ÇP © Ž S ­ Žy ð ; c" e W ë s ~ ¾­ Žz º8 ý  ¹ ÅT ; c 6 ” X ¢ Ž ì ŏ Œ

ö m

ÇP  © Ž S ­ Žy ð ; c" e W ë s  ~ ¾­ Žz º8 ý  ¹ ÅT ; c 6 ” X ¢ Ž ì ŏ Œ



™ »q ) Ö < ^∗

[

j" î @ /† < Ɠ § ( Ž É Ó' 6 £ x6   x õ † < Æõ , ] j…  ; 390-711

T

¬ £* å 

C

F @ /† < Ɠ § F  g™ D ¥Ž 7 H ‚ ½ Ó_ ƒ  ½ ¨é ß –, @ /„   302-735 (2005¸   10 Z 4 10{ 9  ~ à Î6 £ §, 2005¸   11 Z 4 7{ 9  þ j7 á x‘ : r ~ à Î6 £ §)

s

  7 Hë  H \ " f  H “ ¦„   x 9  € ª œ  Robnik y n =o  × ¼\ " f & h ì  r 0 p x ô  Ç > – РÒ'   _  š ¸Û ¼ >  t _  „   s

\  @ / # Œ › ¸  % i  . Robnik y n =o  × ¼_  “ ¦„   1 l x% i † < Æ > _  : £ ¤$ í `  ¦ ƒ  ½ ¨ l  0 A # Œ Poincare ] X  é

ß –€  `  ¦ Õ ªo “ ¦ € ª œ & h  : £ ¤$ í `  ¦ 0 A # Œ \  -t  ï  r 0 Aç ß –   : Ÿ x > \  ¦ > _    p '  λ_     o\     › ¸ 

% i  . s \  ¦ : Ÿ x # Œ > _    p '  λ\    
 
  H “ ¦„   1 l x% i † < Æ > _  : £ ¤$ í [ þ t õ  \  -t  ï  r 0 Aç ß –   :

Ÿ

x >   s \   © œ{ © œô  Ç @ /6 £ x$ í s  e ” 6 £ §`  ¦ µ 1 Ï|  % i  . s  כ “ É r “ ¦„   1 l x% i † < Æs  Poincare ] X é ß –€  \ " f ž Ðe  ¦

–

Ðt  ½ ¨› ¸\  ¦    or v   H  כ õ  ° ú  “ É r ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð \  -t  ï  r 0 Aç ß –   ì  r Ÿ í• ¸ ° ú  “ É r : £ ¤& ñ λ ° ú כ\ " f ° ú  “ É r ' Ÿ 1 l x



  o\  ¦ { 9 Ü ¼†     H _ p s  .

PACS numbers: 02

Keywords: € ª œ  š ¸Û ¼, Robnik y n =o  × ¼, Poincare ] X é ß –€  , \  -t  ï  r 0 Aç ß –   : Ÿ x > , ž Ðe  ¦ – Ðt  ½ ¨› ¸    o

I. " e  ] Ø

1. " f : r þ j   H 20∼30¸  ç ß – ´ ú §“ É r ì  r  \ " f š ¸Û ¼ ‰ & ³ © œ\ 

@

/ô  Ç  € ª œô  Ç ƒ  ½ ¨[ þ t s  ”  ' Ÿ ÷ &# Qš ¸“ ¦ e ” Ü ¼ 9 ¢ ¸ô  Ç F ‹ c3 l q ½ + É ë

ß –ô  Ç $ í õ \  ¦ s À ғ ¦ e ”  . \ V8 £ ¤ Ô  ¦ 0 p x$ í õ  œ íl › ¸| \  _

   y Œ ™$ í x 9  Kolmogorov-Sinai  ' pà Ԗ Ðx _  Ô  ¦ ™ èY > $ í 1 p x

“ É

r “ ¦„   1 l x% i † < Æ> \ " fë ß –
 
  H : £ ¤ Ä »_  š ¸Û ¼ : £ ¤$ í Ü

¼– Ð “  d ” ÷ &# Q M ® o Ü ¼
, þ j   H \   H € ª œ % i † < Æ ì  r  \ " f• ¸ s

   : £ ¤$ í [ þ t s  ” > r F ô  Ç   H ˜ Г ¦[ þ t s  € ª œ  ( Ž É Óh A [1], Ù þ ˜ Ó

ü

t o  [2], Ä ºÅ ҏ : r [3], œ í„  • ¸ [4] 1 p x _  # Œ Q ì  r  \ " f  € ª œ

>  s # Qt “ ¦ e ”  . “ ¦„  & h Ü ¼– Ð š ¸Û ¼ > “   1 l x% i † < Æ> 

\

 ¦ € ª œ % i † < Æ& h Ü ¼– Ð l Õ ü t   H  כ `  ¦ € ª œ  š ¸Û ¼(quantum chaos)  “ ¦  ҏ É r  . Õ ª Q
 € ª œ % i † < Æ > _  ‚  + þ A$ í õ  ½ ¨ 5

Å

q > \  @ /ô  Ç K x 9 ž Ðm î ß – ƒ  í ß – _  Ô  ¦ƒ  5 Å q Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 \  _

ô  Ç ï  r Å Òl & h “   î  r1 l x$ í M :ë  H \  € ª œ  š ¸Û ¼  H “ ¦„   

š

¸Û ¼ü < ‘ : r| 9 & h Ü ¼– Ð   É r ‰ & ³ © œÜ ¼– Ð “  d ” ÷ &“ ¦ e ”   [5].

1979¸   McDonaldü < Kaufman_  ‚  ½ ¨ & h “   ƒ  ½ ¨ [6]

s

A – Ð € ª œ  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 \  @ /ô  Ç : Ÿ x > % i † < Æ& h “   ì  r$ 3 “ É r € ª œ



 š ¸Û ¼\  ¦ ƒ  ½ ¨   H ×  æ כ ¹ô  Ç ~ ½ ÓZ O  ×  æ _  
– Ð “  d ” ÷ &

#

Q š ¸“ ¦ e ”  . Õ ª Q
 s [ þ t _  ƒ  ½ ¨\ " f• ¸ & h ì  r 0 p x > 

∗

E-mail: [email protected] Tel.: 043-649-1295, Fax.: 043-645-8667

(integrable system) ü < ¢ - a„   š ¸Û ¼ >  (hard chaos sys- tem) \  @ /ô  Ç ˜ м # & h “   : £ ¤$ í [ þ t`  ¦ µ 1 ß) €? /t   H 3 l w % i  .

Õ

ª Q
 þ j   H _  ƒ  ½ ¨[ þ t \ " f & h ì  r 0 p x >  ¢ - a„   š ¸Û ¼

>

– Ð „  s ½ + É M : Á º É r š ¸Û ¼ (soft chaos)  © œI \  ¦  • 2 ; 



 H  כ s  ˜ Г ¦ ÷ &% 3   [7,8]. s  ˜ Г ¦[ þ t ×  æ \ " f Robnik 1 p x

“ É

r s    „  s  & h ”  & h s “ ¦ ƒ  5 Å q& h Ü ¼– Ð { 9 # Qè ß –   H  כ `  ¦

\

 -t  ï  r 0 Aç ß –   : Ÿ x >  (energy level spacing statistics)\  ¦ :

Ÿ

x # Œ ˜ Ð% i   [7]. Õ ª Q
 Honigõ  Wintgen“ É r s    „   s

 “ ¦„  & h  1 l x% i † < Æ> _  4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í s  e ”   H  â Ä º B Ä º s  © œ :

£ ¤$ í `  ¦
 ? / 9, s    s  © œ: £ ¤$ í `  ¦ s K   9€   “ ¦„  & h 

“

  0 A © œ/ B N ç ß – ½ ¨› ¸\  @ /ô  Ç „  ^ ‰& h “   t d ” ˜ Ð   H š ¸y  9

“

¦„   1 l x% i † < Æ> \  @ /ô  Ç  © œ[ jô  Ç s K  € 9 כ ¹  “ ¦ Šҁ © œ

% i   [8]. & h ì  r 0 p x > – РÒ'  ¢ - a„   š ¸Û ¼ > – Ð_  „  s  B

j m 7 £ §`  ¦ s K    H  כ “ É r  f ”  t • ¸ " î S X ‰ >  & ñ _ ÷ &

t

 3 l w “ ¦ e ”   H € ª œ  š ¸Û ¼\  ¦ s K    H X < B Ä º ×  æ כ ¹ô  Ç ë

 H ] js  .

s

] j t  K-r Û ¼% 7 ›_  \  -t  ï  r 0 Aç ß –   ì  r Ÿ í (energy level spacing distribution)  H { 9 ì ø Í& h “   + þ AI “   Wigner ì  r

Ÿ

í\  ¦ ° ú   H  “ ¦ · ú ˜ 94 R M ® o   [9]. Õ ª Q
 Á º É r š ¸Û ¼ (soft chaos) > \  @ /K " f  H # Q‹ "  { 9 ì ø Í& h “   $ í | 9 [ þ t • ¸ ˜ Г ¦÷ &t 

· ú

§€ Œ ¤ . é ß –t  ï  r “ ¦„  & h “   % ò % i  (semiclassical region)\ 

@

/ # Œ Berryü < Robnik [10]“ É r Á º É r š ¸Û ¼ > \ " f & h ì  r

0 p x % ò % i _  0 A © œ/ B N ç ß –  Òx  q  ρ

cl

\  ¦ Ÿ í† < Ê   H \  -t 

-487-

ï

 r 0 A ç ß –  ì  r Ÿ í\  ¦ ] jî ß – % i Ü ¼
, Ã ºu K $ 3 s 
 z  ´+ « > ì  r

$

3 Ü ¼– Ð { 9 u ô  Ç   H  כ s  S X ‰ “  ÷ &t   H · ú §€ Œ ¤  [8, 11]. ô  Ç

¼

# , 1998¸  \  Rim“ É r \  -t  ï  r 0 Aç ß –   ì  r Ÿ í | “ ¦ô  Ç $ 3  (robust island) _  ì  r l  (bifurcation) & h    H % ƒ ° ú  s  “ ¦„  

&

h Ü ¼– Ð 0 A © œ/ B N ç ß – ž Ðe  ¦ – Ðt       H & h    H % ƒ\ " f B > h



 à º_   Œ •“ É r    o\  B Ä º   y Œ ™    H  כ `  ¦ Dreitlein y n = o

 × ¼\ " f à ºu K $ 3 Ü ¼– Ð ˜ Ð% i   [12,13].

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H 
_  B > h  à º\  ¦ ° ú   H y n =o  × ¼ r  Û

¼% 7 ›“   Robnik y n =o  × ¼ r Û ¼% 7 ›`  ¦ “ ¦„  & h “   ~ ½ ÓZ O õ  € ª œ



& h “   ~ ½ ÓZ O  — ¸¿ º– Ð ì  r$ 3  “ ¦  ô  Ç . s \  ¦ : Ÿ x # Œ Ä ºo 



 H \  -t  ï  r 0 Aç ß –   ì  r Ÿ í @ /6 £ x   H “ ¦„   > \  @ /ô  Ç 0 A



© œ/ B N ç ß –  € ª œ^ ‰_  ž Ðe  ¦ – Ðt     o\  B Ä º   y Œ ™    H  כ

`

 ¦ ˜ Ðs “ ¦  ô  Ç . Robnik y n =o  × ¼ r Û ¼% 7 ›“ É r & h ì  r 0 p x

>

– РÒ'  ¢ - a„   š ¸Û ¼ > – Ð_  „  s \  ¦ ¸ ú ˜ ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H @ /³ ð

&

h “   y n =o  × ¼ r Û ¼% 7 ›Ü ¼– Ð ´ ú §“ É r õ † < Æ [ þ t \  _  # Œ ^ ‰

>

& h Ü ¼– Ð ƒ  ½ ¨÷ &# Q š ¸“ ¦ e ”   [14]. s  y n =o  × ¼  H €  & h  S = π(A

²

+ 2B

²

) s  π– Ð { 9 & ñ ô  Ç › ¸| \ " f é ß –0 A" é ¶ _  2 

&

ñ ï  rë “ s (conformal map) w = Az + Bz

²

Ü ¼– Ð Å Ò# Q”   .

2] X \ " f  H Robnik y n =o  × ¼ü < s  y n =o  × ¼_  : £ ¤$ í ƒ  ½ ¨

~ ½

ÓZ O \  @ / # Œ " fÕ ü t “ ¦, 3] X \ " f Ä ºo _  > í ß –   õ \ 

@

/ # Œ  7 H _   ’ x . Õ ªo “ ¦ 4] X \ " f > í ß –   õ \  @ /ô  Ç

 

 : r`  ¦ " fÕ ü t ô  Ç .

II. Robnik ö m ÇP  © Ž8 ý X N Ë8 ýÑ ÷ Ž ì ŏ ŒU ê s0 n É

1. Robnik ö m ÇP  © Ž8 ý X N Ë8 ý

Robnik y n =o  × ¼  H z ¨ î €  \ " f_  é ß –0 A" é ¶`  ¦ & ñ ï  rë “ s w = Az + Bz

²

– Ð B i ç r &  4 Ÿ ¤ ™ èà º ¨ î €   w\ " f % 3 “ É r s  p

t – Ð,  â >   H

u = A cos φ + B cos 2φ, υ = A sin φ + B sin 2φ (1)

–

Ð Å Ò# Q”   . # Œl " f 4 Ÿ ¤ ™ èà º ¨ î €   w  H w =: u + iυ – Ð & ñ _

÷ & 9 φ  H z ¨ î €  \ " f_  é ß –0 A" é ¶ _  F G y Œ •s  . f ” “ §ý a³ ð

>

 (u, υ)\ " f ~ ½ Ó& ñ d ”  (1)“ É r

(u

²

+ υ

²

− B

²

)

²

= A

²

(u

²

+ υ

²

) + 2BA

²

u + B

²

A

²

(2)

–

Ð ³ ð‰ & ³ ) a  . # Œl " f B > h  à º λ = B/A\  ¦ • ¸{ 9  # Œ B 

>

h  à º\  ¦ 0 Ü ¼– РÒ'  1 t     or v  9 Õ ªa Ë >`  ¦ Õ ªo €   Fig. 1`  ¦ % 3   H  . Fig. 1\ " f ^  ¦ à º e ” 1 p w s , λ = 0“    â Ä

º y n =o  × ¼  H ¢ - a„  ô  Ç " é ¶ s “ ¦(Fig. 1(a)), λ 0\ " f Ò' 

8 £ § 7 £ x † < Ê\     " é ¶ _  ô  Ç A á ¤ s  ~ Õ ª Qt l  r  Œ • # Œ ô

 Ç A á ¤ ë ß – ^  ¦2 Ÿ ¤ ô  Ç E $ ™Ý ¼(Fig. 1(b))— ¸€ ª œ`  ¦  5 g λ = 0.25{ 9  M

:  H φ = π \ " f  â > _  / B GÒ  ¦ s   7 # Q 0.25< λ >0.5{ 9 

Fig. 1. Robnik Billiard’s shape at various values of (a) λ

= 0, (b) 0 < λ < 0.25, (c) 0.25 < λ < 0.5, (d) λ = 0.5.

M

:  H Fig. 1(c) _  — ¸_ þ v`  ¦ ° ú   H  . ô  Ǽ #  λ = 0.5{ 9  M : φ = π \ " f / B GÒ  ¦ _  p ì  r s  0Ü ¼– Ð { 9 u  # Œ ¶ ð7 á ¤ ô  Ç = å Q`  ¦ ë ß –Ž  H



(Fig. 1(d)). Robnik y n =o  × ¼_  €  & h  π(A

²

+ 2B

²

)“ É r A = cos p, B = 1

√

2 sin p (3)

–

Ð Å Ò# Q| 9  M : B > h  à º λ\   © œ › ' a\ O s  π– Ð { 9 & ñ >  Ä »t 

 )

a  . s  M : p = tan

⁻¹

(λ √

2) – Ð Å Ò# Q”   .   " f B > h   Ã

º p  H 0 < p < tan

⁻¹

(1/ √

2) = 0.6154797· · · _  # 3 0 A\  ¦

° ú

  H  .

Robnik y n =o  × ¼  H Y >  t   © œ& h `  ¦ ° ú “ ¦ e ”  . €  $  Robnik y n =o  × ¼  H λ  7 £ x † < Ê\     & h ì  r 0 p x ô  Ç " é ¶ Ü

¼– РÒ'  & h ì  r 0 p x ô  Ç Â Òì  r õ  š ¸Û ¼  Òì  r s  — ¸¿ º e ”   H Á

º É r š ¸Û ¼ > \  ¦  5 g „  ^ ‰& h Ü ¼– Ð š ¸Û ¼ ÷ &  H ¢ - a„  

š ¸Û ¼ >  t  ƒ  5 Å q& h Ü ¼– Ð   ô  Ç . s  $ í | 9 “ É r Ä ºo  λ\  ¦

ƒ

 5 Å q& h Ü ¼– Ð    or v  9 Á º É r š ¸Û ¼ > \  ¦ ƒ  ½ ¨½ + É Ã º e ” 

>

 ) ‡6   x ô  Ç . Ñ ü t P :– Ð >  Á º É r š ¸Û ¼ % ò % i \  e ” `  ¦ M : Dreitlein y n =o  × ¼ q K $ 3 & h   â > \  ¦ ° ú   H  כ [12,13]\  ì

ø ÍK , Robnik y n =o  × ¼  H K $ 3 & h   â > \  ¦ ° ú “ ¦ e ”  . Õ ª A

" f Poincare ] X é ß –€  _  & h ì  r 0 p x ô  Ç Â Òì  r[ þ t“ É r λ  ƒ  5 Å q

&

h Ü ¼– Ð   ½ + É M : 4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç ½ ¨› ¸\  ¦ ° ú   H  . s  : £ ¤$ í “ É r \  - t

 ï  r 0 Aç ß –   : Ÿ x > _  λ\  @ /ô  Ç   y Œ ™$ í `  ¦  Òì  r& h Ü ¼– Ð [ O 

"

î K  ï  r  . ! Ó P :– Ð Robnik y n =o  × ¼  â > _  K $ 3 & h  : £ ¤$ í Ü

¼– Ð “   # Œ \  -t  ï  r 0 A > í ß –s  B Ä º 6   x s   . 7 £ ¤, \ 



-t  ï  r 0 A > í ß –\  B Ä º & ñ S X ‰  “ ¦ · ú ˜ 94 R e ”   H @ /y Œ •‚  



o ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x ½ + É Ã º e ”   [7].  t } Œ •Ü ¼– Ð λ ≥ 0.2“   > 



 H š ¸Û ¼    î ß –\  ¿ º C • ¸  r„   Å Òl \  ¦ ° ú   H é ß – 
 _

 $ 3  (island)ë ß –`  ¦ ° ú   H  . s – Ð “   # Œ s  % ò % i \ " f  H



 É r $ 3 _  ´ òõ \  ¦ “ ¦ 9 t  · ú §“ ¦• ¸ \  -t  ï  r 0 Aç ß –   : Ÿ x

>

\  ¦ ~ 1 >  ì  r$ 3 ½ + É Ã º e ”  .

2. w Š ¹ ÅX ì Äß Ã Å Robnik ö m ÇP  © Ž8 ý Ž ì ŏ ŒU ê s0 n É : Poincare ± n lj ˜ mì Å

“

¦„  & h “   1 l x% i † < Æ > _  ¢ - a„  ô  Ç s K   H 0 A © œ/ B N ç ß –`  ¦ › ¸



 # Œ % 3 `  ¦ à º e ”  . s \  ¦ à º' Ÿ    H z  ´] j& h s  9 { 9  ì

ø Í& h “   ~ ½ ÓZ O s  Poincare ] X é ß –€  `  ¦ : Ÿ x ô  Ç â ì2 £ § Ü ¼– Ð Å Ò# Q t

  H Poincare ë “ s`  ¦ ƒ  ½ ¨   H  כ s  . y n =o  × ¼[ þ t \ " f Poincare ] X é ß –€  _  ý a³ ð  H Fig. 2 \ " f ^  ¦ à º e ” 1 p w s   â >  _

   ñ U  ´s  B > h  à º sü <  â > \ " f_  ] X ‚  5 Å q • ¸, 7 £ ¤ ì ø Í  y

Œ

•_   “  ° ú כ sin χ– Ð Å Ò# Q”   . s  ¿ º ý a³ ð  H " f– Ð & ñ ï  r

Š

© œ`  ¦ s À ÒÙ ¼– Ð Poincare ë “ s_  €  & h “ É r ˜ Д > r ) a  . Robnik y n

=o  × ¼_   â Ä º  H   à º s @ /’   z ¨ î €  \ " f é ß –0 A" é ¶ _  F G y

Œ

• φ\  ¦ B > h  à º– Ð  6   x   H  כ s  ¼ # o   .  =
 €  , s  H ý a³ ð u, υü <_  › ' a >   " é ¶& h ì  r Ü ¼– Ð Å Ò# Qt Ù ¼– Ð   À

Òl  Ô  ¦¼ #  l  M :ë  H s  . Õ ª Q
 s  ~ ½ Ód ” Ü ¼– Ð & ñ _   ) a ý a

³

ð (φ, sin χ)_  ë “ s“ É r €  & h s  ˜ Д > r ÷ &t  · ú §t ë ß – @ /’   ] X é ß –

€

 \ " f 0 A © œ  ”  _  ž Ðe  ¦ – Ðt  ˜ Д > r ÷ &  H  © œ& h `  ¦ ° ú “ ¦ e ”

 .

r

Ó ý t Y Us ‚  “ É r  6 £ § õ  ° ú  s  ”  ' Ÿ  ) a  . % ƒ6 £ § \   H e ” _ 

~

½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð { 9  \  ¦ µ 1 Ï ô  Ç . s  { 9    H  â > €  \   Òv 9 y 

“

¦ ¢ - a„   ò ø Í$ í Ü ¼– Ð ì ø Í ÷ &# Q
“ : r  . à º¨ î » ¡ ¤ Ü ¼– РÒ'  { 9 



  Òv 9 • 2 ; 0 Au  t _  F G y Œ •õ  Õ ª & h \ " f_  ì ø Í y Œ •_ 



“  ° ú כ sin χ`  ¦ 8 £ ¤& ñ # Œ Poincare ë “ s\  l 2 Ÿ ¤ ô  Ç . ì ø Í  { 9

   r   â > €  õ   Òv 9 y   H & h  t _  F G y Œ •õ  sin χ`  ¦ 8

£ ¤& ñ “ ¦ l 2 Ÿ ¤   H õ & ñ `  ¦ ì ø Í4 Ÿ ¤ ô  Ç . s  õ & ñ `  ¦ 10 ë ß –   s

 © œ ì ø Í4 Ÿ ¤ % i `  ¦ M : a % ~“ É r Õ ªa Ë >`  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  .

Fig. 2. Parameters of Robnik billiard.

3. W ë s X ì Äß Ã Å Robnik ö m ÇP  © Ž8 ý Ž ì ŏ ŒU ê s0 n É : ; c . U

 Ç U Ø ü‡ ˜ mß f Ä —  Þ4 

Robnik“ É r y n =o  × ¼_  “ ¦Ä » 7 ˜' \  ¦ ½ ¨ t  · ú §“ ¦ — ¸Ž  H

“

¦Ä »° ú כ`  ¦ ´ òÖ  ¦& h Ü ¼– Ð > í ß –½ + É Ã º e ”   H € ª œ  o ~ ½ ÓZ O `  ¦ ] j r

 % i  . s  ~ ½ ÓZ O `  ¦    \  -t  ï  r 0 Aç ß –   : Ÿ x > \  ¦ ½ ¨½ + É Ã

º e ”  .

Ä

ºo   H y n =o  × ¼_  € ª œ  o  ) a \  -t  “ ¦Ä »° ú כ`  ¦ % 3 l  0 A K

 r ç ß – 1 l qw n  Schrodinger ~ ½ Ó& ñ d ” 

∆

w

ψ(w) + (2m/~

²

)Eψ(w) = 0, ψ|

∂B

= 0 (4)

`

 ¦ Û  ¦ # Q  ô  Ç . > í ß –`  ¦ ç ß –é ß –y  l  0 A # Œ \  -t _  é

ß –0 A  H 2m/~

²

= 1 – Ð ‚  × þ ˜  . s ] j & ñ ï  r B i ç w(z) = z + λz

²

\  ¦ à º' Ÿ  “ ¦ F G ý a³ ð (r, φ)`  ¦ • ¸{ 9  €  , d ”  (4)  H

∆

z

ψ

⁰

(r, φ) + E(1 + 4λ

²

r

²

+ 4λr cos φ)ψ

⁰

(r, φ) = 0, ψ

⁰

(1, φ) = 0 (5)

  ) a  .   ¨ 8 Š õ & ñ \ " f Laplacian_  & ñ ï  r  ¨ 8 Š ∆

z

=

|dw/dz|

²

∆

_w

`  ¦  6   x % i “ ¦, z ¨ î €   F G ý a³ ð\ " f  1 l x † < Ê Ã

º\  ¦ ψ

⁰

(r, φ) = ψ(w(re

^iφ

)) Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ % i  . é ß –0 A" é ¶ \ " f

ƒ

 í ß –  −∆

^z

_  f ” “ § “ ¦Ä »† < Êà º u

ⁿ

(r, φ)  H “ ¦Ä »° ú כ z

n²

`  ¦  t

Ù ¼– Ð, (∆

z

+ z

²_n

)u

_n

= 0  $ í w n ô  Ç . s  M :  1 l x † < Êà º– Ð ψ

⁰

= X

n

(c

n

/z

n

)u

n

(6)

`

 ¦  6   x % i  . s ] j, d ”  (5)\  d ”  (6)`  ¦ @ /{ 9  “ ¦, u

m

`  ¦ Y

 L # Œ é ß –0 A" é ¶ \  @ /K  & h ì  r €   \  -t  › ' a > d ”  X

n

(E

⁻¹

δ

nm

− J

nm

)C

n

= 0, (7)

J

nm

= 1 z

_n

z

_m

Z

1 0

dr r Z

π

−π

dφ(1 + 4λ

²

r

²

+ 4λr cos φ)u

n

u

m

(8)

`

 ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  . s  ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ > í ß – l  0 A # Œ l $ † < Ê Ã

º– Ð Bessel † < Êà ºü <  Œ ™y Œ •† < Êà º_  Y  L

u

kl

(r, φ) = R

kl

J

k

(z

kl

r)  cos kφ even parity

sin kφ odd parity (9)

`

 ¦  6   x  . s   1 l x † < Êà º_  ½ ©   o  © œÃ º  H R

kl

=

√ 2 − δ

k0

/ √

πJ

_k⁰

(z

kl

) – Ð Å Ò# Qt “ ¦, J

k⁰

“ É r k  P : Bessel † < Ê Ã

º_  p ì  r`  ¦, z

kl

“ É r l  P : 0`  ¦
  · p . J_  ' Ÿ § > =כ ¹™ è  H



6 £ § õ  ° ú  s  Å Ò# Q”   .

J

(kl),(k⁰l⁰)

= < u

kl

|u

k⁰l⁰

> 4λ

²

< u

kl

|r

²

|u

k⁰l⁰

> +4λ < u

kl

|r cos φ|u

k⁰l⁰

>

= δ

_|k−k0|,0

[δ

_ll⁰

+ 4πλ

^2(1+δk0)

R

_kl

R

_k⁰_l⁰

Z

1

0

drr

³

J

_k

(z

_kl

r)J

_k⁰

(z

_k⁰_l⁰

r)]

+ δ

_|k−k0|,1

2πλ(1 + δ

_k0

+ δ

_k⁰₀

)R

_kl

R

_k⁰_l⁰

Z

1

0

drr

³

J

_k

(z

_kl

r)J

_k⁰

(z

_k⁰_l⁰

r). (10)

s

 כ Ü ¼– РÒ'  ç ß –é ß –ô  Ç ‚  × þ ˜Ò  ¦(selection rule)

|k − k

⁰

| > 1 ⇒ J

_(kl),(k⁰_l⁰₎

= 0 (11)

`

 ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  .

s

] j d ”  (7)_  > à º ' Ÿ § > =d ” `  ¦ @ /y Œ •‚   o ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð Û  ¦

#

Q \  -t  “ ¦Ä »° ú כ`  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”  . s X O >  # Œ % 3 “ É r

\

 -t  ï  r 0 A[ þ t _  Ô  ¦ƒ  5 Å q Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ {E

_i

}  “ ¦ “ ¦, \ 



-t  E˜ Ð  ± ú “ É r \  -t  ï  r 0 A_  à º\  ¦ N (E)  “ ¦ €  , N (E)  H ¨ î ç  H õ  [ O 1 l x  Òì  r _  ½ + Ë

N (E) = N

aυ

(E) + N

f l

(E) (12)

–

Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”  . ¨ î ç  H  Òì  r N

aυ

(E)  H ï  r “ ¦„   Z O  g Ë

:(semiclassical rule)\  _  # Œ   H  & h Ü ¼– Ð % 3 `  ¦ à º e ” 



. 7 £ ¤, d " é ¶ > _  y Œ • € ª œ  © œI   H „  ^ ‰ 0 A © œ/ B N ç ß – Γ ×  æ

\

" f  Òx  (2π~)

^d

`  ¦ & h Ä » Ù ¼– Ð

N

_aυ

(E) ≈ Γ(E)/(2π~)

^d

(13)

–

Ð Å Ò# Q”   .

“

 ] X ô  Ç \  -t  ï  r 0 A  s _  ç ß –   s_  ì  r Ÿ í\  ¦ P (s)  “ ¦

€  , NNS ì  r Ÿ í (Near-Neighbor Spacing distribution)  H

\

 -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 \ " f “  ] X ô  Ç \  -t  ï  r 0 A[ þ t`  ¦  o  s\ 

"

f µ 1 Ï| ½ + É S X ‰Ò  ¦ P s  . U  ´s  L\ " f ç ß –   [α, α + L]s  Å Ò

#

Qt €  , s  ì  r Ÿ í_  à º : Ÿ x >  n(α, L)  H Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 _  s  ç ß –   î

ß –\  e ”   H \  -t  ï  r 0 A_  à º . s  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3  „  ^ ‰\  @ /ô  Ç

¨ î

ç  H, 7 £ ¤ α \  @ /ô  Ç ¨ î ç  H“ É r s  ì  r Ÿ í_  — ¸F ' pà Ô[ þ t s   ) a  .

s

] j ×  æ כ ¹ô  Ç — ¸F ' pà Ô[ þ t 7 £ ¤,   ì  r (variance) Σ

2

(L), q @ /g A

$ í

(skewness) γ

1

(L), Õ ªo “ ¦ œ íõ  (excess) γ

²

(L)`  ¦ “ ¦ 9

 . 1  — ¸F ' pà ԓ   ¨ î ç  H“ É r ç ß –é ß –y  Ls   ) a  . ë ß –{ 9  Û ¼& 7 ˜ à

Ô! 3 s  Ü j ˜Ü j ˜ €   2  — ¸F ' pà ԓ     ì  r Σ

2

(L)“ É r  Œ •“ ¦, Õ ª ì ø Í

@

/ €   9 þ t  כ s  . ô  Ǽ #  q @ /g A$ í õ  œ íõ   H k  — ¸F ' pà Ô µ

⁰_k

= P

n

i=1

(x

_i

− ¯ x)

^k

/n \  _  # Œ y Œ •y Œ • µ

3

/σ

³

ü < µ

4

/σ

⁴

− 3 – Ð & ñ _   ) a  . q @ /g A$ í “ É r Û ¼& 7 ˜à Ô! 3  ì  r Ÿ í_  ý aÄ º q @ /g A

$ í

`  ¦
 ? /  H € ª œs “ ¦, ¼ #  _  35 p x ½ + ËÜ ¼– Ð & ñ _ ÷ &% 3 Ü ¼Ù ¼

–

Ð 6 £ § à ºü < € ª œÃ º\  ¦ ° ú `  ¦ à º e ”  . q @ /g A$ í s  € ª œs “ ¦ ß ¼

€

  ¨ î ç  H ˜ Ð   H X <s '  ´ ú §   H _ p s Ù ¼– Ð ì  r Ÿ í† < Êà º

 š ¸ É rA á ¤ Ü ¼– Ð u Ä º' ¬ I6 £ §`  ¦
 ? /“ ¦, 6 £ § s “ ¦ ß ¼€   ¨ î ç  H

˜

Ð   Œ •“ É r X <s '  ´ ú §   H _ p s Ù ¼– Ð ì  r Ÿ í† < Êà º ¢ , a A

á

¤ Ü ¼– Ð u Ä º' ¬ I6 £ §`  ¦
  · p . œ íõ   H & ñ ½ ©ì  r Ÿ í_  ' ‘ • ¸ (kurtosis) µ

4

/σ

⁴

3 õ  q “ §ô  Ç ° ú כÜ ¼– Ð, ' ‘ • ¸ 9 þ t à º2 Ÿ ¤ ì  r

Ÿ

í Õ ªA á ԍ  H ×  æd ”  Ò Z  } “ ¦ € ª œA á ¤ Ü ¼– Ð Y O o  f  ­ # Q”   — ¸_ þ v

`

 ¦
  · p  [17].

ô

 Ǽ # , \  -t [ þ t _  ç ß –  \  @ /ô  Ç Brodyü < Robnik_  ~ ½ Ó Z O

 [7, 15]Ü ¼– Ð : Ÿ x > \  ¦ ½ ¨ô  Ç . \  -t   © œI  ç ß –   : Ÿ x > \ 

@

/ô  Ç Brodyü < Robnik_  ³ ð‰ & ³

P (s) = as

^ν

exp(−bs

^ν+1

) (14)

“ É

r & h ì  r 0 p x > \  ¦
 ? /  H Poisson ì  r Ÿ íü < ¢ - a„  ô  Ç š ¸ Û

¼  © œI \  ¦
 ? /  H Wigner ì  r Ÿ í_  ×  æ^ o ?Ü ¼– Ð > _  { 9 ì ø Í

&

h “    © œI \  ¦ ³ ð‰ & ³   H ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð & h { © œô  Ç ³ ð‰ & ³ ~ ½ ÓZ O s  \ O 



 H ×  æ ç ß – > \  @ /ô  Ç B Ä º & h ] X ô  Ç ³ ð‰ & ³ l Z O Ü ¼– Ð “  & ñ ÷ &  H l

Z O s  . # Œl " f ½ ©   o  © œÃ º aü < b  H S X ‰Ò  ¦ † < Êà º_  ½ ©  



o › ¸|  R

∞

0

P (s)ds = 1 õ  R

∞

0

sP (s)ds = 1 \  _ K    & ñ

 ) a  .

III. S ö o Ú7 _T  Ó ÅÊ Ý • ¤V 4  ˜ m + s ÇÊ Ý

1. w Š ¹ ÅX ì Äß Ã Å Robnik ö m ÇP  © Ž8 ý S ö o Ú7 _T  Ó Å + s ÇÊ Ý

Robnik y n =o  × ¼\  @ /ô  Ç ´ ú §“ É r “ ¦„  & h “   ì  r$ 3 [ þ t s  ”   '

Ÿ ÷ &# Q M ® o “ ¦ # Œ Q ì  r l & h [ þ t s  ˜ Г ¦ ÷ &% 3  . Ä ºo [ þ t ¢ ¸ô  Ç Poincare ] X é ß –€  `  ¦ › ¸  # Œ s  ì  r l & h [ þ t`  ¦ S X ‰ “   % i  .

>

  Ä ºo   H Á º É r š ¸Û ¼ % ò % i _  λ\ " f $ 3  (island) ½ ¨

›

¸_     o\  @ /ô  Ç D h– Ðî  r + þ AI [ þ t`  ¦ ¹ 1 Ԁ Œ ¤ . “ ¦„   1 l x% i † < Æ

>

\  @ /ô  Ç s    õ [ þ t`  ¦  A \  & ñ o  % i  .

λ = 0.175 \ " f [ j 7 á x À Ó_  $ 3 [ þ t s  Poincare ] X é ß –€  `  ¦ t

C ô  Ç . Õ ª[ þ t“ É r y Œ •y Œ • 2, 3, 4 Å Òl  C • ¸\  K { © œô  Ç . 4 Å

Òl  C • ¸  H λ = 0.176 \ " f ì  r l  (bifurcation) “ ¦, 5 Å Ò l

 C • ¸  H λ = 0.185 \ " f ì  r l  ô  Ç . s Ê ê\   H Å Òl  C 

•

¸\  ¦ • ¸  H $ 3 ë ß –s  š ¸Û ¼   \  z Œ ™  H  . ô  Ǽ #  2 Å Òl  C 

•

¸  H λ = 0.207 \ " f ì  r l  ô  Ç . s  ì  r l   H $ 3 s  š ¸Û ¼



 \  _  # Œ ¿ º $ 3 Ü ¼– Ð ° ú ˜ t   H  כ `  ¦ _ p  t  · ú §  H

Fig. 3. Poincare surface of section.



. s  ì  r l   – Ð  6 £ § \  Ñ ü t – Ð ° ú ˜ ”   C • ¸  H Fig. 3(a) \ 

"

fü < ° ú  s  Ô  ¦   ž Ðo \  _  # Œ …  b “   . s  Ô  ¦   ž Ðo 



 H λ = 0.219 \ " f L :”   . Õ ªA " f Ñ ü t – Ð ° ú ˜ ”   C • ¸\  ×  æ d ”

`  ¦ é  H ¿ º “ ¦w n  ) a $ 3 Ü ¼– Ð š ¸Û ¼   \ 
 è ß – (Fig.

3(b)). s  ° ú ˜ ”   C • ¸  H λ = 0.266 \ " f Ñ ü t – Ð  r  ° ú ˜  t

  H X <, s  כ “ É r Hayli 1 p x \  _ K  ˜ Г ¦÷ &% 3   [16].

2 Å Òl  C • ¸\  ¦ • ¸  H $ 3 _  ½ ¨› ¸    o\  ¦ ˜ Ðl  0 A # Œ Ä º o

  H & h ì  r 0 p x  Òì  r _  ½ ¨› ¸ 2 Å Òl  $ 3 \  _ K  ´ òõ & h  Ü

¼– Ð Å Ò# Qt   H 0.19 < λ < 0.25 _  # 3 0 A\ " f_  $ 3 `  ¦ Å Ò _

U  ·>  Õ ª 9˜ Ѐ Œ ¤ (Fig. 4). s  Õ ªa Ë >\ " f Ä ºo   H 2 Å Òl 

$

3 _  ½ ¨› ¸ λ 7 £ x † < Ê\     S X ‰ƒ  ô  Ç J ‡  `  ¦ ˜ Ðs  9



 ô  Ç   H  כ `  ¦ · ú ˜€ Œ ¤ . s  J ‡  _  ' Í é ß –>   H $ 3  ×  æ € © œ\  /

B N" î s 
 è ß –   H  כ s “ ¦(Fig. 4(b)), Ñ ü t P :– Ð s  / B N" î _

 ß ¼l   H & h & h    “ ¦ Õ ª 0 Au   H Õ ª $ 3  µ 1 ÚÜ ¼– Ð ¹ ¡ §f ” “  



  H  כ s  (Fig. 4(c)). Õ ªo “ ¦  t } Œ • é ß –> \ " f s  / B N

"

î `  ¦ y Œ ™   H — ¸Ž  H Ô  ¦   ž Ðo   H L :”   . s o  # Œ Õ ª / B N

"

î “ É r š ¸Û ¼   \  ¶ n s˜ 2 ³ “ ¦w n  ) a $ 3 s   ) a  . Õ ª    6 £ §

\

 s  D h $ 3 “ É r / å L  y    ”   . s    J ‡  “ É r 0.19 < λ <

0.25 # 3 0 A\ " f # Œ Q    ì ø Í4 Ÿ ¤ # Œ
 è ß – . s  J ‡  _    t

} Œ • é ß –>   H $ 3 õ  š ¸Û ¼     s _  ×  æ ç ß –½ ¨› ¸ 0 A © œ

†

< Æ& h Ü ¼– Ð      H  כ s  . ì  r l  & h õ   ð ø Ít – Ð s  & h [ þ t

•

¸ “ ¦„   š ¸Û ¼ü < € ª œ  š ¸Û ¼  s _  @ /6 £ x$ í `  ¦ s K  



 H X < ×  æ כ ¹ô  Ç % i ½ + É`  ¦ ô  Ç . z  ´] j– Ð Ô  ¦   ž Ðo _  s ü < ° ú  

“ É

r L :# Qf ” s 
 
  H λ _  & ñ S X ‰ ô  Ç ° ú כ`  ¦ à ºu & h Ü ¼– Ð   

Fig. 4. Poincare surface of section.

&

ñ   H  כ “ É r ç ß –é ß – t  · ú § . Õ ªA " f Ä ºo   H 
_  C • ¸

 s  / B N" î õ  $ 3   s _  · û ª“ É r š ¸Û ¼ % ò % i \ " f r  Œ • # Œ 1 ë ß –  _   â > €  `  ¦ Ø  æ[  t “ ¦• ¸ š ¸Û ¼   \  • ¸² ú ˜ t 

· ú

§Ü ¼€   s  / B N" î `  ¦ y Œ ™ “ ¦ e ”   H — ¸Ž  H Ô  ¦   ž Ðo [ þ t s  L :# Q t

t  · ú §  H  “ ¦ & ñ % i  . s  ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x # Œ s  Qô  Ç L

:# Qf ” s  { 9 # Q
  H & h “ É r y Œ •y Œ • λ = 0.203, 0.227, 0.231, 0.238 s  “ ¦   & ñ ½ + É Ã º e ” % 3  .

ô

 Ǽ #  λ = 0.245\ " f $ 3 _  ¢ ¸   É r ½ ¨› ¸   o\  ¦ µ 1 Ï|  

%

i  . s  & h  „  Ê ê\ " f $ 3 _  — ¸€ ª œs   Ö  ¦ @ /g Aõ  ° ú  s    Ë

¨– Ð  Ÿ ÷ ¶  .  – Ð s  & h \ " f $ 3 _  ß ¼l   H Fig. 5 ü < ° ú   s

 B Ä º  Œ • . · ú ¡\ " f• ¸ ƒ  / å L % i 1 p w s , Robnik y n =o  × ¼



 H Dreitlein y n =o  × ¼ü < q “ §÷ &  H ½ ¨› ¸& h “   # Œ Q ' Ÿ 1 l x`  ¦

˜

Г    [12,13]. Dreitlein y n =o  × ¼\ " f  H  â > _  é ß –í  H$ í õ

 q K $ 3 & h  $ í | 9 – Ð “   # Œ 2 Å Òl  $ 3 s  Robnik y n =o  

×

¼\ " fü < ° ú  s  4 Ÿ ¤ ¸ ú š t  · ú § . s X O >   © œ@ /& h Ü ¼– Ð 4 Ÿ ¤ ¸ ú š ô

 Ç ' Ÿ 1 l x“ É r “ ¦„   0 A © œ/ B N ç ß –_  ½ ¨› ¸ü < \  -t  ï  r 0 A ç ß –  : Ÿ x

>

  s _   © œ[ jô  Ç @ /6 £ x$ í `  ¦ › ¸ ½ + É Ã º e ” >  ô  Ç .

Fig. 5. Poincare surface of section.

2. W ë s X ì Äß Ã Å Robnik ö m ÇP  © Ž8 ý ; c .U  Ç U Ø ü‡ ˜ mß f Ä

—

 Þ4  Ä

ºo   H Robnik y n =o  × ¼_  \  -t  “ ¦Ä »° ú כ`  ¦ % 3 l  0 A K

 2∼3] X \ " f [ O " î ô  Ç @ /y Œ •‚   o ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x % i   [7].

∆λ = 0.001 _  ç ß –  `  ¦ ° ú   H λ _  Ô  ¦ƒ  5 Å q& h “   ° ú כ\ " f \  - t

 ï  r 0 A 1100> h > í ß – % i  . Õ ª ×  æ ’  ø @$ í e ”  “ ¦ S X ‰ ’  

÷

&  H  © œ ± ú “ É r 500 > h_  \  -t  “ ¦Ä »° ú כ`  ¦ ‚  × þ ˜ # Œ \  - t

 ç ß –   : Ÿ x > \  ¦ > í ß – % i  . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð € ª œ  š ¸Û ¼ ‰ & ³



© œ“ É r ï  r “ ¦„   % ò % i \ " f
 
  H ‰ & ³ © œÜ ¼– Ð s K  “ ¦ “ ¦

„

 -€ ª œ   © œ˜ Ð$ í _  › ' a& h \ " f Z  }“ É r \ # Qt  Y U6 \ š_  : £ ¤$ í `  ¦

›

¸  “ ¦ e ” Ü ¼
, € ª œ  š ¸Û ¼ ‰ & ³ © œ“ É r € ª œ  > _  ‘ : r| 9 & h 

“

  : £ ¤$ í s Ù ¼– Ð š ¸y  9 ± ú “ É r \  -t  Y U6 \ š\ " f
 
  ô

 Ç “ ¦ Ò q ty Œ •ô  Ç . Õ ª QÙ ¼– Ð  8 ´ ú §“ É r \  -t  ï  r 0 A\  ¦ > í ß –

€   ½ + Éà º2 Ÿ ¤  8  © œ[ jô  Ç : Ÿ x > \  ¦ % 3 `  ¦ à º e ” Ü ¼
,  © œ ± ú 

Fig. 6. The Brody exponent ν verse λ. The vertical arrows point out the bifurcation points of period four, tree, and two orbits, and the vertical dotted lines indicate the λ values at which the wrapping invariant tori break out in classical chaos.

“

É r 500 > h_  \  -t  ï  r 0 A– Е ¸ λ\    É r \  -t  ï  r 0 A ç ß –   :

Ÿ

x > _  : £ ¤f ç & h “   ' Ÿ 1 l x[ þ t`  ¦ ˜ Ðl \  Ø  æì  r  “ ¦ Ò q ty Œ •  9 Ä

ºo _    õ   H s \  ¦ 7 £ x" î  “ ¦  ’ x .

Ä

ºo   H \  -t  ç ß –  _  ½ ©   o  ) a ³ ðï  r¼ #   σ

²

õ  q “ §

# Œ Brody ì  r Ÿ í t à º ν`  ¦

σ

²

=

2(ν + 1)Γ 

2 ν+1

 Γ 

1 ν+1

 − 1 (15)

Ü

¼– РÒ'  ½ ¨½ + É Ã º e ”  . Robniks   6   x ô  Ç s  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð

½

¨ô  Ç Brody t à º\  ¦ Fig. 6 \  ˜ Ð% i  . ¢ ¸ô  Ç \  -t  ï  r 0 A ç

ß –  _  q @ /g A$ í (skewness)õ  œ íõ  (excess)\  ¦ Fig. 7 \ 

˜

Ð% i  . Fig. 6ü < 7\ " f à ºf ”  & h ‚  “ É r Ô  ¦   ž Ðo  L :# Qt 



 H λ ° ú כ`  ¦
 ? /“ ¦, |   & h ‚  “ É r $ 3 _  ½ ¨› ¸      H λ = 0.245\  ¦
  · p . s [ þ t Õ ªa Ë >\ " f λ = 0.231“ É r Ò q t| Ä ÌÙ þ ¡  H X

<, Õ ª s Ä »  H s  & h s  : Ÿ x > \   H % ò † ¾ Ó`  ¦ Å Òt  · ú §  H  כ Ü ¼

–

Ð ó ø Íé ß –Ù þ ¡l  M :ë  H s  . Fig. 6_  à ºf ”   o¶ ú ˜³ ð[ þ t“ É r y Œ •y Œ • 2 Å

Òl , 3 Å Òl , 4 Å Òl  C • ¸ ì  r l  & h `  ¦
  · p . Fig. 6\ 

"

f ^  ¦ à º e ” 1 p w s  t à º ν  H @ /| Ä Ì ν = 1 t  & h ”  & h Ü ¼– Ð 7 £ x

ô  Ç . s  כ “ É r \  -t  ï  r 0 A ç ß –   : Ÿ x >  Poisson ì  r Ÿ í– Ð Â

Ò'  8 £ § Wigner ì  r Ÿ í– Ð „  s ô  Ç   H  z  ´`  ¦ ì ø Í% ò “ ¦ e ”

 . Õ ª Q
 s  7 £ x    H ' Ÿ 1 l x _   © œ[ jô  Ç — ¸_ þ v“ É r & h ”  & h  s

t • ¸  Ò× ¼X O t • ¸ · ú §Ü ¼ 9 š ¸y  9 > é ß –d ” \   8 ¾ ú š .

ν _  / å L  ô  Ç 7 £ x \  ¦ ˜ Ðs   H λ ° ú כ`  ¦ & h ‚  õ   o¶ ú ˜³ ð– Ð
 

? /% 3  . s  & h ‚  [ þ t õ   o¶ ú ˜³ ð[ þ t s  “ ¦„   0 A © œ/ B N ç ß –\ " f

$

3 _  ½ ¨› ¸   o\  ¦
 ? /  H 0 Au ü < { 9 u ô  Ç . s    { 9 u 



 H \  -t  ï  r 0 Aç ß –   : Ÿ x >  @ /6 £ x   H “ ¦„   > _  0 A © œ/ B N ç

ß –_   € ª œô  Ç ž Ðe  ¦ – Ðt \  _ K  % ò † ¾ Ó ~ à ΍  H    H  כ `  ¦ y © œ§ 4 

>  z ´ » ~ à Îg Ë >ô  Ç . “ ¦„  & h “   0 A © œ/ B N ç ß –_  ž Ðe  ¦ – Ðt  ½ ¨› ¸

Fig. 7. The skewness (uppers) and the excess (lowers) with λ. The vertical dotted lines which are the values of λ corresponding to rapidly changing ν agreed with the λ values at which the wrapping invariant tori break out in classical chaos. The positions of the vertical arrows in Fig. 5 are not coincident with any maximum or minimum positions.

     8 • ¸ t à º ν 7 £ x  t  · ú §  H s    ‰ & ³ © œ“ É r   u

 Ó ü t| 9 _   © œs       H 1 l x î ß – “ : r • ¸    o { 9 # Q
t  · ú §  H 1   © œ„  s ü < f  ¨    .

\

 -t  ç ß –  ì  r Ÿ í_  q @ /g A$ í õ  œ íõ _  Õ ªA á ԕ ¸ “ ¦„   1

l x% i † < Æõ  Ä » ô  Ç { 9 u \  ¦ ˜ Г   (Fig. 7). λ 7 £ x † < Ê\ 



  Õ ªa Ë >\   H # Œ Q > h_  ² D G  Ò& h “   F G @ /
 
“ ¦ λ

= 0.25  t  & h ”  & h Ü ¼– Ð y Œ ™™ è   H  ⠆ ¾ Ó`  ¦ ^  ¦ à º e ”  . 

š

¸Û ¼   ü < $ 3  ×  æ ç ß –_  ž Ðe  ¦ – Ðt     o\  ¦
 ? /  H & h ‚  

“ É

r ² D G  Ò& h “   F G ™ è& h \  0 Au ô  Ç . ì ø ̀  \ , 2 Å Òl  C • ¸_  ì

 r l  (bifurcation) & h (Fig. 6_  à ºf ”   o¶ ú ˜³ ð)“ É r # Q‹ "  F G

@

/& h 
 F G ™ è& h õ • ¸ { 9 u  t  · ú §  H  . s  כ “ É r q @ /g A$ í õ

 œ íõ $ í s  ì  r l ü < ° ú  “ É r ? /Â Ò ½ ¨› ¸˜ Ð   H $ 3 _  ü @& h “  

½

¨› ¸   o\   8   y Œ ™    H  z  ´`  ¦ 7 £ x   ô  Ç “ ¦  ’ x .

\

 -t  ï  r 0 A\  @ /ô  Ç : Ÿ x > \ " f ^  ¦ à º e ”   H ¢ ¸   É r < É ª p 

–

Ðî  r — ¸_ þ v“ É r ì  r l  & h  s „  _  í ß – À Ò\  ¦ ] jü @ “ ¦ ν_  — ¸

Ž

 H í ß – À ҍ  H q @ /g A$ í õ  œ íõ $ í _  F G @ /  6 £ § _  / å L  ô  Ç y

Œ

™™ è % ò % i \  0 Au ô  Ç . 7 £ ¤, $ 3  ž Ðe  ¦ – Ðt     oõ & ñ 1 l x î ß – ν  H  _  ° ú  “ É r ° ú כ`  ¦ ° ú Ü ¼
 q @ /g A$ í õ  œ íõ $ í “ É r / å L  

>  y Œ ™™ èô  Ç .

IV. + s Ç Â ] Ø

s

 ƒ  ½ ¨\ " f Ä ºo   H “ ¦„   1 l x% i † < Æ : £ ¤ y  0 A © œ/ B N ç ß –  € ª œ

$ í

ž Ðe  ¦ – Ðt ü < Á º É r š ¸Û ¼ % ò % i \  @ /ô  Ç \  -t  ï  r 0 A ç ß –

 

: Ÿ x >   s _  @ /6 £ x$ í `  ¦ Robnik y n =o  × ¼\ " f › ¸  % i 



. 0 A © œ/ B N ç ß –  € ª œ$ í ž Ðe  ¦ – Ðt _     o  H \  -t  ç ß –  ì  r

Ÿ

í\    y Œ ™ô  Ç % ò † ¾ Ó`  ¦ p • 2 ; . s  ì  r Ÿ í_  ¼ #    H — ¸Ž  H ž Ð e

 ¦ – Ðt     o\  _ K  % ò † ¾ Ó`  ¦ ~ à ΍  H 1 p w  . ì ø ̀  \  q @ /g A

$ í

õ  œ íõ $ í “ É r & h ì  r 0 p x % ò % i _  ? /& h     o˜ Ð   H ü @& h 

“

  ½ ¨› ¸   o\   8   y Œ ™ô  Ç  כ ° ú   .

P

c p 8 ý ò k >

‘

: r ƒ  ½ ¨  H 2002¸  • ¸ [ j" î @ /† < Ɠ § “ §? /† < ÆÕ ü tƒ  ½ ¨q _  t 

"

é

¶ \  _ K  à º' Ÿ  ) a ƒ  ½ ¨{ 9 m  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] J. Flores, S. Yu. Kun. and T. H. Seligman, Phys.

Rev. E 72, 17201 (2005); D. Rossini, G. Beneti and G. Gasati, Phys. Rev. E 70, 56216 (2004); B. Levi, B. Georgeot and D. L. Shepelyansky, Phys. Rev. E 67, 46220 (2003); D. Braun, Phys. Rev. A 65, 42317 (2002).

[2] S. Leoni et al., Phys. Rev. C 72, 34307 (2005).

[3] D. H. Wesley, P. J. Steinhardt and N. Turok, Phys.

Rev. D 72, 63513 (2005).

[4] Ph. Jacquod, H. Schomerus and C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 90, 207004 (2003).

[5] G. Casati and B. Chirikov, Quantum chaos be- tween order and disorder (Cambrige Univ. Press, New York, 1995); K. Nakamura, Quantum chaos (Cambrige Univ. Press, New York, 1993); M. C.

Gutzwiller, Chaos in classical and Quantum me- chanics (Springer, New York, 1990).

[6] S. W. McDonald and A. N. Kaufmann, Phys. Rev.

Letts. 42, 1189 (1979); S. W. McDonald and A. N.

Kaufmann, Phys. Rev. A 37, 3067 (1988).

[7] M. Robnik, J. Phys. A: Math. Gen. 17, 1049 (1984).

[8] A. Honig and D. Wintgen, Phys. Rev. A 39, 5642 (1989).

[9] G. M. Zaslavsky, Phys. Rep. 80, 157 (1981).

[10] M. V. Berry and M. Robnik, J. Phys. A: Math. Gen.

17, 2413 (1984).

[11] T. Prosen and M. Robnik, J. Phys. A: Math. Gen.

26, 2371 (1993).

[12] S. Rim, SAEMULLI 38, 55 (1998).

[13] Eui-Soon Yim, S. Rim, S. Lee and C. Lee,

SAEMULLI 38, 49 (1998).

[14] G. Murthy, R. Shankar and H. Mathur, Phys. Rev.

B 72, 75364 (2005); V. Lopac, I. Mrkonjic and D.

Radic, Phys. Rev. E 66, 36202 (2002); B. Li, M.

Robnik and B. Hu, Phys. Rev. E 57, 4095 (1998);

B. Li and M. Robnik, J. Phys. A: Math. Gen. 29, 4387 (1996).

[15] T. A. Brody et al., Rev. Mod. Phys. 53, 385 (1981).

[16] A. Hayli, T. Dunont, J. Mouulin-Ollagnier and J. M.

Streloyn, J. Phys. A: Math. Gen. 20, 3237 (1987).

[17] M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of math- ematical functions (Dover Pubs., New York, 1972), Chap. 26.

A Study of Transitions to Quantum Chaos in Billiard Systems

Eui-Soon Yim

^∗

Department of Computer Applied Science, Semyung University, Jecheon 390-711 Soo-Young Lee

National Creative Research Initiative Center for Controlling Optical Chaos, Pai-Chai University, Daejeon 302-735 (Received 10 October 2005, in final form 7 November 2005)

In this study, we have examined the transition from an integrable system to an almost chaotic system in the classical and the quantum Robnik billiard. We explore the Poincare surface section in order to study the characteristic features of classical dynamics and the statistics of the energy level spacings for quantum features of Robnik billiards with a system parameter λ. We find that a remarkable correspondence between the characteristic features of classical dynamics and the statis- tics of the energy level spacings appears when the a system parameter λ is varied. The variance of the level spacing distribution is shown to change its behavior at every particular values of λ in such a way that classical dynamics changes its topological structure in the Poincare surface of the section.

PACS numbers: 02

Keywords: Quantum chaos, Robnik billiard, Poincare surface section, Energy level spacing statistics, Change of topological structure

∗

E-mail: [email protected]