Chapter 2: One-dimensional steady-state conduction
■ 총괄열전달계수
1) 평판
한 면은 뜨거운 유체 A 에 노출되어 있고 다른 한 면은 차가운 유체 B 에 노출되어 있는 평판에서의 열전달은 다음과 같이 표현할 수 있다.
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣= ℎ1𝐴(𝑇𝐴− 𝑇1)
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑=𝑘𝐴
∆𝑥(𝑇1− 𝑇2)
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣= ℎ2𝐴(𝑇2− 𝑇𝐵)
전달되는 열을 같아야 하므로,
𝑞 = ℎ1𝐴(𝑇𝐴− 𝑇1) =𝑘𝐴
∆𝑥(𝑇1− 𝑇2) = ℎ2𝐴(𝑇2− 𝑇𝐵)
𝑇𝐴− 𝑇1= 𝑞 ℎ1𝐴
𝑇1− 𝑇2=𝑞∆𝑥 𝑘𝐴
𝑇2− 𝑇𝐵= 𝑞 ℎ2𝐴
𝑇𝐴− 𝑇𝐵= [ 1 ℎ1𝐴+∆𝑥
𝑘𝐴+ 1 ℎ2𝐴] 𝑞
𝑞 = 𝑇𝐴− 𝑇𝐵
ℎ11𝐴 +∆𝑥 𝑘𝐴 + 1
ℎ2𝐴
= 𝐴(𝑇𝐴− 𝑇𝐵) ℎ11+∆𝑥
𝑘 + 1 ℎ2
∑ 𝑅𝑡ℎ= 1 ℎ1𝐴+∆𝑥
𝑘𝐴+ 1 ℎ2𝐴
이는 전도와 대류로 구성되는 총괄열전달이며 총 온도차를 열저항의 합으로 나눈 값이 된다. 즉, 유체 A 를 통한 대류 열전달 → 전도를 통한 열전달로 벽을 통과 → B 에 의한 대류 열손실 형태의 전도와 대류로 구성되는 문제라 할 수 있으며, 일상에서 쉽게 접할 수 있는 형태의 열전달이다.
전도와 대류로 구성되는 총괄열전달은 다음과 같이 정의 되는 총괄열전달계수 𝑈로 나타낼 수 있다.
𝑞 = 𝑈𝐴∆𝑇
즉, 총괄열전달 계수는 앞선 식으로부터
𝑈𝐴∆𝑇 = 𝐴(𝑇𝐴− 𝑇𝐵) ℎ11+∆𝑥
𝑘 + 1 ℎ2
𝑈 = 1
ℎ11+∆𝑥 𝑘 + 1
ℎ2
또한, 앞선 R 값과 비교해 보면 총괄열전달계수는 R 값의 역수임을 알 수 있다.
𝑈 = 1 R-value
Figure 1. Overall heat transfer coefficient in plane wall
2) 중공원통
벽하고 같은 원리로 접근할 수 있으며, 전도부분의 식만 앞서 유도한 원통에서의 전도로 바뀐다.
원통이므로, 안쪽과 바깥쪽의 단면적의 차이가 있다는 것에 유의해야 한다.
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝑖𝐴𝑖(𝑇𝐴− 𝑇1)
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑=2𝜋𝑘𝐿(𝑇𝑖− 𝑇𝑜) ln(𝑟𝑜⁄ )𝑟𝑖
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝑜𝐴𝑜(𝑇2− 𝑇𝐵)
평면벽에서와 마찬가지 방법으로, 중공원통에서의 전도-대류 총괄열전달은 다음식으로 계산할 수 있다.
𝑇𝐴− 𝑇𝐵 = [ 1
ℎ𝑖𝐴𝑖+ln(𝑟𝑜⁄ )𝑟𝑖
2𝜋𝑘𝐿 + 1 ℎ𝑜𝐴𝑜] 𝑞
𝑞 = 𝑇𝐴− 𝑇𝐵
ℎ𝑖1𝐴𝑖+ln(𝑟𝑜⁄ )𝑟𝑖
2𝜋𝑘𝐿 + 1 ℎ𝑜𝐴𝑜
내부면적과 외부면적이 차이가 있으므로, 총괄열전달계수는 내부면적과 외부면적 둘 중 어느하나에 기준을 둘 수 있다.
𝑈𝑖= 1
ℎ1𝑖+𝐴𝑖ln(𝑟𝑜⁄ )𝑟𝑖
2𝜋𝑘𝐿 + 𝐴𝑖
ℎ𝑜𝐴𝑜
𝑈𝑜= 1
𝐴𝑜
ℎ𝑖𝐴𝑖+𝐴𝑜ln(𝑟𝑜⁄ )𝑟𝑖 2𝜋𝑘𝐿 + 1
ℎ𝑜
Figure 2. Overall heat transfer coefficient in hollow cylinder
일반적으로, 평면 혹은 원통계일 때 다음의 관계가 있다.
𝑈𝐴 = 1
∑ 𝑅𝑡ℎ= 1 𝑅𝑡ℎ,𝑜𝑣𝑒𝑟𝑎𝑙𝑙
일반적인 건축재료에 대한 U 값이 표 2.2 에 주어져 있으며, 건물의 난방 및 냉방부하계산시 사용할 수 있다 (표 10.1 에 몇가지 대표적인 총괄열전달계수가 나타나 있다).
■ 단열의 임계두께
Figure 3. Critical thickness of insulation (Holman 10th edition, 2011)
내면온도가 𝑇𝑖 인 단열재로 둘러싸이고, 외면온도가 𝑇∞인 유체에 둘러싸인 원통관을 생각해보자. 열회로를 생각하면 다음과 같이 열전달을 구할 수 있다.
𝑞 = 2𝜋𝐿(𝑇𝑖− 𝑇∞) ln(𝑟𝑜⁄ )𝑟𝑖
𝑘 + 1 𝑟0ℎ
열손실이 최대가 되는 열재의 최대 외부반지름 𝑟𝑜는 다음과 같이 구할 수 있다 (최대/최소를 구하기 위해서는?
미분이 0 이 될 때 최대 혹은 최소를 가진다).
𝑑𝑞
𝑑𝑟𝑜=2𝜋𝐿(𝑇𝑖− 𝑇∞) ( 1𝑘𝑟𝑜− 1 ℎ𝑟𝑜2) [ln(𝑟𝑜⁄ )𝑟𝑖
𝑘 + 1 𝑟0ℎ]
2 = 0
위의 식을 𝑟𝑜에 관해서 풀면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
𝑟𝑜=𝑘 ℎ
만약 외부반지름이 위의 식보다 작은 경우 단열재를 더 두껍게 첨가한다면 열손실은 증가하지만 외부반지름이 임계값보다 더 클 경우 단열재의 두께를 증가시키면 열손실은 감소한다. ℎ값이 아주 작을 경우 대류열손실은 표면적 증가로 인하여 단열재를 첨가함에 따라 증가한다.
( 1 𝑘𝑟𝑜− 1
ℎ𝑟𝑜2) = 1
𝑘𝑟𝑜2(𝑟𝑜−𝑘 ℎ)
위 식에서 살펴보면, 𝑟𝑜 = 𝑟𝑐𝑟𝑖= 𝑘 ℎ⁄ 일 때 열손실이 최대가 되므로 𝑟𝑜< 𝑘 ℎ⁄ 일 때 단열재를 더 할수록 열손실(전달) 증가하지만, 𝑟𝑜 > 𝑘 ℎ⁄ 이면 (즉, 최대 열전달 반지름을 넘어서면) 열전달은 감소한다.
■ 총괄열전달계수 및 단열의 임계두께 예제
1. 내부 지름이 20cm, 벽의 두께가 5cm인 증기관이 있다. 단열재를 두께 3cm로 둘러쌀 때 단열재의 추가가 효과를 가지기 위한 단열재의 최대 열전도계수는 얼마인가? 열전달계수는 10W/m2°C 이다.
(solution)
추가가 효과를 가지기 위해서는 임계반지름보다 외부반지름이 더 커야 하므로,
r0=k h= k
10≤ 18cm = 0.18m
그러므로, k ≤ 1.8이고, 최대열전도계수는 1.8 W/m°C 이다
2. 배관의 지름이 20mm이고, 단열재의 두께가 20mm인 관에 대하여, 단열재의 열전도도가 0.01 W/m ∙ K 이다. 이 때, 공기가 접하는 단열재 바깥 표면에서 열전달 계수는 10 W/m2∙ K 일 때, 단열재를 추가하는 것은 어떤 효과를 가져오는가? 관의 내부와 외부 공기와의 온도차가 100℃라 한다면, 단위길이당 열손실은 얼마인가?
(solution)
1) 단열의 임계반지름을 구하면
𝑟0=𝑘 ℎ=0.01
10 = 0.001m
현재 배관의 외부반지름은 0.01 + 0.02 = 0.03m이고, 이는 임계반지름보다 크다. 그러므로, 단열재를 추가하는 것은 열손실을 감소시킨다.
2) 열손실을 구하기위해 아래의 식을 이용하면,
𝑞
𝐿= 2𝜋(𝑇𝑖− 𝑇∞) ln(𝑟𝑜⁄ )𝑟𝑖
𝑘 + 1 𝑟0ℎ
= 2𝜋 × 100 ln(30 10⁄ )
0.01 + 1 0.03 × 10
= 5.55 𝑊/𝑚
3. Hot fluid of 100℃ flows in a pipe with diameter of 50cm and length of 2m (k = 100 𝑊/𝑚℃), and the pipe is exposed to air (h = W/m2∙ K) whose temperature is 50℃. When the overall heat-transfer coefficient is 20W/m2∙ K, calculate the heat transfer from the pipe to the air.
(solution)
𝑞 = 𝑈𝐴∆𝑇 = 20 × 2π × 0.25 × 2 × 50 = 3141.6 W = 3.14 kW
■ 열원계
∙ 내부에서 열이 생성되는 시스템
∙ 원자로, 전기도체, 화학반응계 등
♠(예시) 태양: 내부열원이 존재 – 핵융합을 통해서 에너지를 생성해 낸다
▶ 삼차원에서의 열전도식
Figure 4. 3-D heat conduction with heat source
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2+𝜕2𝑇
𝜕𝑦2+𝜕2𝑇
𝜕𝑧2+𝑞̇
𝑘=1 𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑥, 𝑦, 𝑧축으로 들어가는 열 + 내분열원이 갖고 있는 열과
𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 만큼 이동한 변위에서 나가는 열 + 내부에너지의 변화가 같아야 한다 – 에너지 보존의 법칙
이 식을 정리하면 2 차 편미분 방정식이 나옴 – 매우 까다롭기 때문에 특정한 상황을 가정한다. 앞서 배운 내용은 정상상태에서의 일차원 흐름과 내부 열원이 없는 경우를 가정. 지금 내용은 정상상태에서의 일차원 흐름은 똑같지만 내부 열원이 있는 경우, 즉 𝒒̇ 𝒌⁄ 가 0 이 아닌 경우이다.
열원이 없는 경우에 평면벽, 원통, 구에 대한 열전달을 학습한 것처럼, 열원이 있는 경우도 마찬가지로 생각해 볼 수 있다. 단, 구의 경우 많이 이용하지 않으므로, 실제 생활에서 열전달과 관계가 있는 다음 두 가지를 살펴보도록 한다.
∙ 평면벽 (벽은 어디서나 볼수 있다)
∙ 원통 (파이프는 많이 이용된다)
1) 평면벽
그림에서처럼 균일하게 분포된 열원을 갖는 평면벽을 생각해 보자. 벽의 두께는 2𝐿 이고, 벽이 다른 반향으로 너무 크다고 가정하면 열은 𝑥방향으로만 흐른다. 𝑦, 𝑧 방향에 대한 식은 0 이고, 정상상태이므로 온도 변화도 0 이 되고, 결과적으로 식은 2 차미분방정식의 형태가 된다.
𝑑2𝑦 𝑑𝑥2+𝑞̇
𝑘= 0
𝑑2𝑦 𝑑𝑥2= 0
𝑇에 대해서 풀면, 다음과 같은 일반해를 구할 수 있다.
𝑇 = − 𝑞̇
2𝑘𝑥2+ 𝐶1𝑥+𝐶2
조건에 의해
𝐶1= 0 (벽의 양면의 온도는 동일)
𝐶2= 𝑇𝑜 (중앙단면에서의 온도를 𝑇0라 하면) Figure 5. Plane wall with heat source
다음과 같은 해를 얻을 수 있다.
𝑇 − 𝑇𝑜= − 𝑞̇
2𝑘𝑥2
다음의 조건을 대입하면
𝑥 = ±𝐿 ⟹ 𝑇 = 𝑇𝑤
𝑇𝑤− 𝑇𝑜= − 𝑞̇
2𝑘𝐿2
정리하면 다음의 식을 얻을 수 있다.
𝑇 − 𝑇𝑜
𝑇𝑤− 𝑇𝑜= (𝑥 𝐿)2
𝑇 − 𝑇𝑜
𝑇𝑜− 𝑇𝑤=(𝐿2− 𝑥2)
𝐿2 = 1 − (𝑥 𝐿)2
2) 원통
원통에서의 3 차원 전도 방정식은 다음과 같다.
𝜕2𝑇
𝜕𝑟 +1 𝑟
𝜕𝑇
𝜕𝑟+ 1 𝑟2
𝜕2𝑇
𝜕𝜙2+𝜕2𝑇
𝜕𝑧2+𝑞̇
𝑘=1 𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
평면벽과 마찬가지로 1 차원 정상상태를 가정하면 다음 식과 같이 된다.
𝑑2𝑇 𝑑𝑟 +1
𝑟 𝑑𝑇 𝑑𝑟+𝑞̇
𝑘= 0
일반해는 다음과 같다.
𝑇 = − 𝑞̇
4𝑘𝑟2+ 𝐶1ln 𝑟 + 𝐶2
경계조건의 차이로 인한 적분상수 값이 다르게 되므로, 원통과 중공원통의 경우 온도분포식이 다르다.
원통
𝑇 = 𝑇𝑜+ 𝑞̇
4𝑘(𝑟𝑜2− 𝑟2)
𝐶1= 0
𝐶2= 𝑇𝑜+ 𝑞̇
4𝑘𝑟𝑜2
중공원통
𝑇 = 𝑇𝑜+ 𝑞̇
4𝑘(𝑟𝑜2− 𝑟𝑖2) + 𝐶1ln𝑟 𝑟𝑜
𝐶1=𝑇𝑖− 𝑇𝑜+ 𝑞(𝑟𝑜2− 𝑟𝑖2) 4𝑘⁄ ln 𝑟𝑖⁄𝑟𝑜
■ 열원계 예제
1. Using the figure shown in the right, determine the temperature distribution according to 𝑥 and heat transfer per unit area at the left face (assume k=2 W/m°C)
(solution)
Based on the heat conduction equation with heat source, we can get temperature distribution
𝑑2𝑦 𝑑𝑥2+𝑞̇
𝑘= 0 ⟹ 𝑇 = − 𝑞̇
2𝑘𝑥2+ 𝐶1𝑥+𝐶2
Boundary conditions are; 𝑥 = −1; 𝑇 = 90℃, and 𝑥 = +1; 𝑇 = 40℃
Determine C1 and C2 using the boundary conditions; 𝐶1= −25, 𝐶2= 75
∴ 𝑇 = − 𝑞̇
2𝑘𝑥2+ 𝐶1𝑥+𝐶2= −10𝑥2− 25𝑥 + 75
Heat transfer per unit area at the left face is calculated by following equation
𝑞⁄ = −𝑘𝐴 𝑑𝑇
𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑇
𝑑𝑥= −20𝑥 − 25 ⟹ ∴ 𝑞 𝐴⁄ = −𝑘𝑑𝑇
𝑑𝑥= −2 × (−20𝑥 − 25) = 40𝑥 + 50
The left face means 𝑥 = −1𝑚
∴ 𝑞 𝐴⁄ = 10 𝑊/𝑚2
