2015학년도 경찰대학 제1차 시험
수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
※ 총 4쪽 25문항(3점 5문항, 4점 15문항 5점 4문항)입니다.
각 문항의 답을 하나만 고르시오.
[1~20] 각 문항의 답을 하나만 고르시오.
1.
1) 행렬
에 대하여
의 모든 성분의 합을 이 라 하자.
∞
의 값은?
[3점][2015년 경찰대]
① ②
③
④
⑤
2.
2) 자연수 에 대하여 다항식 을 으로 나 눈 나머지를 , 로 나눈 나머지를 이라 할 때,lim
→∞
log log
의 값은?
[3점][2015년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
3.
3 ) 은 자리의 정수이고 의 최고 자리의 숫자는 이다. 의 값은? (단, log , log 로 계산한다.) [3점][2015년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
4.
4 ) 부터 까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 주머니 에 들어 있다. 이 주머니에서 개의 공을 임의로 한 개씩 꺼낼 때, 나중에 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 더 큰 순서로 꺼낼 확률 은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)[3점][2015년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
2
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5.
5) 원에 내접하는 사각형 ABCD에 대하여 AB , BC ,CD , DA 이다. 사각형 ABCD의 넓이는?
[4점][2015년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
6.
6) 함수 이 lim→
일 때,
의 값은?[4점][2015년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
7.
7) 방정식 의 한 허근을 라 할 때,
∞
의 값은?
[4점][2015년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
8.
8 ) 두 이차정사각행렬 , 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 단위행렬이고 는 영행렬이 다.)[4점][2015년 경찰대]
<보 기>
ㄱ. 이면 이다.
ㄴ. 이면 이다.
ㄷ. 이면 는 역행렬을 갖는다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
9.
9 ) 자연수 에 대하여 연립일차방정식
의 해가 존재하지 않을 때, 실수 , 의 순서쌍 전체의 집 합을 이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2015년 경찰대]
<보 기>
ㄱ. ∉
ㄴ. ∈이면 이다.
ㄷ. 서로 다른 두 자연수 , 에 대하여 ∩ ∅이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
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3
10.
10) 축 위의 점 A 에 대하여 함수 의 그래프 위의 점 B 에서 접선이 축과 만나는 점을A 이라 하자. 삼각형 ABA 의 넓이를 이라 할 때,
∞의 값은? (단, )[4점][2015년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
11.
11) 양의 실수 , , 에 대하여 세 조건 ,
, ≤ 의 진리집합을 각각 , , 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만 을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2015년 경찰대]
<보 기>
ㄱ. ⊂이면 ⊂이다.
ㄴ. ∩ ∅이면 ⊂ 또는 ⊂이다.
ㄷ. ∩≠ ∅이면 ⊂∩이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
12.
12) 에 대하여 lim→∞
의 값은?[4점][2015년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
13.
13) 이하의 자연수 중에서 서로 다른 개의 수를 뽑을 때, 어 느 두 수도 이상 차이가 나도록 뽑는 방법의 수는?[4점][2015년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
4
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14.
14) 함수 log ( ≥ )에 대하여 , , ⋯ , , ⋯ 로 나타낼 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[5점][2015년 경찰대]
<보 기>
ㄱ. 이면 ≤ 이다.
ㄴ. ≥
일 때 lim
→∞
는 수렴한다.
ㄷ. 임의의 자연수 , 에 대하여 이면
또는 이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
15.
15) 자연수 에 대하여 직선 이 두 함수 log, log의 그래프와 만나는 점을 각각 A, B이라 하자. 삼각 형 AB B과 삼각형 AA B 의 넓이를 각각 , 이라 할 때, lim
→∞
의 값은?
[4점][2015년 경찰대]
①
② ③
④ ⑤
16.
16) 두 집합 ≤ , ≥ 에 대 하여 가 ∩의 원소일 때, 의 최댓값과 최솟값이 각각 , 이다. 의 값은?[4점][2015년 경찰대]
①
②
③
④
⑤
17.
17) 좌석의 수가 인 어느 식당에서 예약한 사람이 예약을 취소 하는 경우가 명 중 명꼴이라고 한다. 명이 예약했을 때, 좌석이 부족하게 될 확률은 × 이다. 의 값은?[4점][2015년 경찰대]
①
② ③
④
⑤
수 리 영 역
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5
18.
18) 미분가능한 함수 가
( )
( )
( )
이고 ′라 할 때, 함수 가 다음 조건을 만족한다.
(가) 는 에서 미분가능하다.
(나) ′ ′
의 값은?
[5점][2015년 경찰대]
①
②
③ ④
⑤
19.
19) 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD가 있다. 점 P는 B를 출발하여 매초 의 속력으로 정사각형 ABCD의 변을 따라 B → C → D → A의 방향으로 움직이고, 점 Q는 C를 출발하여 매초
의 속력으로 정사각형 ABCD의 변을 따라
C → D → A → B의 방향으로 움직인다. 두 점 P, Q가 각각 B, C에서 동시에 출발한 후 시각 초일 때 삼각형 APQ의 넓이를
라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
단, ≤ ≤
[5점][2015년 경찰대]
<보 기>
ㄱ. 는 구간
에서 미분가능하다.ㄴ. 는
에서 극솟값을 갖는다.
ㄷ. 는 에서 극댓값을 갖는다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
20.
20) 정삼각형 ABC 내부의 점 P로부터 각 꼭짓점까지의 거리가 각각 , , 일 때, 삼각형 ABC의 한 변의 길이는?[5점][2015년 경찰대]
① ② ③ ④ ⑤
[21~25] 각 문항의 답을 답안지에 기재하시오.
21.
21) 방정식 의 세 근을 , , 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2015년 경찰대]
수 리 영 역
6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━6
22.
22) 원 에 내접하는 정각형의 각 꼭짓점의 좌표를 , , ⋯, 이라 할 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2015년 경찰대]
23.
23) 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 이 순서 대로 등차수열을 이루는 세 자리의 자연수의 개수를 구하시오.[4점][2015년 경찰대]
24.
24) 두 개의 주사위를 던져 나오는 눈의 수 중 크거나 같은 수를 확률변수 라 할 때, E
이다. 의 값을 구하시오.
(단, , 는 서로소인 자연수)
[4점][2015년 경찰대]
25.
25) 직선 이 함수 의 그래프와 서로 다른 두 점에서 접할 때, 직선 과 곡선 로 둘러싸인 영역의 넓이가 이다. 의 값을 구하시오.[5점][2015년 경찰대]
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
수 리 영 역
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7
[2015학년도 경찰대 해설지]
1) ④
∴ , (단, 은 자연수) 행렬 의 모든 성분의 합은 이고
이상의 자연수 에 대하여
이므로 수열 은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열을 이룬다.
∴
∴
∞
∞ lim
→ ∞
lim
→ ∞
→ ∞lim
2) ③
이라 하면
∴ lim
→ ∞
log log
lim
→ ∞
lim
→ ∞
3) ②
log log log
상용로그 log 의 지표가 이므로 은 자리의 정수이다.
∴
상용로그 log 의 가수가 이고 log log 이므로
log log log
× ×
따라서 의 최고 자리의 숫자는 이다.
∴
∴
4) ④
꺼낸 공을 다시 넣지 않으므로 전체 경우의 수는 P이고
조건을 만족시키는 경우의 수는 C이다.
따라서 구하는 확률은
P
C
5) ②
사각형 AB CD 가 원에 내접하므로
∠B A D ∠B C D
∠B A D 라 하면
삼각형 BAD 에서 코사인법칙에 의하여
B D A B AD AB ⋅ A D cos cos
삼각형 BCD 에서 코사인법칙에 의하여
B D B C C D B C ⋅ C D cos cos
cos cos 에서 cos
∴ sin cos
∴ (□ABC D 의 넓이)
(∆BAD 의 넓이)+(∆BCD 의 넓이)
A B ⋅ AD sin B C ⋅ C D sin
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
6) ⑤
라 하면
이므로
lim
→
lim
→
′
′ 이므로
′
∴
7) ①
이므로
는 방정식 의 근이다.
∴
∴
∴
∞ lim
→ ∞
lim
→
(∵ )
(∵ ) 8) ⑤
ㄱ.
일 때,이지만 ≠이다. (거짓) ㄴ. 에서
수 리 영 역
8
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,
이므로
(참)
ㄷ. 에서
∴
(참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
9) ③
주어진 연립일차방정식의 해가 존재하지 않으려면
≠ 이어야 한다.
(단, ≠ , ∵ 일차연립방정식)
에서 이므로 점 는 원 의 점 중
≠ , ≠ 를 만족시키는 점이다.
따라서 집합 은 점 , , 을 제외한 원
위의 모든 점이다.
ㄱ. 그림에서 ∉ (참)
ㄴ. 원 위의 점 에서 원점 O 에 이르는 거리는
보다 작거나 같다.
∴ ≤ (거짓)
ㄷ. 아래 그림에서 ∩ ∅ (참)|
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
10) ⑤
′ 이므로
의 그래프 위의 점 B 에서 접선의 방정식은
따라서 에서
∴
(∵ )∴
∴
∞
11) ③
방정식 가 실근을 가질 때,
, , 가 모두 양의 실수이므로 실근은 모두 보다 크다.
( )가 방정식 의 근일 때,
는 방정식
의 근이 된다.
따라서
집합 의 진리집합을 라 하면 집합 의 진리집합은
이다.또한, ≤ ⇔ 이므로
이다.
ㄱ. ⊂이면 이므로
이다.
∴ ⊂ (참) ㄴ. ∩ ∅ 이려면
∅ 이거나 또는 일 때이다.
이때, 어느 경우도 ⊂ 또는 ⊂를 만족시키지 않는다. (거짓) ㄷ. ∩≠ ∅ 인 경우는 인 경우이다.
일 때,
이므로
집합 , 모두 을 원소로 갖는다.
∴ ⊂∩ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
12) ③
의 값은 다음 그림의 직사각형의 넓이와 같다.따라서 lim
→ ∞
의 값은 다음 그림의 어두운 부분의 넓이와 같다.수 리 영 역
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9
그런데 와 ( ≥ )은 서로 역함수관계이므로 위 그림의 어두운 부분의 넓이는 다음 그림의 어두운 부분의 넓이와 같다.
∴ lim
→ ∞
13) ③
뽑히는 네 수를 작은 수부터 차례로 , , , 라 하면 조건을 만족시키는 , , , 는
≥ , ≥ , ≥ 이고
≥ , ≤ 이다.
따라서 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 이 성립한다.
이때, 이하의 자연수 중에서 위 부등식을 만족시키는 네 자연수
, , , 를 정하는 방법의 수는 H이다.
따라서 구하는 방법의 수는 HC 이다.
14) ④
의 그래프와 직선 는 그림과 같이 , 에서 만난다.
ㄱ. , 일 때, 이면
이지만 ≥ 이다. (거짓)
ㄴ. ≥
일 때, 이 커짐에 따라서
의 값은 보다 작은 범위에서 한없이 에 가까워진다.∴ lim
→ ∞
(참)
ㄷ. ≠ 이고 ≠ 이면
≠ 일 때, 또는 이다.
따라서 임의의 자연수 , 에 대하여
이면 또는 이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
15) ④
점 A, B의 좌표는 각각 , 이므로
,
수 리 영 역
10
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∴ lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
16) ①
집합 ∩가 나타내는 영역은 다음 그림의 어두운 부분이다.
⋯⋯ ㉠ 이라 하면
직선 ㉠이 그림의 어두운 부분을 지나야하므로 는
직선 ㉠이 원 와 제사분면에서 접할 때 최대가 되고
㉠이 곡선 과 접할 때, 최소가 된다.
ⅰ) ㉠이 원 와 제사분면에서 접할 때 원의 중심 에서 직선 ㉠에 이르는 거리가 이므로
∴
ⅱ) ㉠이 곡선 과 접할 때
방정식 은 중근을 가지므로
∴
ⅰ), ⅱ)에서
17) ①
예약한 손님이 예약을 취소할 확률은
예약한 손님 명 중 예약을 취소한 사람이 명 이하면 좌석이 부족하므로 이때의 확률은
C
C
⋅
∴
18) ②
함수 , 가 모든 실수에서 미분가능하므로
≥ ′
≥ 함수 가 에서 연속일 조건으로부터
,
∴ ⋯⋯ ㉠, ⋯⋯ ㉡ 함수 가 에서 미분가능할 조건으로부터
⋯⋯ ㉢
함수 가 에서 미분가능할 조건으로부터
⋯⋯ ㉣
′ ′ 인 조건으로부터
∴ ⋯⋯ ㉤
㉠, ㉡, ㉢, ㉣, ㉤에서
, ,
, ,
∴
19) ④
≤ ≤ 일 때, 점 P 는 선분 B C , 점 C 는 선분 C D 위에 있다.
∴
⋅
⋅
( ≤ ≤ )
≤
일 때, 점 P 와 Q 는 선분 C D 위에 있다.
∴
ㄱ. lim
→
→ lim
따라서 함수 는 에서 미분가능하지 않다. (거짓) ㄴ. 일 때, ′
이므로
에서 함수 는 극솟값을 갖는다. (참)
ㄷ. 함수 가 에서 연속이고
수 리 영 역
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11
를 기준으로 ′ 의 부호가 양에서 음으로 변하므로
는 에서 극댓값을 갖는다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
20) ②
B
A
C P
Q
4 2
4
∆ 를 가 에 대응되도록 회전이동시키면
∠ 이므로 ∆ 는 정삼각형,
∆에서 ∠ 이다.
그러므로 ∠ 이고
이다.
정삼각형의 한 변의 길이를 라 하자.
21) 753
근과 계수와의 관계에 의하여
,
∴
(∵ 22) 48
P ( , , ⋯, )이라 하면
∠PO P
( , , ⋯, )이다.
동경 O P이 축 양의 방향과 이루는 각을 이라 하면 점 P이 원 위의 점이므로 cos이다.
그런데 ∠PO P
× 이므로
cos cos 이다.
따라서
이다.또한, ∠PO P
×
이므로
cos cos
cos sin 이다.
따라서
이다.∴
× 23) 45
백의 자리의 수를 (≠ ), 십의 자리의 수를 , 일의 자리의 수를 라 하면
, , 가 이 순서대로 등차수열을 이루므로, 가 성립한다.
인 경우는 존재하지 않으므로 는 이하의 자연수이고 이때, 는 짝수이다.
와 의 값이 정해지면
로 도 정해지므로
구하는 자연수의 개수는 가 짝수가 되도록 와 를 정하는 방법의 수와 같다.
ⅰ) 가 홀수인 경우 도 홀수이어야 한다.
보다 작은 홀수는 , , , , 이므로
와 를 정하는 방법의 수는 ×
ⅱ) 가 짝수인 경우 는 또는 짝수이어야 한다.
보다 작은 짝수는 , , , 이므로
와 를 정하는 방법의 수는 ×
ⅰ), ⅱ)에서 구하는 자연수의 개수는
24) 167
두 주사위에서 나오는 눈의 수를 각각 , 라 하자.
ⅰ) 인 경우는 로 한 가지이다.
ⅱ) ( , , ⋯, )인 경우의 수는
, 모두 이하인 순서쌍 의 개수에서
, 모두 이하인 순서쌍 의 개수를 뺀 값
이다.
ⅰ), ⅱ)에서
( , , ⋯, )인 경우의 수는 개다.
전체 경우의 수는 이므로 P
이다.
∴E
⋅P
∴ E E
∴ ,
∴
25) 32
직선 의 방정식을 라 하자. (단, 는 일차 이하의 다항함수) 직선 과 곡선 가 서로 다른 두 점에서 접하므로
이 두 점의 좌표를 , ( )라 하면
이 성립한다.
그런데 는 차 이하의 다항함수이므로
다항식 의 과 항의 계수는 와 같다.
의 의 계수는 이므로 근과 계수와의 관계에서
방정식 의 중근을 포함한 모든 근의 합
이다.
∴
의 의 계수는 이므로
수 리 영 역
12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━12
∴ , (∵ )
∴
∴
∴
