Time-Domain Elastic Wave Modeling in Anisotropic Media using Cell-Based Finite-Difference Method

(1)

서 론

탄성파 자료의 해석이나 수치모델링을 수행할 경우 암 석을 등방성 매질로 가정하는 것이 일반적이다 그러나. 실제 많은 암석들은 이방성을 가지고 있으며(Thomsen,

이를 고려하지 않으면 잘못된 해석결과를 도출할 1986),

수 있다 암석의 이방성은 주로 퇴적암 생성시 결정이나. 알갱이들이 불규칙적으로 쌓이거나 작은 균열들이 일정, 한 방향으로 배열되어 있는 경우에 나타나며 일정한 방 향으로 압력이 지속적으로 작용했을 경우에도 나타난다 지난 수십 년 동안 이방성 매질에 (Tsingas et al., 1990).

서의 탄성파 전파에 관한 연구는 주로 이론적인 것이었 으나 자료 획득 기술의 발전과 더불어 탄성파 자료의 해, 상도가 향상됨에 따라 실제적인 연구의 필요성이 증대되 고 있다 또한 암석의 이방성은 주로 복잡한 구조를 지닌. 비균질 매질과 함께 나타나기 때문에 층상구조나 균열이 Vol. 45, No. 5 (2008) pp. 536-545

셀 기반 유한차분법을 이용한 이방성 매질에서의 시간영역 탄성파 모델링

이호용¹⁾* · 민동주²⁾· 권병두¹⁾· 유해수³⁾

Time-Domain Elastic Wave Modeling in Anisotropic Media using Cell-Based Finite-Difference Method

Ho-Yong Lee

*

, Dong-Joo Min, Byung-Doo Kown and Hai-Soo Yoo

Abstract :Since seismic anisotropy often appears in geological media, which may result from various causes, we need to describe anisotropic features in seismic modeling and inversion. Although a number of modeling algorithms were developed to describe seismic anisotropy, we still need to develop a simple but accurate modeling algorithm to simulate geological scale models. For such a modeling algorithm for anisotropic media, we extend a time-domain cell-based finite-difference method to anisotropic media. Since the cell-based finite-difference scheme only employs displacements, we can expect that our anisotropic modeling algorithm is computationally more efficient than the staggered-grid finite-difference method. Because our algorithm does not require any interpolations, it’s possible to simulate a model whose material properties abruptly change. In order to suppress artificial reflections originating from the outer boundaries of a given model, we apply Higdon’s absorbing boundary conditions. Numerical examples show that our modeling algorithm can properly describe anisotropic features.

Key words :Anisotropy, Seismic modeling, Time domain cell-based FDM, Absorbing boundary

요 약 : 지하 내부에 존재하는 암석은 여러 가지 원인에 의해 이방성을 지니므로 탄성파 모델링이나 실제

자료의 역산에서 이방성 구조를 고려해야 한다 이를 위해 많은 탄성파 모델링 방법들이 시도되었으나 적용하기. ,

쉽고 실제 지하구조를 정확하게 표현할 수 있는 방법이 필요하다 본 연구에서는 시간영역 변위근사 셀 기반.

유한차분법을 이방성 매질에 적용하였다 셀 기반 유한차분법은 변위자체를 사용하기 때문에 메모리와 계산시간.

이 엇격자법에 비해 매우 적게 소요된다 또한 이 방법은 물성의 평균값을 사용하지 않기 때문에 매질의 성질이.

급변하는 경계에서도 정확한 해를 제시할 수 있다 모형경계에서 발생하는 인공적인 반사파를 제거하기 위해서.

등방성 매질에서 고안되었던Higdon의 흡수경계조건을 이방성 매질에 적용하였다 셀 기반 유한차분법은 등방성. 매질의 자유면 경계조건뿐만 아니라 이방성 매질을 포함하는 여러 가지 모형에서 매우 정확한 해를 제시함을 확인할 수 있었다.

주요어 : 이방성 탄성파 모델링 유한차분법 시간영역 셀 기반 유한차분법 흡수경계조건, , , ,

년 월 일 접수 년 월 일 채택

2008 6 27 , 2008 10 29

서울대학교 사범대학 지구과학교육과 1)

서울대학교 공과대학 에너지자원공학과 2)

한국해양연구원 해양자원연구본부 3)

*Corresponding Author 이호용( ) E-mail; [email protected]

Address; Dept. of Earth Sciences, Seoul National Univ.

연구논문

(2)

밀집되어 있는 파쇄구조 등의 연구에 매우 중요하다 본. 연구에서는 매질을 셰일층이나 퇴적층과 같이 하나의 축 에 대해 대칭을 이루는 이방성 매질(transversely isotropic 로 가정하였다 이는 가장 많이 나타나는 이방 media) .

성 구조이며 특히 퇴적구조에서 많이 나타나므로 해, 양 탄성파 탐사자료의 해석 시 매우 중요한 의미를 지 닌다.

최근에는 슈퍼컴퓨터가 도입됨으로써 많은 메모리와 계산시간을 요하는 이방성 매질에서의 탄성파 모델링에 대한 많은 연구들이 수행되고 있다 이러한 연구는 대부. 분 응력과 속도를 엇격자에 정의하는 엇격자 유한차분법 을 이용한 것이 (staggered-grid finite-difference method)

다(Tsingas et al., 1990; Faria & Stoffa, 1994; Igel, 일반적인 엇격자 유한 차분법은 응 1995; Juhlin, 1995).

력을 이용하기 때문에 경계조건을 정확히 표현할 수 있 으나 미세한 틈과 같이 매질의 성질이 급격하게 변하는 곳에서 정확한 해를 주지 못한다(Saenger et al., 2000).

반면 유한요소법은 좀 더 정확한 해를 제시하지만 복잡, 한 지질구조나 차원 자료를 해석할 경우 많은 컴퓨터3 메모리와 계산시간을 필요로 하므로 유한차분법에 비해 비효율적이다.

표준 유한차분법의 경우Lamb문제에 대한 해를 정확 히 제시할 수 없다고 알려져 있지만, Min et. al.(2004)은 별도의 조건 없이Lamb문제에 대해 정확한 해를 제시 할 수 있는 셀 기반 유한차분법을 제안하였다 이 방법은. 유한요소법에서와 마찬가지로 매질의 물성을 격자점에 정의하지 않고 셀 내부에 정의함으로써 추가적인 조건 없이 모형 외부의 물성을‘0’으로 가정하는 것만으로도 자유면에서의 응력이 사라진다는 조건을 만족시킬 수 있 으며 변위를 직접 사용하기 때문에 적용하기 쉽고 간편, 하다.

본 연구에서는 이러한 셀 기반의 유한차분법을 이용하 여 이방성 매질에서의 탄성파 모델링 기법을 제시하였 다 탄성파 모델링은 시간영역뿐만 아니라 주파수 영역. 에서도 많은 연구가 진행되어 왔다 주파수 영역에서의. 모델링은 다중 송신원을 갖는 자료 해석의 경우 매우 유 용하지만 많은 메모리를 필요로 하여 복잡하거나 큰 모 형에서는 적용하기 어렵다 따라서 본 연구에서는 시간. 영역에서 모델링 기법을 적용하였다.

탄성파 모델링에서 또 다른 중요한 문제는 모형경계에 서 발생하는 인공적인 반사파를 제거시키는 것이다 경. 계 조건에 대한 많은 연구들이 진행되어 왔지만 이는 대, 부분 등방성 매질로 한정되어 있고(Clayton & Engquist, 1977; Cerjan, 1985; Randal, 1988; Higdon, 1991; Shin, 이방성 매질에 대한 연구는 그리 많지 않다 본

1995), .

연구에서는Higdon(1991)이 제시한 등방성 매질에서의 경계조건을 이방성 매질에 적용시켰다. Higdon(1991)의 경계조건은 포아송의 비에 영향을 받지 않기 때문에 이 방성 매질에 적용했을 때 좋은 결과를 보여줄 수 있다.

본 연구의 알고리듬의 정확성을 검증하기 위해 이방 성이 고려된 비균질 매질에서의 표준 유한차분법과 셀 기반 유한차분법을 비교하고 기존 연구에서 제시, 되었던 몇몇 이방성 구조에서의 모델링 결과와 비교 하였다.

이 론

이방성 매질의 종류와 특성

이방성은 비균질성과 밀접하게 연관되어 있으나 분 명히 다르다 이방성은 한 위치에서 방향에 따라 다른. 성질을 갖는 것을 의미하고 비균질성은 한 지점에서, 모든 방향의 성질은 같으나 위치에 따라 다른 값을 갖 는 것을 의미한다 예를 들어 수직방향의 파 속도가. , P 이고 수평방향의 속도가 인 셰일은 이 1.6 km/s 2 km/s

방성을 가진 암석이라 할지라도 전체 암석이 동일하게, 이러한 이방성을 가지고 있다면 이는 균질한 암석이라 할 수 있다.

암석의 이방성은 여러 가지 형태로 나타나는데 그 중 가장 흔히 나타나는 형태는 수직방향의 축에 대해 대칭인 TIV(Transversely Isotropic with vertical axis of symmetry) 와 수평방향의 축에 대해 대칭인 TIH(Transversely isotropic 를 들 수 있다 셰일과 with vertical axis of symmetry) . 같이 생성될 당시 광물이 일정한 방향으로 배열되는 특 징을 가지는 암석이나 해양퇴적환경에서와 같이 중력에 의해 일정한 방향으로 퇴적이 이루어진 암석 또는 한 방, 향으로 지속적인 압력을 받아 생긴 균열이나 파쇄가 밀 집되어 있는 경우 주로 나타난다 셰일이나 해양퇴적에. 의해 생긴 암석은 전자에 해당하며 압력에 의해 나타나, 는 균열이나 파쇄 등은 후자에 해당한다 암석의 이방성. 은21개의 독립적인 탄성계수들에 의해서 정의되는데, 탄성계수는 응력과 변형율에 관계를 표현해주는 계수이 다. Hooke의 법칙에 의해 응력과 변형율의 관계는 다음 과 같다.

3 , 2 , 1 l , k , j , i e C_ijkl _kl

ij= =

σ _, ₍₁₎

여기에서 σij은 응력, Cijkl은 탄성계수 그리고 ekl은 변 형율을 나타낸다 균질한 등방성 매질에서 탄성계수는. 다음과 같이 표현될 수 있다.

(3)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

44 C 0 0 0 0 0

0 44 C 0 0 0 0

0 0 44 C 0 0 0

0 0 0 11 C 12 C 12 C

0 0 0 12 C 11 C 12 C

0 0 0 12 C 12 C 11 C

C

(2)

일반적으로 C11= λ + 2 , Cμ ₁₂= , Cλ ₄₄= 로 표현되며, Pμ

파의 속도는 ρ

μ +

= λ ρ

2 C₁₁

파의 속도는

, S ρ

= μ ρ C44

로 방향에 상관없이 일정한 값을 갖는다 그러나. TIV매 질에서는 탄성계수는

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

66 C 0 0 0 0 0

0 44 C 0 0 0 0

0 0 44 C 0 0 0

0 0 0 33 C 13 C 13

C

0 0 0 13 C 11 C 66 C 2 11 C

0 0 0 13 C 66 C 2 11 C 11 C

C

(3)

이며 이를, 2-D로 가정하였을 경우 다음과 같이 표현된다.

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

44 C 0 0

0 33 C 13 C

0 13 C 11 C C

(4)

이 경우 수평방향과 수직방향의 P파 속도가 각각 ρ¹¹

C , ^C_ρ³³ 로 달라 이방성 매질에서의 탄성파의 전파, 는 등방성 매질에서와 다르게 나타난다 이러한 경우 수. 진기에 전달되는 파의 도달 시간이 달라지게 되어 등방 성 매질로 가정하고 구조보정을 수행할 경우 왜곡된 심 도를 추정할 가능성이 있다 또한 일반적인 등방성 매질. 사이의 경계에서와 달리 이방성 매질과 등방성 매질의 경계에서는 이방성 매질에 입사되는 파의P-SV 모드변 환파들이 크게 나타나 등방성 매질의 속도가 과대평가될 수 있다 따라서 석유 탐사에서처럼 정확한 지질 구조와. 지층의 심도를 파악해야 하는 경우 이방성을 고려해야 하며 이를 위해서는 이방성을 정확히 묘사할 수 있는 모, 델링 알고리듬의 개발이 필요하다.

이방성 매질에서의 탄성파동방정식

시간영역에서 탄성파동방정식은 다음과 같다.

, (5)

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ σ +∂

∂ σ

= ∂

∂ ρ∂

z y x t

U _yx _yy _yz

2 y 2

, (6)

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ σ +∂

∂ σ

= ∂

∂ ρ∂

z y x t

U zx zy _zz 2

z 2

, (7)

여기서 는 밀도,ρ σ_ij는 응력이고, Ux, Uy, Uz는 변위이 다 운동량 보존의 법칙에 의해서 변위와 변형률의 관계. 는 다음식으로 표현되므로

3 , 2 , 1 j , x i U x U 2 e 1

i j j i

ij ⎟⎟ =

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

= ∂

, (8)

식(1), (4), (5), (6), (7), (8)에 의해서2-D TIV매질에 서의 변위근사 파동방정식을 구할 수 있다.

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

∂ +∂

∂

∂ +∂

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ ρ∂

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

x U z U 2 44 C z z 13 U x C 11 U x C t

U x z x z

2 x 2

, (9)

, (10)

이방성 매질에서의 유한차분식

민동주&유해수(2003)는 변위만을 이용하여 자유면 경계조건을 정확히 묘사할 수 있는 새로운 유한차분법을 제시하였다 이는. Fig. 1에서 보는 것과 같이 매질의 탄 성계수와 밀도는 셀에 정의하고 변위는 표준 유한차분법 과 마찬가지로 격자점에 정의한다 셀 기반 유한차분법. 을 이방성 매질에서의 탄성파 방정식에 적용하면 다음과 같다.

, (11)

, (12)

, (13)

(4)

, (14)

, (15)

이는 자유면에서는 다음과 같이 변형된다.

, (16)

, (17)

, (18)

, (19)

, (20)

셀기반 유한 차분법은 자유면 뿐만 아니라 모델 내부 의 매질 경계에서 물성의 평균값을 이용하지 않고 주위 의 네개의 물성을 모두 사용하기 때문에 물성의 변화만 으로 매우 정확한 해를 구할 수 있다 특히 이방성은 주. 로 물성이 급격히 변하거나 매우 복잡한 비균질 구조에 서 나타나기 때문에 더욱 유용할 것이다.

이방성 매질의 경계조건

탄성파 모델링을 수행할 때 컴퓨터 메모리의 한계 때 문에 그리고 효율적인 계산을 위해 모형크기를 제한해야 한다 이 경우 인공적으로 만들어진 모형의 경계에서 반. 사파가 생기게 되고 이는 자료 해석을 매우 어렵게 한다.

수십 년간 이러한 반사파를 제거하기 위해 많은 연구가 진행되었으나(Clayton & Engquist, 1977; Cerjan, 1985;

이는 모두 등 Randal, 1988; Higdon, 1991; Shin, 1995),

방성 매질에 대한 연구였으며 이방성 매질에 대한 연구, 는 그리 많지 않다 인공 반사파를 제거하기 위한 연구는. 크게 두 가지로 구분될 수 있다 첫째는 모형의 바깥쪽에. , 일정한 영역을 두고 파를 점점 감쇠시킴으로써 돌아오는 반사파를 제거하는 방법이고(Cerjan, 1985; Shin, 1995), 다른 하나는 경계에서 전파되는 탄성파를 모형 안쪽으로 되돌아 오는 반사파와 바깥쪽으로 전파하는 파로 나누어 수학적인 계산을 통해 되돌아 오는 반사파를 제거하는 흡수경계조건이다(Clayton & Engquist, 1977; Randal, 전자의 경우 포아송의 비에 영향을 1988; Higdon, 1991).

받지 않는다는 것과 어떠한 모형에서도 쉽게 적용할 수 있다는 장점이 있으나 파를 감쇠시키는 영역을 따로 주, 어야 하기 때문에 많은 메모리와 계산시간을 요하므로 복 잡한 모형이나 차원 모형에서 사용하는데 한계가 있다3 . 따라서 본 연구에서는 추가적인 감쇠영역을 필요로 하 지 않고 차원 모형에의 적용이 쉬운3 Higdon(1991)의 방

(a) (b)

Fig. 1. Grid sets used for the finite-difference solutions at the (i,j)th nodal point (a) inside the main body and (b) on the free-surface boundary. The elastic constants (represented as C) and density ρ are defined within the cells.

(5)

법을 이방성 매질에 적용하였다 등방성 매질에서 일반적. 인Higdon의 흡수경계조건은 다음과 같이 표현된다.

0 x U t c^p

j m

1 j

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂ β ∂

∏= , (21)

여기에서 Cp는 파의 속도이며P , βj는 파 속도와 파 속P S 도의 비를 나타내는 상수이다 등방성 매질에서는 파의. P 속도가 방향에 따라서 일정한 값을 갖지만 이방성 매질에, 서는 각 방향에 따라 다른 속도를 갖는다 따라서 수평방. , 향의 파 속도는P ρ

C11

수직방향의 파 속도는

, P ρ

C33

로 설정하고, βj를 조정하여 인공적인 파를 완전히 제거 할 수 있도록 하였다.

은 차와 차 경계조건을 제시하였는데 이

Higdon(1991) 2 3 ,

방성 매질의 경우 차 경계조건을 적용했을 때 모서리 부근3 에서 매우 큰 반사파가 발생하였고 이는, Higdon(1991)이 밝힌 것과 같이 고차의 경계조건이 상수 값에 매우 민감 하기 때문이라 생각된다 따라서 본 연구에서는 이러한. 문제를 극복하기 위해 모서리 부근을 제외한 영역에는 차 경계조건을 적용하고 모서리 영역에는 차 근사를

3 2

적용하였다.

는 이방성을 지닌 반 무한매질에

Fig. 2 Higdon(1991)

(a) (b) (c)

Fig. 2. Synthetic seismograms of vertical displacements obtained when (a) the second-order, (b) third-order and (c) second and third-order Higdon’s transparent boundary conditions are applied.

(a) (b)

Fig. 3. Numerical solutions calculated by the conventional and the cell-based time-domain finite-difference method for vertical displacements at the distance of (a) 500 m and (b) 1000 m from the source.

(6)

의 경계조건을 적용하여 계산된 합성탄성파 단면도이다.

와 는 각각 차와 차 경계조건을 적용한 Fig. 2a Fig. 2b 2 3

결과이고, Fig. 2c는 모서리 영역에는 차를 그 외 경계2 에서는 차를 적용한 결과이다3 . Fig. 2a에서 보면 차 근2 사를 이용하는 경우 좌우 경계로부터 약간의 반사파가 생겨남을 알 수 있다. Fig. 2b에서처럼 차 경계조건을3 적용한 경우 경계에서 반사되는 인공적인 반사파가 거의 보이지 않지만 후기 시간에 모형의 모서리 부분에서 매, 우 큰 반사파가 발생함을 관찰할 수 있다 합성탄성파 단. 면도에서는 아랫부분에 흰색으로 나타나고 있다 반면. 모서리에만 차 경계조건을 적용한 경우2 (Fig. 2c)에는 모델 경계뿐만 아니라 모서리에서 파가 잘 흡수되어 매 우 안정적인 결과를 얻을 수 있었다 따라서 이방성 매질. 을 포함한 매우 복잡한 지질 구조에 대해서 차와 차2 3 경계조건을 적절히 적용한다면 매우 좋은 결과를 얻을 수 있을 것으로 판단된다.

결 과

Lamb’s problem

에 대한 정확성을 검증하기 위해 반무 Lamb’s problem

한 균질 매질에 대한 표준유한차분법의 해와 셀 기반 유 한차분법의 해를 비교하였다 표준유한차분법은 추가적. 으로 경계조건을 주지 않으면 Lamb 문제의 경우에 에 따라 레일리파의 진폭이 감소하여 자유면에서 offset

정확한 해를 제시하지 못하므로 응력이 존재하지 않는다 는 다음과 같은 조건이 필요하다.

(22)

(23) 모형은 파 속도가P 2000 m/s, S파 속도는1000 m/s인 반무한 균질매질이며 송신원과 수진기의 거리는 각각, 로 설정하였다 은 해석적인 해와 500 m, 1000 m . Fig. 3

표준유한차분법과 셀 기반 유한차분법에 의해 계산된 수 치적인 해를 비교한 결과이다 표준유한차분법에 의해 계. 산된 해는 추가적으로 자유면 경계조건을 주었음에도 불 구하고 해석적인 해와 오차를 보이며 이는offset이 커질 수록 증가한다 반면에 셀 기반 유한차분법에 의해 구한. 수치적인 해는offset이 증가하더라도 표준유한차분법과 비교하여 상대적으로 해석해와 잘 일치하고 있음을 알 수 있다.

반 무한매질

셀 기반 유한차분법을 이용해 반무한 등방성 매질과 이방성 매질에서의 수치해를 비교해 보았다 송신원으로. 는 최대 주파수가20 Hz인 차 미분 가우스 함수를 수직1 방향 변위로 가정하여 사용하였고 파장당 격자수는, 10 개를 적용하여 계산하였다 시간영역 탄성파 모델링의. 경우 격자분산을 최소화하기 위하여 파장당20개 이상 의 격자수가 필요하나 이 연구에서는 컴퓨터 메모리 문 제때문에 파장당10개의 격자수를 이용하였다 이 경우. 격자간격은5 m가 되고 축x , z축 모형의 크기가4 km 이므로 전체격자는801×801이 된다 시간간격은. 0.001 초로 설정하였으며 총 측정 시간은 초로 하였다 등방, 3 . 성 매질과 이방성 매질에서의 탄성계수와 밀도는 Fig. 4 에 나타냈다 등방성 매질의 파 속도는 수직방향과 수. P 평방향 모두 약1.20 km/s 이지만 제시된 모델의 이방, 성 매질은 수평 방향의 파 속도가 약P 1.20 km/s, 수직 방향의 파 속도가P 0.97 km/s를 지닌다 송신원과 수진. 기 모두를 표면에 위치시켰고, Fig. 5는 이러한 모델에서 셀 기반 유한차분법을 이용해 계산된 스냅단면도이다.

모형경계에서 인공적인 반사파는 흡수경계조건으로 대 부분 사라졌고 두 경우 모두 추가적인 자유면 경계조건, 을 주지 않았음에도 직접파와 큰 진폭을 갖는 저주파수 의 레일리파가 잘 나타나고 있다 그림에서 살펴보는 것. 과 같이 표면에 주어진 송신원으로부터 파가 전파할 때 이방성 매질에서는 각 방향의 속도가 다르게 나타나므로 등방성 매질에서와 달리 타원형태로 전파한다 또한 수. , 직방향의 파의 전파 속도의 차이 때문에 실제 표면에P 수진기를 배치하고 측정할 경우 파의 도달 시간이 달라 지게 되어 등방성으로 가정하고 해석할 경우 매질의 속 도를 잘못 해석할 우려가 있다.

Fig. 4. The geometry of the semi-infinite homogeneous model used for comparison of numerical solutions computed by the cell-based finite-difference scheme in isotropic and anisotropic media.

(7)

2층 모형

이방성 매질과 등방성 매질의 경계에서 탄성파의 진행 이 어떻게 다른지 살펴보기 위해Fig. 6과 같이 등방성 매질 또는 이방성 매질을 포함한 층구조에서 탄성파 모2 델링을 실시하였다 송신원으로는 최대주파수. 80 Hz인 차 미분 가우스 함수를 수직방향 변위로 가정하여 사용 1

하였고 격자간격과 시간간격은 각각, 2.5 m, 0.0003초로 설정하였다 이 모형은. Tsingas et al.(1990)에서 제시된 이방성 셰일층 등방성 사암층의 모형과 같으며 표면에- , 송신원을 위치시켰다. Fig. 7은 등방성 셰일층과 이방성 셰일층에서 구해진 수직방향 변위의 합성탄성파 단면도 이다 그림에서 보면 등방성 매질에서의 결과와 비교해. 볼 때 이방성 매질에서의 직접파와 반사된, P-P파가offset 이 증가할수록 상대적으로 크게 감소한다는 것을 알 수 있으며 또한 이방성 매질과 등방성 매질의 경계에서 상, 대적으로 강한P-SV모드변환이 일어남을 확인할 수 있 다(Fig. 7b).이러한 매질의 이방성에 의해 나타난P-SV 모드변환파들은 파의 반사파와 유사하여 잘못된 속도P 분석을 야기할 수 있으며 또한 파의 속도를 결정할 경우, 구조보정 시 잘못된 층의 깊이를 도출할 가능성이 있다.

경사층 모형

석유 탐사에서 때때로 경사진 셰일층이 사암층을 덮고 있는 경우가 있으며 이 때 셰일층의 위치가 매우 중요하, 다(Juhlin, 1995). Juhlin(1995)이 제시한 것과 같이 셰일 층이 이방성인 모형(Fig. 8)에 대하여 수치 해를 계산한 후 등방성인 경우의 해와 비교해 보았다 모형에서 송신. Fig. 5. Snapshots obtained by the cell-based finite-difference scheme for the semi-infinite homogeneous model in isotropic (upper) and anisotropic media (bottom)

Fig. 6. The geometry of the isotropic shale-isotropic sand- stone model and anisotropic shale-anisotropic sandstone model.

(8)

원은 지표면 근처 가운데에 위치하고 있으며 수진기는 지표면상에 송신원을 기준으로 좌우로 펼쳐져 있다 송. 신원으로는 최대주파수80 Hz인 차 미분 가우스 함수1 를 수직방향 변위로 가정하여 사용하였고 격자간격과, 시간간격은 각각2.5 m, 0.00025초로 설정하였다. 모형 에서 사용된 탄성계수와 밀도는Table 1에 제시하였다. 는 셰일층이 등방성인 경우와 이방성인 경우에 구 Fig. 9

한 수직방향 변위의 합성탄성파 단면도이다 송신원이. 등방성 매질에 위치하므로 직접파는 두 경우 같은 형태 로 나타나지만 셰일층의 하부에서 반사된 파의 진폭이, S 이방성 매질에서의 경우 매우 커서 등방성 매질에서의 반사된 파와 비슷하게 나타난다 따라서 이방성 매질이P . 상부에 존재할 경우 상부의 이방성 매질과 하부의 등방 성 매질 경계의 심도가 잘못 추정될 수 있으며 속도구조, 또한 잘못 해석될 수 있다 따라서 정확한 해석을 위해서. 는 이방성이 고려된 해석기법으로 자료를 해석해야한다.

결 론

매질의 물성을 셀 내부에 정의하는 셀 기반 변위근사 유 한차분법을 이용해 이방성 매질에 대한 시간영역 탄성파 모델링을 수행하였다 변위만을 이용한 유한차분법의 경. 우Lamb문제에 대한 해를 정확히 제시할 수 없다고 알려 져 있지만(Vidale and Clayton, 1986), Min et. al.(2004) 은 별도의 조건 없이Lamb문제에 대해 정확한 해를 제 시할 수 있는 셀 기반 유한차분방법을 제안하였다 이 방. 법은 별도의 자유면 경계조건을 주지 않고도 매우 정확

(a) (b)

Fig. 7. Synthetic seismograms of vertical displacements for (a) the isotropic shale isotropic sandstone model and (b) the– transversely isotropic shale isotropic sandstone model.–

Table 1. Elastic constants and densities used in the dipping shale model

Density (kg/m³) C11 (Gpa) C13 (Gpa) C33 (Gpa) C44 (Gpa)

Isotropic sandstone 2250 24.8 16.0 24.8 8.8

Isotropic shale 2250 21.8 14.0 21.8 7.8

Anisotropic shale 2250 26.6 15.7 21.8 7.8

Fig. 8. The dipping shale model: Shale is isotropic or anisotropic.

(9)

한 해를 제시할 뿐 아니라 상반성 원리 또한 만족시킨다.

본 연구에서는 이러한 셀 기반 유한차분법을 이방성 매 질에 적용하였고 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다, .

기존의 연구에서 제시되었던 모형에 대하여 등방성 1.

인 경우와 이방성인 경우 수치 해를 계산한 후 비교함으 로써 본 연구에서 제시한 모델링 방법의 정확도를 검증 하였다.

2. 이방성 매질을 등방성 매질로 가정하고 해석할 경우 해석과정에서 오류를 범할 수 있다는 것을 알 수 있었다.

좌우 인위적인 경계면으로부터 발생하는 반사파를 3.

제거하기 위하여 포아송의 비에 거의 영향을 받지 않는 이 제시한 등방성 매질에서의 경계조건을 Higdon(1991)

적용하였으며 보통의 경계부분에서는 차 경계조건이, 3 , 그리고 모서리 부분에서는 차 경계조건이 좀 더 적절함2 을 확인할 수 있었다.

본 연구에서 제시한 알고리듬은 매우 쉽고 간단하면서 도 정확한 해를 제시할 수 있고 다른 모델링 기법에 비, 해 계산량이 적어 효율적이므로 파형역산과 같은 많은, 양의 모델링을 필요로 하는 해석기법에 효율적으로 적용 될 수 있을 것으로 기대된다.

사 사

본 연구는 한국해양연구원의 배타적 경제수역 해양“

광물자원조사 사업” PM50101, 2단계BK21 사업과 서 울대학교 신임교수 연구정착금의 지원을 받아 수행되었 으며 관계기관에 감사드립니다.

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(a) (b)

Fig. 9. Synthetic seismograms of vertical displacements for the dipping shale model: (a) isotropic shale and (b) anisotropic shale.

(10)

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564-567.

이 호 용 민 동 주

년 서울대학교 지구과학교육과 이 2000

학사

년 서울대학교 과학교육과 교육학 2002

석사

년 서울대학교 지구과학교육과 이 1993

학사

석사

박사

현재 서울대학교 과학교육과 박사과정 수료 (E-mail; [email protected])