Goodness-of-fit test for generalized multiply hybrid censored data from an exponential distribution ^†

2020, 31

4)

525–535

일반화된 다중 복합 중도절단에서 지수분포의 적합도 검정 ^†

ᄎ

ᅬ수빈

¹

²

12대구대학교 수리빅데이터학부

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 6ᄋ ᅯ ᆯ 26ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 7ᄋ ᅯ ᆯ 16ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 7ᄋ ᅯ ᆯ 22ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄉ ᅢ

ᆼᄌ ᅩ ᆫ ᄌ ᅡᄅ ᅭ ᄇ ᅮ ᆫᄉ ᅥ ᆨᄋ ᅵᄂ ᅡ ᄉ ᅵ ᆫᄅ ᅬᄉ ᅥ ᆼ ᄇ ᅮ ᆫᄉ ᅥ ᆨᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄀ ᅪ ᆫᄎ ᅳ ᆨ ᄃ ᅬᄂ ᅳ ᆫ ᄉ ᅵᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅴ ᄌ ᅡᄅ ᅭᄃ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡᄋ ᅵᄋ ᅦᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫᄎ ᅳ ᆨᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅴ ᄉ ᅵ ᆯᄉ ᅮ ᄒ ᅩ ᆨᄋ ᅳ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫᄎ ᅳ ᆨ ᄀ

ᅵᄀ ᅨᄋ ᅴ ᄋ ᅩᄅ ᅲᄅ ᅩ ᄋ ᅵ ᆫᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄄ ᅩ ᄃ ᅡᄅ ᅳ ᆫ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄇ ᅡ ᆯᄉ ᅢ ᆼᄒ ᅡ ᆯ ᄉ ᅮ ᄋ ᅵ ᆻᄃ ᅡ. ᄄ ᅡᄅ ᅡᄉ ᅥ ᄋ ᅵᄅ ᅥᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅵᄀ ᅨᄌ ᅥ ᆨ ᄋ ᅩᄅ ᅲ ᄃ ᅳ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅩᄅ ᅧᄒ ᅡᄀ ᅵ ᄋ

ᅱᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄃ ᅡᄌ ᅮ ᆼ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅵ ᄉ ᅢᄅ ᅩ ᆸ ᄀ ᅦ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄃ ᅬᄋ ᅥ ᆻᄃ ᅡ. ᄄ ᅡᄅ ᅡᄉ ᅥ ᄇ ᅩ ᆫ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄃ ᅡᄌ ᅮ ᆼ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ

ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄉ ᅡ ᆼ ᄒ ᅪ ᆼᄋ ᅦᄉ ᅥ ᄌ ᅵᄉ ᅮᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄋ ᅴ ᄀ ᅳ ᆫ ᄉ ᅡ ᄃ ᅬ ᆫ ᄎ ᅬᄃ ᅢᄋ ᅮᄃ ᅩᄎ ᅮᄌ ᅥ ᆼᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄀ ᅨᄉ ᅡ ᆫᄒ ᅡᄀ ᅩ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄃ ᅡᄌ ᅮ ᆼ ᄌ ᅥ ᆷᄌ ᅵ ᆫᄌ ᅥ ᆨ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ ᄉ

ᅮ ᆫ ᄉ ᅥᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆸᄃ ᅩ ᄀ ᅥ ᆷᄌ ᅥ ᆼᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼᄀ ᅪ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄅ ᅩᄅ ᅦ ᆫᄎ ᅳ ᄀ ᅩ ᆨᄉ ᅥ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆸᄃ ᅩ ᄀ ᅥ ᆷᄌ ᅥ ᆼᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫ ᄒ

ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄆ ᅩ ᆫ ᄐ ᅦᄏ ᅡᄅ ᅳ ᆯ ᄅ ᅩ ᄆ ᅩᄋ ᅴᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄐ ᅩ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄉ ᅮ ᆫ ᄉ ᅥᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆸᄃ ᅩ ᄀ ᅥ ᆷᄌ ᅥ ᆼ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼᄀ ᅪ ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄅ ᅩᄅ ᅦ ᆫᄎ ᅳ ᄀ

ᅩ ᆨᄉ ᅥ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅵᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆸᄃ ᅩ ᄀ ᅥ ᆷᄌ ᅥ ᆼᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅵᄀ ᅭᄒ ᅡᄀ ᅩ ᄃ ᅥ ᄋ ᅮᄉ ᅮᄒ ᅡ ᆫ ᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆸᄃ ᅩ ᄀ ᅥ ᆷᄌ ᅥ ᆼ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄒ ᅪ ᆨ ᄋ ᅵ ᆫᄒ ᅡᄀ ᅩ, ᄉ ᅵ ᆯᄌ ᅦ ᄉ ᅡᄅ ᅨ ᄌ

ᅡᄅ ᅭᄅ ᅳ ᆯ ᄒ ᅪ ᆯᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆸᄃ ᅩ ᄀ ᅥ ᆷᄌ ᅥ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅵ ᆯᄉ ᅵᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄉ ᅮ ᆫ ᄉ ᅥᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼ, ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄃ ᅡᄌ ᅮ ᆼ ᄇ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡ ᆸ ᄌ ᅮ ᆼ ᄃ ᅩᄌ ᅥ ᆯᄃ ᅡ ᆫ, ᄋ ᅵ ᆯᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅪ ᄃ ᅬ ᆫ ᄅ ᅩᄅ ᅦ ᆫᄎ ᅳ ᄀ ᅩ ᆨᄉ ᅥ ᆫ, ᄌ ᅥ ᆨᄒ ᅡ ᆸᄃ ᅩ ᄀ ᅥ ᆷᄌ ᅥ ᆼ, ᄌ ᅵᄉ ᅮᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩ.

1. 서론 ᄌ

ᅵ수분포 (exponential distribution)는서로 사건이 독립적일 때, 일정 시간동안 발생하는사건의횟 ᄉ

ᅮ가 포아송 분포 (Poisson distribution)를 따른다면 다음 사건이 발생할 때까지 대기시간이 따르는 부

ᆫ포로 다음과 같은척도모수 (scale parameter)를갖는누적분포함수 (cumulative distribution func- tion)로 나타낼 수 있다.

FX(x; θ) = 1 − exp[−x/θ], x ≥ 0, θ > 0. (1.1) ᄌ

ᅵ수분포와관련된 연구는다양한 연구자들에 의해 매우활발하게 이루어지고 있다. Singh과 Kumar (2007)은베이즈 추정 (Bayes estimation)을이용하여 다중 중도절단 상황에서 지수분포의 모수를추정 ᄒ

ᅡ였고, Chen과 Lio (2010)는점진적 구간 중도절단 상황에서 일반화된 지수분포 (generalized expo- nential distribution)의 모수를추정하였다. 최근에는 Lee와 Cho (2017)는다중 중도절단 상황에서 지 ᄉ

ᅮ분포를따르는경쟁적 위험 자료 (competing risk data)의 모수를추론하였고, Shin과 Lee (2019)는 ᄀ

ᅳᆫ사된최대공간곱추정량을이용하여 다중점진적 중도절단 (multiply progressive censoring scheme) ᄉ

ᅡᆼ황에서 지수분포의 모수를추론하였다.

ᄋ

ᅵ렇듯지수분포와관련된많은연구들 중 중도절단 상황에서의 연구가 이루어지고 있고, 본 논문에 ᄉ

ᅥ는 중도절단 상황 중최근에 연구가 이루어진 일반화된 다중 복합 중도절단 상황 (generalized mul- tiply hybrid censoring scheme)을고려해 보고자 한다. 만약 총 n개의 개체가 실험의 대상이라고 할

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ 2020ᄂ ᅧ ᆫ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ DU-ᄅ ᅵᄃ ᅥᄉ ᅳ ᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮᄉ ᅢ ᆼ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫ ᄉ ᅡᄋ ᅥ ᆸᄋ ᅦ ᄋ ᅴᄒ ᅢ ᄌ ᅵ ᆫᄒ ᅢ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄋ ᅵ ᆷ.

1

(38453) ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᄌ ᅵ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆸ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄅ ᅩ 201, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄉ ᅮᄅ ᅵᄇ ᅵ ᆨᄃ ᅦᄋ ᅵᄐ ᅥᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮᄀ ᅪᄌ ᅥ ᆼ.

2

(38453) ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆼᄇ ᅮ ᆨ ᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆼᄉ ᅡ ᆫᄉ ᅵ ᄌ ᅵ ᆫᄅ ᅣ ᆼᄋ ᅳ ᆸ ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄅ ᅩ 201, ᄃ ᅢᄀ ᅮᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄉ ᅮᄅ ᅵᄇ ᅵ ᆨᄃ ᅦᄋ ᅵᄐ ᅥᄒ ᅡ ᆨᄇ ᅮ, ᄌ ᅩᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: indra [email protected]

ᄄ

ᅢ 실험 대상이 고장 혹은사망 시점 (failure time)이 차례대로 기록된다고 하자. 하지만관측되는 시 ᄌ

ᅥᆷ의 자료들 사이에는 관측원의 실수 혹은 관측 기계의 오류로 인하여 다중 중도절단 (multiply cen- soring scheme)이 발생할 수 있다. Lee 등 (2014)은 실험의 종료시간을 모든 개체를 관측하는 시간 (Xa_s:n)과 사전에 설정한 시간 (T ) 중최소값으로 하는다중 복합 중도절단 (multiply hybrid censoring scheme)을제안하였다. 하지만 이 방법은관측되는개체의 사망 시점 개수가 매우 작을수 있다는단점 ᄋ

ᅵ 존재하여 Lee와 Lee (2019)는 일반화된다중 복합 중도절단을새롭게 제안하였다. 즉,최소 필요한 과

ᆫ측의 개수 (k)를사전에 지정하여 만약 최소 필요한관측의 개수가 달성되지 않았으면 사전에 설정한 ᄉ

ᅵ간보다 더 실험을 진행하고, 만약 최소 필요한관측의 개수가 달성되었다면 다중 복합 중도절단 방법 으

ᆯ따르는방식이다. 이러한 방법은다음의 Figure 1.1과 같이 3가지 경우로 나타낼 수 있다.

Figure 1.1 The generalized multiply hybrid censoring scheme

ᄋ

ᅵ렇게 일반화된다중 복합 중도절단 상황에서 자료를관측한 후 자료 분석을 실시하기 위해서는자료 ᄋ

ᅴ 분포가 어떠한지를확인하는 분포의 적합도 검정을 실시하는것은굉장히 중요한 일이다. 자료의 적 ᄒ

ᅡᆸ도 검정은 Shapiro-Wilks 검정과 Kolmogorov Smirnov 검정과 Q-Q 플롯 등의 방법이 많이 사용되 ᄀ

ᅩ 있다. 그리고 중도절단 상황에서는 Balakrishnan 등 (2004)은점진적 중도절단 상황에서 측정된자 ᄅ

ᅭ의 간격 및 순서통계량을이용하여 위치모수와 척도 모수를가진 분포의 적합도 검정통계량을제안하 ᄋ

ᅧᆻ고, Wang (2008)은점진적 중도절단 상황에서 측정된자료의 간격을이용하여 지수분포의 적합도 검 저

ᆼ통계량을제안하였다. 그리고 Pakyari와 Balakrishnan (2013)은 점진적 중도절단 상황에서 점진적 주

ᆼ도절단의 순서통계량과 관측치 사이의 간격을 이용하여 위치모수와 척도 모수를 가진 분포의 적합도 거

ᆷ정 통계량을제안하였다. 최근에는 Yun과 Lee (2018)는다중점진적 중도절단에서 순서통계량을활 ᄋ

ᅭ

ᆼ하여 지수분포의 적합도 검정통계량을제안하고, 그래프를활용한 방법 또한 제안하였고, Lee와 Lee (2019)는 일반화된로렌츠 곡선을변형한 수정된일반화된 로렌츠 곡선을이용하여 점진적 중도절단에 ᄉ

ᅥ 위치모수와 척도모수를가지고 있는 분포의 적합도 검정을제안하였다.

ᄒ

ᅡ지만 최근에 제안된 일반화된 다중 복합 중도절단 상황에서 자료의 적합도 검정 방법에 대하여는 ᄋ

ᅡ직 연구가 이루어지고 있지 않다. 따라서 본 논문에서는 일반화된 다중 복합 중도절단 상황에서 지

ᄉ

ᅮ분포의 최대우도추정량 (maximum likelihood estimator) 및 근사된 최대우도추정량 (approximate maximum likelihood estimator)을계산하고 일반화된 다중 복합 중도절단 상황에서 순서통계량을 이 ᄋ

ᅭ

ᆼ한 적합도 검정통계량과 일반화된로렌츠 곡선 (Lee와 Lee (2019) 참고)을이용한 적합도 검정 통계 ᄅ

ᅣᆼ을제안하고자 한다.

보

ᆫ 논문은 다음과 같이 구성하고자 한다. 먼저 2절에서 일반화된 다중 복합 중도절단 상황에서 지 ᄉ

ᅮ분포 모수의근사된최대우도추정량을계산하고, 이를활용하여 3절에서 일반화된다중 복합 중도절 ᄃ

ᅡᆫ 상황에서 순서통계량을 이용한 두 가지의 적합도 검정통계량과 일반화된 로렌츠 곡선을이용한 두 ᄀ

ᅡ지의 적합도 검정통계량을제안하고자 한다. 4절에서는 몬테카를로 모의실험 (Monte Carlo simula- tion)을 통하여 순서통계량을이용한 두 가지의 적합도 검정통계량과 일반화된로렌츠 곡선을이용한 두 ᄀ

ᅡ지의 적합도 검정통계량을비교하고 더 우수한 적합도 검정 통계량을확인하고자 한다. 또한, 실제 사 ᄅ

ᅨ 자료를 활용하여 순서통계량을이용한 적합도 검정통계량과 일반화된로렌츠 곡선을 이용한 적합도 거

ᆷ정통계량을이용한 적합도 검정을 실시하고자 한다. 그리고 마지막으로 5절에서 결론을내리고자 한 ᄃ

ᅡ.

2. 최대우도추정 시

ᆯ험 개체들의 수명시간이 지수분포를따른다고 하자. 이 때, 일반화된다중 복합 중도절단 하에서의 ᄋ

ᅮ도함수 (likelihood function)는다음과 같다.

case 1 : L ∝ [1 − F (xa_k:n)]^n−ak

k

Y

i=1

f (xa_i:n)

k

Y

i=1

F (xa_i:n) − F xa_i−1:n

l_i

,

case 2 : L ∝ [1 − F (xa_d:n)]^n−ak

d

Y

i=1

f (xa_i:n)

d

Y

i=1

F (xa_i:n) − F xa_i−1:n

l_i

,

case 3 : L ∝ [1 − F (xa_s:n)]^n−as

s

Y

i=1

f (xa_i:n)

s

Y

i=1

F (xa_i:n) − F xa_i−1:n
l_i

.

ᄄ

ᅡ라서 3가지 경우를모두 합하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

L ∝ [1 − F (w)]^n−au

u

Y

i=1

f (xa_i:n)

u

Y

i=1

F (xa_i:n) − F xa_i−1:n

l_i

,

ᄋ

ᅧ기서 u는관측되는 실험 개체의 개수, w는 case 1의 경우 xa_k:n, case 2의 경우 xa_d:n, case 3의 경우 xas:n와 같다. 또한, Za_i:n= Xa_i:n/θ라고 한다면, 우도함수는다음과 같이 나타낼 수 있다.

L ∝ θ^−u[1 − G (zw)]^n−au

u

Y

i=1

g (za_i:n)

u

Y

i=1

G (za_i:n) − G za_i−1:n

l_i

,

ᄋ

ᅧ기서 g (z^ai:n) = e^−zai:n, G (za_i:n) = 1 − e^−zai:n와 같다. 따라서, 로그 우도함수 (log-likelihood function)는

log L ∝ − u log θ + (n − au) log [1 − G (zw)] +

u

X

i=1

log g (za_i:n)

+

u

X

i=1

lilogG (za_i:n) − G za_i−1:n
 ,

ᄋ

ᅪ 같고, 이를이를 θ에 대해서 미분을하고 이를 0으로 두게 되면

∂ log L

∂θ ∝ −1 θ

"

u − (n − au) zw−

u

X

i=1

zai:n (2.1)

+

u

X

i=1

li

g (za_i:n) za_i:n− g za_i−1:n
za_i−1:n

G (za_i:n) − G za_i−1:n

#

= 0 (2.2)

ᄋ

ᅪ 같은 식을 얻을 수 있다. 하지만 위의 식은 θ에 관하여 정확하게 계산되지 않으므로 테일러 ᄀ

ᅳ

ᆸ수 전개 (Taylor series expansion)를 이용한 근사적 최대우도추정량을 구하고자 한다. ξ^ai:n = G⁻¹(pa_i:n) = − log(1 − pa_i:n)라고 하고 이를 중심으로 ^g(^zai:n)^zai:n−g(^zai−1:n)^zai−1:n

G(^z_ai:n)^−G(^z_ai−1:n) 을테일러 급수 ᄌ

ᅥᆫ개를 실시하면 다음과 같다 (Lee, 2017; Lee, 2019).

g (za_i:n) za_i:n− g za_i−1:n
za_i−1:n

G (za_i:n) − G za_i−1:n

≃ α3i+ β3iza_i:n+ γ3iza_i−1:n, (2.3) ᄋ

ᅧ기서

α3i=qa_i:nξ²_ai:n− qa_i−1:nξ_a²_i−1:n pa_i:n− pa_i−1:n

+ qa_i:nξa_i:n− qa_i−1:nξa_i−1:n

pa_i:n− pa_i−1:n

2

,

β3i = qa_i:n

pa_i:n− pa_i−1:n



1 − ξa_i:n−qa_i:nξa_i:n− qa_i−1:nξa_i−1:n

pa_i:n− pa_i−1:n

 ,

γ3i= − qa_i−1:n

pai:n− pai−1:n



1 − ξa_i−1:n−qa_i:nξa_i:n− qa_i−1:nξa_i−1:n

pai:n− pai−1:n

 . ᄋ

ᅱ의 식 (3.2)를 식 (3.1)에 대입하면

∂ log L

∂θ ≃ −1 θ

"

u −

u

X

i=1

zai:n− (n − au) zw

+

u

X

i=1

li α3i+ β3iza_i:n+ γ3iza_i−1:n

#

= 0

ᄋ

ᅪ 같다. 따라서근사적 최대우도추정량은다음과 같다.

θ =ˆ

"

u +Pu i=1liα3i

Pu

i=1xa_i:n+ (n − au) w −Pu

i=1li β3ixa_i:n+ γ3ixa_i−1:n

#−1

. (2.4)

3. 새로운 적합도 검정 통계량

3.1. 순서통계량을 이용한 적합도 검정

Pakyari와 Balakrishnan (2013)이 소개한 일반적인완전한 표본에서의 적합도 검정을위해 순서통계 ᄅ

ᅣᆼ을이용한 적합도 검정 통계량을변환하여 일반화된다중 복합 중도절단의 상황으로확장하고자 한다.

ᄆ

ᅥᆫ저 일반화된다중 복합 중도절단 상황에서 ai번째 순서 통계량인 Xa_i:n과 그 분포값 F⁻¹(pa_i:n; ˆθ)의 ᄑ

ᅧᆫ차를 νai = Xai:n− F⁻¹(pai:n; ˆθ)라고 한다면, 편차가 0에 가까울수록검정하고자 하는 분포를따른 ᄃ

ᅡ는것을알 수 있다. 이러한 성질을이용하면 순서통계량을이용한 적합도 검정 통계량은다음과 같이 저

ᆼ의할 수 있다.

OS1=

u

X

j=1

νa²_j

u , OS2=

u

X

j=1

|νa_j| u . ᄌ

ᅳᆨ, 위의 검정 통계량은 편차의 제곱의 평균과 편차의 절대값의 평균을 나타낸 것으로, 만약 일반화 되

ᆫ 다중 복합 중도절단 자료가 지수분포를 따른다면 편차인 νa_j의 값이 작아지게 될 것이고, 이로 인 ᄒ

ᅢ 검정 통계량 OS¹과 OS²값이 작아지게될 것이다. 따라서 위의 검정 통계량 값이 기각값 (critical value)보다 크게된다면 우리는 일반화된 다중 복합 중도절단 자료가 지수분포를따른다는 귀무가설을 ᄀ

ᅵ각하게될 것이다. 하지만 위의 검정 통계량은 분포적 특성을파악하기 어려우므로 몬테카를로 모의 시

ᆯ험을 통하여 여러 일반화된 다중 복합 중도절단 상황에서 OS1과 OS2의 기각값을결정하고, 검정력 으

ᆯ확인할 수 있다.

3.2. 일반화된 로렌츠 곡선을 이용한 적합도 검정 ᄋ

ᅡ

ᇁ서 설명한 일반화된 로렌츠 곡선은 소득의 불평등 정도를 나타내는 곡선이기 때문에 모든 자료값 ᄋ

ᅵ 양수임을가정하고 있다. 하지만 모든 분포 및 자료는양수값만을가지고 있지 않다. 따라서 이러한 ᄌ

ᅥ

ᆷ을 해결하기 위해 모든자료값에서 일반화된다중 복합 중도절단 표본의 첫 번째 순서통계량을차감 (Xa_i:n− Xa₁:n, i = 1, 2, · · · , u)하여 일반화된로렌츠 곡선의 값들을계산한 형태는다음과 같다.

L^′(pa_j:n) = 1 (Xa_u:n− Xa₁:n)

" _j X

i=1

(Xa_i:n− Xa₁:n) + (1 − pa_j)

u

X

i=1

(Xa_i:n− Xa₁:n)

# ,

ᄋ

ᅧ기서 pa_j:n = aj/n이다. 또한 위의 일반화된로렌츠 곡선은지수분포의 위치모수 (location parame- ter)와 척도모수 (scale parameter)가 달라져도 그 값은 불변 (location-scale free)하는것을 쉽게 파악 ᄒ

ᅡᆯ 수 있다.

ᄀ

ᅳ리고 위의 일반화된로렌츠 곡선은 분포마다 다른형태를가지고 있다. 따라서, 이러한 성질을이용 ᄒ

ᅡᆫ다면 순서통계량을이용한 검정통계량과 같이, 만약 표본데이터가 정확하게 지수분포를따른다면, 정 화

ᆨ히 지수분포를따르는값에 의해 계산된일반화된로렌츠 곡선의 형태와 같아지게될 것이다. 따라서 저

ᆼ확한 지수분포를따르는 일반화된로렌츠 곡선을다음과 같이 나타낸다면,

L^′_F(pa_j:n) = 1 (Fa⁻¹_u:n− Fa₁⁻¹:n)

" _j X

i=1

(F_a⁻¹_i:n− Fa₁⁻¹:n) + (1 − pa_j)

u

X

i=1

(F_ai⁻¹_:n− Fa⁻¹₁:n)

#

. (3.1)

ᄑ

ᅭ본데이터에 의해 계산된일반화된로렌츠 곡선의 값의 차이는정확하게 0이될 것이다. 이러한 성질 으

ᆯ이용하여 표본 일반화된로렌츠 곡선과 분포 일반화된로렌츠 곡선의 차의 값이 1보다 커지면 지수분 ᄑ

ᅩ를따르지 않는다는것을알 수 있다. 따라서 순서통계량을이용한 검정통계량의 식을적용하여 다음 ᄀ

ᅪ 같은적합도 검정 통계량을제안할 수 있다.

LC1=

u

X

j=1

|ψa_j|

u , LC2=

u

X

j=1

ψ_a²_j

u , (3.2)

ᄋ

ᅧ기서 ψ^j = L^′(pa_j:n) − L^′_F(pa_j:n)이다. 따라서 위의 검정 통계량 값이 기각값보다 크게된다면 우리 느

ᆫ 일반화된다중 복합 중도절단 자료가 지수분포를따른다는 귀무가설을기각하게될 것이다. 하지만 ᄋ

ᅱ의 검정 통계량은 분포적 특성을파악하기 어려우므로 몬테카를로 모의실험을 통하여 여러 일반화된 ᄃ

ᅡ중 복합 중도절단 상황에서 LC1과 LC2의 기각값을결정하고, 검정력을확인할 수 있다.

4. 실제 사례 분석과 모의 실험

4.1. 모의 실험

Table 4.1 Monte Carlo power estimates for the gamma distribution at the significance level 5%

Gamma(1.50, 0.75) Gamma(1.50, 0.55)

T n k l OS

OS

LC

LC

OS

OS

LC

LC

1.5 20 6 l

= 2,l

= 0 for i ̸= 10 0.2329 0.4552 0.8384 0.8366 0.5622 0.7587 0.8384 0.8366 l

= 2,l

= 2,l

= 0 for i ̸= 7, 13 0.2059 0.4512 0.8253 0.8228 0.5265 0.7210 0.8253 0.8228 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 8, 13 0.7015 0.7831 0.8225 0.8182 0.9087 0.9396 0.8225 0.8182 8 l

= 2,l

= 0 for i ̸= 10 0.2900 0.4905 0.8408 0.8393 0.7051 0.8327 0.8408 0.8393 l

= 2,l

= 2,l

= 0 for i ̸= 7, 13 0.4452 0.6141 0.8495 0.8484 0.8528 0.9104 0.8495 0.8484 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 8, 13 0.8186 0.8497 0.8506 0.8466 0.9754 0.9782 0.8506 0.8466 10 l

= 2,l

= 0 for i ̸= 10 0.5016 0.6323 0.8609 0.8603 0.8972 0.9349 0.8609 0.8603 l

= 2,l

= 2,l

= 0 for i ̸= 7, 13 0.6577 0.7664 0.8633 0.8646 0.9496 0.9696 0.8633 0.8646 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 8, 13 0.8770 0.9107 0.8681 0.8680 0.9917 0.9948 0.8681 0.8680 30 10 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 16 0.6949 0.8560 0.9558 0.9558 0.9388 0.9794 0.9558 0.9558 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 9, 19 0.7833 0.8794 0.9570 0.9569 0.9702 0.9807 0.9570 0.9569 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 11, 15 0.4379 0.7337 0.9361 0.9380 0.8170 0.9343 0.9361 0.9380 15 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 16 0.7519 0.8744 0.9590 0.9592 0.9819 0.9941 0.9590 0.9592 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 9, 19 0.8996 0.9481 0.9651 0.9644 0.9977 0.9991 0.9651 0.9644 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 11, 15 0.9165 0.9494 0.9673 0.9686 0.9994 0.9996 0.9673 0.9686 20 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 16 0.9577 0.9777 0.9731 0.9738 0.9998 0.9999 0.9731 0.9738 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 9, 19 0.9758 0.9857 0.9769 0.9767 1.0000 1.0000 0.9769 0.9767 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 11, 15 0.9737 0.9877 0.9821 0.9817 0.9999 1.0000 0.9821 0.9817 40 20 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 26 0.9630 0.9853 0.9862 0.9868 0.9995 1.0000 0.9993 0.9993 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 16, 28 0.9737 0.9874 0.9890 0.9890 0.9998 1.0000 0.9995 0.9995 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 18, 29 0.9931 0.9946 0.9892 0.9894 1.0000 1.0000 0.9995 0.9995 25 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 26 0.9773 0.9912 0.9890 0.9894 0.9998 1.0000 0.9996 0.9995 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 16, 28 0.9900 0.9954 0.9914 0.9914 0.9999 1.0000 0.9997 0.9998 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 18, 29 0.9970 0.9980 0.9924 0.9920 1.0000 1.0000 0.9996 0.9997 30 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 26 0.9940 0.9971 0.9941 0.9939 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 16, 28 0.9953 0.9976 0.9951 0.9951 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 18, 29 0.9954 0.9978 0.9957 0.9958 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

ᄉ

ᅢ롭게 제안한 순서통계량을이용한 적합도 검정통계량인 OS1과 OS², 일반화된로렌츠 곡선을이용 ᄒ

ᅡᆫ 적합도 검정통계량인 LC1과 LC2의 검정력을평가하기 위해 몬테카를로 모의실험을 실시하였다. 비

ᄀ

ᅭ를 위한 분포로 감마분포 (gamma distribution), 와이블분포 (Weibull distribution), 로그정규분포 (log-normal distribution)를사용하였다.

Table 4.2 Monte Carlo power estimates for the Weibull distribution at the significance level 5%

Weibull(0.40, 0.50) Gamma(0.40, 0.30)

T n k l OS

OS

LC

LC

OS

OS

LC

LC

1.5 20 6 l

= 2,l

= 0 for i ̸= 10 0.4229 0.4694 0.5343 0.4803 0.7319 0.7772 0.7618 0.7240 l

= 2,l

= 2,l

= 0 for i ̸= 7, 13 0.3353 0.3698 0.5674 0.5591 0.6390 0.6815 0.8000 0.7960 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 8, 13 0.4930 0.5487 0.5346 0.5075 0.7726 0.8239 0.7922 0.7785 8 l

= 2,l

= 0 for i ̸= 10 0.4241 0.4699 0.5550 0.4985 0.7347 0.7774 0.7755 0.7357 l

= 2,l

= 2,l

= 0 for i ̸= 7, 13 0.3363 0.3724 0.5968 0.5780 0.6433 0.6876 0.8225 0.8107 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 8, 13 0.5432 0.5856 0.5794 0.5366 0.8222 0.8526 0.8227 0.8007 10 l

= 2,l

= 0 for i ̸= 10 0.4241 0.4699 0.5551 0.4986 0.7347 0.7774 0.7755 0.7357 l

= 2,l

= 2,l

= 0 for i ̸= 7, 13 0.3371 0.3737 0.6009 0.5792 0.6443 0.6890 0.8239 0.8126 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 8, 13 0.5470 0.5870 0.5854 0.5405 0.8264 0.8545 0.8255 0.8035 30 10 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 16 0.5169 0.5339 0.7397 0.6214 0.8123 0.8487 0.9463 0.9038 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 9, 19 0.5584 0.4747 0.6679 0.5288 0.7716 0.7878 0.9157 0.8597 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 11, 15 0.6484 0.5885 0.6973 0.5904 0.6822 0.6861 0.7670 0.5648 15 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 16 0.5212 0.5665 0.8910 0.8371 0.8433 0.8809 0.9734 0.9540 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 9, 19 0.5623 0.5072 0.8464 0.8120 0.7952 0.8468 0.9700 0.9621 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 11, 15 0.6685 0.6148 0.8196 0.7534 0.8098 0.8499 0.9652 0.9473 20 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 16 0.5226 0.5672 0.8910 0.8371 0.8442 0.8810 0.9734 0.9540 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 9, 19 0.5802 0.5147 0.8470 0.8157 0.8020 0.8501 0.9704 0.9633 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 11, 15 0.6754 0.6269 0.8763 0.8363 0.8154 0.8578 0.9660 0.9499 40 20 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 26 0.5972 0.5725 0.9248 0.8750 0.8506 0.8801 0.9844 0.9533 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 16, 28 0.6837 0.5983 0.8409 0.8325 0.8330 0.8458 0.9611 0.8919 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 18, 29 0.8188 0.7325 0.8150 0.8216 0.8531 0.8589 0.9283 0.7859 25 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 26 0.6277 0.6943 0.9678 0.9560 0.9319 0.9523 0.9983 0.9968 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 16, 28 0.6319 0.7057 0.9259 0.8826 0.9302 0.9563 0.9959 0.9911 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 18, 29 0.7322 0.7695 0.9201 0.8545 0.9608 0.9707 0.9950 0.9875 30 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 26 0.6335 0.6965 0.9688 0.9574 0.9345 0.9527 0.9983 0.9971 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 16, 28 0.6539 0.7247 0.9444 0.9038 0.9387 0.9619 0.9971 0.9923 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 18, 29 0.7574 0.7908 0.9533 0.9066 0.9697 0.9785 0.9969 0.9917

ᄀ

ᅳ리고 검정력 비교를위해 표본의 크기가 20, 30, 40인 경우 다양한 일반화된다중 복합 중도절단 상 화

ᆼ을 각각의 분포에서 10,000번 샘플링 하였다. 새롭게 제안한 순서통계량을이용한 적합도 검정통계 ᄅ

ᅣᆼ인 OS1과 OS2, 일반화된로렌츠 곡선을 이용한 적합도 검정통계량인 LC1과 LC2의 분포를이론적 ᄋ

ᅳ로 밝히기에는어려움이 따르므로 지수분포에서 생성한 샘플링 데이터를활용하여 OS¹, OS2, LC1, LC2의 기각역을구하였다.

ᄀ

ᅵ각역을활용하여 감마분포, 와이블분포, 로그정규분포에서 계산한 OS1, OS2, LC1, LC2가 위의 기 ᄀ

ᅡ

ᆨ역보다 크게된다면 귀무가설인 지수분포를따른다를기각하게 되어 지수분포를 따르지 않는다고 판 ᄃ

ᅡᆫ할 수 있다. 이러한 검정 결과는다음의 Table 4.1 ∼ Table 4.3과 같다. Table 4.1 ∼ Table 4.3을살 ᄑ

ᅧ보면 OS1, OS2, LC1, LC2모두 표본의 크기가 커질수록그에 따른검정력이 증가하는것을알 수 있 ᄃ

ᅡ.

ᄆ

ᅥᆫ저 순서통계량을이용한 검정통계량 OS¹과 OS² 간의 검정력 비교에서는 OS2의 경우 OS¹에 비 ᄒ

ᅡ여 감마분포, 와이블분포, 로그정규분포 모두 검정력이 더 우수하다는결과가 나왔고, 일반화된로렌 ᄎ

ᅳ 곡선을이용한 검정통계량 LC1과 LC2 간의 검정력 비교에서는 LC1의 경우 LC2에 비하여 감마분 ᄑ

ᅩ, 와이블분포, 로그정규분포 모두 검정력이 더 우수하다는결과가 나왔다. 또한, 순서통계량을이용한 거

ᆷ정통계량은표본의 크기에 따라 검정력에 차이가 많이 나타났지만, 일반화된로렌츠 곡선을이용한 검 저

ᆼ통계량은표본의 크기에 상관없이 검정력에 차이가 상대적으로 많이 나타나지는않았다. 제안한 모든

Table 4.3 Monte Carlo power estimates for the log-normal distribution at the significance level 5%

LN(0.30, 1.00) LN(0.30, 1.20)

T n k l OS

OS

LC

LC

OS

OS

LC

LC

1.5 20 6 l

= 2,l

= 0 for i ̸= 10 0.0974 0.2769 0.6071 0.6070 0.0605 0.1644 0.5863 0.5870 l

= 2,l

= 2,l

= 0 for i ̸= 7, 13 0.0899 0.3143 0.5871 0.5840 0.0486 0.1637 0.5786 0.5736 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 8, 13 0.5325 0.6817 0.5991 0.5914 0.3596 0.4670 0.5727 0.5686 8 l

= 2,l

= 0 for i ̸= 10 0.1210 0.2910 0.6094 0.6091 0.0923 0.1860 0.5895 0.5900 l

= 2,l

= 2,l

= 0 for i ̸= 7, 13 0.2282 0.4191 0.6133 0.6103 0.2024 0.2923 0.6135 0.6078 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 8, 13 0.6404 0.7380 0.6347 0.6254 0.5353 0.5761 0.6310 0.6209 10 l

= 2,l

= 0 for i ̸= 10 0.2794 0.4150 0.6393 0.6394 0.2771 0.3382 0.6408 0.6375 l

= 2,l

= 2,l

= 0 for i ̸= 7, 13 0.4253 0.5694 0.6441 0.6409 0.4235 0.4930 0.6583 0.6575 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 8, 13 0.7163 0.7988 0.6665 0.6648 0.5911 0.6262 0.6913 0.6871 30 10 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 16 0.4306 0.6921 0.7872 0.7912 0.2960 0.4881 0.7508 0.7558 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 9, 19 0.5655 0.7673 0.7843 0.7840 0.3990 0.5463 0.7689 0.7683 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 11, 15 0.2307 0.6073 0.7610 0.7637 0.1141 0.3397 0.7174 0.7226 15 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 16 0.4707 0.7049 0.7926 0.7958 0.3761 0.5296 0.7584 0.7634 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 9, 19 0.7033 0.8306 0.8087 0.8074 0.6478 0.7290 0.8086 0.8057 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 11, 15 0.7683 0.8519 0.8401 0.8413 0.7905 0.8052 0.8544 0.8540 20 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 16 0.8648 0.9124 0.8620 0.8633 0.8884 0.9006 0.8979 0.8944 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 9, 19 0.9183 0.9412 0.8824 0.8790 0.9436 0.9430 0.9225 0.9176 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 11, 15 0.9431 0.9611 0.9286 0.9281 0.9733 0.9746 0.9676 0.9675 40 20 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 26 0.8395 0.9393 0.8791 0.8799 0.7031 0.8147 0.8526 0.8529 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 16, 28 0.8678 0.9436 0.8970 0.8960 0.7745 0.8410 0.8811 0.8790 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 18, 29 0.9523 0.9759 0.9022 0.9000 0.8898 0.9058 0.8850 0.8840 25 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 26 0.8803 0.9490 0.8960 0.8950 0.8203 0.8787 0.8831 0.8822 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 16, 28 0.9320 0.9662 0.9179 0.9169 0.9144 0.9351 0.9218 0.9193 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 18, 29 0.9700 0.9835 0.9238 0.9222 0.9602 0.9665 0.9286 0.9279 30 l

= 4,l

= 0 for i ̸= 26 0.9693 0.9822 0.9480 0.9455 0.9765 0.9793 0.9659 0.9647 l

= 3,l

= 3,l

= 0 for i ̸= 16, 28 0.9821 0.9882 0.9607 0.9590 0.9901 0.9895 0.9792 0.9774 l

= 4,l

= 4,l

= 0 for i ̸= 18, 29 0.9856 0.9925 0.9736 0.9728 0.9956 0.9953 0.9893 0.9870

거

ᆷ정통계량 간의 비교에서 먼저 표본이 상대적으로 작은경우 (n = 20 ∼ 30) 일반화된 로렌츠 곡선을 ᄋ

ᅵ용한 검정통계량이 순서통계량을이용한 검정통계량보다 검정력이 상대적으로 우수한 것으로 나타났 ᄋ

ᅳ나, 표본이 상대적으로큰경우 (n = 40) 순서통계량을이용한 검정통계량이 일반화된로렌츠 곡선을 ᄋ

ᅵ용한 검정통계량보다 검정력이 상대적으로 우수한 것으로 나타났다.

4.2. 실제 사례 분석 ᄉ

ᅢ롭게 제안한 일반화된다중 복합 중도절단 상황에서 순서통계량을 이용한 검정통계량과 일반화된 ᄅ

ᅩ렌츠 곡선을 이용하여 사례분석을 실시하였다. 사례분석에 사용된 자료는 Nelson (1982)이 제공한 ᄌ

ᅡ료로 다양한 전류 상황에서 가속수명실험을 실시하였을때 전연체의 고장 시간이다. 이 자료는 Lee ᄃ

ᅳᆼ (2012)이 Kolmogorov Smirnov 검정을이용하여 지수분포를따른다는것을확인하였다. 이 자료를 ᄃ

ᅡ중점진적 중도절단 상황으로 나타낸 자료는아래와 같다.

0.19 0.78 0.96 1.31 2.78 3.16 4.16 4.67 4.85 6.50 7.35 8.01 8.27 8.27 12.06 31.75 32.52 33.91 36.71 72.89 ᄋ

ᅱ의 자료를이용하여 일반화된다중 복합 중도절단 상황 (l³ = 2, T = 8, k = 12)을적용하였을때, ᄀ

ᅳᆫ사된 최대우도추정값은 ˆθ = 7.415686으로 나타났고, 이 값을이용하여 순서통계량을이용한 적합도 거

ᆷ정 통계량과 기각값을구한 결과 OS1과 OS2 검정통계량은각각 30.50476과 4.83715로 나타나 유의

화

ᆨ률이 각각 0.3810, 0.3535로 위의 자료는지수분포를따른다는결론을내릴 수 있고, 일반화된로렌츠 ᄀ

ᅩᆨ선을 이용한 적합도 검정 통계량과 기각값을구한 결과 LC1과 LC2 검정통계량은각각 .3001270과 .0905992로 나타나 유의확률이 각각 0.3046, 0.3058로 역시 지수분포를따른다는결론을내릴 수 있다.

5. 결론 보

ᆫ 논문에서는 일반화된다중 복합 중도절단 상황에서 지수분포의 최대우도추정량 및 근사된최대우 ᄃ

ᅩ추정량을계산하고 일반화된다중 복합 중도절단 상황에서 순서통계량을이용한 적합도 검정통계량과 이

ᆯ반화된로렌츠 곡선을이용한 적합도 검정 통계량을제안하였다. 그 결과 순서통계량을이용한 검정 ᄐ

ᅩ

ᆼ계량은표본의 크기에 따라 검정력에 차이가 많이 나타났지만, 일반화된로렌츠 곡선을이용한 검정통 ᄀ

ᅨ량은표본의 크기에 상관없이 검정력에 차이가 상대적으로 많이 나타나지는않았다. 제안한 모든 검 저

ᆼ통계량 간의 비교에서 먼저 표본이 상대적으로 작은경우 일반화된로렌츠 곡선을이용한 검정통계량 ᄋ

ᅵ 순서통계량을이용한 검정통계량보다 검정력이 상대적으로 우수한 것으로 나타났으나, 표본이 상대 ᄌ

ᅥᆨ으로큰 경우 순서통계량을이용한 검정통계량이 일반화된로렌츠 곡선을이용한 검정통계량보다 검 저

ᆼ력이 상대적으로 우수한 것으로 나타났다. 또한, 이렇게 제안한 검정통계량은 지수분포 뿐만 아니라 ᄃ

ᅡ른 분포에도 적용이 가능하므로 다양한 분포에 대하여 이를적용하여 검정력을파악할 필요가 있다 생 ᄀ

ᅡ ᆨ한다.

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2020, 31

4)

525–535

Goodness-of-fit test for generalized multiply hybrid censored data from an exponential distribution ^†

Subin Choi

¹

²

12Division of Mathematics and Big Data Science, Daegu University

Received 26 June 2020, revised 16 July 2020, accepted 22 July 2020

Abstract

In survival and reliability analysis, some units can be failed between two points of observation with exact times of failure of these units unobserved. For example, loss may arise in life-testing experiments when the failure times of some units were not observed due to mechanical or experimental difficulties. Therefore, generalized multiply hybrid censoring scheme was introduced. So, we derives an approximate maximum likelihood estimator of the parameter of exponential distribution. And we introduced the goodness-of-fit test statistics using order statistic and generalized Lorenz curve.

We carried out Monte Carlo simulation to compare the proposed test statistics. In addition, real data set have been analyzed.

Keywords: Exponential distribution, generalized Lorenz curve, generalized multiply hybrid censoring scheme, goodness of fit test, order statistic.

†

This work was supported by Daegu University Undergraduate Research Program, 2020.

1

Undergraduate student, Division of Mathematics and Big Data Science, Daegu University, Gyeongbuk 38453, Korea.

2

Corresponding author: Assistant professor, Division of Mathematics and Big Data Science, Daegu

University, Gyeongbuk 38453, Korea. E-mail: indra [email protected]