해서 연구가 활발하게 진행되지 않은 이유는 불포화토의 연구에 있어서 간극수압이 음의 값을 가지기 때문에 실험실과 현장에 서 이러한 간극수압을 측정하는 어려움으로 인하여 불포화토의 연구가 어려움도 있었지만 포화토에서 얻어진 결과가 공학적인 문제를 해결하는데 있어서 불포화토 보다 더 안전 측 이기 때문이다.그러나 지금까지의 토질역학은 기후의 영향에 의해서 나타나는 대기와 흙 간 상호작용을 모델링하는데 있어서 한계를 가지고 있다. 즉 지표면 근처에서의 기초지반의 팽 창과 수축량은 주변 지역 환경이나 기후 조건에 의해서 지배받는데 이러한 상태를 해석하 는데 있어서 기존의 토질역학은 어려움이 있다. 그리고 포화된 흙의 거동으로 부의 간극수 압을 가지는 불포화토 영역에서 정확하고 직접적으로 적용하기에는 한계가 있기 때문에 불 포화토로 해석하는 것이 보다 합리적이라는 인식이 높아졌다. 따라서 실제에 있어서 기후의 영향을 받는 일반 흙 구조물의 투수 및 전단에 관련되는 거동에 있어서 불포화토 토질역학 의 이론을 배제하지 않을 수 없게 되었다.

지반에서의 불포화토는 포화토와 달리 인장력을 발휘하여 흙입자들을 서로 결합시키거나, 체적과 질량이 작아 간극수의 한 부분으로 고려되는 공기와 물의 경계면(air - water int erface, contr actile skin )이 하나의 성분으로 고려하여 4개의 성분으로 구성된다. 즉 포화 영역에서의 간극수와 간극공기 그리고 토립자의 성분 외에 공기와 물의 경계면을 포함한다.

이러한 공기와 물의 경계면으로 인하여 불포화토의 거동은 포화토와는 다른 공학적 특성과 거동을 보인다. 불포화토에서 간극 속에 물과 공기의 압력 차에 의한 표면장력과 물분자를 결합하는 표면력이 발생한다. 이러한 힘은 모세관 현상과 흡착현상을 발생하게 하여 포화토 와는 달리 부의 간극수압을 발생시켜 결과적으로 유효응력의 증가를 가져온다.

불포화토의 투수특성은 v an Genuchten (1980)에 의해서 그 실험적 거동이 연구되었고 복잡 한 불포화토의 투수계수를 추정하는데 함수특성곡선을 이용하려 하였다. 그 후 함수특성곡 선에서 투수계수를 추정하는 경험식이 제안되었다(Mualem ,1976).

그 후의 연구결과 불포화토에서는 부의 간극수압의 영향으로 인하여 겉보기 점착력을 보이 고 마찰각도 커지며 흐름에 있어서는 간극 속에 공기로 인하여 투수성이 저하하는 등 완전 포화토와 다른 특성을 나타내는 것으로 알려져 있다. 따라서 많은 실제 문제에서 포화토의 이론을 적용한다면 과대설계가 되거나 실제문제를 잘못 모델링하는 결과가 될 수 있다. 실 제의 토질구조물은 불포화 지반에 있는 경우가 많기 때문에 더욱이 불포화토에 관한 연구 가 앞으로 지속되어야 할 것이다.

최근에 국내에서도 불포화 개념에 대한 연구가 증가되고 있다. 류지협(1997)은 불포화토의 투수 및 강도특성에 관한 연구가 있었고 임희대(1995)는 불포화토에의 간극수압의 예측에 관하여 연구를 하였다. 또한 송창섭(1994)은 불포화토의 거동예측을 위한 구성식을 개발하 였다.

1 .2 연 구 의 목 적 및 내 용

불포화토를 고려한 연구에 있어서 몇 가지 대표적인 예 중에서 지표면에 비나 눈 그리고 살포 등에 의해서 지표수가 지하수로 유입되는 과정에서 지표면과 지하수면 간에 있는 지 역은 초기에는 불포화지역이 된다. 이러한 지역은 바도스 영역(vadose zone)이라고 불리우 기도 하는데 이러한 예는 지하수오염을 연구하는 학자들이 많이 연구하고 있는 것으로 알 려져 있다. 그 외에는 토질역학에서 많이 사용되는 흙 댐에서의 물의 흐름에 있어서 포화토 와 불포화토를 동시에 고려하는 하나의 전형적인 예가 될 것이다.

그 동안의 흙 댐의 해석에 있어서는 단지 Casagrande(1937)가 제안한 흙 댐의 형상에 따라 서 작도한 침윤선에 기초하여 유선망을 작도하거나 여러 학자들이 제안한 경험식을 이용하 여 흙 댐의 유량과 흐름의 경향을 이해하였다. 이러한 흙 댐의 해석은 우선 포화토에 관한 토질역학으로서 흙 댐을 정의하다 보니 흙 댐을 인위적으로 포화된 투수지역과 불투수지역 으로 이분하는 형식으로 흙 댐을 해석하였다.

흙 댐에서 불포화토를 고려하여 침윤선을 결정하는 것은 기존의 포화토만을 고려하여 얻은 침윤선보다는 한단계 개선된 개념이다. 불포화토를 흙 댐에서 고려했을 경우에 있어서 흙 댐은 포화되어 있는 지역과 흡수력에 의해서 부의 간극수압을 가지는 불포화지역으로 나누 어진다. 그러나 이러한 불포화지역은 포화되어 있는 지역과는 달리 위치에 따라서, 흡수력 과 간극수압에 따라서 서로 다른 투수계수를 가지게 되어 복잡한 형상을 가지게 된다. 이러 한 흡수력에 의해서 불포화되어 있는 지역에서의 함수비의 분포는 비선형적인 형태를 취하 게 된다. 이러한 비선형적인 함수비 분포로 인하여 불포화지역에서는 위치에 따라서 투수계 수가 비선형적인 분포를 가지게 된다. 따라서 불포화토를 고려하였을 때 침윤선은 포화토로 서 해석할 시 투수층과 불투수층을 구분하는 이상적인 선이 아니라 포화지역과 불포화지역 을 구분하는 선이 된다. 이 선을 따라서 포화지역에서는 동일한 투수계수를 가지는 반면 불 포화지역은 위치에 따라서 투수계수가 비선형적인 분포를 가지는 두 지역으로 구분하게 된 다. 그러므로 불포화토에서도 물은 존재하고 또한 동수경사로 인한 흐름도 발생하게 된다.

본 연구에서는 하나의 흙 댐의 형상을 정의하고 흙 댐에서 불포화토 개념을 적용하여 수치 해석적인 방법을 이용하여 흙 댐을 해석하였다. 그리하여 해석하여 얻어진 침윤선과 기존의 Ca sagr ade의 침윤선과 비교하려 하였다. 그리고 불포화 지역을 통하여 흐르는 유량을 산정 하여 불포화지역에서의 유량이 전체 유량에서 차지하고 있는 비중을 다루고자 한다.

2 장 불 포 화 토 의 특 성

불포화토는 물리적인 성질을 고려할 때 공기, 물, 토립자와 공기와 물의 경계면의 성분으로 구성되어 있다. 공기와 물의 경계면은 불포화토의 요소에서 간극공기가 연속성을 가질 때 토립자와 상호작용을 하고 불포화토에서 역학적인 거동에 많은 영향을 준다. 그림 2.1은 불 포화토 요소의 대략적인 모형을 나타내었다. 공기의 압축성으로 인하여 공기가 방울의 형태 로 물에 의해서 차단되어 있을 경우에는 공기는 압축이 가능하다. 그리고 공기와 물의 경계 면의 중요한 물리적인 특성은 이러한 면이 장력을 가지는 특성을 가지고 있고 이러한 특성 을 표면장력(surface tension )이라고 부른다.

그림 2.1 불포화토에서의 각 성분

그림 2.2는 불포화토의 성분을 나타내었다. 그림 2.2는 4가지의 성분을 가지는 흙 요소를 나 타내었고 공기와 물의 경계면의 폭은 단지 몇 개의 분자 층으로 이루어져 있다. 그러한 이 유로 공기와 물의 경계면은 불포화토에서 부피- 질량과의 관계를 나타낼 경우에는 성분을 무시할 수 있다. 따라서 공기와 물의 경계면이 부피- 질량과의 관계에 있어서 중요한 오차 를 나타내지 않는다면 간극수의 성분으로 고려할 수 있다.

그림 2.2 불포화토에서의 성분구성

Mc

V_w M

V_s M_s

V

M_a Vc

M_w Va

solid w at er

air

air - w ater in ter face

volum e m ass

2 .1 불 포 화 토 에 서 의 각 성 분 사 이 의 관 계

토립자, 간극수, 간극공기의 체적- 질량 관계는 공학적인 면에서 유용한 특성이다. 이러한 특성은 흙에서의 중량과 체적 특성을 조합하여 얻어진다.

그림 2.3 성분간의 관계

Vw= nwV M V_w= S V_v

Vs Ms

V

M_a

M_w V_a= n_aV

s olid w a t e

air

v olu m e r elat ion s m a s s r elat ion

V_v= n V Vv= e Vs

불포화토에서 있어서 포화토에서 사용되는 간극율, 간극비, 포화도 그리고 함수백분율이 같 은 개념으로 사용된다. 특히 함수백분율은 체적함수백분율과 중량함수백분율이 불포화토에 서 사용된다.

2 .2 함 수 포 텐 셜 의 개 념

물은 흙의 간극 속에서 물리, 화학적 작용에 의해서 보유된다. 이와 같이 흙이 물을 보유하 게 되는 것은 간극내 공기와 물의 접촉면에서 발생하는 모관력과 물분자를 흡착하는 흙입 자의 표면력 때문이다. 즉, 모관력은 간극의 크기에 영향을 받고 표면력은 흙입자 표면의 성질에 영향을 받는다.

젖은 모래는 모관력에 의해서 두가지 중요한 효과를 가진다. 첫째는 겉보기 점착력에 의해 서 모래의 강도를 증가시켜 완전히 건조되거나 포화된 모래보다 더욱 가파른 사면을 유지 시킨다. 둘째는 일시적인 점착력이 흙의 이동을 방해하여 건조한 모래가 물을 흡수하면 체 적이 20～30% 정도 커지는 벌킹(bulking )현상을 보인다. 이러한 효과는 모래가 완전히 건 조되거나 포화되면 사라진다.

점토는 모관력보다 점토광물입자에 의한 표면력에 좀더 크게 좌우된다. 점토광물의 종류나 결정조직에 의해서 중력을 능가하는 표면력(surface force)을 가진다. 이 힘은 입자표면에서 물분자를 끌어당겨 각 흙입자가 물분자의 수막으로 쌓여있게 된다.

흙이 보유하는 물을 표현하기 위해서 포텐셜(potential)과 흡수력(suction )이 같이 사용되어 왔다. 일반적으로 포텐셜은 음의 값으로, 흡수력은 양의 값으로 표시되므로 포텐셜과 흡수 력은 절대값은 같으나 부호가 반대로 표시되어 왔다. 함수포텐셜을 표현하기 위해서는 단위 질량당 에너지(erg s/ g , joules/ kg )로서 표현되고 흡수력은 대기압과 같은 압력의 단위나 m 의 단위로서 수두와 같은 높이의 단위를 사용한다.

임의의 함수백분율에서 흙이 가지는 물을 에너지로 표현한 것이 함수포텐셜(soil- w ater pot ential)이다. 즉 포텐셜은 단위질량의 흙으로부터 물을 끌어당기기 위해 필요한 일로서 모관포텐셜(capillary potential)을 정의하였다. 이 포텐셜은 함수백분율이 감소함에 따라서 증가하는 관계를 가진다.

2 .2 .1 포 텐 셜 의 구 성 요 소

불포화 영역에서 전포텐셜의 구성요소는 다음과 같다.

= _m+ _g + + _p+ _a+ (2.1)

각 포텐셜의 요소를 정의하면 다음과 같다.

(1) 전 포텐셜(t ot al pot ential, )은 단위양의 물을 이동시키기 위해 필요한 일로서 음 의 부호를 가진다.

(2) 매트릭 포텐셜(m atric pot ential, m)은 모관포텐셜과 같이 사용되어지며 물과 공기 의 접촉면이 구로 이루어진 경우는 그림 2.4에서 보여지는 것과 같이

m = T_s

(

+ 1

R₂

)

(3) 중력 포텐셜(gravity pot ential, _g)은 _g = - _wg h로서 표현된다. 여기서 w = 물의 밀도, g = 중력가속도, 그리고 h = 고려하는 깊이에서 수면까지의 높이이다.

(4) 삼투 포텐셜(osm otic pot ential, )은 같은 수두의 순수한 물로부터 토양용액으로 물이 이동하는데 필요한 일이다. = nR T C으로 n은 단위 몰당 분자수, R은 기 체상수, T는 절대온도, C는 농도이다.

(5) 수중 포텐셜(pizom etric pot ential, p)은 지하수면 아래의 한 점으로 물을 이동하기 위해 필요한 일이다. _p = _wg d으로 여기서 d는 지하수면으로부터의 길이다.

(6) 공기압 포텐셜(pneum atic pot ential, a)은 대기압으로부터 흙에 작용하는 공기압 (P)에 의한 물의 이동을 말한다. 즉, _a = P이다.

그림 2.4 공기와 물의 접촉면을 구로 가정시 작용하는 표면장력

위에서 설명한 포텐셜중 매트릭포텐셜, 수중포턴셜, 공기압포턴셜의 합은 압력포텐셜( p r e) 로서 간주되며 다음 식과 같이 표현될 수 있다.

p r e = _m + _p + _a (2.2)

물은 높은 포텐셜을 가진 한 점에서 낮은 포테셜을 가진 한 점으로 흐르거나 낮은 흡수력 에서 높은 흡수력을 가진 곳으로 이동한다. 만일 동일한 함수백분율을 가지는 점토와 모래 가 접촉하여 있다면 간극수는 모래에서 점토로 이동하게 되는데 그 이유는 점토가 모래보 다 더 높은 흡수력을 가지기 때문이다.

불포화토를 다루는 토질역학에서는 모관력을 모관흡수력(m atric suction )이라고 한다. 그런 데 흙에서의 간극수간에 농도의 차이가 있다면 하나의 흡수력이 추가되는데 이것을 삼투흡 수력(osmotic suction )이라고 한다. 따라서 흡수력은 모관흡수력과 간극수의 삼투흡수력으로 나누어진다.

이것을 식으로 나타내면 다음과 같다.

t = m + o = ( ua - uw ) + o (2.3)

여기서, _t = 전흡수력, _m = 모관흡수력, _o = 삼투흡수력, u_a = 간극공기압, 그리고 uw = 간극수압이다.

모관흡수력은 간극공기압(u_a)과 간극수압(u_w)의 차로 표현되며 간극공기압이 대기압과 차 이를 나타내지 않는다면 간극공기압이 0으로 정의하는데 대기압 상태하에서는 모관흡수력 은 간극수압의 항만 표현할 수 있다. 모관흡수력은 전흡수력의 주요성분을 이루고 표면장력 을 일으켜 모관현상을 발생시키는 대표적 성분이 된다. 상대습도가 낮아져서 간극수의 염분 도가 증가하면 삼투성분이 증가하여 결과적으로 삼투흡수력이 증가하게 된다. 사막과 같은 건조지역 및 반 건조지역에서 삼투력의 측정치가 크게 나타나는 것은 사막의 모래에 함유 되어 있는 염분에 의한 삼투흡수력 때문이다.

제 3 장 불포화토에서의 흐름특성과 투수계수와의 관계

불포화토는 2가지의 유체(물 과 공기)를 가지고 있다. 유체의 흐름을 연구하기 위해서는 추 진 포텐셜(driving potential)을 이용한 흐름법칙이 필요하다. 흙에서의 공기는 포화도의 크 기가 매우 높을 때에는 흐름을 방해하는 장애물이 될 수 있고 포화도가 작을 때는 공기도 연속성을 가지므로 공기의 흐름도 발생한다. 따라서 흐름에는 공기의 흐름과 물의 흐름 두 가지 형식을 가진다. 추가하여 물을 통과하는 공기의 흐름도 발생하게 되는데 이러한 흙에 서의 간극수를 통한 공기의 흐름을 공기의 확산으로 따로 규정하여 연구되고 있다.

흐름을 연구하기 위해서는 공기나 물의 흐름을 발생시키는 추진포텐셜의 개념을 알아야 한 다. 추진포텐셜은 포화토와 수리학에서는 수두의 개념으로 사용된다. 흐름은 동수경사에 의 해서 발생하는데, 수두는 위치수두와 압력수두의 합으로 나타난다. 확산의 과정은 삼투압이 나 온도의 경사에 의해서 발생한다. 또한 흐름은 전기적인 경사로 인하여 발생하기도 한다.

이 논문에서는 삼투압, 온도, 그리고 전기적인 경사로 인한 흐름은 고려하지 않았다.

3 .1 물 의 흐 름

불포화토에서의 물의 흐름을 설명하기 위해서는 몇 가지의 개념이 필요하다. 즉, 함수백분 율 경사(wat er content gradient ), 모관흡수력 경사(m atric suction gradient ), 그리고 동수경 사(hy draulic head gradient )는 모두 추진포텐셜로서 고려되고 있다. 이러한 추진포텐셜은 물의 흐름을 지배하는 가장 기본적인 요소로서 흐름의 연구에 있어서 중요한 개념이다.

3 .1 .1 함 수 백 분 율 경 사 (w a t e r c o n t e n t g ra di e n t )

함수백분율 경사는 높은 함수백분율을 가지는 점에서 낮은 함수백분율을 가지는 점으로 흐 름을 발생시키는 역할을 하여 하나의 추진포텐셜로 간주한다. 그러나 여러 가지 환경적인 원인(흙의 형태의 변화, 이력현상, 그리고 응력이력의 변화)으로 인하여 낮은 함수백분율을 가지는 점에서 높은 함수백분율을 가지는 점으로 물의 흐름이 발생할 수 있기 때문에 기본 적인 추진포텐셜로서 이용되지는 않는다.

3 .1 .2 모 관 흡 수 력 경 사 (m a t ri c s u c t i o n g ra di e n t , ua - uw)

물의 흐름에 있어서 하나의 추진포텐셜로서 고려되는 모관흡수력 경사는 간극공기압(u_a)과 간극수압(uw)의 차로서 물의 흐름을 지배한다. 그러나 이러한 모관흡수력 경사만을 독립적 으로 물의 흐름의 법칙을 단정하는 것은 무리가 있다. 왜냐하면 모관흡입력 경사만이 아니 라 개 개의 간극공기압과 간극수압의 경사로 인하여도 흐름이 발생하기 때문이다.

3 .1 .3 동 수 경 사 (h y drau li c h e a d g ra di e n t )

흐름은 동수경사로서 보다 더 정확하게 해석할 수 있다. 만약 간극공기압이 0인 경우에는 모관흡수력이 수치적으로 압력수두의 값과 같기 때문에 물의 흐름에 있어서 모관흡수력만 으로 정의하기 어렵다. 물의 흐름은 압력수두와 위치수두에 좌우되기 때문에 동수경사는 포 화토나 불포화토에 있어서 가장 기본적인 추진포텐셜이 된다. 따라서 앞으로의 흐름에 관한 해석에 있어서 흐름 방향은 동수경사가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하는 것으로 해석할 수 있다.

3 .2 추 진 포 텐 셜 (driv in g p ot e n t i a l )

물의 흐름에 있어서 추진포텐셜은 물이 흘러가게 하는 능력이나 에너지를 뜻한다. 에너지는 3가지의 주된 성분을 가진다. 한 점에서의 에너지는 상대적인 기준에서 그림 3.1에 나타나 있듯이 계산한다.

그림 3.1에서의 A점에서의 위치에너지(gravitational energy , E_g)는

E_g = M_wg y (3.1)

여기서, E_g = 위치 에너지, M_w = A점에서의 물의 질량, g = 중력 가속도, 그리고 y = 기 준점에서 A점 높이이다.

A y

z x

A s sum e : ρ^w = 일정

g = 일정

y

기준 위치 _{위치수두 = 0}

압력수두 = 0

속도수두 = 0

밀 도 = ρ^w

그림 3.1 y방향에서 A점의 에너지

A점에서의 압력에 의한 에너지는

E_p = M_w

uw

0

Vw

M_w d u_w (3.2)

여기서, Ep = 압력 에너지, uw = A점에서의 간극수압, 그리고 Vw = A점에서의 물의 체적 이다.

식3.2는 다음과 같이 쓸 수 있다.

E_p = M_w

uw

0

d u_w

w

(3.3)

여기서, w = 물의 밀도이다.

물의 밀도, _w가 일정하다고 가정하면

E_p = Mw uw w

(3.4)

A점에서의 속도 에너지는,

E_v = Mw v²w

2 (3.5)

여기서, E_v = 속도 에너지 그리고 v_w = A점에서의 흐름 속도이다.

A점에서의 포텐셜 에너지는 위치성분, 압력성분 그리고 속도 성분의 합으로서 표현된다.

E = M_wgy + M_wu_w

w

+ M_wv²_w

2 (3.6)

여기서, E = 전 에너지이다.

에너지는 포텐셜이나 혹은 수두로서 단위 무게로서 표현되어 식 3.6은 다음과 같이 유도된 다.

h_w = y + u_w

wg + v²_w

2 (3.7)

여기서, hw = 전수두이다.

그러나 흙에서의 속도수두는 압력수두와 높이수두에 비해서 무시할 정도로 작기 때문에 식 3.7에서의 3번째 항은 생략된다. 따라서 다음과 같은 식으로 사용된다.

h_w = y + u_w

wg (3.8)

흐름을 일으키는 추진포텐셜은 포화토나 혹은 불포화토 모두 이용되며 흐름은 양의 간극수 압이나 음의 간극수압에 관계없이 높은 수두를 가지는 점으로부터 낮은 수두를 가지는 점 으로 흐름이 발생한다.

때론 삼투흡수력(osmotic suction )이 흐름에 대한 전수두식에서 하나의 성분으로 포함되기 도 한다. 삼투흡수력은 확산의 과정에 있어서 중요한 추진포텐셜로서 삼투흡수력 경사 (osm otic suction gradient )가 이용된다(Cor ey 와 kemper , 1961). 그러나 확산의 과정은 분 자 혹은 이온의 거동을 다루는데 이용된다. 즉 공기의 흐름과 간극수와 간극공기간에 증발 이나 그 외의 지하수 오염에서 오염물질의 확산등에서 다루기 때문에 이 글에서는 생략하 였다.

3 .3 불 포 화 토 에 있 어 서 의 D arc y 의 법 칙 적 용

Dar cy (1856)는 포화토에서 물의 흐름 속도는 동수경사에 비례한다고 제안하였고 다음과 같 은 식을 제시하였다.

v_w = - k_w hw

y (3.9)

여기서, vw = 물의 흐름 속도, kw = 물의 투수계수, 그리고 ^hw

y = 동수경사이다.

식 3.9에서 흐름 속도와 동수경사간에 비례하는 상수인, 투수계수는 포화토에서는 일정한 상수이다. 식 3.9에서 음의 부호는 물의 흐름이 동수경사가 감소하는 방향으로 물이 흐른다 는 것을 나타낸다. 이러한 Darcy의 법칙을 불포화토에서의 물의 흐름에 확대하여 적용하기 시작하였다(Buckingham , 1970; Rechard, 1931; Childs 와 Collis - George, 1950). 그러나 불 포화토에서의 투수계수는 일반적으로 하나의 상수로 적용할 수 없다. 불포화토에서의 투수 계수는 함수백분율, 모관흡수력 등의 영향요소에 의해서 변화하기 때문이다.

흙에서의 물은 물로 차있는 간극을 통하여 물이 이동한다. 그러나 공기로 차 있는 간극은 물의 이동하는 경로에서 하나의 장애물이 되므로 불포화토의 흐름에 있어서 간극속의 공기 는 토립자와 같이 거동한다. 따라서 불포화토의 물의 흐름은 간극에서 공기의 부분을 배제 한 체적함수백분율을 가지는 포화토로 가정하여 계산할 수 있다(Childs, 1969). 그러므로 포 화토에서의 Darcy의 법칙을 수행한 것과 같은 방식으로 불포화토에서의 실험을 수행하여 불포화토에서의 Darcy의 법칙의 증명할 수 있다. 체적함수백분율이 동수경사가 변화하는

이 수행되었다. 그리고 그 결과를 그림 3.2에 나타내었다(Childs 와 Collis - George, 1950).

그림 3.2는 균일한 함수백분율과 일정한 압력수두를 가지는 불포화토에서 위치수두의 변화 로서 동수경사를 변화시키면서 시험을 수행하였다. 그림 3.2에서 특정한 함수백분율에서 다 양한 동수경사에 따라서 투수계수(kw)가 일정함을 나타낸다. 즉, 불포화토에서의 흐름의 속 도는 일정한 투수계수하에서 동수경사에 따라서 선형적으로 비례하는 것을 그림 3.2에 나 타내었다. 이러한 사실은 Darcy의 법칙이 불포화토에서 유효하다는 것을 보여준다. 그리고 그림 3.2는 체적함수백분율( _w)의 변화에 따라서 투수계수(k_w)의 크기가 변화한다는 것을 보여준다.

그림 3.2 불포화토에서 Dar cy의 법칙의 유효성 실험 (Ch ilds 와 Collis - Geor g e, 1950)

3 .4 투 수 계 수

흙에서의 투수계수는 물이 흘러가는 공간을 측정하는 것이다. 따라서 투수계수는 유체(물와 공기)의 특성과 토립자의 특성에 좌우된다.

3 .4 .1 유 체 와 토 립 자 특 성

포화토에서 물에 대한 투수계수(k_w)는 흙에서의 고유의 투수성(K)를 이용하여 다음과 같 이 나타낼 수 있다.

투수계수, k_w ( 10^{- 3} m / s ) 체

적 함 수 백 분 율

w

k_w = ^w g

w

K (3.10)

여기서, _w = 물의 점성 그리고 K = 흙 고유의 투수성이다.

위의 식은 투수계수가 유체의 밀도( w)와 점성( _w)에 영향을 받는다는 것을 보여준다. 그 리고 흙에서의 고유의 투수성(K)는 유체와 토립자의 특성에 영향을 받는다. 유체의 특성은 흐름이 있는 동안에는 일정하고 토립자의 특성은 흙에서의 물성치에 관계된 함수이다.

3 .4 .2 투 수 성 과 물 성 치 와 의 관 계

투수계수는 간극비(e), 포화도(S), 그리고 함수백분율(w)에 영향을 받는다(Lloret 와 Alon so, 1980; F redlund, 1981).

kw = kw( e , S , w) (3.11)

포화토에서 투수계수(k_w)는 간극비(e)의 함수로서 나타낼 수 있다. 그러나 불포화토에서는 흙에서의 간극비(e)와 포화도(S)에 따라 크게 변화한다. 흙에서의 물의 흐름은 간극에서 물로 차 있는 간극을 통하여 물이 흘러간다. 따라서 간극에서 물이 차지하고 있는 체적이 중요한 요소가 된다. 흙에서의 모관흡수력(m atric suction , u_a - u_w)이 증가하면 간극에서 물이 차지하는 체적을 감소시킨다. 즉 공기와 물의 경계면이 토립자에 밀착되므로 물이 통 과할 수 있는 공간이 줄어들어 급속한 투수계수의 감소를 가져온다.

(a ) 모관흡수력과 유효포화도의 관계

(b ) 모관흡수력과 포화도 관계

그림3.3 함수특성곡선(soil- w at er char act eristic curv e, F r edlun d 과 Rah ar dj o, 1995) 포화도, S (% )

유 효 포 화 도

S_e

모관흡수력, ( u_a - u_w) 모

관 흡 수 력

kP a

3 .4 .3 포 화 도 의 변 화 가 투 수 성 에 미 치 는 영 향

불포화토의 투수계수는 물성치의 변화로 인하여 흐르는 과정에서 변화할 수 있다. 간극비 (e)는 흐름이 지속되는 과정에서 변화가 거의 없으므로 간극비(e)로 인한 투수계수(kw)의 변화가 적은 반면 포화도(S)는 변화가 매우 크다. 이러한 이유에서 투수계수(k_w)는 포화도 만의 함수로서 표현할 수 있다. 혹은 체적함수백분율( w)의 함수로서 표현이 가능하다. 모 관흡수력의 변화는 포화도와 함수백분율을 변화시킬 수 있는 중요한 인자이다. 따라서 포화 도와 함수백분율은 모관흡수력의 함수로서 표현되고 모관흡수력와 포화도와의 관계를 표현 한 곡선을 함수특성곡선(soil- w ater charact eristic curv e)이라고 하고 그림 3.3에 나타내었 다. 그림 3.3을 이용하여 투수계수에 대한 반경험식이 제안되었다.

3 .4 .4 투 수 계 수 와 함 수 백 분 율 관 계

투수계수(k_w)는 함수특성곡선으로부터 얻을 수 있다(Burdine, 1952; Br ooks 와 Corey , 1964). 함수특성곡선은 건조과정과 습윤과정을 거치는 동안 함수특성곡선의 같은 흡수력에 대한 함수백분율 값이 다르게 나타난다. 이러한 현상을 함수특성곡선의 이력현상 (hy st eresis )이라고 한다. 그림 3.3에서 3가지의 변수 즉, 공기함입치[air entry v alue, ( ua - uw)b], 잔류포화도(residual degree of saturat ion ,Sr) 그리고 간극크기분포지수(pore size distribution index , )가 사용된다. 공기함입치는 그림 3.3에서 흡수력의 증가에도 포화 된 포화도가 감소하지 않다가 공기함입치를 초과하고 나서야 흙의 간극에서 물이 유출하기 시작한다. 이때의 흡수력을 공기함입치라고 한다. 잔류포화도는 흡수력이 커짐에 따라서 포 화도는 감소하기 시작하다가 어느 정도의 포화도에서 수렴하기 시작한다. 이때의 포화도를 잔류포화도라고 하고 이 포화도는 단지 열에 의해서만 감소시킬 수 있다. 그림 3.3(b )에서 흙의 함수특성곡선을 수식으로 표현하였다.(Brooks 와 Corey , 1964)

Se = S - Sr

1 - Sr

=

[

]

여기서, S_e = 유효포화도(effect iv e degr ee of sat ur ation ), S_r = 잔류포화도(r esidual degree of saturation ), = 간극크기분포지수(por e size distribut ion index ), 그리고 =

공기함입치(air entry v alue)이다.

위 식 3.12는 단지 그림 5.3(b )에서의 경사부분에서만 유효하다. 즉, 함수특성곡선에서 ( ua- uw) > ( ua- uw)b 인 조건에서 유효하다. 간극크기분포지수( )는 간극크기분포의 범 위가 크다면 작은 값을 가지고 간극의 크기가 균일하다면 큰 값을 가진다. 그림 3.4는 함수 특성곡선으로부터 얻어진 여러 가지 흙에서의 을 나타내었다(Brooks 와 Corey , 1964).

함수특성곡선으로부터 투수계수(kw)는 다음 식으로부터 얻을 수 있다.

k_w = k_s f or ( u_a - u_w) ( u_a - u_b)_b k_w = k_sS_e f or ( u_a - u_w) ( u_a - u_b)_b

(3.13)

여기서, ks = 포화상태의 투수계수(S = 100 %) 그리고 = 경험상수이다.

식 3.15에서의 상수( )는 간극크기분포지수와 관련된 상수이다.

= 2 + 3 (3.14)

표 3.1은 흙의 종류에 따른 간극크기분포지수와 그에 해당하는 의 값을 나타내었다.

(a ) 모관흡수력과 포화도 관계

(b ) 모관흡수력과 유효포화도 관계

그림 3.4 함수특성곡선에서의 값(F r edlund 과 R ahar djo, 1995) 모

관 흡 수 력

kP a

포화도, S (% )

모관흡수력, ( u_a - u_w) 유

효 포 화 도

S_e

표 3.2 다양한 흙에서의 간극분포지수와

흙 종류 값 ^값

균질한 사질토 3.0 Ir m ay (1954 )

연약한 암석 4.0 2.0 Cor ey (1954 )

일반적인 사질토 층 3.5 4.0 A v erj an ov (1950)

포화도에 따른 물의 투수계수(k_w)는 식 3.13 에 의해서 구할 수 있다. 그리고 상대투수계수 (relat iv e w at er phase coefficient of perm eability , k_{r w})는 다음과 같이 구할 수 있다.

k_{r w} = k_w

k_s 100 (3.15)

그림 3.5 배수시 포화도에 따른 물과 공기의 상대투수계수 (Br ook s 와 Cor ey , 1964 )

그림 3.5는 사질토에서 상대투수계수와 포화도와의 관계를 나타내었고 그리고 물에 대한 투 수계수와 공기에 대한 투수계수와의 관계를 알 수 있다.

포화도, S (% ) 상

대 투 수 계 수 k_{r w} (% )

3 .4 .5 모 관 흡 수 력 (m a t ri c s u c t i o n )과 투 수 계 수 와 의 관 계

투수계수(k_w)는 모관흡수력의 함수로서 나타낼 수 있다. 식 3.13는 모관흡수력과 함수백분 율와의 관계로서 투수계수를 산정하였다. 다음의 표 3.2는 여러 학자에 의해서 연구된 모관 흡수력과 투수계수(k_w)의 관계를 나타내었다.

표 3.3 투수계수(k_w)와 모관흡수력(u_a- u_w)

식 식 번호 저 자 비 고

k_s = k_s

f or ( u_a- u_w) ( u_a- u_w)_b kw= ks[ ( ua- uw)b

( ua- uw) ] f or ( u_a- u_w) ( u_a- u_w)_b

(3.16 ) Br ook s 와 Cor ey (1964 )

= 실험 상수

= 2 + 3

k_w= k_s

1 + a [ ( u_a- u_w)

wg ] (3.17 ) Gar dn er

(1958 ) a , n = 실험 상수

k_w= k_s

[ ( u_a- u_w)_b

( ua- uw) ]^{n '}+ 1 (3.18 ) A r bh ab hir am a

와 Kridak orn n ' = 실험 상수

3 .4 .6 체 적 함 수 백 분 율 (v o lu m e t ri c w at e r c o n t e n t , _w)과 투 수 계 수 관 계

투수계수(kw)는 체적함수백분율( w)에 관련된 함수로서 표현할 수 있다. 이러한 투수계수 함수[k_w( _w)]는 흙에서 물로 차 있는 간극의 체적을 이용한 함수이다(Childs 와 Collis - Geor ge, 1950). 이러한 함수에서 흙은 다양한 크기의 간극이 분포하고 토립자와 흙의 구조는 비압축성으로 가정한다. 투수계수함수[kw( w)]에 대한 식을 계산하기 위해서는 체적 함수백분율( _w)와 모관흡수력(u_a- u_w)에 대한 함수특성곡선을 작도하여 그림 3.6과 같이 함수특성곡선을 체적함수백분율( _w)축을 따라서 ' m ' 개의 간격으로 나눈다. 각 간격의 중앙 점에서의 모관흡수력으로서 투수계수를 계산한다(Marshall, 1958). Poiseuille의 방정식에 근 거하여 다음과 같이 나타낸다.

k_w( _w)_i= ks

ksc

T²s wg 2 w

p s

N²

m

j = i [ ( 2j + 1 - 2j ) ( u_a - u_w)_j^{- 2}]

i = 1, 2, 3, ・・・, m (3.19)

여기서, k_w( _w)_i = 간격 i번째에 해당하는 체적함수백분율에서의 투수계수(m/ s), i = 그림 3.6에서 m개의 간격에서의 간격 번호, j = i에서 m까지의 수(m = i + j), k_s = 포화된 흙에서 측정한 투수계수(m/ s ), ksc = 포화된 흙에서 계산한 투수계수(m/ s ), Ts = 표면 장력 (kN/ m ), _w = 물의 밀도 (kg/ m³), g = 중력가속도 (m/ s²), _w = 물의 점성 (N・s/ m²), _s = 포화 상태에서의 체적함수백분율, p = 실험 상수 (p=2.0 가정, Gr een 과 Corey , 1971), m = 함수특성곡선에서의 나누어진 간격의 수, N = 포화된 체적함수백분율, _s와 체적함수백분율 이 0인 점에서 간격을 나누었을 경우의 총 간격수(N ≥m), 그리고 ( ua - uw)j = j번째 간격에서 중간점에서의 모관흡수력(kPa)이다.

그림 3.6 함수특성곡선에서의 투수계수의 예측 (F r edlun d 과 Rah ar dj o, 1995 )

식 3.19에서의 포화토에의 투수계수 항(k_s/ k_sc)는 불포화토에서 정확한 투수계수를 얻기 위 해서 필요한 항이다. ks/ ksc가 정확할수록 투수계수의 정확성이 높아지는 것으로 알려져 있 다. 위의 식은 간극크기가 균등한 사질토에서 보다 정확한 것으로 알려져 있다(Nielsen et al, 1972). 그림 3.7은 Elzeft aw y 와 Cart wright (1981)가 사질토에 대해서 식 3.19에서 계산된 투수계수와 실험에서 구한 투수계수를 비교하였다.

모관흡수력, ( u_a - u_w) 체

적 함 수 백 분 율

w

그림 3.7 Lakelan d fin e san d에 대한 투수계수의 측정치와 계산치와의 비교(Elazeft aw y 와 Cart w r igh t , 1981) (a ) 함수특성곡선 (b ) 체적함수백분율과 투수계수와의 관계

4장 함수특성곡선(S o il- w a te r c ha ra c t e ris t ic c u rve )

이전에 설명하였던 함수특성곡선은 불포화토에서의 투수계수를 구하기 위해서 이용되었고 투수계수에 관련하여 설명하였다. 그러나 지반공학에서 그동안 관심을 가져 왔던 불포화토 의 전단강도, 체적변화 그리고 흐름과 같은 불포화토의 거동을 해석하는데 있어서 그동안 유효응력의 개념으로 불포화토를 설명하려 하였다. 그러나 유효응력 개념으로 불포화토를 설명하는데 있어서 한계가 있음을 인식하였다. 그러한 이유로 인하여 불포화토의 거동에서 사용되는 여러 가지 변수를 구하기 위해서 많은 연구자들이 함수특성곡선을 이용하였고 함 수특성곡선과의 연관성을 찾기 위해서 노력을 기울여 왔다. 단적인 예로 포화토의 투수계수 와 함수특성곡선을 이용하여 불포화토에서의 투수계수를 예측하는 방법이 많이 사용되고 있음을 앞서 설명하였다. 그리고 불포화토에서의 전단강도 특성도 동일한 방법으로 함수특 성곡선을 이용하여 강도정수를 산정하였다. 이와 같이 함수특성곡선이 불포화토를 예측하는 데 있어서 기본이 되기 때문에 함수특성곡선을 정확하게 예측하는 것이 매우 중요하다. 그 러나 근래에 와서는 함수특성곡선에서 모관흡수력의 측정에 있어서 한정된 수의 측정된 모 관흡수력을 가지고 전체적인 곡선을 산정하는데 있어서 함수특성곡선의 불확실성을 예측하 는 방법도 제시되고 있다(Zapat e et al., 2000).

4 .1 함 수 특 성 곡 선 특 성

함수특성곡선은 일반적으로 비선형적이고 실내시험에서 얻은 자료를 수식화하는 과정에 있 어 어려움이 있는 것으로 알려져 있다. 통상적으로 함수특성곡선은 흙에서 입경크기분포 (por e- size distribution )에 따라서 곡선의 형태가 결정되는 것으로 알려져 있다. 특히 함수 특성곡선식은 사질토에서 비교적 잘 맞는데 점토에서는 모관흡수력의 범위가 0에서 10⁶ kP a까지 함수특성곡선식이 성립하는 것으로 알려져 있다.

함수특성곡선은 특정한 흙에 있어서 함수백분율과 흡수력간의 관계를 곡선의 형태로서 표 현된다(William s, 1982). 그리고 포화도(S)도 또한 함수특성곡선에서 이용된다. 함수백분율 ( , ) 그리고 포화도(S)의 값들은 잔류함수백분율(영 함수백분율, zer o w at er cont ent )로 정규화 되어 이용된다. 함수특성곡선에서의 흡수력은 모관흡수력(matric suction,ua- uw)과 전흡수력(m atric suction + osmotic suction )으로 사용된다. 높은 흡수력에서는(통상적으로

1500kP a 이상) 모관흡수력과 전흡수력은 일반적으로 동일한 값을 가지는 것으로 수렴하는 것으로 알려져 있다.

그림 4.28 사질토에서의 전형적인 함수특성곡선 (F r edlu n d 과 Xin g , 1994 )

그림 4.1은 사질토에서 전형적인 함수특성곡선을 나타내었다. 흙에서의 공기함입치 (air - entry value, bubbling pr essur e)는 흙의 간극에서 최대한으로 공기가 들어갔을 때의 흡수력이다. 잔류함수백분율(residual w ater content )는 흙으로부터 큰 흡수력에 의해서 더 이상 간극수를 제거할 수 없을 때의 함수백분율을 말한다. 이러한 값들은 어느 정도 모호하 고 양으로 계산하기 위해서는 많은 실험이 요구된다. 그림 4.1에서는 잔류함수백분율을 산 정하는 방법이 잘 나타나 있다. 잔류함수백분율을 구하는 방법에서 접선은 최대곡률점으로 부터 구해진다. 그리고 높은 흡수력의 범위에서는 다른 접선이 그려지고 낮은 흡수력에서는 다른 접선이 그려진다. 이 접선과의 교차점이 잔류함수백분율과 공기함입치가 된다. 그리고 0의 함수백분율에 해당하는 흡수력은 모든 흙에서 동일한 값을 가지는 것으로 알려져 있다.

그림 4.1에 나타난 곡선은 건조과정을 나타낸 곡선이다. 습윤과정의 곡선이 건조과정의 곡 선과 차이를 나타냄으로 인하여 함수특성곡선의 이력현상이 나타나는 것으로 알려져 있다.

이력현상이 발생하는 원인은 습윤곡선의 끝점은 공기의 막힘현상에 의해서 건조과정의 시 작점과 차이가 발생하는 것으로 알려져 있다. 그러나 두 곡선은 서로 비슷한 형태를 가진 다.

그림 4.2 사질토, 실트 그리고 점성토에 관한 함수특성곡선 (F r edlun d 과 Xin g , 1994 )

그림 4.2는 흙의 종류에 따른 함수특성곡선(건조곡선)의 변화를 나타내었다. 포화된 체적함 수백분율( _s) 와 공기함입치[ ( u_a - u_w)_b]는 일반적으로 흙에 있어서 소성도(plasticity ) 정도 에 따라서 증가한다.

4 .2 함 수 특 성 곡 선 식

Br ooks 와 Corey (1964)는 함수특성곡선을 표현하기 위하여 다음의 식을 제안하였다.

=

(

)

= - r

s- r

=

[

]

(4.1)

여기서, = 정규화된 체적함수백분율, _s = 포화된 체적함수백분율, _r = 체적잔류함수백 분율, = 흡수력, _b = 공기함입치[( u_a- u_w)_b], 그리고 = 간극크기분포 지수이다.

로그함수로 표현된 체적함수백분율과 로그함수로 표현된 흡수력간의 다음의 선형적인 관계 가 있음을 William s et al.,(1983)이 Au stralia에서 많은 흙에서의 함수특성곡선으로부터 얻 었다.

ln = a1 - b1ln (4.2)

여기서, a₁, b₁은 실험상수이다.

McKee 와 Bum b (1984)는 정규화된 함수백분율과 흡수력간의 관계를 지수함수를 사용하여 표현하였다. 이러한 식을 Boltzmann 분포라고 언급하였다.

= e

- ( - a2) b₂

(4.3)

여기서, a2, b2은 실험상수이다.

식 4.1과 식4.3은 흙에서의 공기함입치가 큰 흡수력을 가지는 구간에서는 식이 성립한다는 것이 증명되었다. 그러나 이식은 완전포화상태에서나 건조곡선에서 최대값 근처에서는 식 4.1과 식4.3이 성립하지 않는다는 한계를 가지고 있었다. 이러한 한계로 인하여 McKee 와 Bumb (1987)는 다음 식을 제안하였다.

= 1

1 + e ^{( - a3) / b3} (4.4)

여기서, a3, b3는 실험상수이다.

식 4.4는 낮은 흡수력에서 잘 맞으나 높은 흡수력을 가지는 범위에서는 이 식이 적당하지 않기 때문에 곡선은 높은 흡수력에서 0으로 수렴한다.

식 4.1은 포화근처의 흡수력에서 뚜렷한 불연속성을 가진다. 불량한 입도분포를 가지는 사 질토가 낮은 흡수력에서 흡수력의 변화가 급격히 변화가 있는 반면 중간적인 입도분포나 양호한 입도분포를 가지는 대부분의 흙에서는 공기함입치 범위에서 완만한 곡률을 보인다.

완만한 공기함입치 때문에 Roger 와 Hornberger (1978)가 식4.1을 변형하여 새로운 식을 제 안하였다. 체적함수백분율이 0의 함수백분율과 정규화된 체적함수백분율이 좌표 상에 그려

화할 때 최대곡률점을 가진다. 최대곡률점은 좌표( i, i)를 가지고 간격 i ≤ ≤ 1 에서 포물선으로 나타난다.

= - a₄( - b₄) ( - 1) (4.5)

여기서, a₄, b₄는 실험상수이다.

식 4.1과 식4.5의 기울기는 최대곡률점에서는 동일하다.

van Genucht en (1980)은 흡수력과 정규화된 함수백분율간에 있어서 많이 이용되는 식을 다 음과 같이 제시하였다.

=

[

]

여기서, p , n , m은 3개의 흙에서 서로 다른 변수이다.

식 4.6은 이전에 설명한 식보다 많은 보편적으로 정확한 것으로 알려져 있다. v an Genucht en (1980)은 투수계수를 계산하는데 있어서 보다 정확한 형태의 식을 얻기 위한 시 도로서 식 m = 1 - 1/ n 으로서 m , n을 관련시켰다. 이것은 식 4.6의 보편성을 감소시켰다.

따라서 함수특성곡선에서 보다 보편적이고 정확한 결과를 얻기 위해서는 m , n의 관련성을 배제한 채 실험에 의해서 m , n 결정하는 것에서 정확성을 높일 수 있다.

1958년에 Gardner는 투수함수에 관한 식을 제안하였다. 이식은 함수특성곡선을 대신할 수 있었고 식 4.6의 특정한 경우에 있어서도 적용할 수 있었다.

= 1

1 + q ⁿ (4.7)

여기서, q = 공기함입치에 관련된 곡선의 변수이고 n = 곡선의 기울기와 관련된 정수이다.

F redlund 과 Xing (1994)은 정규분포의 개념을 이용하여 흡수력의 범위가 0에서부터 1,000,000kP a까지 변화할 때 적용할 수 있는 함수특성식을 다음과 같이 제안하였다.

= C( ) ^s

ln

{

(

)

}

m

(4.8)

여기서, C ( ) = ^{ln ( 1 + / r)}

ln [ 1 + ( 1000000 / _r) ] , a = 공기함입치와 관련이 있는 상수, 그리고 n = 최대곡률점에서의 경사에 관계된 계수이다.

표 4.1은 자주 이용되는 함수특성곡선과 그 외의 함수특성곡선을 나타내었다.