소인수분해1. 소인수분해

(1)

20

08

① 36=2Û`_3Û`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개)

② 2_3_7의 약수의 개수는

(1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개)

③ 2Û`_3Þ`의 약수의 개수는 (2+1)_(5+1)=18(개)

④ 2_3_7Û`의 약수의 개수는

(1+1)_(1+1)_(2+1)=12(개)

⑤ 2Û`_3Û`_10=2Û`_3Û`_2_5=2Ü`_3Û`_5이므로 약수 의 개수는 (3+1)_(2+1)_(1+1)=24(개) 따라서 약수의 개수가 가장 많은 것은 ⑤이다.

10

200=2Ü`_5Û`이므로 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)=12(개)

3Ü`_ 에서 =aº` ( a는 소수)이라 하면 3Ü`_aº`의 약수의 개수는

(3+1)_(b+1)=12 ∴ b=2

그런데 a가 될 수 있는 수 중 가장 작은 자연수는 2이므로

 안에 들어갈 가장 작은 자연수는 2Û`=4이다.

11

270을 소인수분해하면 270=2_3Ü`_5

이때 어떤 자연수의 제곱이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수가 되어야 하므로 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 2_3_5=30이다.

12

① =6일 때, 60_6=2Ü`_3Û`_5이므로 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)_(1+1)=24(개)

② =9일 때, 60_9=2Û`_3Ü`_5이므로 약수의 개수는 (2+1)_(3+1)_(1+1)=24(개)

③ =10일 때,

60_10=2Ü`_3_5Û`이므로 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)_(2+1)=24(개)

④ =15일 때,

60_15=2Û`_3Û`_5Û`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)_(2+1)=27(개)

⑤ =25일 때,

60_25=2Û`_3_5Ü`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)_(3+1)=24(개) 따라서  의 값이 될 수 없는 것은 ④이다.

중단원 테스트

정답과 풀이

Ⅰ. 소인수분해

1. 소인수분해

01^④ 02^⑤ 03^② 04^② 05^④ 06^③ 07^⑤ 08^⑤ 09^④ 10^① 11^⑤ 12^④ 13 18 14 15

15^18개 16⁴⁰

p. 2~3

01

소수는 5, 13, 67, 79이므로 a=4 합성수는 9, 21, 33, 49이므로 b=4

∴ ab=4_4=16

02

20에 가장 가까운 자연수는 19와 21이다. 이 중 21은 합 성수이고, 19는 소수이므로

a=19

40에 가장 가까운 자연수는 39와 41이다. 이 중 41은 소 수이고, 39는 합성수이므로

b=39

∴ b-a=39-19=20

03

① 2Ü`=8

③ 3+3+3=3_3=3Û`

④ 2Ü`+2Ü`=2_2Ü`=2Ý`

⑤ 2_3_2_3=2Û`_3Û`

04

ㄱ. 1은 소수도 아니고 합성수도 아니다.

ㄷ. 2는 짝수이지만 소수이다.

ㄹ. 7 이하의 자연수 중에서 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이다.

ㅁ. 1은 약수가 1개이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ의 2개이다.

07

① 90=2_3Û`_5이므로 소인수는 2, 3, 5

② 105=3_5_7이므로 소인수는 3, 5, 7

③ 128=2à`이므로 소인수는 2

④ 150=2_3_5Û`이므로 소인수는 2, 3, 5

⑤ 210=2_3_5_7이므로 소인수는 2, 3, 5, 7 따라서 서로 다른 소인수의 개수가 가장 많은 것은 ⑤이다.

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(2)

21

03

두 수의 최소공배수를 L이라 하면 2Þ`_3Ü`_5Ü`=(2Û`_3_5)_L ∴ L=2Ü`_3Û`_5Û`

05

두 수 2Û`_3, 2Û`_3Ü`_5는 최소공배수 2Ü`_3Ü`_5Û`의 2Ü`과 5Û`을 인수로 가지고 있지 않으므로 A는 2Ü`_5Û`을 반드시 인수로 가져야 하고 3Ü`의 약수를 인수로 가질 수 있다.

06

세 수 24, 60, 72의 최소공배수는 2_2_3_2_1_5_3=360 360_2=720, 360_3=1080이므

로 1000에 가장 가까운 수는 1080이 다.

07

(최대공약수)=15

(최소공배수)=450=15_2_3_5

30=15_2, 75=15_5이므로 N=15_n이라 하면 n=3, 2_3, 3_5, 2_3_5

∴ N=45, 90, 225, 450

08

벽돌을 쌓아서 만든 정육면체의 한 모 3`>³`12 15 18 2`>³` 4 5 6 2 5 3 서리의 길이는 12, 15, 18의 공배수

이다. 그런데 가장 작은 정육면체를 만

들어야 하므로 정육면체의 한 모서리의 길이는 12, 15, 18 의 최소공배수이어야 한다.

따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 3_2_2_5_3=180(cm) 이때 필요한 벽돌의 수를 구하면 가로：180Ö12=15(장), 세로：180Ö15=12(장), 높이：180Ö18=10(장) 이므로 필요한 벽돌의 개수는 15_12_10=1800(장)

09

^a`>³`12_a 18_a 24_a 2`>³` 12 18 24 3`>³` 6 9 12 2`>³` 2 3 4

1 3 2

2`>³`24 60 72 2`>³`12 30 36 3`>³` 6 15 18 2`>³` 2 5 6 1 5 3

13

a=5+1=6

b=(3+1)_(2+1)=12 ∴ a+b=6+12=18

14

540을 소인수분해하면 540=2Û`_3Ü`_5

540을 가능한 한 작은 자연수로 나누어 어떤 자연수의 제 곱이 되게 하려면 소인수의 지수가 모두 짝수가 되어야 한다.

따라서 나누어야 할 자연수는 3_5=15이다.

15

¹⁸⁰n 이 자연수가 되기 위해서는 n이 180의 약수이어야 한다.

180=2Û`_3Û`_5이므로 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개)

따라서 조건을 만족시키는 자연수 n은 모두 18개이다.

16

90_a=2_3Û`_5_a이므로 a=2_5=10 이때

90_a =2_3Û`_5_2_5

=2Û`_3Û`_5Û`=(2_3_5)Û`

이므로 bÛ`=(2_3_5)Û`에서 b=2_3_5=30

∴ a+b =10+30=40

2. 최대공약수와 최소공배수

01 ④ 02 ② 03 ② 04 ④

05^③, ⑤ 06^⑤ 07^③ 08^② 09^③ 10 ① 11 ② 12 ① 13 8

14 1, 3, 5, 15 15 144, 288 16 오전 8시 20분

p. 4~5

02

공약수는 세 수 2Ü`_5Û`_7, 2Û`_5Û`, 2Û`_3_5Ü`의 최대공 약수 2Û`_5Û`의 약수이므로 구하는 공약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개)

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(3)

22

14

n은 75와 90의 공약수이다.

75와 90의 최대공약수가 15이므로 공약수는 1, 3, 5, 15이다.

따라서 n의 값은 1, 3, 5, 15이다.

15

두 자연수를 18_a, 18_b ( a, b는 서로소)라 하면 최소 공배수가 270이므로

18_a_b=270, a_b=15

Ú a=1, b=15 또는 a=15, b=1이면 두 수는 18, 270이므로 합은 288 Û a=3, b=5 또는 a=5, b=3이면

두 수는 54, 90이므로 합은 144

따라서 두 자연수의 합이 될 수 있는 수는 144, 288

16

세 열차가 동시에 출발하는 간격은 (10, 16, 20의 최소공배수)

=2_2_5_1_4_1

=80(분)

이므로 오전 7시 이후 처음으로 동시에 출발하는 시각은 80분(=1시간 20분) 후인 오전 8시 20분이다.

2`>³`10 16 20 2`>³` 5 8 10 5`>³` 5 4 5

````````1 4 1 세 자연수 12_a, 18_a, 24_a의 최소공배수는 216이

므로 a_2_3_2_1_3_2=216 a_72=216 ∴ a=3

따라서 세 수의 최대공약수는 a_2_3=3_2_3=18

∴ 18+3=21

10

^{구하는 분수를}^B_{A 라 하면}

:£6°:_ BA =(자연수), ;2!1);_B

A =(자연수),

;4@2%;_ BA =(자연수)

이므로 BA 가 가장 작은 분수가 되려면 A =B (6, 21, 42의 최소공배수)

(35, 10, 25의 최대공약수)= 425

11

3, 5, 7 중 어느 것으로 나누어도 2가 남으므로 구하는 자 연수를 x라 하면 x-2는 3, 5, 7의 공배수이다.

3, 5, 7의 최소공배수는 3_5_7=105이므로 x-2는 105의 배수이다.

즉, x-2는 105, 210, 315, y이다.

이때 x는 가장 작은 자연수이므로 x-2=105

∴ x=107

12

같은 톱니에서 다시 맞물리는 것은 그 2`>³`12 20 24 2`>³` 6 10 12 3`>³` 3 5 6 1 5 2 때까지 움직인 톱니의 수가 서로 같아

야 하므로 세 톱니의 수의 공배수만큼 움직일 때이다.

12, 20, 24의 최소공배수는 2_2_3_1_5_2=120 이므로 톱니바퀴 A가 120Ö12=10(바퀴) 회전한 후 같 은 톱니에서 처음으로 다시 맞물린다.

13

최대공약수는 공통인 소인수 중 지수가 같거나 작은 것을 택하여 곱하므로 a=1, b=2

최소공배수는 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모 두 곱하고, 이때 소인수의 지수가 같거나 큰 것을 택하여 곱하므로

c=5

∴ a+b+c =1+2+5=8

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(4)

23

12

분모가 3인 기약분수를 a3 ( a는 3의 배수가 아닌 정수)라 하면 5

6 =;2@4);, :Á8»:=;2%4&;이므로 ;2@4);<;3A;<;2%4&;, ;2@4);<;2*4A;<;2%4&;

즉 20<8a<57

따라서 a가 될 수 있는 수는 4, 5, 7이므로 두 유리수 56 와 19

8 사이에 있는 분모가 3인 기약분수는 ;3$;, ;3%;, 7 3 의 3개이다.

13

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 위의 그림에서 -9와 3을 나타내는 점에서 같은 거리에

있는 점이 나타내는 수는 -3이다.

15

두 수의 절댓값이 같고 x>y이므로 두 수는 원점으로부 터의 거리가 같고 반대 방향에 있다.

그런데 두 수 x, y를 나타내는 두 점 사이의 거리가 163 이 므로 두 수 x, y는 원점으로부터의 거리가 각각

16

3 _;2!;=;3*;인 수이다.

이때 x>y이므로 x=;3*;, y=-;3*;

16

㈎에서 정수 A는 0, 1, 2, 3, 4이고 ㈏에서 |A|>3, 즉 원점으로부터의 거리가 3보다 큰 것은 4뿐이다.

2. 정수와 유리수의 계산

01 ② 02 ④ 03 ③ 04 ④ 05 ② 06^③ 07^③ 08^① 09^② 10^⑤ 11^④ 12^① 13 -;3&; 14 A=4, B=-5 15;7$; 16 8

p. 8~9

01

①, ③, ④, ⑤ 1 ② -1

Ⅱ. 정수와 유리수

1. 정수와 유리수

01^② 02^③ 03^⑤ 04^③ 05^① 06 ② 07 ③ 08 ④ 09 ⑤ 10 ① 11^④ 12^③ 13 -3 14 a=-3, b=4 15;3*; 16 4

p. 6~7

01

① -5000원 ③ +3`cm

④ +1시간 ⑤ -8포인트

02

정수가 아닌 유리수는 -0.8, 0.3, -;2!;의 3개이다.

03

^⑤ E :;2%;

05

원점에서 가장 멀리 떨어져 있는 수는 절댓값이 가장 큰 수 이므로 ① -8이다.

06

① 유리수는 모두 5개이다.

③ 절댓값이 가장 큰 수는 -2.6이다.

④ 음수 중 가장 큰 수는 -;5$;이다.

⑤ -1보다 큰 수는 ;3%;, -;5$;, 1의 3개이다.

08

^a=|-7|=7

절댓값이 13인 수는 +13, -13이므로 b=13 ∴ a+b=7+13=20

09

절댓값이 큰 수부터 차례로 나열하면 -3, ;3*;, ;2#;, 1, 0

10

- 154 와 ;2%; 사이에 있는 정수는 -3, -2, -1, 0, 1, 2 이다. 이 중 절댓값이 가장 큰 수는 -3이다.

11

^④a=1, b=-2이면 a>b이지만 a의 절댓값이 b의 절 댓값보다 작다.

기본서(중1-1)_부록_001~032_ok.indd 23 2017-06-10 오후 5:47:37

(5)

24

10

-1<a<0이므로 a=-;2!;을 대입하면

① a=-;2!;

② -a=;2!;

③ aÛ`={-;2!;}2`=1 4

④ -;a!;‌‌=1Ö(-a)=1Ö1 2

=1_2=2

⑤ - 1

aÛ` =(-1)ÖaÛ`=(-1)Ö{-;2!;}2`

=(-1)Ö 14

=(-1)_4=-4

11

|a|=4이므로 a=4 또는 a=-4

|b|=3이므로 b=3 또는 b=-3 Ú a=4, b=3이면

a+b=4+3=7 Û a=4, b=-3이면

a+b=4+(-3)=1 Ü a=-4, b=3이면

a+b=(-4)+3=-1 Ý a=-4, b=-3이면

a+b=(-4)+(-3)=-7

따라서 a+b의 값이 될 수 없는 것은 ④이다.

12

어떤 유리수를 p (p+0)라 하면 p의 역수는 ;p!;이므로

;p!;Ö(-5)=;5&;

;p!;=;5&;_(-5)=-7

∴ p=-;7!;

A={-;7!;}_{-;9&;}=;9!;이므로 9A=9_;9!;=1

13

A=4+{-;2!;}=4-;2!;=;2&;

B=-;3@;-;6%;=-;6$;-;6%;=-;6(;=-;2#;

∴ AÖB=;2&;Ö{-;2#;}=;2&;_{-;3@;}=-;3&;

03

① -16 ② 8 ③ 9 ④ -27 ⑤ -9 따라서 가장 큰 수는 ③이다.

04

3.7_89.2-(-6.3)_89.2

={3.7-(-6.3)}_89.2

=(3.7+6.3)_89.2

=10_89.2

=892

06

^A=;4!;, B=-;3$;이므로 A_B = 14 _{-;3$;}=-1

3

07

어떤 수를  라 하면

+{-;2!;}=-;4%;

∴  =-;4%;-{- 12 }

=-;4%;+ 12

=-;4%;+;4@;=- 34 따라서 바르게 계산하면 -;4#;-{-;2!;} =-;4#;+ 12

=-;4#;+ 24

=- 14

08

a<0, ab<0이므로 b>0 -;bC;<0에서 ;bC;>0 이때 b>0이므로 c>0

09

^②{-;2!;}2`_(-2)Ü`- 12 Ö{;2!;}3`

=;4!;_(-8)- 12 Ö;8!;

=;4!;_(-8)- 12 _8

=-2-4

=-6

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(6)

25

Ⅲ. 문자와 식

1. 문자의 사용과 식의 계산

01^④ 02^② 03^③ 04^① 05^② 06 ④ 07 ② 08 ② 09 ④ 10 ② 11 ① 12 ⑤ 13;2%;x-1 14 -21

15 -5 16 4x+44

p. 10~11

02

① 5`kg의 a`% ⇨ 0.05a`kg

③ a`m b`cm ⇨ (100a+b)cm

④ t시간 m분 ⇨ (60t+m)분

⑤ x`kg의 70`% ⇨ 0.7x`kg

04

aÖ(bÖc)=aÖ{b_;c!;}=a_;bC;=ac b

① aÖb_c=a_;b!;_c=ac b

② a_;b!;Öc=a_;b!;_;c!;= a bc

③ aÖ(b_c)=a_ 1 bc = a

bc

④ a_(bÖc)=a_{b_;c!;}=ab c

⑤ aÖbÖc=a_;b!;_;c!;= a bc

05

- 12 xÛ`+3x-4에서 xÛ`의 계수는 -;2!;, x의 계수는 3, 상수항은 -4

2xÛ`-;3@;x+1

2 에서 xÛ`의 계수는 2, x의 계수는 -;3@;, 상 수항은 1

2

x-;2#;에서 x의 계수는 1, 상수항은 -;2#;

따라서

a={-;2!;}+2=;2#;, b=3+{-;3@;}+1=:Á3¼:, c=(-4)_;2!;_{-;2#;}=3 이므로

ab+c=;2#;_:Á3¼:+3=5+3=8

14

0+(-2)+(-3)+8=3이므로 A+(-5)+4+0=3

∴ A=4

A+(-4)+B+8=3

∴ B=-5

15

:Á5¤:ÖÖ(-2)Û`_;1°4;=;2!;에서 :Á5¤:ÖÖ4_;1°4;=;2!;

:Á5¤:_ 1 _;4!;_;1°4;=;2!;

;7@;_ 1 =;2!;

1 =;2!;Ö;7@;=;2!;_;2&;=;4&;

∴ =;7$;

16

세 수를 뽑아 곱한 값 중 가장 큰 값은 두 음수와 절댓값 이 큰 양수를 곱하면 되므로

a=(-2)_{-;3@;}_4=:Á3¤:

세 수를 뽑아 곱한 값 중 가장 작은 값은 두 양수와 절댓 값이 큰 음수를 곱하면 되므로

b=-2_;3!;_4=-;3*;

∴ a-b =:Á3¤:-{-8 3 }

=:Á3¤:+ 83

= 243 =8

기본서(중1-1)_부록_001~032_ok.indd 25 2017-06-10 오후 3:59:59

(7)

26

2. 일차방정식의 풀이

01^③ 02^② 03^④ 04^②

05^{④, ⑤} 06^⑤ 07^② 08^① 09^② 10^③ 11^④ 12^③ 13 -2 14 10 15¹² 16^x=2

p. 12~13

03

^3-x2 -4=-;2!;x-;2%;

즉, -;2!;x-;2%;=ax+b가 항등식이므로

a=-;2!;, b=-;2%; ∴ a-b=-;2!;-{-;2%;}=2

04

2a(xÛ`+3)-6x=(3-a)xÛ`+x에서 2axÛ`+6a-6x=(3-a)xÛ`+x (3a-3)xÛ`-7x+6a=0

이 식이 x에 대한 일차방정식이 되려면 3a-3=0

∴ a=1

08

3(x-5)=x-9에서

3x-15=x-9, 3x-x=-9+15 2x=6 ∴ x=3 ∴ A=3

x+2 6 -3x-2 4 =2에서 2(x+2)-3(3x-2)=24 2x+4-9x+6=24, -7x=14

∴ x=-2 ∴ B=-2

∴ A+B=3+(-2)=1

09

;2{;-;4{;=-;2!;의 양변에 4를 곱하면 2x-x=-2 ∴ x=-2

x=-2가 -x+4=a(x-4)의 해이므로 대입하면 2+4=-6a ∴ a=-1

10

-3을 A로 잘못 보았다고 하면 x=-2가 4x+A=6x+7의 해이므로 대입하면 -8+A=-5 ∴ A=3

따라서 민수는 -3을 3으로 잘못 보았다.

06

-3xÛ`+ax+1+bxÛ`+5x-7

=(-3+b)xÛ`+(a+5)x-6 이 식이 x에 대한 일차식이 되려면

(xÛ`의 계수)=0, (x의 계수)+0이어야 한다.

즉, -3+b=0, a+5+0

∴ b=3, a+-5

09

어떤 식을  라 하면

+(-2a+5b)=a-b이므로

 =(a-b)-(-2a+5b)=3a-6b

∴ (3a-6b)+(-4a+3b)=-a-3b

10

(판매 금액) =(원가)+(이익)

=A+A_;10R0;

=A{1+;10R0;}(원)

12

사탕 1개의 가격은 x

4 원, 초콜렛 1개의 가격은 y 7 원이므 로 사탕 3개와 초콜렛 4개의 가격은

;4{;_3+;7};_4=;4#;x+;7$;y(원)

14

;a@;-;b#;+;c$;‌‌=2_2-3_3+4_(-4)

=-21

15

;a!;+;b!;=5에서 a+b

ab =5이므로 a+b=5ab

∴ -8a+15ab-8b

a+b =-8(a+b)+15ab a+b

= (-8)_5ab+15ab5ab

= -25ab5ab =-5

16

(어두운 부분의 넓이)

=(삼각형의 넓이)+(큰 직사각형의 넓이)

-(작은 직사각형의 넓이)

=;2!;_10_4+10_x-6_(x-4)

=20+10x-6x+24

=4x+44

기본서(중1-1)_부록_001~032_ok.indd 26 2017-06-10 오후 4:00:00

(8)

27

15

2(x-1)+4=3x-1에서 2x-2+4=3x-1 2x-3x=-1+2-4 -x=-3

∴ x=3 방정식 -3x+a

4 =x-1

2 +1의 해가 방정식 2(x-1)+4=3x-1의 해의 ;3@;배이므로 방정식

-3x+a 4 =x-1

2 +1의 해는 x=2

따라서 x=2를 -3x+a 4 =x-1

2 +1에 대입하면 -6+a4 =;2!;+1

양변에 4를 곱하면 -6+a=2+4

∴ a=12

16

3(2x-1)+5=-(x+1)-4에서 6x-3+5=-x-1-4

6x+x=-5+3-5 7x=-7 ∴ x=-1

∴ a=-1

따라서 a=-1을 2ax+1=-3에 대입하면 -2x+1=-3

-2x=-4

∴ x=2

3. 일차방정식의 활용

01^④ 02^① 03^④ 04^③ 05^④ 06^⑤ 07^③ 08^① 09^② 10^③ 11^④ 12^② 13^9일 14^80`g

15 2650원 16 480명

p. 14~15

01

연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면 (x-1)+x+(x+1)=132

11

(-2x+3)`:`3=(x+2)`:`1에서 -2x+3=3(x+2)

-2x+3=3x+6 -2x-3x=6-3 -5x=3 ∴ x=-;5#;

따라서 x=-;5#;을 5x+a=-x+;5@;에 대입하면 -3+a=1

∴ a=4

12

-2x+13=-(x-a)+3x에서 -2x+13=-x+a+3x -2x+x-3x=a-13 -4x=a-13

∴ x=13-a 4

해가 자연수가 되려면 13-a가 4의 배수이어야 한다.

13-a=4일 때, a=9 13-a=8일 때, a=5 13-a=12일 때, a=1 13-a=16일 때, a=-3 ⋮

따라서 구하는 자연수 a의 개수는 1, 5, 9의 3개이다.

13

x=-2를 주어진 식에 대입하면 -5-a

3 +2=9+2a 5

5(-5-a)+30=3(9+2a) -25-5a+30=27+6a -5a-6a=27+25-30 -11a=22

∴ a=-2

14

^2(0.1x-1)-;2#;=-;5!;x+0.5의 양변에 10을 곱하면 20(0.1x-1)-15=-2x+5

2x-20-15=-2x+5 2x+2x=5+20+15 4x=40

∴ x=10

따라서 a=10이므로 aÛ`-9a=10Û`-9_10=10

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(9)

28

08

등산로의 길이를 x`km라 하면

;4{;+;6{;=5, 3x+2x=60, 5x=60

∴ x=12

따라서 등산로의 길이는 12`km이다.

09

섞은 물의 양을 x`g이라 하면

;1£0¼0;_400=;1ª0¼0;_(400+x) 12000=8000+20x, -20x=-4000

∴ x=200

따라서 섞은 물의 양은 200`g이다.

10

물탱크에 물이 가득 찼을 때의 물의 양을 1이라 하면 A수도관은 1분 동안 172 , B수도관은 1분 동안 ;6Á0;만큼 의 물을 채운다.

두 수도관으로 동시에 물을 채운 시간을 x분이라 하면

;7Á2;_50+{;7Á2;+;6Á0;}x=1 양변에 360을 곱하면 5_50+(5+6)x=360 250+11x=360, 11x=110

∴ x=10

따라서 두 수도관으로 동시에 물을 채운 시간은 10분이다.

11

동생이 집을 출발한 지 x분 후에 형을 만난다고 하면 형이 (x-18)분 동안 간 거리와 동생이 x분 동안 간 거리가 같으므로

60x=150(x-18) 60x=150x-2700

-90x=-2700 ∴ x=30

따라서 동생이 집을 출발한 지 30분 후에 형과 만난다.

12

의자의 개수를 x개라 하면 한 의자에 5명씩 앉으면 18명 이 앉지 못하므로 학생 수는 (5x+18)명 yy ㉠ 한 의자에 6명씩 앉으면 빈 의자 없이 마지막 의자에는 3 명만 앉게 되므로 6명이 모두 앉는 의자는 (x-1)개이 다. 이때 학생 수는

6(x-1)+3(명) yy ㉡

㉠, ㉡의 학생 수는 같으므로 5x+18=6(x-1)+3 3x=132 ∴ x=44

따라서 연속하는 세 자연수는 43, 44, 45이므로 가장 작 은 수는 43이다.

02

x년 후에 아버지의 나이가 딸의 나이의 2배가 된다고 하 면 x년 후의 아버지의 나이는 (45+x)세, 딸의 나이는 (15+x)세이므로

45+x=2(15+x) 45+x=30+2x

∴ x=15

따라서 15년 후이다.

03

x개월 후의 형의 예금액은 (25000+3000x)원이고, x개 월 후의 동생의 예금액은 (30000+2000x)원이므로 25000+3000x=30000+2000x

1000x=5000

∴ x=5

따라서 5개월 후이다.

04

처음 수의 일의 자리의 숫자를 x라 하면 10x+2=(20+x)+27

9x=45 ∴ x=5 따라서 처음 수는 25이다.

05

^초콜릿을x개 샀다고 하면 사탕은 (16-x)개를 샀으므 로

800(16-x)+1200x=20000-2800 12800-800x+1200x=17200 400x=4400 ∴ x=11 따라서 초콜릿은 11개를 샀다.

06

길이를 줄인 후 직사각형의 가로의 길이는

(10-2x)cm, 세로의 길이는 8-2=6(cm)이므로 (10-2x)_6=10_8_;5#;

60-12x=48

-12x=-12 ∴ x=1

07

학생 수를 x명이라 하면 3x+6=4x-4 ∴ x=10 따라서 학생 수는 10명이다.

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(10)

29

Ⅳ. 좌표평면과 그래프

1. 좌표와 그래프

01^④ 02^② 03^③ 04^⑤ 05^① 06 ⑤ 07 ② 08 ③ 09 ① 10 ③ 11^④ 12^④ 13 5 14^제1사분면 15 -5 16 24

p. 16~17

01

④ 점 (0, 2)는 y축 위의 점이다.

02

② B(0, 2)

04

두 점 A, B가 y축에 대하여 대칭이므로 -2a+4=-(-6)에서 -2a=2

∴ a=-1 3=1-b

3 에서 9=1-b

∴ b=-8

∴ ab=(-1)_(-8)=8

05

점 (a, b)를 원점에 대하여 대칭이동하면 점 (-a, -b) 이다.

06

그릇의 아랫 부분은 위로 올라갈수록 폭이 점점 좁아지는 모양이고 그릇의 윗 부분은 위로 올라갈수록 폭이 점점 넓 어지는 모양이다.

따라서 물의 높이는 일정하게 증가하지 않고 그릇의 아랫 부분에서는 천천히 증가하다가 점점 빠르게 증가하게 되 고, 그릇의 윗 부분에서는 빠르게 증가하다가 점점 천천히 증가하게 된다.

07

점 P(-a, b)가 제1사분면 위의 점이므로 -a>0, b>0

∴ a<0, b>0

따라서 ab<0, -a+b>0이므로 점 Q(ab, -a+b)는 제 2사분면 위의 점이다.

5x+18=6x-6+3 ∴ x=21 따라서 의자의 개수는 21개이다.

13

전체 일의 양을 1이라 하면 A, B가 1일 동안 하는 일의 양은 각각 1

12 , ;1Á6;이다.

A가 혼자 일한 날 수를 x일이라 하면

;1Á2;x+;1Á6;_4=1, ;1Á2;x=;4#; ∴ x=9 따라서 A가 혼자 일한 날 수는 9일이다.

14

5`%의 소금물을 x`g 섞었다고 하면 섞은 10`%의 소금물 의 양은 (100-x)g이므로

;10%0;_x+;1Á0¼0;_(100-x)=;10^0;_100 5x+1000-10x=600, -5x=-400

∴ x=80

따라서 섞은 5`%의 소금물의 양은 80`g이다.

15

정가를 x원이라 하면

{1-;1ª0¼0;}x-2000=2000_;10^0;

;1¥0¼0;x-2000=2000_;10^0;

80x-200000=12000, 80x=212000

∴ x=2650

따라서 정가는 2650원이다.

16

작년의 여학생 수를 x명이라 하면 작년의 남학생 수는 (1100-x)명이므로 올해의 여학생 수는 x-;10$0;x=;1»0¤0;x(명), 올해의 남학생 수는

(1100-x)+;10^0;(1100-x)=;1!0)0^;(1100-x)(명) 올해의 전체 학생 수는 작년보다 16명이 증가하였으므로

;1»0¤0;x+;1!0)0^;(1100-x)=1100+16 96x+106(1100-x)=111600 96x+116600-106x=111600 -10x=-5000 ∴ x=500 따라서 올해의 여학생 수는

;1»0¤0;_500=480(명)

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(11)

30

12

점 P(a, b)는 제 1사분면 위의 점이므로 a>0, b>0

Q(-a, b), R(-a, -b), S(a, -b)이므로 네 점 P , Q, R, S를 좌표평면 위에 나타내 면 오른쪽 그림과 같다.

이때 사각형 PQRS의 넓이가 32이므로

2a_2b=32, 4ab=32

∴ ab=8

13

두 점 (a-2, -1), (-3, b)가 원점에 대하여 대칭이므로 a-2=-(-3)에서 a=5

-1=-b에서 b=1

∴ ab=5_1=5

14

점 P가 x축 위의 점이므로

;3!;a-2=0 ∴ a=6 점 Q가 y축 위의 점이므로 2b-4=0 ∴ b=2

따라서 점 A(6, 2)는 제 1사분면 위의 점이다.

15

a<0이므로 세 점 A, B, C를

O B

A

C 2 a

-2 4

x y

꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 를 좌표평면 위에 나타내면 오 른쪽 그림과 같다.

이때 삼각형 ABC의 넓이가 21 이므로

;2!;_(2-a)_6=21 2-a=7

∴ a=-5

16

Q(-2, 3), R(-2, -3), S(2, -3) 이므로 네 점 P, Q, R, S를 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 사각형 PQRS의 넓이는 4_6=24

O

Q P

R S

-a -b

b

a x y

O

Q P

R S

-2 -3

3 2 x y

08

세 점 A, B, C를 꼭짓점으로

O

D A

E C F

B -2

-4

-5 2

4

x y

하는 삼각형 ABC를 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

(사각형 ADEF의 넓이)

=7_8=56

(삼각형 ADB의 넓이) =1

2 _7_6=21 (삼각형 BEC의 넓이) =1

2 _5_2=5 (삼각형 ACF의 넓이) =1

2 _2_8=8

∴ (삼각형 ABC의 넓이) =56-(21+5+8)

=22

09

^①11시부터 12시까지, 13시 30분부터 14시까지 총 2번 의 휴식을 취했다.

② 출발한 지 1시간 후는 11시이므로 집으로부터의 거리 는 3`km이다.

④ 집으로 돌아가기 시작한 시각은 그래프가 오른쪽 아래 로 향하기 시작한 시각이므로 16시이다.

10

그래프에서 정현이가 서점에 도착한 것은 집에서 출발한 지 30분 후이다.

또한, 서점에 머무른 시간 동안은 집으로부터의 거리의 변화가 없으므로 그래프는 수평을 유지하게 된다.

따라서 서점에 머무른 시간은 110-30=80(분)

11

xy>0이므로 x, y의 부호가 같고, x+y<0이므로 x<0, y<0

따라서 x<0, -y>0이므로 점 (x, -y)는 제 2사분면 위의 점이다.

주어진 점이 속하는 사분면은 다음과 같다.

① 제 1사분면

② 어느 사분면에도 속하지 않는다.

③ 제 4사분면

④ 제 2사분면

⑤ 제 3사분면

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(12)

31

07

y=-3x의 그래프가 점 (a, -6)을 지나므로 -6=-3a ∴ a=2

y=;[B;의 그래프가 점 (-2, -5)를 지나므로 -5= b-2 ∴ b=10

∴ a+b=2+10=12

08

y=-;[^;의 그래프가 점 (-3, a)를 지나므로 a=- 6-3 =2

또, y=-;[^;의 그래프가 점 (b, -6)을 지나므로 -6=-;b^; ∴ b=1

∴ ab=2_1=2

10

x`L씩 y분 동안 물을 넣어 물탱크가 가득 찬다고 하면 x_y=30_20 ∴ y= 600x

y= 600x 에서 y=15를 대입하면

15= 600x ∴ x=40

따라서 매분 40`L의 물을 넣어야 한다.

11

점 A는 y=- 10x 의 그래프 위의 점이므로 y=-10 x 에 x=-5를 대입하면

y=- 10-5 =2 ∴ A(-5, 2)

또한, 점 A(-5, 2)가 y=ax의 그래프 위의 점이므로 y=ax에 x=-5, y=2를 대입하면

2=-5a

∴ a=-;5@;

12

점 P의 x좌표를 a(a<0)라 하면 y좌표는 -;3%;a이다.

삼각형 OPQ의 넓이가 30이므로

;2!;_(-a)_{-;3%;a}=30

;6%;aÛ`=30, aÛ`=36

∴ a=-6 (∵ a<0)

따라서 점 P의 좌표는 (-6, 10)이다.

2. 정비례와 반비례

01^④ 02^⑤ 03^③ 04^④ 05^② 06^⑤ 07^④ 08^③ 09^① 10^③ 11^② 12^① 13 y=16x 14 12

15^12대 16^{지혜, 6분}

p. 18~19

01

y가 x에 반비례하는 것은 ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ의 4개이다.

02

① y=700x (정비례) ② y=70x (정비례)

③ y=5x (정비례) ④ y=7x (정비례)

⑤ y= 60x (반비례)

03

③ 점 (-2, 10)을 지난다.

04

^{반비례 관계}y= ax (a+0)의 그래프는 a의 절댓값이 클 수록 원점에서 멀리 떨어진 곡선이다.

즉, |- 13 |<|5

4 |<|-2|<|3|<|-4|이므로 원점 에서 가장 멀리 떨어진 것은 ④ y=- 4x 이다.

05

조건 (가)에서 y는 x에 반비례하므로 y= ax (a+0인 상 수)로 놓고 x=-8, y=-5를 대입하면

-5= a-8 ∴ a=40

∴ y= 40x

따라서 y= 40x 에 x=10을 대입하면 y= 4010 =4

06

y=;[A;의 그래프가 점 (-1, 8)을 지나므로 8= a-1 ∴ a=-8

따라서 y=-;[*;의 그래프가 점 (k, 2)를 지나므로 2=-;k*; ∴ k=-4

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(13)

32 14

점 P의 x좌표를 a(a>0)라 하면 y좌표는 - 12a 이다.

따라서 직사각형 PAOB의 넓이는 a_ 12a =12

15

기계 x대로 y일 동안 일해서 이 일을 끝낸다고 하면 xy=6_10 ∴ y= 60x

y= 60x 에 y=5를 대입하면 5= 60x ∴ x=12

따라서 필요한 기계는 12대이다.

16

지혜와 은정이를 나타낸 그래프가 원점을 지나는 직선이 므로 각각 정비례 관계 y=ax(a+0), y=bx(b+0)로 놓는다.

지혜는 2분 동안 이동한 거리가 250`m이므로 y=ax에 x=2, y=250을 대입하면 250=2a에서 a=125

∴ y=125x

y=125x에 y=3000을 대입하면 3000=125x

∴ x=24(분)

은정이는 4분 동안 이동한 거리가 400`m이므로 y=bx에 x=4, y=400을 대입하면

400=4b에서 b=100

∴ y=100x

y=100x에 y=3000을 대입하면 3000=100x

∴ x=30(분)

따라서 지혜가 30-24=6(분) 빨리 도착한다.

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