Estimation for Weibull distribution based on generalized adaptive progressive hybrid censored sample ^†

2020, 31

6)

1121–1135

일반화된 조정 점진적 복합 중도절단에서 와이블 분포의 추론 ^†

ᄋ

ᅵ경준

¹

2

³

⁴

1대구대학교 수리빅데이터학부 ·²³⁴대구과학고등학교

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 10ᄋ ᅯ ᆯ 20ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 11ᄋ ᅯ ᆯ 10ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 11ᄋ ᅯ ᆯ 15ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄌ

ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ (progressive censoring) ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳ ᆫ ᄉ ᅢ ᆼᄌ ᅩ ᆫ ᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄀ ᅪ ᄀ ᅪ ᆫᄅ ᅧ ᆫᄃ ᅬ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄆ ᅡ ᆭᄋ ᅵ ᄉ ᅡᄋ ᅭ ᆼ ᄃ ᅬᄂ ᅳ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸ ᄋ

ᅵᄃ ᅡ. ᄒ ᅡᄌ ᅵᄆ ᅡ ᆫ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅦᄉ ᅥ mᄇ ᅥ ᆫᄍ ᅢ ᄉ ᅡᄆ ᅡ ᆼ ᄉ ᅵᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅵ ᄋ ᅵ ᆯᄋ ᅥᄂ ᅡ ᆯ ᄄ ᅢᄁ ᅡᄌ ᅵ ᄆ ᅡ ᆭᄋ ᅳ ᆫ ᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄉ ᅩᄋ ᅭ ᄃ ᅬ ᆯ ᄉ ᅮ ᄋ ᅵ

ᆻᄋ ᅳᄆ ᅳᄅ ᅩ ᄋ ᅵᄅ ᅥᄒ ᅡ ᆫ ᄃ ᅡ ᆫᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅩ ᄋ ᅪ ᆫ ᄒ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄌ ᅩᄌ ᅥ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ (adaptive progressive censoring) ᄇ

ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅵ ᄉ ᅩᄀ ᅢᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄃ ᅡ. ᄒ ᅡᄌ ᅵᄆ ᅡ ᆫ ᄋ ᅵ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸ ᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ mᄇ ᅥ ᆫᄍ ᅢ ᄉ ᅡᄆ ᅡ ᆼᄋ ᅵ ᄋ ᅵ ᆯᄋ ᅥᄂ ᅡ ᆯ ᄄ ᅢᄁ ᅡᄌ ᅵ ᄆ ᅡ ᆭᄋ ᅳ ᆫ ᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄉ ᅩᄋ ᅭ ᄃ ᅬ ᆯ ᄉ ᅮ ᄋ ᅵ ᆻᄃ ᅡ ᄂ

ᅳ ᆫ ᄃ ᅡ ᆫᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅵ ᄌ ᅩ ᆫ ᄌ ᅢᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄎ ᅬ ᄀ ᅳ ᆫ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄌ ᅩᄌ ᅥ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫ ᄒ

ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄌ ᅩᄌ ᅥ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸ ᄉ ᅡ ᆼ ᄒ ᅪ ᆼᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄋ ᅪᄋ ᅵᄇ ᅳ ᆯ ᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩ (Weibull distribution)ᄋ ᅴ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄃ ᅳ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄎ ᅮ ᄌ ᅥ

ᆼᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄋ ᅵᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅱᄒ ᅢ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼ (maximumm likelihood estimator)ᄀ ᅪ ᄇ ᅦᄋ ᅵᄌ ᅳ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼ (Bayes estimator)ᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄌ ᅩᄌ ᅥ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄋ ᅪᄋ ᅵᄇ ᅳ ᆯ ᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄋ ᅴ ᄆ ᅩᄉ ᅮᄃ ᅳ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼ ᄒ

ᅡᄋ ᅧ ᆻᄀ ᅩ, ᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅲ ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡᄋ ᅪ ᄅ ᅩᄀ ᅳᄇ ᅧ ᆫᄒ ᅪ ᆫᄃ ᅬ ᆫ ᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅲ ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄀ ᅮᄀ ᅡ ᆫᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅵ ᆯᄉ ᅵᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄄ ᅩᄒ ᅡ ᆫ, ᄃ ᅡᄋ ᅣ ᆼᄒ ᅡ ᆫ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄌ

ᅩᄌ ᅥ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄉ ᅡ ᆼ ᄒ ᅪ ᆼᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄆ ᅩ ᆫ ᄐ ᅦᄏ ᅡᄅ ᅳ ᆯ ᄅ ᅩ ᄆ ᅩᄋ ᅴᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅵ ᆯᄉ ᅵᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫ ᄌ ᅦᄀ ᅩ ᆸ ᄋ ᅩᄎ ᅡ ᄆ ᅵ ᆾ ᄑ ᅧ ᆫᄋ ᅴᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ

ᅡᄋ ᅧ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄃ ᅳ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅵᄀ ᅭᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄀ ᅩ, ᄉ ᅡᄅ ᅨ ᄌ ᅡᄅ ᅭᄅ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᆫ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄃ ᅳ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅨᄉ ᅡ ᆫᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄇ ᅦᄋ ᅵᄌ ᅳ ᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼ, ᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄀ ᅮᄀ ᅡ ᆫ, ᄋ ᅪᄋ ᅵᄇ ᅳ ᆯ ᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩ, ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼ.

1. 서론 ᄌ

ᅥᆷ진적 중도절단 (progressive censoring) 방법은 생존 실험과 관련된 연구에서 많이 사용되는 방법 ᄋ

ᅵ다. 점진적 중도절단 방법은 첫 번째 사망 시점 (failure time; X1:m:n)이 측정되었을 때 남아있는 n − 1개의 개체 중무작위로 R¹개를 중도절단 시키고, 두 번째 사망 시점 (X2:m:n)이 측정되었을때 남 ᄋ

ᅡ있는 n − R1− 2개의 개체 중무작위로 R2개를 중도절단 시키고 이러한 실험을반복적으로 진행하다 ᄆ

ᅡ지막 m번째 사망 시점 (Xm:m:n)이 측정되었을때 남아있는모든개체 (Rm= n − m −Pm−1 i=1 Ri)를 ᄌ

ᅮᆼ도절단 시키는 방법을 말한다. 하지만 점진적 중도절단 방법에서 m번깨 사망 시점이 일어날 때까 ᄌ

ᅵ 많은 시간이 소요될 수 있으므로 이러한 단점을 보완한 방법으로 조정 점진적 중도절단 (adaptive progressive censoring)방법이 소개되었다 (Ng 등, 2010). 이 방법은시간 T1을지정하여 m번째 사망 ᄋ

ᅵ 일어나는시간이 T1이후 인 경우, T1 시간 이후에 발생하는사망 시점에서는점진적 중도절단이 일 ᄋ

ᅥ나지 않도록설계한 방법이다. 하지만 이 방법 역시 m번째 사망이 일어날 때까지 많은시간이 소요될

†

ᄇ ᅩ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄂ ᅳ ᆫ 2019ᄂ ᅧ ᆫᄃ ᅩ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄀ ᅪᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅩ ᄌ ᅡᄋ ᅲ ᆯᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮ ᄑ ᅳᄅ ᅩᄀ ᅳᄅ ᅢ ᆷᄋ ᅴ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄀ ᅧ ᆯᄀ ᅪᄅ ᅩ ᄉ ᅮᄒ ᅢ ᆼᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄋ ᅳ ᆷ.

1

ᄀ ᅭᄉ ᅵ ᆫᄌ ᅥᄌ ᅡ: (38453) ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᄌ ᅵ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆸ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄅ ᅩ 201, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄉ ᅮᄅ ᅵᄇ ᅵ ᆨᄃ ᅦᄋ ᅵᄐ ᅥᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄌ ᅩᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: indra [email protected]

2

(42110) ᄃ ᅢᄀ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄉ ᅮᄉ ᅥ ᆼᄀ ᅮ ᄃ ᅩ ᆼ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄅ ᅩ 154, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄀ ᅪᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅩᄃ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ, ᄀ ᅩᄃ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆨᄉ ᅢ ᆼ.

3

(42110) ᄃ ᅢᄀ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄉ ᅮᄉ ᅥ ᆼᄀ ᅮ ᄃ ᅩ ᆼ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄅ ᅩ 154, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄀ ᅪᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅩᄃ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ, ᄀ ᅩᄃ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆨᄉ ᅢ ᆼ.

4

(42110) ᄃ ᅢᄀ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄉ ᅮᄉ ᅥ ᆼᄀ ᅮ ᄃ ᅩ ᆼ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄅ ᅩ 154, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄀ ᅪᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅩᄃ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ, ᄀ ᅩᄃ ᅳ ᆼ ᄒ ᅡ ᆨᄉ ᅢ ᆼ.

ᄉ

ᅮ 있다는 단점이 존재하여, Lee와 Lee (2020)는최근 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 방법을 제 ᄋ

ᅡᆫ하였다.

이

ᆯ반화된 조정 점진적 복합 중도절단 방법은조정 점진적 중도절단 방법에서 최대한 실험을 진행할 ᄉ

ᅮ 있는시간 T2를추가한 방법이다. 따라서 만약 m번째 사망 시점이 T1 이전에 발생하면 일반적인 점 ᄌ

ᅵᆫ적 중도절단 방법, m 번재 사망시점이 T1과 T2 사이에 발생하면 조정 점진적 중도절단 방법, 그리고 m번재 사망시점이 T² 이후에 발생하면 조정 점진적 중도절단 방법으로 진행하다 T²에서 실험을 종료하 ᄀ

ᅩ 남아있는모든 실험 개체를점진적 중도절단 시키는방법이다. 즉, 일반화된조정 점진적 복합 중도 저

ᆯ단은 다음과 같은 3가지 경우를생각할 수 있고, 이를그림으로 나타내면 다음의 Figure 1.1과 같이 ᄂ

ᅡ타낼 수 있다.

Case 1: X1:m:n, X2:m:n, · · · , Xm:m:n, if Xm:m:n< T1,

Case 2: X1:m:n, X2:m:n, · · · , Xd₁:m:n, T1, · · · , Xm:m:n, if T1< Xm:m:n< T2, Case 3: X1:m:n, X2:m:n, · · · , Xd1:m:n, T1, · · · , T2, · · · , Xm:m:n, if T2< Xm:m:n.

Figure 1.1 Schematic illustration of generalized adaptive progressive hybrid censoring scheme

ᄋ

ᅵ러한 일반화된조정 점진적 중도절단 상황에서 자료가

f (x; α, λ) = αλx^α−1exp(−λx^α), F (x; αλ) = 1 − exp(−λx^α), ᄋ

ᅪ 같은 와이블 분포 (Weibull distribution)을 따를 때를 고려하고자 한다. 와이블 분포는 스웨덴의 ᄆ

ᅮ

ᆯ리학자 와이블 (Waloddi Weibull)이 1937년 재료의 파괴강도를 분석하면서 고안한 확률분포로 금

ᄉ

ᅩᆨ 및 복합재료의 강도, 전자 및 기계부품의 수명분포를 나타내는 데 적합한 확률분포이다. 중도절단 ᄑ

ᅭ본 하에서 와이블 분포의 모수 추정에 대한 연구를살펴보면, Kundu (2008)는 점진적 중도절단 하 ᄋ

ᅦ서 와이블 분포의 모수 추정을 베이즈 방법을 이용하여 추론하였고, Pareek 등 (2009)은 점진적 중 ᄃ

ᅩ절단 하에서 경쟁적 위험 (competing risks) 상황에서 와이블 분포의 모수를 추론하였다. Kundu와 Howlader(2010)는제 2종 중도절단 하에서 역와이블 분포의 모수를 추론하였고, Cho 등 (2015)은 일 ᄇ

ᅡᆫ화된 점진적 복합 중도절단 하에서 와이블 분포의 엔트로피를 베이즈 방법을 이용하여 추정하였다.

Lee 등 (2016)이 일반회된제 1종 복합 중도절단에서 베이즈 방법을이용하여 와이블 분포의 모수를추 저

ᆼ하였다.

ᄄ

ᅡ라서 본연구는 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 방법 상황에서 와이블 분포의 척도 모수를추 저

ᆼ하고자 한다. 기본적으로 최대우도추정량 (maximum likelihood estimator; MLE)은정확하게 구해 ᄌ

ᅵ지가 않으므로 뉴튼랩슨방법 (Newton-Raphson method)을이용하여 와이블 분포의 모수들을추정 ᄒ

ᅡ고, 감마 사전분포와 squared error, linex, general entropy 손실함수를이용한 베이즈 추정량을이용 ᄒ

ᅡ여 와이블 분포의 모수들을 추정하고자 한다. 또한, 정규근사와 로그변환된정규근사 방법을이용하 ᄋ

ᅧ 구간 추정을하고자 한다. 이러한 방법들을다양한 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 상황에서 몬 ᄐ

ᅦ카를로 모의실험 (Monte Carlo simulation)을 실시하여 평균제곱오차 (mean squared error; MSE) 미

ᆾ 편의 (bias)를이용하여 제안한 방법들을비교한 후, 실제 사례 데이터를이용하여 와이블 분포의 모 ᄉ

ᅮ들을추정하고자 한다.

2. 추정량

2.1. 최대우도추정량 이

ᆯ반화된 조정 점진적 복합 중도절단 상황에서의 우도함수는 Lee와 Lee (2020)에 의하면 다음과 같 ᄋ

ᅵ 나타낼 수 있다.

L(α, λ)

=





















 K1Qm

i=1f (xi:m:n)[1 − F (xi:m:n)]^Ri, xm:m:n< T1,

K2Qd1

i=1f (xi:m:n)[1 − F (xi:m:n)]^RiQm

i=d₁f (xi:m:n)[1 − F (xm:m:n)]^R∗m, T1 < xm:m:n< T 2,

K3Qd₁

i=1f (xi:m:n)[1 − F (xi:m:n)]^RiQd₂

i=d₁f (xi:m:n)[1 − F (T2)]^R∗d2, T2 < xm:m:n, ᄋ

ᅧ기서,

K1=

m

Y

i=1 m

X

j=i

(1 + Rj), K2=

m

Y

i=1 m

X

j=i

(1 + Rj), K3=

d₂

Y

i=1 m

X

j=i

(1 + Rj),

R^∗m= n −

d₁

X

i=1

Ri− m, R^∗d₂= n −

d₁

X

i=1

−d2.

ᄀ

ᅳ리고 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 상황에서 와이블 분포를따르는자료를이용하게 되면 위의 ᄋ

ᅮ도함수는다음과 같이 나타낼 수 있다.

L(α, λ) =























K1(αλ)^mQm

i=1x^α−1_i:m:nexp(−λx^α_i:m:n(1 + Ri)), xm:m:n< T1,

K2(αλ)^mQm

i=1x^α−1_i:m:nexp(−λx^αi:m:n(1 + Ri)), T1< xm:m:n< T 2,

K3(αλ)^d2Qd2

i=1x^α−1_i:m:nexp(−λx^α_i:m:n(1 + Ri)) exp(−λT2^αR^∗_d2), T2< xm:m:n, ᄋ

ᅧ기서, Case 2의 경우 Rd1+1 = · · · = Rm−1 = 0, Rm = R^∗m이고, Case 3의 경우 Rd1+1 = · · · = Rd₂= 0이다. 따라서 로그우도함수는

log L(α, λ) =



























m log(αλ) + (α − 1)Pm

i=1log xi:m:n− λPm

i=1x^α_i:m:n(1 + Ri),

xm:m:n< T1, m log(αλ) + (α − 1)Pm

i=1log xi:m:n− λPm

i=1x^αi:m:n(1 + Ri),

T1< xm:m:n< T 2, d2log(αλ) + (α − 1)Pd2

i=1log xi:m:n− λh Pd2

i=1x^α_i:m:n(1 + Ri) + T2^αR^∗_d2i , T2< xm:m:n

ᄋ

ᅪ 같고 이를하나의 식으로 결합하여 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

log L(α, λ) = U log(αλ) + (α − 1)

U

X

i=1

log xi:m:n− λ

" _U X

i=1

x^αi:m:n(1 + Ri) + κ(α)

# ,

ᄋ

ᅧ기서, Case 3의 경우 U = d2, κ(α) = T₂^αR^∗_d2이고, 나머지 Case 1과 2의 경우 U = m, κ(α) = 0이다.

ᄄ

ᅡ라서, 추정하고자 하는모수 α와 λ에 대하여 미분한 식은다음과 같이 나타낼 수 있다.

∂ log L(α, λ)

∂α =U α +

U

X

i=1

log xi:m:n− λ

" _U X

i=1

xi:m:n(1 + Ri) log xi:m:n+ κ¹(α)

#

, (2.1)

∂ log L(α, λ)

∂λ =U λ −

U

X

i=1

x^α_i:m:n(1 + Ri) − κ(α), (2.2)

ᄋ

ᅧ기서, Case 3의 경우 κ¹(α) = T2^αlog T2R^∗_d2이고, 나머지 Case 1과 2의 경우 κ¹(α) = 0이다. 따라서 ᄋ

ᅱ의 (2.2)를 0과 같다고 한다면

λ(α) =ˆ U PU

i=1x^α_i:m:n(1 + Ri) − κ(α), (2.3) ᄀ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. (2.3)을 (2.1)에 대입하여 (2.1)을 0과 같다고 한다면

t(α) = α

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 여기서,

t(α) = U

λ hPU

i=1xi:m:n(1 + Ri) log xi:m:n+ κ¹(α) i

−PU

i=1log xi:m:n

. (2.4)

(2.4)로부터 α의 최대우도추정값인 ˆα를 구하기 위해 Kundu (2008) 및 Lee 등 (2016, 2020a, 2020b)이 사용한 간단한 알고리즘을 사용하였다. 이 알고리즘은 추정하고자 하는 모수인 α의 초기 ᄀ

ᅡ

ᆹ으로 α⁰를 임의로 설정한 후 (2.4)에 α⁰의 값을대입하여 α¹ = t(α⁰)를계산한다. 이러한 과정을계 ᄉ

ᅩ

ᆨ반복하여 |αⁿ⁺¹− αⁿ| < ϵ이될때 계산 과정을 종료하여 추정하고자 하는모수인 α의 최대우도추정 ᄀ

ᅡ

ᆹ ˆα를구할 수 있다. 이러한 ˆα를 (2.3)에 대입하여 또 다른추정하고자 하는모수인 λ의 최대우도추정 ᄀ

ᅡ

ᆹ ˆλ를구할 수 있다.

ᄄ

ᅩ한, (2.1)과 (2.2)를모수 α와 λ에 대하여 한번 더 미분하게 되면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

L20=∂²log L(α, λ)

∂α² = −U α² − λ

" _U X

i=1

xi:m:n(1 + Ri)(log xi:m:n)²+ κ²(α)

# ,

L11=∂²log L(α, λ)

∂α∂λ = −

U

X

i=1

xi:m:n(1 + Ri) log xi:m:n− κ¹(α),

L02=∂²log L(α, λ)

∂λ² = −U λ², ᄋ

ᅧ기서, Case 3의 경우 κ²(α) = T2^α(log T2)²R^∗_d2이고, 나머지 Case 1과 2의 경우 κ²(α) = 0이다. 이를 ᄋ

ᅵ용하여 피셔 정보 행렬 (Fisher information matrix)을 I(α, λ)라고 할 때,

I⁻¹( ˆα, ˆλ) = −L20 −L11

−L11 −L02

!−1 (α,λ)=( ˆα,ˆλ)

= τ11 τ12

τ21 τ22

!

(2.5)

ᄀ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다. 여기서,

τ11= − L02

L20L02− L²₁₁, τ22= − L20

L20L02− L²₁₁, τ12= τ21= L11

L20L02− L²₁₁. ᄄ

ᅡ라서 최대우도추정량의 정규근사 (normal approximation)를이용하면, ( ˆα − α)/pV ar(ˆα)와 (ˆλ − λ)/

q

V ar(ˆλ)는각각근사적으로 표준정규분포를 따르게 되므로 α와 λ의 100(1 − β)%의 신뢰구간은 ᄀ

ᅡ

ᆨ각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

( ˆαN L, ˆαN U) =

 ˆ α − zβ/2

q

V ar( ˆ\α), ˆα + zβ/2

q V ar( ˆ\α)

 ,

ˆλN L, ˆλN U



=

 ˆλ − zβ/2

q

V ar(ˆ\λ), ˆλ + zβ/2

q V ar(ˆ\λ)

 ,

ᄋ

ᅧ기서 zβ/2는표준정규분포에서 상위 β/2에 해당하는지점의 값이다.

ᄄ

ᅩ한, 모수 α와 λ의근사된신뢰구간을구하기 위해 로그 변환을사용하였다. 로그 변환된최대우도 ᄎ

ᅮ정량의 정규근사를이용하면, (log( ˆα)−log(α))/pV ar(log(ˆα))와 (log(ˆλ)−log(λ))/

q

V ar(log(ˆλ))는 ᄀ

ᅡ

ᆨ각근사적으로 표준정규분포를따르게 되므로 α와 λ의 100(1 − β)%의 신뢰구간은각각 다음과 같이 ᄂ

ᅡ타낼 수 있다.

( ˆαLL, ˆαLU) =



ˆα exp







−zβ/2

q V ar( ˆ\α)

ˆ α





 , ˆα exp





 zβ/2

q V ar( ˆ\α)

ˆ α









,

ˆλLL, ˆλLU



=



λ expˆ







−zβ/2

q V ar(ˆ\λ)

λˆ





 , ˆλ exp





 zβ/2

q V ar(ˆ\λ)

ˆλ









.

2.2. 베이즈 추정량 ᄃ

ᅡ음으로 베이즈 추정방법을 이용하여 와이블 분포의 모수를 추정하기 위해 먼저 손실함수 (loss function)로 squared error, linex loss, general entropy 손실함수를 고려하였다. 추정하고자 하는 모 ᄉ

ᅮ가 θ라고 할 때, 좌우대칭인 손실함수인 squared error 손실함수는 L1(θ, ˆθ) = (θ − ˆθ)²로 정의되고, squared error 손실함수에서의 베이즈 추정량은모수의 사후분포평균 (posterior mean)으로 구할 수 있 ᄃ

ᅡ. 그리고 비대칭인 손실함수 중하나인 linex 손실함수는 L2(θ, ˆθ) = exp[ξ(ˆθ − θ)] − ξ(ˆθ − θ) − 1로 저

ᆼ의되고, linex 손실함수에서 베이즈 추정치는 ˆθL = −[log Eθ(exp(−ξθ)|X)]/ξ로 구할수 있다.

ᄋ

ᅧ기서 ξ는 비대칭의 정도를 나타낸다. 역시나 비대칭인 손실함수인 general entropy 손실함수는 L3(θ, ˆθ) = (ˆθ/θ)^η− η log(ˆθ/θ) − 1으로 정의되고, general entropy 손실함수에서 베이즈 추정치는 θˆE= [Eθ(θ^−η|X)]^−1/η로 구할 수 있다.

ᄄ

ᅩ한, 와이블 분포의 모수 α와 λ는서로 독립이고 각각 모수가 (c, d)와 (a, b)인 감마 사전분포를 따 ᄅ

ᅳ

ᆫ다고 가정하였다. 이로 인해 와이블 분포의 모수 α와 λ의 결합 사전분포 (joint prior distribution)는

π(α, λ) ∝ α^c−1λ^a−1exp(−dα − bλ) ᄋ

ᅪ 같다. 따라서 와이블 분포의 모수 α와 λ, 그리고 XXX = (x1:m:n, · · · , xU :m:n)의 결합분포 (joint den- sity)는다음과 같다.

π(α, λ, XXX) ∝ α^{U +c−1}λ^{U +a−1}

U

Y

i=1

x^α−1_i:m:nexp[−λ(b + (1 + Ri)x^α_i:m:n+ W (α)) − dα].

ᄋ

ᅵ러한 결합분포를이용하여 XXX가 주어였을때, 와이블 분포의 모수 α와 λ의 사후 분포 (posterior dis- tribution)는

π(α, λ|XXX) ∝ π(α, λ, XXX) R∞

0

R∞

0 π(α, λ, XXX)dαdλ

ᄋ

ᅪ 같지만, 분모의 적분이 정확하게 계산이 되지 않아, 이를근사하여 계산하는 Lindley의 근사방법을 ᄋ

ᅵ용하여 베이즈 추정량을구하고자 한다.

g를모수 α와 λ의 함수라고 할 때, 두 모수 α와 λ를추정하는 Lindley근사식은다음과 같다.

ˆ

g = g( ˆα, ˆλ) +1

2(A + L30B12+ L03B21+ L21C12+ L12C21) + p1A12+ p2A21, (2.6) ᄋ

ᅧ기서,

A =

2

X

i=1 2

X

j=1

uijτij, Lij= ∂^i+jL(α, λ)

∂αⁱ∂λ^j , p = log π(α, λ), p1= ∂p

∂α, p2= ∂p

∂λ, u1=∂g(α, λ)

∂α , u2= ∂g(α, λ)

∂λ , u11= ∂²g(α, λ)

∂α² , u12= u21=∂²g(α, λ)

∂α∂λ , u22=∂²g(α, λ)

∂λ² . ᄋ

ᅱ의 식에 대입하기 위해 먼저 미분된로그 우도 함수를다음과 같이 구할 수 있다.

L30=∂³log L(α, λ)

∂α³ =2U α³ − λ

" _U X

i=1

x^αi:m:n(1 + Ri)(log xi:m:n)³+ κ³(α)

# ,

L12=∂³log L(α, λ)

∂α∂λ² = −

" _U X

i=1

x^α_i:m:n(1 + Ri)(log xi:m:n)²+ κ²(α)

# ,

L21=∂³log L(α, λ)

∂α²∂λ = 0, L03= ∂³log L(α, λ)

∂λ³ = 2U λ³, ᄋ

ᅧ기서, Case 3의 경우 κ³(α) = T₂^α(log T2)³R_d^∗₂이고, 나머지 Case 1과 2의 경우 κ³(α) = 0이다. 또한,

p1 =c − 1

α − d, p2=a − 1 λ = −b ᄋ

ᅪ 같다.

ᄆ

ᅥᆫ저 squared error 손실함수 하에서 Lindley의근사 방법을이용한 α의 베이즈 추정량을구하기 위 ᄒ

ᅢ서 g(α, λ) = α라고 한다면, (2.6)에서 u1= 1, u2 = u11= u12= u21= u22= 0라고 구할 수 있다.

ᄄ

ᅡ라서 (2.6)을이용하여 squared error 손실함수 하에서 α의 베이즈 추정량은다음과 같다.

ˆ

αs= ˆα +L30L²02− L03L11L20− 3L21L02L11

2(L20L02− L²₁₁)² −p1L02− p2L11

L20L02− L²₁₁ . (2.7) ᄋ

ᅵ와같은방법으로 (2.6)을이용하여 squared error 손실함수 하에서 λ의 베이즈 추정량은다음과 같다.

λˆs= ˆλ +−L30L11L02+ L03L²20+ L21L02L20+ 2L21L²11

2(L20L02− L²₁₁)² +p1L11− p2L20

L20L02− L²₁₁. (2.8) ᄃ

ᅡ음으로 linex 손실함수 하에서 Lindley의근사 방법을이용한 α의 베이즈 추정량을구하기 위해서 g(α, λ) = exp(−ξα)라고 한다면, (2.6)에서 u1 = −ξ exp(−ξα), u11 = ξ²exp(−ξα), u2 = u12 =

u21= u22 = 0라고 구할 수 있다. 따라서 (2.6)을이용하여 linex 손실함수 하에서 α의 베이즈 추정량 ᄋ

ᅳ

ᆫ다음과 같다.

ˆ αl= −1

ξlog



exp(−ξ ˆα) +u1L30L²₀₂− u1L03L11L20− 3u1L21L02L11

2(L20L02− L²₁₁)²

−u11L02+ 2p1u1L02− 2p2u1L11

2(L20L02− L²₁₁)



. (2.9)

ᄋ

ᅵ와같은방법으로 (2.6)을이용하여 linex 손실함수 하에서 λ의 베이즈 추정량은다음과 같다.

λˆl= −1 ξlog



exp(−ξˆλ) + −u2L30L11L02+ u2L03L²₂₀+ u2L21L02L20+ 2u2L21L²₁₁ 2(L20L02− L²₁₁)²

−u22L20− 2u2p1L11+ 2u2p2L20

2(L20L02− L²₁₁)



. (2.10)

ᄄ

ᅩ한, general entropy 손실함수 하에서 Lindley의근사 방법을이용한 α의 베이즈 추정량을구하기 ᄋ

ᅱ해서 g(α, λ) = α^−η라고 한다면, (2.6)에서 u1 = −ηα^−η−1, u11 = η(η + 1)α^−η−2, u2 = u12 = u21= u22= 0라고 구할 수 있다. 따라서 (2.6)을이용하여 general entropy 손실함수 하에서 α의 베이 ᄌ

ᅳ 추정량은다음과 같다.

ˆ αe=

 ˆ

α^−η+u1L30L²₀₂− u1L03L11L20− 3u1L21L02L11

2(L20L02− L²₁₁)²

−u11L02+ 2p1u1L02− 2p2u1L11

2(L20L02− L²₁₁)

−_η¹

. (2.11)

ᄋ

ᅵ와같은방법으로 (2.6)을이용하여 general entropy 손실함수 하에서 λ의 베이즈 추정량은다음과 같 ᄃ

ᅡ.

λˆe=



ˆλ^−η+−u2L30L11L02+ u2L03L²₂₀+ u2L21L02L20+ 2u2L21L²₁₁ 2(L20L02− L²₁₁)²

−u22L20− 2u2p1L11+ 2u2p2L20

2(L20L02− L²₁₁)

−_η¹

. (2.12)

3. 모의 실험과 실제 사례

3.1. 사례분석 ᄋ

ᅡ

ᇁ서 2절에서 제시된최대우도추정량과 베이즈 추정량들을사용하여 실제 사례 데이터를 통해 분석을 시

ᆯ시하고자 한다. 분석에 사용할 데이터는 비행기에서 사용되는 공기 정화장치 부품의 고장 시간 자료 (Linhart와 Zucchini, 1986)를이고, 공기 정화장치 부품의 고장 시간 데이터는 Anderson-Darling 통계 ᄅ

ᅣᆼ을 통해 와이블 분포를따른다는 것을 알 수 있다 (Anderson-Darling 통계량 = 0.552, p = 0.159).

ᄋ

ᅵ 데이터를점진적 중도절단 상황 (m = 25, RRR = (0 ∗ 18, 1 ∗ 5, 0 ∗ 2))을적용하면 다음과 같다.

1, 3, 5, 7, 11, 11, 11, 12, 14, 14, 14, 16, 16, 20, 21, 23, 42, 47, 52, 62, 71, 87, 90, 120, 225

ᄋ

ᅱ의 데이터를 이용하여 일반화된 조정 점진적 복합 중도절단 상황을 따르는 경우를 적용하였다 (scheme 1: T1 = 70, T2 = 100, scheme 2: T1 = 40, T2 = 100, scheme 3: T1 = 40, T2 = 60. 베이 ᄌ

ᅳ 추정을위해 사전 분포의 모수를모두 0.0001로 두었다. 그리고 linex 손실함수 하에서 베이즈 추정 ᄅ

ᅣᆼ은 ξ = 0.5와 ξ = −0.5로 설정하였고, general entropy 손실함수 하에서 베이즈 추정량은 η = 0.5와 η = −0.5로 설정하였다. 이에 대한 최대우도추정량과 베이즈 추정량을 계산한 결과는 다음의 Table 3.1과 같다.

Table 3.1 Estimates of the parameters for example

Scheme α ˆ α ˆ

α ˆ

(ξ = −.5) α ˆ

(ξ = .5) α ˆ

(η = −.5) α ˆ

(η = .5) LT NA λ ˆ ˆ λ

ˆ λ

(ξ = −.5) λ ˆ

(ξ = .5) λ ˆ

(η = −.5) λ ˆ

(η = .5)

1 .85750 .85372 .85929 .85327 .84726 .86637 (.60960, 1.20620) (.56491, 1.15008) .03246 .03860 .03869 .02602 .03538 .03237 (.00933, .11291) (.00000, .07292) 2 .81871 .81527 .82040 .81490 .80904 .82671 (.58115, 1.15338) (.53812, 1.09930)

.03602 04245 .04256 .02925 .03904 .03592 (.01068, .12150) (.00000, .07982) 3 .85683 85294 .86027 .84874 .84443 .86759 (.57916, 1.26762) (.52124, 1.19242)

.03246 .03929 .03940 .02529 .03565 .03236 (.00862, .12217) (.00000, .07547)

3.2. 모의 실험 ᄋ

ᅡ

ᇁ선 2절에서 구한 최대우도추정량과 베이즈 추정량들을비교하기 위하여 평균제곱오차와 편의를 몬 ᄐ

ᅦ카를로 모의실험을이용하여 비교하였다. 여기서 1,000의 실험이 반복 시행되었고 표본의 수를 20, 30, 40으로 하여 세 가지 (1. 마지막에 점진적 중도절단이 발생하는경우, 2. 처음에 점진적 중도절단이 ᄇ

ᅡᆯ생하는경우, 3. 처음과 마지막에 점진적 중도절단이 발생하는경우)의 점진적 중도절단 상황을구성 ᄒ

ᅡ였다. 여기에 점진적 중도절단 표본수, T1, T2를다양하게 설정하여 일반화된조정 점진적 복합 중도 저

ᆯ단 상황을구성하였다. 즉, 점진적 중도절단 표본을생성하였을때, Xm:m:n< T1이면 일반화된조정 ᄌ

ᅥᆷ진적 복합 중도절단의 case 1에 해당하고, T¹< Xm:m:n< T2이면 일반화된조정 점진적 복합 중도절 ᄃ

ᅡᆫ의 case 2에 해당하고, T2 < Xm:m:n이면 일반화된조정 점진적 복합 중도절단의 case 3에 해당하여 ᄑ

ᅭ본을구성하였다.

ᄆ

ᅩ의실험에서 모수의 값은모두 1로 모든경우에 동일하게 두었고, 베이즈 추정에서 사전분포의 모수 느

ᆫ모두 동일하게 a = b = c = d = 0.0001로 두었다. Squared, linex, general entropy 손실함수 하에 ᄉ

ᅥ 베이즈 추정값들은구하였고, linex 손실함수 하에서는 ξ = −0.5와 ξ = 0.5일 때 베이즈 추정값을구 ᄒ

ᅡ였고, general entropy 손실함수 하에서는 η = −0.5와 η = −0.5일 때 베이즈 추정값을구하였다. 마 ᄌ

ᅵ막으로 추정량들을비교하기 위해서 다양한 경우의 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 상황 하에서 bias와 RMSE를비교하였다. 그 결과는아래의 Table 3.2와 3.3과 같다. Table 3.2에서괄호에 나타나 이

ᆻ는값은편의,괄호로 나타나 있지 않은값은평균제곱오차를나타낸다.

Table 3.2 Relative MSE and bias for the MLE and Bayesian estimators of the parameters T

T

n m R R R α ˆ α ˆ

α ˆ

(ξ = −.5) α ˆ

(ξ = .5) α ˆ

(η = −.5) α ˆ

(η = .5)

λ ˆ ˆ λ

ˆ λ

(ξ = −.5) ˆ λ

(ξ = .5) λ ˆ

(η = −.5) ˆ λ

(η = .5) 1.0 1.5 20 18 (0*17,2)

.0687(.0693) .0673(.0639) .0725(.0784) .0626(.0494) .0646(.0509) .0729(.0928)

.0956(.0402) .0935(.0321) .1023(.0508) .0858(.0135) .0904(.0153) .1082(.0707) (2,0*17) .0680(.0665) .0666(.0618) .0721(.0771) .0617(.0465) .0639(.0480) .0706(.0847) .0974(.0418) .0944(.0314) .1029(.0518) .0871(.0111) .0914(.0129) .1078(.0694) (1,0*16,1) .0676(.0637) .0662(.0586) .0714(.0734) .0616(.0438) .0637(.0453) .0696(.0880) .0950(.0366) .0925(.0274) .1006(.0467) .0855(.0082) .0897(.0099) .1067(.0694) 16 (0*15,4) .0744(.0772) .0731(.0720) .0795(.0878) .0673(.0566) .0698(.0584) .0830(.1052) .1319(.0743) .1314(.0673) .1494(.0898) .1151(.0449) .1241(.0487) .1504(.1097) (4,0*15) .0712(.0623) .0704(.0588) .0764(.0752) .0650(.0425) .0674(.0441) .0714(.0794) .1147(.0585) .1107(.0455) .1229(.0694) .1003(.0219) .1063(.0245) .1335(.0945) (2,0*14,2) .0692(.0639) .0682(.0595) .0740(.0750) .0631(.0440) .0654(.0456) .0739(.0873) .1192(.0597) .1168(.0497) .1304(.0718) .1049(.0279) .1118(.0307) .1395(.0959) 14 (0*13,6) .1214(.1459) .1192(.1410) .1325(.1612) .1070(.1210) .1121(.1247) .1396(.1772) .1818(.1204) .1873(.1169) .2262(.1480) .1521(.0854) .1711(.0935) .2066(.1569) (6,0*13) .0900(.0928) .0888(.0905) .0979(.1094) .0807(.0717) .0843(.0741) .0873(.1056) .1257(.0591) .1207(.0426) .1352(.0702) .1087(.0156) .1156(.0188) .1490(.0975) (3,0*12,3) .0982(.1086) .0968(.1048) .1063(.1229) .0882(.0867) .0919(.0894) .1121(.1432) .1468(.0763) .1449(.0660) .1662(.0922) .1263(.0401) .1366(.0445) .1734(.1235) 30 28 (0*27,2) .0398(.0406) .0392(.0370) .0412(.0459) .0374(.0281) .0382(.0286) .0377(.0510) .0513(.0276) .0503(.0222) .0529(.0338) .0480(.0106) .0492(.0112) .0553(.0445) (2,0*27) .0414(.0414) .0408(.0382) .0430(.0477) .0389(.0289) .0397(.0295) .0397(.0520) .0559(.0301) .0547(.0238) .0577(.0364) .0520(.0113) .0535(.0121) .0581(.0473) (1,0*26,1) .0414(.0417) .0409(.0383) .0430(.0475) .0390(.0292) .0398(.0298) .0381(.0501) .0527(.0287) .0516(.0228) .0544(.0349) .0492(.0108) .0505(.0115) .0553(.0442) 24 (0*23,6) .0504(.0606) .0497(.0572) .0526(.0670) .0471(.0475) .0481(.0484) .0543(.0796) .0768(.0456) .0767(.0406) .0846(.0539) .0695(.0273) .0738(.0288) .0831(.0685) (6,0*23) .0491(.0510) .0487(.0489) .0516(.0596) .0460(.0383) .0471(.0391) .0482(.0624) .0741(.0375) .0726(.0292) .0780(.0443) .0678(.0143) .0706(.0155) .0781(.0584) (3,0*22,3) .0471(.0516) .0465(.0487) .0492(.0586) .0441(.0388) .0451(.0396) .0489(.0677) .0703(.0354) .0694(.0289) .0751(.0424) .0643(.0154) .0674(.0166) .0772(.0585) 22 (0*21,8) .0608(.0773) .0600(.0740) .0640(.0849) .0563(.0632) .0577(.0644) .0653(.0970) .0829(.0579) .0833(.0536) .0926(.0686) .0747(.0385) .0793(.0406) .0895(.0815) (8,0*21) .0545(.0508) .0541(.0494) .0575(.0608) .0510(.0380) .0524(.0389) .0525(.0612) .0756(.0333) .0738(.0237) .0789(.0399) .0693(.0075) .0719(.0087) .0785(.0558) (4,0*20,4) .0541(.0562) .0536(.0536) .0568(.0640) .0507(.0432) .0519(.0441) .0564(.0749) .0719(.0343) .0709(.0275) .0763(.0418) .0661(.0133) .0688(.0145) .0802(.0615) 40 38 (0*37,2) .0311(.0309) .0308(.0282) .0319(.0348) .0298(.0217) .0302(.0220) .0300(.0414) .0393(.0209) .0387(.0168) .0402(.0254) .0374(.0083) .0381(.0086) .0395(.0342) (2,0*37) .0312(.0315) .0309(.0291) .0321(.0359) .0299(.0223) .0303(.0226) .0306(.0405) .0425(.0231) .0418(.0186) .0434(.0277) .0403(.0096) .0411(.0100) .0419(.0351) (1,0*36,1) .0310(.0320) .0306(.0295) .0318(.0362) .0296(.0228) .0300(.0232) .0302(.0410) .0406(.0227) .0399(.0184) .0415(.0272) .0386(.0096) .0393(.0100) .0404(.0347) 34 (0*33,6) .0309(.0372) .0306(.0346) .0318(.0412) .0295(.0279) .0299(.0283) .0315(.0482) .0410(.0280) .0404(.0239) .0422(.0327) .0388(.0152) .0396(.0156) .0446(.0430) (6,0*33) .0340(.0420) .0337(.0401) .0352(.0476) .0323(.0326) .0328(.0331) .0321(.0475) .0464(.0336) .0455(.0280) .0477(.0384) .0435(.0178) .0445(.0184) .0465(.0452) (3,0*32,3) .0320(.0392) .0317(.0368) .0330(.0439) .0304(.0298) .0309(.0302) .0304(.0439) .0417(.0295) .0410(.0247) .0428(.0341) .0393(.0154) .0401(.0159) .0435(.0401) 32 (0*31,8) .0342(.0413) .0339(.0387) .0353(.0457) .0326(.0318) .0331(.0322) .0357(.0566) .0446(.0346) .0440(.0307) .0462(.0399) .0420(.0215) .0430(.0221) .0477(.0532) (8,0*31) .0364(.0355) .0361(.0341) .0377(.0418) .0347(.0263) .0353(.0268) .0339(.0427) .0459(.0280) .0450(.0219) .0472(.0327) .0431(.0111) .0441(.0117) .0475(.0434) (4,0*30,4) .0327(.0333) .0324(.0311) .0337(.0383) .0312(.0240) .0317(.0244) .0330(.0445) .0426(.0261) .0419(.0212) .0437(.0308) .0403(.0116) .0411(.0120) .0453(.0423)

†

(0*17,2): (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2)

T

T

n m R R R α ˆ α ˆ

α ˆ

(ξ = −.5) α ˆ

(ξ = .5) α ˆ

(η = −.5) α ˆ

(η = .5) λ ˆ ˆ λ

ˆ λ

(ξ = −.5) ˆ λ

(ξ = .5) λ ˆ

(η = −.5) ˆ λ

(η = .5) 1.0 1.8 20 18 (0*17,2) .0653(.0730) .0638(.0674) .0685(.0805) .0518(.0470) .0614(.0556) .0605(.0261)

.0941(.0433) .0917(.0358) .1005(.0539) .0644(.0026) .0885(.0198) .0861(-.0163)

(2,0*17) .0632(.0649) .0619(.0598) .0664(.0734) .0503(.0366) .0596(.0475) .0598(.0218)

.0923(.0381) .0891(.0283) .0967(.0475) .0687(.0037) .0864(.0110) .0876(-.0215)

(1,0*16,1) .0624(.0683) .0610(.0629) .0654(.0762) .0500(.0419) .0587(.0510) .0599(.0198)

.0922(.0403) .0894(.0318) .0973(.0501) .0662(.0035) .0865(.0152) .0862(-.0229)

16 (0*15,4) .0737(.0842) .0724(.0791) .0787(.0941) .0521(.0486) .0690(.0661) .0646(.0322)

.1305(.0794) .1297(.0728) .1480(.0950) .0677(.0072) .1221(.0545) .1127(.0137)

(4,0*15) .0644(.0600) .0635(.0559) .0685(.0706) .0481(.0243) .0611(.0427) .0631(.0160)

.1110(.0563) .1068(.0439) .1182(.0663) .0751(.0152) .1027(.0243) .1004(-.0141)

(2,0*14,2) .0665(.0676) .0654(.0629) .0706(.0772) .0490(.0342) .0628(.0502) .0612(.0190)

.1191(.0629) .1163(.0535) .1300(.0749) .0720(.0101) .1111(.0353) .1044(-.0049)

14 (0*13,6) .1211(.1506) .1189(.1458) .1323(.1657) .0706(.0897) .1117(.1296) .1003(.0936)

.1802(.1234) .1857(.1200) .2247(.1511) .0685(-.0180) .1693(.0967) .1449(.0499)

(6,0*13) .0779(.0849) .0767(.0819) .0837(.0986) .0543(.0380) .0731(.0672) .0771(.0429)

.1210(.0518) .1158(.0361) .1288(.0616) .0819(.0103) .1112(.0138) .1089(-.0247)

(3,0*12,3) .0994(.1209) .0979(.1171) .1075(.1344) .0644(.0701) .0928(.1025) .0838(.0599)

.1449(.0854) .1426(.0757) .1643(.1016) .0688(.0074) .1338(.0547) .1239(.0046)

30 28 (0*27,2) .0350(.0388) .0344(.0350) .0360(.0430) .0310(.0258) .0336(.0275) .0366(.0124)

.0506(.0276) .0494(.0225) .0520(.0335) .0434(.0088) .0484(.0122) .0479(-.0098)

(2,0*27) .0368(.0397) .0363(.0362) .0380(.0445) .0323(.0246) .0354(.0283) .0380(.0125)

.0527(.0287) .0514(.0228) .0541(.0346) .0454(.0100) .0503(.0118) .0520(-.0104)

(1,0*26,1) .0354(.0378) .0348(.0342) .0364(.0423) .0313(.0240) .0340(.0265) .0381(.0132)

.0504(.0266) .0492(.0211) .0518(.0325) .0436(.0081) .0482(.0105) .0491(-.0102)

24 (0*23,6) .0500(.0663) .0493(.0628) .0522(.0722) .0409(.0465) .0477(.0544) .0455(.0312)

.0761(.0501) .0758(.0453) .0838(.0584) .0567(.0155) .0727(.0338) .0691(.0063)

(6,0*23) .0447(.0499) .0442(.0474) .0466(.0569) .0374(.0279) .0429(.0386) .0447(.0200)

.0694(.0352) .0678(.0273) .0727(.0414) .0538(.0120) .0660(.0144) .0680(-.0106)

(3,0*22,3) .0454(.0550) .0447(.0519) .0471(.0609) .0380(.0360) .0434(.0436) .0429(.0219)

.0698(.0385) .0688(.0323) .0745(.0453) .0536(.0117) .0667(.0206) .0645(-.0070)

22 (0*21,8) .0596(.0823) .0587(.0791) .0628(.0898) .0460(.0564) .0564(.0696) .0539(.0457)

.0813(.0619) .0817(.0576) .0911(.0726) .0452(.0159) .0776(.0447) .0726(.0159)

(8,0*21) .0489(.0488) .0484(.0468) .0511(.0569) .0397(.0227) .0470(.0374) .0497(.0187)

.0692(.0298) .0673(.0206) .0718(.0358) .0568(.0089) .0657(.0066) .0696(-.0195)

(4,0*20,4) .0522(.0620) .0516(.0593) .0546(.0690) .0420(.0388) .0500(.0504) .0492(.0256)

.0718(.0401) .0707(.0336) .0763(.0475) .0498(.0114) .0683(.0210) .0657(-.0103)

40 38 (0*37,2) .0284(.0324) .0280(.0296) .0290(.0355) .0260(.0232) .0275(.0241) .0293(.0099)

.0370(.0219) .0363(.0181) .0376(.0262) .0341(.0091) .0358(.0104) .0374(-.0072)

(2,0*37) .0290(.0315) .0287(.0289) .0296(.0350) .0265(.0211) .0291(.0231) .0293(.0100)

.0391(.0219) .0383(.0177) .0398(.0262) .0359(.0090) .0377(.0096) .0402(-.0067)

(1,0*36,1) .0286(.0320) .0283(.0293) .0292(.0353) .0261(.0222) .0277(.0260) .0291(.0108)

.0377(.0219) .0371(.0179) .0387(.0262) .0348(.0091) .0365(.0101) .0385(-.0063)

34 (0*33,6) .0297(.0391) .0294(.0363) .0305(.0425) .0267(.0285) .0287(.0305) .0288(.0160)

.0414(.0302) .0407(.0264) .0426(.0349) .0359(.0154) .0398(.0185) .0384(-.0005)

(6,0*33) .0303(.0384) .0300(.0361) .0312(.0428) .0269(.0249) .0293(.0299) .0314(.0193)

.0426(.0297) .0417(.0244) .0436(.0341) .0382(.0161) .0409(.0154) .0431(-.0002)

(3,0*32,3) .0288(.0349) .0284(.0323) .0295(.0386) .0259(.0236) .0278(.0264) .0297(.0174)

.0403(.0263) .0396(.0218) .0413(.0307) .0361(.0127) .0388(.0135) .0390(-.0013)

32 (0*31,8) .0335(.0471) .0331(.0445) .0346(.0512) .0294(.0342) .0323(.0383) .0317(.0196)

.0441(.0399) .0434(.0361) .0458(.0452) .0373(.0227) .0422(.0277) .0413(.0055)

(8,0*31) .0321(.0337) .0318(.0318) .0330(.0388) .0285(.0184) .0311(.0253) .0340(.0125)

.0436(.0268) .0427(.0210) .0446(.0311) .0394(.0133) .0419(.0114) .0430(-.0080)

(4,0*30,4) .0312(.0354) .0309(.0331) .0320(.0396) .0279(.0228) .0302(.0270) .0306(.0112)

.0420(.0280) .0412(.0233) .0430(.0325) .0375(.0138) .0404(.0147) .0401(-.0056)

Table 3.3 Relative coverage probability and confidence length for confidence intervals of the parameters

T

= 1.5 T

= 1.8

LT NA LT NA

T

n m R R R CP ( ˆ α) CL ( ˆ α) CP ( ˆ α) CL ( ˆ α) CP ( ˆ α) CL ( ˆ α) CP ( ˆ α) CL ( ˆ α) CP (ˆ λ) CL (ˆ λ) CP (ˆ λ) CL (ˆ λ) CP (ˆ λ) CL (ˆ λ) CP (ˆ λ) CL (ˆ λ)

1.0 20 18 (0*17,2) 94.8 0.9224 92.9 0.9520 94.4 0.8807 91.8 0.9060

94.6 1.0390 93.1 1.0832 94.2 1.0165 93.1 1.0575

(2,0*17) 95.4 0.9483 93.3 0.9807 95.4 0.8957 93.5 0.9230

94.0 1.0902 93.4 1.1413 94.7 1.0547 93.1 1.1012

(1,0*16,1) 95.6 0.9320 93.5 0.9629 95.1 0.8846 92.7 0.9106

93.9 1.0590 92.7 1.1063 94.2 1.0313 93.1 1.0745

16 (0*15,4) 94.3 0.9545 93.7 0.9865 94.6 0.9343 93.0 0.9636

94.5 1.1113 92.0 1.1621 94.3 1.1031 92.4 1.1523

(4,0*15) 95.3 0.9786 94.1 1.0148 95.2 0.9270 94.3 0.9576

93.1 1.1720 94.6 1.2336 93.4 1.1345 94.2 1.1904

(2,0*14,2) 95.1 0.9530 94.2 0.9860 94.7 0.9142 93.6 0.9429

93.5 1.1180 93.4 1.1712 93.3 1.0962 92.9 1.1458

14 (0*13,6) 94.5 1.0757 89.2 1.1158 95.0 1.0713 89.4 1.1104

95.3 1.2670 92.6 1.3376 95.6 1.2663 92.5 1.3365

(6,0*13) 95.5 1.0470 92.4 1.0890 95.6 0.9879 93.2 1.0233

93.8 1.2537 94.2 1.3293 93.0 1.2066 93.7 1.2746

(3,0*12,3) 94.8 1.0251 90.5 1.0627 94.2 1.0026 89.6 1.0366

93.6 1.1971 92.7 1.2605 93.8 1.1879 92.8 1.2486

30 28 (0*27,2) 94.9 0.7306 94.4 0.7459 95.3 0.6911 94.1 0.7041

94.1 0.8332 94.0 0.8564 94.0 0.8092 92.5 0.8304

(2,0*27) 95.5 0.7486 95.0 0.7651 95.2 0.7074 94.3 0.7213

94.3 0.8638 93.4 0.8895 94.5 0.8367 94.4 0.8601

(1,0*26,1) 95.1 0.7396 94.4 0.7555 94.9 0.6982 94.9 0.7116

94.5 0.8478 94.6 0.8722 94.3 0.8215 93.6 0.8437

24 (0*23,6) 94.5 0.7602 92.7 0.7767 94.3 0.7447 92.2 0.7600

95.0 0.8700 93.7 0.8955 94.7 0.8626 93.3 0.8872

(6,0*23) 94.4 0.7956 93.8 0.8152 94.6 0.7532 93.6 0.7697

94.5 0.9387 94.4 0.9714 94.0 0.9081 93.9 0.9377

(3,0*22,3) 94.7 0.7672 93.4 0.7846 94.3 0.7335 93.2 0.7485

94.3 0.8876 93.9 0.9152 94.3 0.8674 93.7 0.8930

22 (0*21,8) 93.4 0.8005 91.7 0.8191 93.8 0.7966 91.9 0.8148

94.7 0.9179 94.2 0.9473 95.3 0.9171 94.4 0.9461

(8,0*21) 94.6 0.8205 92.4 0.8419 94.2 0.7765 92.3 0.7947

94.0 0.9781 95.0 1.0154 94.7 0.9445 95.2 0.9782

(4,0*20,4) 93.7 0.7859 92.9 0.8044 93.5 0.7601 92.3 0.7766

94.1 0.9111 94.4 0.9409 94.5 0.8970 94.0 0.9252

40 38 (0*37,2) 93.8 0.6276 93.2 0.6375 93.7 0.5940 92.9 0.6023

93.8 0.6276 93.2 0.6375 93.5 0.6959 93.2 0.7094

(2,0*37) 93.9 0.6398 91.8 0.6503 93.8 0.6052 93.0 0.6145

93.2 0.7370 93.4 0.7531 93.5 0.7139 93.1 0.7286

(1,0*36,1) 93.4 0.6338 93.1 0.6440 93.6 0.5995 92.9 0.6080

93.9 0.7271 93.9 0.7426 93.3 0.7046 93.6 0.7187

34 (0*33,6) 94.3 0.6331 94.0 0.6431 94.1 0.6084 93.7 0.6171

94.8 0.7249 93.8 0.7401 94.5 0.7108 93.3 0.7250

(6,0*33) 94.5 0.6697 93.3 0.6815 94.8 0.6330 93.5 0.6429

94.3 0.7849 94.0 0.8040 94.7 0.7587 94.1 0.7761

(3,0*32,3) 94.6 0.6488 93.6 0.6595 94.3 0.6138 94.3 0.6229

94.6 0.7504 94.4 0.7672 94.9 0.7272 93.4 0.7426

32 (0*31,8) 93.2 0.6445 93.6 0.6549 93.9 0.6318 93.5 0.6414

93.9 0.7390 93.9 0.7548 94.4 0.7331 93.1 0.7484

(8,0*31) 93.8 0.6816 93.4 0.6942 93.4 0.6455 93.3 0.6561

95.1 0.8052 94.6 0.8260 95.2 0.7795 94.1 0.7984

(4,0*30,4) 93.6 0.6539 95.0 0.6650 93.3 0.6243 93.6 0.6338

94.9 0.7594 93.8 0.7769 95.1 0.7404 92.9 0.7566

Table 3.2에서 보면, 일반적으로 평균제곱오차는 표본의 크기가 커지면 그 값은작아지는 것을확인 ᄒ

ᅡᆯ 수 있다. 그리고 표본의 크기를고정하였을 때, 평균제곱오차는 점진적 중도절단 표본의 크기가 커 ᄌ

ᅵ면 그 값은작아지는것을 확인할 수 있다. 또한, 사전에 고정시키는시간 T²가 커지면 평균제곱오 ᄎ

ᅡ는작아지는것을확인할 수 있다. 그리고 최대우도추정량과 베이즈 추정량을비교하였을때, 베이즈 ᄎ

ᅮ정량이 평균제곱오차 측면에서 보았을때 더 우수하다는것을확인할 수 있다. 특히 linex와 general entropy 손실함수 하에서 베이즈 추정량이 최대우도추정량에 비해서 더 우수한 것을 확인할 수 있다.

ᄀ

ᅳ리고 linex와 general entropy 손실함수에서 ξ = 0.5와 η = −0.5를두고 추정을하는것이 가장 합리 ᄌ

ᅥᆨ이라고 볼수 있다. Table 3.3에서 보면, 일반적으로 평균 신뢰구간의 길이 (CL)는표본의 크기가 커 ᄌ

ᅵ면 그 값은작아지는것을확인 할 수 있다. 그리고 표본의 크기를고정하였을때, 평균 신뢰구간의 길 ᄋ

ᅵ는점진적 중도절단 표본의 크기가 커지면 그 값은작아지는것을확인할 수 있다. 또한, 사전에 고정 ᄉ

ᅵ키는시간 T2가 커지면 평균 신뢰구간의 길이는작아지는것을확인할 수 있다. 또한, 로그변환한 모 ᄉ

ᅮ의 정규근사 신뢰구간 (LT)이 모수의 정규근사 신뢰구간 (NA)보다 평균 신뢰구간의 길이가 짧은것 ᄋ

ᅳᆯ확인할 수 있다. 그리고 전반적으로 로그변환한 모수의 정규근사 신뢰구간이 모수의 정규근사 신뢰 ᄀ

ᅮ간보다 포함확률 (coverage probability, CP) 측면에서 더 정확한 결과를보여주는것을확인할 수 있 ᄃ

ᅡ.

4. 결론 보

ᆫ 논문은 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 방법 상황에서 와이블 분포의 모수들을 추정하였다.

ᄋ

ᅵ를 위해 뉴튼랩슨방법을이용하여 최대우도추정량을계산 하였고, 감마 사전분포와 squared error, linex, general entropy 손실함수를이용하여 베이즈 추정량을계산하여 와이블 분포의 모수들을추정하 ᄋ

ᅧᆻ다. 또한, 다양한 일반화된조정 점진적 복합 중도절단 상황에서 몬테카를로 모의실험을 실시하여 평 규

ᆫ제곱오차 및 편의를이용하여 최대우도추정량과 베이즈 추정량들을 비교하였다. 그 결과 베이즈 추 저

ᆼ량이 평균제곱오차 측면에서 보았을때 더 우수하다는것을확인할 수 있었고, 특히 linex와 general entropy 손실함수 하에서 베이즈 추정량이 최대우도추정량에 비해서 더 우수한 것을 확인할 수 있다.

ᄀ

ᅳ리고 linex와 general entropy 손실함수에서 ξ = 0.5와 η = −0.5를두고 추정을하는것이 가장 합리 ᄌ

ᅥᆨ이라고 볼수 있다. 또한, 로그변환한 모수의 정규근사 신뢰구간이 모수의 정규근사 신뢰구간보다 신 ᄅ

ᅬ구간의 길이가 더 짧았고, 포함확률 측면에서 더 정확한 결과를보여주는것을확인할 수 있었다.

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6)

1121–1135

Estimation for Weibull distribution based on

generalized adaptive progressive hybrid censored sample ^†

Kyeongjun Lee

¹

²

³

⁴

1Division of Mathematics and Big Data Science, Daegu University

234Daegu Science High School

Received 20 October 2020, revised 10 November 2020, accepted 15 November 2020

Abstract

Recently, progressive censoring have become quite popular in a life-testing analysis.

However, the drawback of the progressive censoring is that it might take a very long time in order to complete the life test. Therefore, adaptive progressive hybrid censoring is proposed. However, the drawback of the adaptive progressive hybrid censoring is also that it might take a very long time in order to complete the life test. In this reason, generalized adaptive progressive hybrid censoring is proposed. In this paper, we derive the inference of the unknown parameters for Weibull distribution under generalized adaptive progressive hybrid censoring. We obtain the maximum likelihood estimators of the unknown parameters. Asymptotic confidence intervals are also proposed. Bayes estimators of the unknown parameters are obtained under the assumption of gamma priors on the unknown parameters. Different methods are compared using Monte Carlo simulations. One real data set is analyzed for illustrative purposes.

Keywords: Bayes estimator, confidence interval, maximum likelihood estimator, Weibull distribution.

†

This research was supported by Daegu Science High School Research Program, 2020.

1

Corresponding author: Assistant professor, Division of Mathematics and Big Data Science, Daegu University, Gyeongsan 38453, Korea. E-mail: indra [email protected]

2

Student, Daegu Science High School, Daegu 42110, Korea.

3

Student, Daegu Science High School, Daegu 42110, Korea.

4

Student, Daegu Science High School, Daegu 42110, Korea.