As Semiconductor Superlattice Under a Magnetic Field

Vol. 67, No. 2, February 2017, pp. 142∼147 http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.67.142

Theoretical Investigation of Plasmon Properties in a Multiple Quantum Well in a GaAs/Al

Ga

As Semiconductor Superlattice Under a Magnetic Field

Sang Chil Lee

Faculty of Science Education, Jeju National University, Jeju 63243, Korea

Hyung Soo Ahn

Department of Electronic Material Engineering, Korea Maritime and Ocean University, Busan 49112, Korea

Suck Whan Kim

Department of Physics, Andong National University, Andong 36729, Korea (Received 8 September 2016 : revised 29 September 2016 : accepted 30 September 2016)

Extending a previous theoretical framework for the multiple-quantum-well (MQW) system in the GaAs/AlxGa1−xAs semiconductor superlattice, we obtained, on the basis of a simple model of a half-parabolic confining potential varying with the composition of the AlxGa1−xAs barrier layer, the density-density correlation function, including intrasubband and intersubband transitions, by using the random-phase approximationin under a magnetic field perpendicular to the axis of the superlattice. The dispersion energies for the surface and the bulk states were obtained as a function of compositional ratio of x in the AlxGa1−xAs barrier layer and the magnetic field strength, respectively. The Raman intensities due to the bulk and the surface were also obtained for incoming light energy as a function of the compositional ratio x and the magnetic field strength.

PACS numbers: 68.60.-p, 75.70.Ak

Keywords: Multiple quantum well, Subband, Type-I superlattice, Random phase approximation, Density- density correlation function

자기장하의 GaAs/Al

Ga

As 반도체초격자내 다중양자우물내 플라스몬속성의 이론적 조사

이상칠

제주대학교 사범대학 과학교육과, 제주 63243, 대한민국

안형수

한국해양대학교 응용과학과, 부산 49112, 대한민국

김석환

안동대학교 자연과학대학 물리학과, 안동 736729, 대한민국

(2016년 9월 8일 받음, 2016년 9월 29일 수정본 받음, 2016년 9월 30일 게재 확정)

GaAs/AlxGa1−xAs 반도체초격자내 다중양자우물계에 대한 이전의 이론적 토대를 확장하여 초격자축에

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수직한 자기장하의 막 위상 근사방법을 사용하고 부 밴드 내와 부 밴드 사이의 전이가 포함된 밀도-밀도 상관 함수가 반-포물선형 구속 퍼텐셜을 기초로 얻어 졌다. 표면과 벌크 상태들에 대한 분산에너지를 AlxGa1−xAs 장벽층의 조성비와 자기장세기의 함수로 각각 얻었다. 또한 표면과 벌크 상태들에 대한 라만 세기를 조성비와 자기장세기의 함수로 얻는다.

PACS numbers: 68.60.-p, 75.70.Ak

Keywords: 다중양자우물, 부 밴드, 제 1종 초격자, 막위상 근사방법, 밀도-밀도 상관 함수

I. 서 론

저차원 반도체 구조 내 전자의 양자적 구속은 광소자의 개 발에 중요한 역할을 한다. 에이치브이피이 (hydride vapor phase epitaxy, HVPE) 방법, 엠오시브이디 (metal organic chemical vapor deposition, MOCVD) 방법, 분자 켜 쌓기 (molecular beam epitaxy, MBE) 방법과 석판 인쇄 증착 (Lithographic deposition) 방법 등의 성장기술로 저차원의 원자적이고 인위적으로 양자 점, 양자선, 양자우물이나 초격 자들을 정밀하게 제작 되었다 [1–16]. GaAs/AlxGa1−xAs 계로 대표되는 제 1종 초격자 [3–13]는 AlxGa1−xAs 층과 n− 형 GaAs 극성 반도체 층이 교대 적으로 결합 것으로 AlxGa1−xAs 층의 장벽에 의해 분리된 n− 형 GaAs 극성 반도체 층 내에 양자우물을 형성하고 있으며 의 조성비에 의해 양자우물의 깊이가 조절 된다. n−형 GaAs 극성 반도 체 층의 전도대내 전자들의 운동은 초격자축 방향으로 구속 되어 있고, 초격자축의 수직 방향으로의 운동은 자유전자와 같은 연속 상태를 보여 준다. 이들 초격자내 운반자들의 전 기적, 광적 속성들을 이해하기 위해서는 다중 양자 우물 내 플라즈몬의 집단 여기 (collective excitation) 현상의 연구가 가장 이상적이다.

본 연 구 는 앞 에 제 시 된 제 1 종 반 도 체 초 격 자 GaAs/AlxGa1−xAs 계의 다중 양자 우물 구조 내 플라스몬 들의 초격자축방향인 z 방향의 구속퍼텐셜을 반 포물선형 퍼텐셜우물의 간단한 모형에 근거하여 [16,17], 초격자축에 수직인 방향으로 자기장이 가해질 때 다중양자우물내의 플라스몬 상태들의 부 밴드 (subband) 내의 양자상태와 부 밴드 양자상태 사이의 상호작용을 포함하는 자체 밀도-밀도 상관함수로 부터 Al의 조성비의 함수로서 구속 퍼텐셜의 장벽의 높이에 따른 표면 상태와 벌크 상태의 분산에너지를 자기장의 함수로 계산하고, 라만 강도의 세기를 자기장의 세기와 조성비의 함수로 계산한다.

본 논문의 구성은 다음과 같다. II 에서는 제시된 반포 물선 퍼텐셜에 구속된 전자들에 대해 가해준 자기장하의 란다우게이지 (Landau gauge) 를 포함한 해밀토니언, 고유 함수와 고유에너지를 계산하며, III에서는 반무한 공간에

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대하여 막 위상 근사방법을 사용하여 유전율을 계산하고, IV 에서는 벌크와 표면 플라스몬들의 부 밴드 양자 상태 내와 사이의 분산에너지를 계산하며, IV에서는 벌크와 표 면의 플라스몬들에 대한 라만 스펙트라 (Raman spectra) 를 양자 상태 내와 사이에 대해 플라스몬의 분산에너지와 비교 하였다. 결론은 V에서 토론한다.

II. 계의 모형

GaAs/AlxGa1−xAs 초격자는 AlxGa1−xAs반도체 층의 장벽과 GaAs 반도체 층의 양자우물에 의해 형성되며 이에 대한 에너지 밴드 갭은 Eg = 1.427 + 1.247x [16,18] 값인 데, 여기서 x 는 Al의 조성비 (fraction) 이다. 이 구조 내에 형성된 양자 우물 내 초격자 축에 평행한 z 방향으로 구속된 전자들의 구속퍼텐셜을 반 포물선 형태 ¹₂mlω²_z(z +^L₂)²의 간단한 모형으로 양자우물 폭 내에 6개 이상의 양자 준위가 존재하도록 가정하였으며, 단일 입자의 해밀토니안은

H = P_x² 2mt

+ 1

2 ˜m(P_y+ ω_cm_lω²_zL

2(Ω²− ωc²) )²+ P² 2ml

+1

2mtΩ²(z−2ωcPy− mlω²_zL 2mtΩ² )²

− m²_lω_z⁴L²

8ml(Ω²− ωc²)+m_lω_z²L²

8 (1)

으로 계산되는데, 여기서 Ω² = ω_c² + m_lω_z²/m_t, ˜m = mt/(1− ω²c/Ω²), 이며 ωc = eB/mt는 사이클로트론 진 동수이며, z0 = (2Pyω_c− mlΩ²_zL)/(2m_lω²), L은 양자우 물의 폭이고, ml과 mt는 각각 횡적, 종적 질량성분이고 ωz

는 반 포물선형 구속 퍼텐셜의 구속진동수이다. z = la 에 중심을 둔 N 개의 단위구조로 구성된 전자 층들에 의한 제 1 종 초격자내 다중양자우물은 각각 m 개의 부 밴드로 양자화 된다. 반 포물선형 구속 퍼텐셜하의 l 번째 단위구조 내의 입자 상태는

|qln >= exp(iqxx) exp(iq^′_yy)ψl,2n+1(z) (2) 인데 여기서 ψl,2n+1(z) = ϕ_2n+1(z− la) exp(iqza), q_y^′ =

√1− ωc²/Ω²qy, 2n + 1 은 각 양자우물 내 양자화 지수이고,

ϕ2n+1(z− la) 은 l 째 양자우물 내 전자의 파동함수이다.

양자화 된 에너지는

En= (2n +3

2)ℏωz+ℏ²q_x² 2m_t+ℏ²q_y²

2 ˜m − m²_lω_z⁴L²

8m_t(Ω²− ωc²)+mlω²_zL² 8 (3) 이다. ωz의 값은 양자우물의 최대 폭에 의한 퍼텐셜에너 지, 즉 V = mω²_zL²/2이 1.247x/2값을 가지며, 포물선형 구속 퍼텐셜 내에 구속된 전자의 양자화에너지 (m + ¹₂)ℏω 의 6번째 양자화에너지가 (5 + ¹₂)ℏω ≤ 1.247^x₂의 조건을 만족하도록 6개 이상의 양자 준위가 존재하여, 반 포물선 구속퍼텐셜내의 전자의 양자화에너지 (2n + 1 + ¹₂)ℏω 의

양자수 1(n = 0), 3(n = 1), 5(n = 2) 를 고려하기 위해 가 정하였고, 계산의 단순성을 위해 mt= m_l= m로 두었다.

III. 유전율

반도체 GaAs/AlxGa1−xAs계의 다중 양자 우물 구조 내 초격자축에 수직인 방향으로 자기장이 가해질 때, Jain과 Allen [10]에 의해 도입된 밀도-밀도 상관함수 [14]의 관계 식으로 부터 유전율 공식 ϵ(l, l^′; nm)⁻¹ = Πnnmm/Π⁰_nm을 이용하여 계산하면 [17,18]

ϵ(l, l^′; nm)⁻¹ = 1

γ_nnmm[δll′+Π_nm⁰ Vq_xysinh(qxya)gnm±

2γ_nnmm√

b²_nm− 1 U_nnmm^{−|l−l′|} +(1− e^−qxyaN)Vq_xyΠ⁰_nmU^{−(l+l′+2)}

4N γ_nnmm² √

(b²_nm− 1)² [A¹¹_nnmmU_nnmm² + (A¹²_nnmm+ A²¹_nnmm)Unnmm+ A²²_nnmm]] (4)

이 다. 식 (5) 의 첫 번 째 와 두 번 째 항 은 초 격 자 의 벌 크 상 태 에 의 한 기 여 부 분 을 나 타 내 며, 세 번 째 항 은 표 면 상 태 에 의 한 기 여 부 분 에 의 한 것 이 다. 여 기 서 Unnmm = bnm + √

b²_nm− 1, gnm± = gnn^′(qxy)gmm^′(−qxy) + gnn^′(−qxy)gmm^′(qxy), bnm = cosh(qxya) - Π⁰_nmVq_xysinh(qxya)gnm±/(2γnnmm)^′, gnn′(±q) = ∫

ψnψn′exp(±qz)dz, γnnmm = 1 − Π⁰nmV_qxy[g_nnmm⁰ − gnm±/2], g_nnmm⁰ =

∫ ∫ψ_n²(z) exp(−qxy|z − z^′|)ψm²dzdz^′ 이 다. V_qxy = 2Πe²/(ϵqxy)이며 qxy = √

q²_x+ ω²_zq²_y/Ω², Π⁰_nm는 층에 독립적인 비 상호작용계의 편극율 이다. 식 (5) 의 Aiijj

는 쿨롱퍼텐셜의 표면부분으로부터 편극율을 구하기 위해 퓨리어 (Fourier) 변환을 거쳐 얻어진다 [17,18]. 식 (5) 의 첫째와 두 번째 항은 Π^B_nnmm(l, l^′)/Π⁰_nm(l, l^′)이며, 셋째 항은 Π^S_nnmm(l, l^′)/Π⁰_nm(l, l^′)를 나타낸다.

IV. 벌크와 표면 자기 플라스몬의 라만세기

반도체 GaAs/AlxGa1−xAs 계의 초격자내의 다중 양 자 우 물 내 플 라 스 몬 들 의 집 단 여 기 는 밀 도- 밀 도 상 관 함 수 Πnnmm(qz, qz′)의 극 (pole) 들 로 정 의 되 는 데 Π_nnmm(q_z, q_z′)는 Πnnmm(l, l^′)의 퓨리어 변환으로 층 수 N 이 큰 값을 가질 때 벌크와 표면 부분의 극들로 각각 나누어지며, 반 포물선형 구속 퍼텐셜내의 전자의 파동함수

[17,18]와 ϵ(qz) = Π⁰(qz)/Π^B(qz)의 식으로 부터 벌크 플 라스몬의 분산관계를 나타내는 Π^B(q_z)의 극인 ϵ(qz) = 0 를 (5) 식에서 얻는다. 장파장 한계에서 편극율은

Π⁰_ii = nℏ²q²_xy

m[(ℏω)²+ iγℏω], i = 0, 1, 2 (5) Π⁰_ij = 2nE_ij

[(ℏω)²− Eij² + iγℏω], i̸= j (6)

로 주어지는데, 여기서 γ 는 현상학적인 확장인자 (phe- nomenological broadening factor), Eij = 2(i− j)ℏωz, ω = ωi−ωs는 입사광의 진동수와 산란광의 진동수 사이의 차를 나타낸다. 고정된 qxy값에 대하여−1 ≤ bnm ≤ 1 의 영역으로 벌크 플라스몬 밴드를 정의되며, 표면 플라스몬의 분산은 식 (5) 의 쿨롱퍼텐셜의 표면부분으로부터 편극율 구하기 위해 Aiijj요소를 퓨리어 (Fourier) 변환을 구하는 과정에서 행렬식을 0으로 하는 조건으로 부터 표면 부분의 극을 얻는다 [17,18].

반도체 GaAs/AlxGa1−xAs계의 초격자내 다중 양자 우 물 구조 내의 반 포물선형 구속 퍼텐셜하의 전자에 대해 초 격자축에 수직방향으로 자기장이 가해질 때, 양자 우물내의 부 밴드 양자 준위의 띠 내와 띠 사이에 기인한 표면과 벌크 플라스몬의 분산관계를 계산하는데 사용된 변수 [8,9,11, 14,17,18]들은 각각 ϵ = 13.1, ϵ0= 1, δ = L/2 로 두었다.

Fig. 1은 qa = 2.0, B = 6 T, qx = 0.8q 인 조건하에서 Al의 조성비 x 의 함수로서 부 밴드 양자 준위의 띠 내와

Fig. 1. (Color online) Dispersion relationℏω versus com- positional rate of Al for surface and bulk plasmons due to the intrasubbands and the intersubbands for for the half parabolic confining potential well, respectively. The values of the parameters are as follow: n = 7.7 × 10¹¹ cm⁻², a = 82.7 nm, L = 30 nm, m = 0.0665m0, ε = 13.1, ε0 = 1.0, and Eij = 2(i− j)ℏω, respectively [8,9, 11,14,17,18].

띠 사이의 기인한 벌크와 표면 플라즈몬의 분산에너지를 나타냈다. Fig. 1에서 나타난 바와 같이, ωnn+와 ωnm+는 각각 벌크 플라스몬 부 밴드 내와 부 밴드 간의 양자화 된 분산에너지들의 최대 분산 진동수 값이고 ωnn−와 ωnm−는 벌크 플라스몬 부 밴드 내와 부 밴드 간의 양자화 된 분산에 너지들의 최소 분산진동수이다. ωnnS와 ωnmS는 각각 부 밴드 내와 부 밴드 간의 표면 플라스몬 모드들의 분산에너지 진동수이다. 여기서 n, m 은 부 밴드 준위 지수를 나타낸다.

Fig. 1에서 나타난 바와 같이 조성비가 증가함으로서 띠 내 부 밴드의 분산에너지는 가볍게 감소하며 띠 간 부 밴드의 분산에너지는 크게 증가 한다.

Fig. 2는 qa = 2.0, x = 0.5, qx = 0.8q 인 조건하에서 자 기장 세기의 함수로서 부 밴드 양자 준위의 띠 내와 띠 사이 의 기인한 벌크와 표면 플라즈몬의 분산에너지를 나타냈다.

Fig. 2에서 나타난 바와 같이 자기장세기가 증가함으로서 띠 내 부 밴드의 분산에너지는 가볍게 증가하며 띠 간 부 밴드의 분산에너지는 크게 증가 한다.

V. 라만 스펙트라 (Raman spectra) 세기

라만 세기는 밀도-밀도 상관함수 [8,9,11,14,17,18]의 허수부분을 포함하는 아래와 같이

F (ω, Q) =∑

n,m

AnmIm[

−Π⁰nmϵ(ω, qxy, 2kz)⁻¹] (7)

Fig. 2. (Color online) Dispersion relationℏω versus mag- netic field strength for surface and bulk plasmons due to the intrasubbands and the intersubbands for the quan- tized energy levels in a half parabolic potential. Here, the parameters are the same as those used in Fig. 1.

비례하는 식으로 나타난다. 여기서 2kz는 다중양자우물을 형성하는 초격자 축 방향으로 광자가 플라스몬에 전달되는 운동량을 나타내고, ϵ(ω, qxy, 2kz)⁻¹는 유효 역 유전 함수 (effective inverse dielectric function) 이다. 식 (8) 에 나타 난 라만 세기 F (ω, Q) 의 수치적인 계산을 위해 전에 사용한 변수 [17,18]들을 사용하면 n = 7.7× 10¹¹ cm⁻², N = 40 과 kz= 2π/(5a) 으로 임의의 값을 사용했다.

Fig. 3에서는 Fig. 1과 같은 조건하에서 여러 Al의 조성비 x값에 대해 반 포물선형 구속 퍼텐셜내의 플라즈몬들의 부 밴드 띠 내 준위들에 기인한 벌크 플라스몬과 표면 플라스 몬의 광흡수에 의한 라만세기를 입사광에너지의 함수로서 나타냈다. 여기에 사용된 변수 [17,18]들은 m = 0.065m0, ϵ = 13.1, ϵ = 13.1, ϵ0 = 1.0, a = 82.7 nm, kz = 2πa/5, L = 30 nm, n = 7.7 × 10¹¹ cm⁻² 이며 γ = 10⁻⁵ meV 을 사용했다. Fig. 3에서 양자 우물내의 플라즈몬들이 라만 피크는 각각 벌크 상태에 의한 4개의 피크와 표면 상태에 의한 2개의 피크를 합쳐 6개의 피크를 발견 할 수 있는데 이것은 Fig. 1의 부 준위의 띠 내 전이에 의한 결과와 같은 분산에너지에서 피크를 발견할 수 있다.

Fig. 4에서는 Fig. 1과 같은 조건하에서 여러 Al의 조성비 x값에 대해 반 포물선형 구속 퍼텐셜내의 플라즈몬들의 부 밴드 띠 간 준위들에 기인한 벌크 플라스몬과 표면 플라스 몬의 광흡수에 의한 라만세기를 입사광에너지의 함수로 나 타냈다. 여기에 사용된 변수들은 그림 3에 사용한 변수들과 같으며 단지 γ = 10⁻⁶ meV을 사용했다. Fig. 4는 그림 3 과 마찬가지로 각각 벌크 상태에 의한 4개의 피크와 표면 상태에 의한 2개의 피크를 합쳐 6개의 피크를 발견 할 수 있다.

Fig. 3. (Color online) Composition rate x dependences of the Raman intensities for surface and bulk plasmons due to the intrasubbands for the half parabolic confining potential well at a specific value of qa = 2.0, B = 6T , and kz = 2πa/5. Here, in addition to the parameters used in Fig. 1, the following have been used: λ = a, 2δ

= L and γ = 10⁻⁵ meV.

Fig. 4. (Color online) Composition rate x dependences of the Raman intensities for surface and bulk plasmons due to the intersubbands for the half parabolic confining potential well. Here, in addition to the parameters used in Fig. 3, the following have been used: γ = 10⁻⁶ meV.

Fig. 5는 Fig. 2와 같은 조건하에서 여러 자기장세기에 대해 반 포물선형 구속 퍼텐셜내의 플라즈몬들이 광흡수에 의한 라만세기를 입사광 에너지의 함수로 나타낸 것으로 각각 부 밴드 띠 내 준이들에 기인한 벌크 상태에 의한 4 개의 피크와 표면 상태에 의한 2개의 피크를 합쳐 6개의 피크를 발견 할 수 있는데 이 결과도 Fig. 2의 부 준위의 띠 내 전이에 의한 결과와 같은 입사광에너지에서 피크를 발견할 수 있다. 여기서 사용된 변수들은 Fig. 3에 사용된 변수들과 같다.

Fig. 6은 Fig. 2와 같은 조건하에서 여러 자기장세기에 대해 반 포물선형 구속 퍼텐셜내의 플라즈몬들이 광흡수에

Fig. 5. (Color online) Magnetic field strength depen- dences of the Raman intensities for surface and bulk plasmons due to the intrasubbands for the half parabolic confining potential well. Here, the parameters are the same as those used in Fig. 3.

Fig. 6. (Color online) Magnetic field strength depen- dences of the Raman intensities for surface and bulk plasmons due to the intersubbands for the half parabolic confining potential well. Here, the parameters are the same as those used in Fig. 4.

의한 라만세기를 입사광 에너지의 함수로 각각 부 밴드 띠 간 준이들에 기인한 벌크와 표면 상태들에 의해 나타난 피크 수는 전의 결과와 같다. 이 결과도 Fig. 4의 부 준위의 띠 간 전이에 의한 결과와 같은 입사광에너지에서 피크를 발견할 수 있다. 여기서 사용된 변수들은 Fig. 4에 사용된 변수들과 같다.

VI. 결 론

지금까지 N 개의 단위구조로 구성된 GaAs/AlxGa1−xAs 초격자내 다중 양자 우물계 내의 AlxGa1−xAs 반도체 장 벽층의 Al의 조성비에 따라 변하는 에너지 밴드 갭에 의해

형성된 양자우물에 구속 된 플라즈몬들이 반 포물선형 구속 퍼텐셜에 구속된 이전의 이론적 모형을 근거로 자기장을 초격자축에 수직 방향으로 가할 때 우물내의 플라즈몬들에 대한 부 밴드 준위 내와 부 밴드 준위 간의 전이에 기인한 표면과 벌크 플라스몬의 분산관계를 각각 계산했다. 반무한 공간에서 막 위상 근사방법을 사용하여 자기장을 포함하는 부 밴드의 띠 내와 띠 간의 전이를 포함하여 밀도-밀도 상 관 함수에 의해 벌크와 표면 플라스몬들의 분산에너지를 계산하였고 이들 플라스몬들에 대한 라만 스펙트라를 계산 하였다. 결론적으로 Al의 조성비가 증가함으로서 띠 내 부 밴드의 분산에너지는 가볍게 감소하나 띠 간 부 밴드의 분산에너지는 크게 증가 하며, 자기장세기가 증가함으로서 띠 내 부 밴드의 분산에너지는 가볍게 증가하며 띠 간 부 밴드의 분산에너지는 크게 증가 한다. 벌크 플라스몬의 라만 피크 폭의 넓어짐은 현상학적인 확장인자와 밀접하게 관련되고, 표면 플라스몬에 의한 피크는 α1값의 크기에 의해 좌우된다.

감사의 글

이 논문은 2015년도 안동대학교 연구비에 의하여 연구되 었습니다.

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