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단 보
다열 불투과성 수중방파제를 통과하는 다방향 불규칙파랑의 해석 Analysis of Multi-directional Random Waves Propagating over
Multi Arrayed Impermeable Submerged Breakwater
정재상*·강규영**·조용식**
Jae-Sang Jung*, Kyu-Young Kang** and Yong-Sik Cho**
요 지 :본연구에서는고유함수전개법을사용하여다열불투과성수중방파제를통과하는다방향불규칙파랑 의통과와반사를계산하였다. 입사하는다방향불규칙파랑은 Bretschneider-Mitsuyasu 주파수스펙트럼과 Mitsuyasu
타입의방향스펙트럼을사용하여재현하였다. 첨두주파수의 Bragg 반사조건에서강한반사가발행하였다. 수중 방파제가 3열이고, 상대높이가 0.6일때입사하는다방향불규칙파에너지의 25% 이상이외해로반사되었다. 그
리고, 최대분산계수smax가증가할 경우, 다방향불규칙파랑의반사율도 증가하였다.
핵심용어 : 다방향불규칙파, 수중방파제, 고유함수전개법, Bragg 반사
Abstract :In this study, transmission and reflection of multi-directional random waves propagating over impermeable submerged breakwaters are calculated by using eigenfunction expansion method. A series of muti- derectional random waves is generated by using the Bretschneider-Mitsuyasu frequency and Mitsuyasu type directional spectrum. Strong reflection is occurred at the Bragg reflection condition of the peak frequency. If the row of breakwaters is fixed at 3 and the relative height of breakwater is fixed at 0.6, more than 25% of incident wave energy is reflected to offshore. It is also found that the reflection of directionally spreading random waves increases as the maximum spreading parameter smax increases.
Keywords :multi-directional random waves, submerged breakwaters, eigenfunction expansion method, Bragg reflection
1. 서 론
심해에서생성된파랑은지형변화에의해다양한변형을 겪으면서해안지역으로전파해온다. 입사해오는파랑은 해안선의변화에큰영향을주며, 또한해안구조물의설계 조건으로도사용된다. 파랑에의한해안선의변화중태풍 혹은계절풍의영향으로발달한고파랑에의한해안선의침 식문제는우리나라에서도널리관심을받고연구가수행되 고있는주제이다(Jung and Cho, 2005). 일반적으로, 해안 선의침식을방지하기위해서돌제(groin)나이안제(offshore breakwater) 등이건설되었다. 하지만, 환경적인영향을최
소화하고해안경관의보호를위해서는수중방파제(submerged breakwater)의건설이가장바람직하다(이등, 1999).
수중방파제의개념은크게두가지로나눌수있다. 첫 번째개념은수중방파제천단에서의낮은수심에의해천 수(shoaling)를인위적으로발생시키며, 이에의한쇄파를통 해입사하는파랑의에너지를소산시키는것이다(김, 2000).
두번째개념은수중방파제사이의거리를입사하는파랑
의파장의 50% 로설정하여, 수중방파제와입사파랑사이
의공명현상(resonance)을인위적으로발생시킴으로써, 상
당량의파랑에너지를외해로반사시키는것이다(조등, 2002).
본연구에서는이두가지개념중두번째개념, 즉, 인위적
**현대산업개발토목설계팀(Civil Engineering Team Hyundai Development Company, 160 Samsung-dong, Gang Nam-gu, Seoul, 135- 881, Korea, [email protected])
**한양대학교토목공학과(Corresponding author: Yong-Sik Cho, Dept. of Civil Engineering, Hanyang University, Seoul, 133-791, Korea, [email protected])
인 Bragg 반사를발생시켜입사파랑의에너지를감소시키는 수중방파제의조건결정에대해검토하였다. 다열수중방 파제의경우, 1열수중방파제에비해방파제의천단고를낮 게설계할수있기때문에비록다열이긴하지만경제적으 로보다유리하며, 소형어선의항해에방해를주지도않 으므로안전성도뛰어나다.
수중방파제에서의파랑변형은규칙파및불규칙파를대 상으로많은연구자들에의해널리연구되었다. 규칙파를
대상으로한연구는다음과같다. 이등(2003)은다양한형
상의다열수중방파제를통과하는규칙파의반사에관해
2차원수리모형실험을통해연구하였으며, 사각형형상및 사다리꼴형상의수중방파제가가장효과적임을밝혔다. Johnson et al.(2005)은 1열불투과성수중방파제에서파랑 과해류의상호작용에관해 3차원수리모형실험을통해연 구하였으며, Chang and Liou(2006)는다열수중방파제를 통과하는규칙파랑의 Bragg 반사를 matching 법을사용하 여수치적으로해석하였다. Hsu et al.(2004)은 2열불투과 성수중방파제를통과하는규칙파의쇄파특성에대해 RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) 모형을이용하여해석 하였다. 이외에투과성구조물을통과하는규칙파의변형 에관한연구역시 Ting et al.(2004), Rambabu and Mani (2005) 그리고 Tsai et al.(2006)이수치해석및수리모형실 험을통해수행하였다. 전술한연구들에의해수중방파제 를통과하는규칙파의반사, 쇄파변형, 수중방파제의유공 율에따른파랑변형등이규명되었다.
수중방파제를통과하는불규칙파랑에관한연구역시많 은진척이있었다. 일방향불규칙파랑에관한연구는 Bailard et al.(1992), Lara et al.(2006) 및 Johnson(2006)에 의해 수행되었으며, 다방향불규칙파랑은 Rosada et al.(1996), Hur et al.(2003) 그리고 Hur(2004)에의해각각수행되었 다. 하지만이들의연구는모두 1열수중방파제를통과하 는파랑의쇄파혹은수중방파제유공율에따른파랑변형
에관한것이었다. 국내연구로정등(2004)은고유함수전
개법을이용하여다열불투과성수중방파제를통과하는불 규칙파랑의반사를계산하였으며, 2차원수리모형실험과 비교하였다. 황등(2004)은강비선형모델인 VOF법을사 용하여다열수중방파제에서불규칙파랑의통과와반사를 계산하였다. 하지만이들은파랑의방향분포는고려하지않 았다. 본연구에서는현재까지거의수행된적이없는 2열 이상의다열수중방파제를통과하는다방향불규칙파랑의 반사및통과를고유함수전개법을사용하여수치적으로계
산하였다. 쇄파는고려하지않았으며, Bragg 반사가발생하
는파랑및다열수중방파제의조건을사용하였다.
본연구에서는, 입사하는다방향불규칙파랑의생성을위 해 Bretschneider(1968)에의해제안되고 Mitsuyasu(1970)
에의해계수가결정된 Bretschneider-Mitsuyasu 스펙트럼 을사용하였다. 그리고, 파랑의방향분포의재현을위해, Mitsuyasu et al.(1975)에의해제안된방향분포함수(directional spreading function)을사용하였다. 적용된수치해석기법은 선형파이론에근거한고유함수전개법(eigenfunction expansion
method)이며, 다방향불규칙파랑의에너지스펙트럼을무
수히많은규칙파로분해하여각각의계산결과를합성하 는방법을사용하였다. 정등(2004)은이와같은해석방법 을이용하여일방향불규칙파랑에대해수치해석을수행하 였으며, 수리모형실험결과와비교하였을때매우잘일치 하는결과를보였다.
다음장에서는규칙파의통과및반사를계산할수있는 고유함수전개법에대해서술하였고, 3장에서는본연구에 적용된다방향불규칙파랑스펙트럼식을기술하였다. 4장 에서는다열불투과성수중방파제를통과하는다방향불규 칙파랑의반사및통과를수치해석을통해해석한결과를 제시하였으며, 마지막으로 5장에서는결론을기술하였다.
2. 고유함수 전개법
본연구에서는 Cho and Lee(2000)가사용한고유함수전 개법을이용하여불투과성수중방파제를통과하는파랑의 반사율을산정하였다. 임의의해저지형으로입사하는입사 파와반사파, 그리고해저지형을통과하는통과파를지배 하는방정식은미소진폭파이론에의해다음과같이주어진 다. Eq. (1)은통과파와소멸파(evanescent wave)의속도포
텐셜이며, Eq. (2)는반사파와소멸파의속도포텐셜을나타
낸다.
(1)
(2) Eqs. (1)과 (2)에서아래첨자m은서로다른수심을갖는 영역을나타내며, n은고려된소멸파의수를나타낸다. 진
Φm+=
Am+eilmxcoshkm(hm+z) Bm n+, e–λm n,xcosKm n, (hm+z)
n=1
∑∞
⎩ + ⎭
⎨ ⎬
⎧ ⎫ei k(y–ωt)
Φ−m=
Am−e−ilmxcoshkm(hm+z) Bm n−, e+λm n,xcosKm n, (hm+z)
n=1
∑∞
⎩ + ⎭
⎨ ⎬
⎧ ⎫ei k(y–ωt)
폭 , , , 는모두복소수함수이며, 진행파와 소멸파의파수km과Km,n는모두실수이며, Eq. (3)의분산 방정식으로부터계산할수있다.
, (3)
또한, Eqs. (1)과 (2)에 사용된 진행파와 소멸파의 x축
방향의 파수인 lm과 λm,n은 다음과같이 계산된다. ,
Eqs. (1)과 (2)을해석하기위하여 2가지의접합조건이필 요하다. 첫째조건은x축방향의흐름율은연속이라는조 건이다. 임의의지점x=xm에서 Eq. (5)와같다.
(5)
둘째조건은압력이연속임을나타내며 Eq. (6)과같다.
(6a)
(6b)
Eq. (6)에서 가적용된다. 앞의속도
퍼텐셜함수인 Eqs. (1)과 (2)를 Eq. (6)에대입하면미지수 가 2(m−1)×(n+1)인선형행렬식이유도되며, 선형행렬식을
해석하여미지수인진폭의값을알수있다(Cho and Lee,
2000). 그리고, 반사율은다음과같이정의된다.
(7) 3. 입사파랑의 스펙트럼
파랑의특성은주파수스펙트럼만으로는충분히기술할 수는없다. 파장과파고의불규칙한변동의현상과, 여러방 향에서성분파가겹치는것을표현하는다방향불규칙파랑 의생성을위해다음과같은스펙트럼식이사용된다(Goda, 2000).
(8)
여기서, S(f)는 주파수 스펙트럼으로써 본연구에서는
Bretschneider-Mitsuyasu 스펙트럼을 사용하였으며, 다음 식과 같이 표현된다.
(9) Eq. (9)에서, H1/3은유의파고, T1/3은유의주기, f는파랑 의주파수를의미한다.
Eq. (8)에서, G(f;θ)는방향함수혹은방향분포함수으로 불려진다. 방향스펙트럼의관측은매우어렵고많은노력 을필요로하기에, 표준형을정하는것이어렵다. 그러나
Mitsuyasu et al.(1975)은클로버잎부이식(cloverleaf buoy)
파랑계를이용한면밀한관찰결과에근거하여방향함수를 제시하였으며, 다음식과같다.
(10)
방향함수는방향별에너지분포상태를나타내지만, 그함 수형은주파수마다다른것이보통이기때문에, 주파수를 파라메타로서포함한다. 또, 방향함수는차원을가지지않 고, Eq. (11)과같이정규화된다.
Eq. (10)에서, θ는입사파랑의파향각을나타낸다. G0는 다음식으로표현된다.
(12)
여기서, 확장계수 s는 방향함수의집중도를 나타내는파 라메타이며, 주파수스펙트럼의피크부분에서최대가되 며, 피크부분에서 벗어남에따라 차례로 감소하는형태 로 되어있다. 즉, S(f)의최대값 근처에서 에너지의방 향분산이최소가된다. 본연구에서θmin및θmax은각각
−π/2와 π/2가사용되었다. 즉, 외해로 나가는파랑에대 해서는검토하지않았다. Eq. (12)에서, s의최대치smax는
Eq. (13)과같이표현할수있다(Goda and Suzuki, 1975).
(13)
여기서, fp는 극대 주파수를 뜻하고, smax는 s의 최대값 을 의미한다.
4. 수치해석 결과
4.1 수중방파제에서 다방향 불규칙파랑의 통과 및 반 사특성
본절에서는, 다양한수중방파제의제원에대한수치해 Am+ Am– Bm n+, Bm n−,
ω2=gkmtanhkm hm ω2=–gKm n, tankm n, hm
lm=(km2–ky2)1 2⁄ λm n, =(Km n2, +ky2)1 2⁄
∂Φm
∂x ---
hm –
∫0 fm′,ndz h ∂Φ---∂mx+1
m+1 –
∫0 fm′,ndz x x, = m
=
Φm hm –
∫0 fm′,ndz –hmΦm+1
∫0 fm′,ndz x x, = m
=
fm′,n=coshkm′(hm′+z), n=0 fm′,n=cosKm′,n(hm′+z), n>0
⎩⎨
⎧
hm′=max(hm,hm+1)
R A−1 A1+
---
=
S f( ;θ)=S f( )⋅G f( );θ
S f ( )=0.25H1 32⁄ T1 3–⁄4 f–5exp 1.03{– (T1 3⁄ f )–4}
G f( ;θ)=G0cos2s⎝ ⎠⎛ ⎞θ2---
πG
–
∫π ( )f;θ dθ=1
G0 θ cos2s
min θmax
∫ ⎝ ⎠⎛ ⎞θ2--- dθ
1
= –
s smax⋅(f f⁄p)5 : f f≤ p
smax⋅(f f⁄p)–2.5 : f f≥ p
=
석을통해수중방파제의적용성을평가하였다. 입사하는다 방향불규칙파랑의경우 , 을적용하였 다. 또한, 파랑의입사각의분포는−70°~70° 사용하여 29
개의방향성분과 40개의주기성분으로다방향불규칙파랑 을구성하였다. 즉, 다방향 불규칙파랑의해석을위해
1,160개의규칙파를 Cho and Lee(2000)에의한방법으로 해석한후, 다시재합성하여입사파랑, 통과파랑, 반사파랑 의스펙트럼을재현하였으며파랑의반사율을계산하였다.
수치해석에사용된수중방파제의형상및각변수에대 한설명은 Fig. 1과같다. 수심H는 0.8 m이며, 방파제사
이의거리d는 2.0 m, 수중방파제중심사이의거리L은
2.4 m 그리고, b는수중방파제의폭을나타내며, 0.4 m이다.
수중방파제를통과하는다방향불규칙파랑의입사, 통과,
반사에대한스펙트럼을 Figs. 3~5에도시하였다. 수중방파 제의상대높이h/H는 0.5, 수중방파제의열수m은 4이며, smax는 10, 25, 75를각각사용하였다. 일반적으로smax가
10인경우는풍파, 25인경우는파형경사가비교적큰너 울, 75인경우는파형경사가비교적작은너울의특성을갖
는다(Goda, 2000). 본연구에서사용한입사파랑의목표스
펙트럼과재현된스펙트럼은 Fig. 2에서비교하였다. 비교 결과재현된파랑은실제목표스펙트럼과잘일치함을알 수있다.
입사파랑의첨두주파수는 Fig. 1에서표현된수중방파제 의제원에서 Bragg 반사가발생할조건으로써, 0.504 Hz가 사용되었다. 따라서, Figs. 3(c)~5(c)에서와같이 Bragg 반사 에의한강한반사스펙트럼을볼수있다. Figs. 3(b)~ 5(b)
에서는 Figs. 3(c)~5(c)의반사때문에통과파랑의에너지스 펙트럼은상당히감소한것을확인할수있다. 그리고, 파랑 의방향집중도가비교적큰smax가 75인경우방향집중도 가비교적작은smax= 10 및 25인경우에비해반사파스펙
트럼의첨두가뾰족한형태로생성됨을알수있다. Fig. 6는각각의smax값에대해, 방파제의열수및상대 높이가변화할경우파랑의에너지반사계수를도시하였다.
에너지반사계수는다음식을이용하여구한다.
(14)
여기서, A1+ij는입사파랑의진폭, A1−ij는 반사파랑의진폭 이며, 아래첨자 i는주파수 성분으로써 i번째파랑을뜻 하며, j는 방향성분으로번째 파랑을 뜻한다. 방향분산 계수 smax가클수록 에너지 반사계수가커지는 것을볼 수 있으며, smax가 75이고 수중방파제가 5열, 상대수심
이 0.7일경우 입사파랑 에너지의 50% 이상이 반사되
는 것을알 수 있다. 방향분산계수 smax가 25 및 75일 경우반사계수는 비슷한크기를보이는반면, smax가 10
일 경우는 반사계수가 smax=25 및 75인 경우보다 작은 값이 계산되었다. 일반적으로 smax가 10인경우는 풍파 로써 심해파의특성을 가지며, smax가 25 및 75인경우 는 주 파향으로의 방향 집중도가 큰 너울로 천해파의 특성을가진다. 즉, 수중방파제가건설될천해역에서너
울에대한효과적인파랑반사를기대할수있다. Bailard
et al.(1992)은원호형수중방파제를통과하는 일방향불
규칙파랑의 반사에관해연구하였는데, 입사파랑 에너지
의 25% 이상을 외해로반사할 경우, 해안의침식을억
제할 수 있다는 결론을도출하였다. 본 연구에서의 수 치해석결과수중방파제가 3열이고, 상대높이가 0.6일때
입사하는 다방향 불규칙파에너지의 25% 이상이 외해
로 반사되었다.
θ
∆ =5° ∆kh=0.01
Er A1–ij2 j=0 jmax∑
i=0 imax∑
A1+ij2 j=0 jmax∑
i=0 imax∑ ---
=
Fig. 1. Definition sketch of the condition of numerical analysis.
4.2 매개변수의 변화에 따른 반사율
본절에서는다양한매개변수의변화에따른반사율을계 산하였다. 특히, 최대방향분산계수(smax), 방파제의상대높이
(h/H) 그리고상대폭(b/H)의변화에대해검토하였다. Fig. 7
에서방파제의상대높이가 0.6이고 4열인경우smax의변화 및입사파랑의주기에따른에너지반사율을도시하였다.
입사하는다방향불규칙파랑의파수(wave number) k는유 의파고의주기를기준으로하였다. 계산결과, 입사파랑이 kh=1인조건에서공명반사가일어남을볼수있다. 이는정
등(2004)의계산결과와같으며, 다방향불규칙파랑역시
Bragg 반사조건에서강한반사가발생함을알수있다. 그
리고, 최대방향분산계수smax의값이클수록, 다시말해서 방향집중도가클수록, 반사율이더욱커짐을알수있다. 수
치해석에사용된수중방파제의간격은주파향이고극대주
파수인파랑에서 Bragg 반사가발생하도록설정되었다. 따
라서, 방향집중도가클수록파랑이주파향근처에집중되 므로반사율은더욱커지게된다.
Fig. 8은smax가 25이고방파제가 4열인경우입사파랑 주기및방파제의상대높이에따른파랑의에너지반사계 수를도시한그림이다. 역시kh= 1 부근에서공명반사가 발생하였으며, 방파제의상대높이가증가할수록파랑의에
너지반사계수역시크게증가함을알수있다. Figs. 7
and 8을비교해볼때, 입사파랑의방향집중도에비해방
파제의상대높이가파랑의반사에보다큰영향을미치는 것으로나타났다.
Fig. 9에서는smax가 25, 방파제가 4열이고상대높이가 Fig. 2.Comparison of target and generated spectrum: (a) smax= 10, (b) smax= 25, (c) smax= 75.
Fig. 3.Directional spectrum of multi-directional random waves propagating over submerged breakwaters: (a) incident waves, (b) transmitted waves, (c) reflected waves (smax
= 10, h/H= 0.5, m= 4).
Fig. 4.Directional spectrum of multi-directional random waves propagating over submerged breakwaters: (a) incident waves, (b) transmitted waves, (c) reflected waves (smax
= 25, h/H= 0.5, m= 4).
Fig. 5.Directional spectrum of multi-directional random waves propagating over submerged breakwaters: (a) incident waves, (b) transmitted waves, (c) reflected waves (smax
= 75, h/H= 0.5, m= 4). Fig. 6.Energy reflection coefficient of multi-directional random waves: (a) smax= 10, (b) smax = 25, (c) smax = 75.
0.5인경우, 수중방파제의상대폭변화에따른에너지반사 계수를나타내었다. 수중방파제의상대폭(b/H)은 0.5에서
0.9까지변화시켰으며, 수중방파제중심사이의거리는동 일하게설정하였다. 즉, 수중방파제중심사이의거리(L)는
각경우에있어서동일하게 2.4 m로결정하였다. 수중방
파제중심사이의거리는같기때문에, 수중방파제의상 대폭변화에상관없이kh=1 부근에서공명반사가발생 하였다. 수중방파제의상대폭이증가할수록에너지반사 율역시증가하였다. 조(2004)는유한요소법을이용하여 수중방파제의폭변화에따른규칙파의반사를해석하였
다. 조의연구에서도본연구결과와마찬가지로수중방 파제의폭이증가할경우반사율역시증가하였다. 하지 만, 수중방파제의폭이증가할수록장주기파에대한반 사율이증가한다고하였는데, 이는방파제사이의거리
(d)는일정하게두고폭만변화시켜서방파제중심사이 의거리(L)가증가하였기때문이다.
5. 결 론
본연구에서는다열수중방파제를통과하는다방향불규 칙파랑의반사특성을분석하였다. 고유함수전개법을이용 하여다방향불규칙파랑의통과및반사를계산하였다. 계 산결과첫째, 다방향불규칙파랑의경우역시입사파랑첨 두주파수의 Bragg 반사조건에서강한반사가발생함을확 인하였다. 둘째, 수치해석결과 3열이상, 방파제의상대높 이 0.6 이상일때 25% 이상의파랑에너지가반사되었다. 마 지막으로, 최대방향분산계수(smax), 방파제의상대높이(h/H) 및 상대폭(b/H)이증가할경우, 다방향불규칙파랑에너지의반 사율이증가함을확인하였다.
본연구에서는선형파이론에근거한수치해석을통해수 중방파제의적용성을평가하였다. 하지만, 실제해역에서는 파랑의방향성분및주기성분사이의비선형효과역시존 재할것이므로, 3차원수리모형실험및비선형의해석이가 능한수치모형을통해보다심층적인검증이필요할것으 로사료된다.
Fig. 7.Energy reflection coefficient as varying wave period (h/ H= 0.6, m= 4).
Fig. 8.Energy reflection coefficient as varying relative height of submerged breakwaters (smax= 25, m= 4).
Fig. 9.Energy reflection coefficient as varying breadth of sub- merged breakwaters (smax= 25, m= 4, h/H= 0.5).
감사의 글
본연구는해양수산부해양한국발전프로그램에의해지 원되었습니다.
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Received November 14, 2006 Accepted January 30, 2007
