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(1)

Innovative ship design – Hydrostatic calculation by pressure integration technique

@

SDALAdvanced Ship Design Automation Lab.

http://asdal.snu.ac.kr Seoul

National Univ.

N a va l A rc hi te ct u re & Oc e a n En g in e e ri n g

@ SDAL

Advanced Ship Design Automation Lab.

http://asdal.snu.ac.kr Seoul

National Univ.

[2009] [08]

Innovative ship design -Trim & Stability -

Hydrostatic Calculation by Pressure Integration Technique

April, 2009

Prof. Kyu-Yeul Lee

Department of Naval Architecture and Ocean Engineering, Seoul National University of College of Engineering

서울대학교 조선해양공학과 학부4학년 “창의적 선박설계” 강의 교재

(2)

부력(Buoyancy)

“Archimedes Principle”

 Archimedes’ Principle

 “유체 속에 있는 물체가 받는 부력의 크기는 그 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같고 그 방향은 중량과 반대 방 향이다”

G: 중심, B: 부심 W: 중량, ∆: 부력 ρ: 유체의 밀도

V: 유체 속에 잠겨있는 물체의 부피

G

B W

∆

① 아르키메데스의 원리

물체의 부력 = 물체가 밀어낸 유체의 중량(배수량; Displacement)

② 평형 상태 (이 물체에 작용하는 모든 합력과 모멘트가0) 물체의 부력- 물체의 중량=0

③∴배수량= 물체의 중량

∆ = − W = ρ gV

2/143

(3)

부력의 유도

- 유체 입자의 운동 방정식 정리 (Cauchy eq. ~ Bernoulli eq.)

¹⁾

① 뉴턴 유체^* (Newtonian fluid)

③ 비점성 유체 (Invicid fluid)

Euler Equation : P

dt

dV = gρ −∇ ρ

Navier-Stokes Equation :

(in general form) ¹

( )

²

3

d P

ρ dt = ρ − ∇ +µ^ ∇ ∇ + ∇ ^

V g V V

Cauchy Equation : d

ρ dtV = ρ + ∇ •σ

g ^,

(

^V ⁼

[

^{u v w}^{, ,}

]

^T

)

②Stokes assumption**

④ barotropic flow

Bernoulli equation

(case1)

Constant B =

⑤ Steady flow

(case2)

1 2

2 ( )

gz dP F t

t ρ

∂Φ + ∇Φ + + =

∂

∫

⑥ Unsteady, t 0

∂ = 

 ∂ 

 

V

( )P ρ ρ=

(

^µ ⁼ ⁰

)

(

^q² ^{= ∇Φ}²

)

Euler Equation :

(Another form) B t

∂ + ∇ = ×

∂

V Vω ^,^^B ⁼ ¹₂^q² ⁺^gz ⁺ ^dP_ρ ^, ^q² ⁼^u² ⁺^v² ⁺^w²^



∫



1 2

2

q gz dP C

ρ

 

+ + =

 



∫



along streamlines and vortex lines

⑦Incompressible flow

(

^ρ ⁼^constant

)

(case3)

1 2

2 ( )

gz P F t

t ρ

∂Φ + ∇Φ + + =

∂

Newtonian fluid Stokes assumption Invicid fluid

Unsteady flow Irrotational flow Incompressible flow

* 전단응력이 전단변형율(의 시간변화율)에 비례하는 유체

** 선형 변형과 등방 팽창에 의한 점성 계수μ,λ의 관계식을 정의함

=0

•

∇

∂ +

∂ρ ρV t

= 0

• ∇ V

⑦ incompressible flow

⑥ irrotational flow Continuity

Equation(질량보존)

, 0

constant t ρ = ^^∂∂ρ = ^

(^V ^{= ∇Φ})

Laplace

Equation

∇

²

Φ = 0

1)Kundu,P.k.,Cohen,I.M.,Fluid Mehcanics 4^th, Academic Press,2008

Irrotational flow

If , (irrotational flow)ω=0 the

If , then .∇ × =V 0 V = ∇Φ

∇ × =V 0 ωV= ∇×

3/143

(4)

부력의 유도

-Bernoulli equation의 F(t)의 의미와 계기 압력

¹⁾

Bernoulli Equation

1

2

2 ( )

P g z F t

t ρ

∂Φ + + ∇Φ + =

∂

☞ 항등식

atm ( )

P F t ρ ⁼

(대기압(P_atm)) = (z=0일 때 압력)

1

2

2 P

atm

P g z

t ρ ρ

∴ ∂Φ + + ∇Φ + =

∂

1) 계기 압력 : 전체 압력에서 대기압을 뺀 압력

1 2

2

Bottom atm

P P

t ρ gz ρ

∂Φ + + ∇Φ + =

∂

1 2

2 0

Fluid

P gz

t ρ

∴∂Φ + + ∇Φ + =

∂

1 2

2

atm Fluid atm

P P P

t ρ gz ρ

∂Φ + + + ∇Φ + =

∂

 물체 바닥에서의 유체 압력(P_Fluid)은?

‘계기 압력’

※ Bernoulli equation에서 우변 F(t)=0 으로 표기한 경우, 압력 P는 대기압을 뺀 유체만의 압력임을 의미함

h z

y

Bottom

P

atm

Top P

P =

1 2

2 0

Fluid

P gz

t ρ

∂Φ + + ∇Φ + =

∂

Fluid 0

P gz

ρ ^∂Φt ρ

= − − =

∂

유체의 운동이 미소하다면, 2차항을 선형화 할 수 있다.

‘선형화된 Bernoulli Equation’

static

P

dynamic

P

t 0,

∂Φ =

∂

z=0인 Free surface에서 유체입자가 정적인 상태라면,

∇Φ = 0,

1 2

2 ( )

P g z F t

t ρ

∂Φ+ + ∇Φ + =

∂

P Patm

0 z=

P = Patm

4/143

(5)

5/151 5/131

부력의 유도

-압력의 개념을 도입한 부력계산

− z z

y

atm

Top P

P =

Bottom

P

 아래 물체에 작용하는 수직방향의 정적인 힘은?

dS

n

1: Normal vector : Area

dS P

dF_Bottom = _Bottom ⋅n₂

: 물체 아랫면의 미소 면적에 작용하는 힘

2

Bottom atm

P = P −ρgz

 

 = 

n k 

: 물체 윗면의 미소 면적에 작용하는 힘

dS P

dF_Top = _Top ⋅n₁



 





−

=

⋅

−

= k n₁

0 g P

P_Top _atm ρ

1 2

( ) ( )

( )

Top Bottom

atm atm

d d d

P dS P dS

P dS P gz dS

gz dS gz dS

ρ

ρ ρ

= +

= ⋅ + ⋅

= − + −

= − = − ⋅

F F F

n n

k k

: 대기압에 의한 힘이 서로 상쇄됨

※ 압력(Pressure) : 단위 면적에수직으로 작용하는 힘 즉, 힘을 구하기 위해서는 압력에 면적과

그 작용면의 법선 벡터(Normal Vector)를 곱해야 함

gz P

P = _atm −

ρ

∫∫

−

=

SB

zdS g n ρ

∫∫

∫ ⁼

=

SB

dS P

d F n

F

^,⁽^P = ^P^static = −

ρ

^gz⁾

ρgz t

P ∂

Φ

− ∂

−

= ρ

cf)선형화 한 Bernoulli eq.

static

P P_dynamic

좌표계 설정에 따라 z값이 (-)이므로( -)를 붙임

아래쪽으로 갈수록 압력이 커짐

전체 정적 압력에서 대기압을 뺀 순수 유체 정압력

5/143

(6)

6/151

부력의 유도

선박에 작용하는 유체의 정적 압력(Hydrostatic pressure)과 부력(Buoyancy)

+y축 영역으로 기울어진 상태

(선박을 정면에서 바라봄)

 Hydrostatic force (Surface force)

: 표면에 작용하는 모든 힘을 적분하여 구함

 Hydrostatic Moment : (모멘트)=(거리) X (힘)

∫∫

−

=

SB

dS z

g n

F ρ

( )

∫∫ ^×

−

=

SB

dS z

g r n

M ρ

∫∫

=

SB

dS Pn F

( )

∫∫ ^×

=

SB

dS P r n M

dS P

d P

d F = ⋅ S = ⋅ n

 미소 면적에 작용하는 힘 :

 Total force :

 미소 면적에 작용하는 모멘트 :

( ) dS P

dS P d

d M = r × F = r × n = r × n

 Total moment :

r S d

r

dS P Pd

dF = S = n

F r

M d

d = ×

왜 r이 먼저 오는가? (좌표축에서 양의 방향을 고려함)

(미소 면적)

(미소 면적에 작용하는 힘)

(미소면적에 작용하는 모멘트) ( : wetted surface)S_B

dS gz P P _static

ρ n

−

=

ξ4

y′

z z′

y O

O′

SB

d F = P

_static

⋅ n dS = − ρ gz ⋅ n dS

여기서, P는 hydrostatic pressure, P_static이다.

gz P

P = _static = −

ρ

( : wetted surface)S_B

6/143

(7)

유체 중에 잠긴 물체가 받는 힘과 모멘트

유체 입자가 주위 유체 입자에 작용하는 정적인 압력

1 2

2 g z P^Fluid 0

ρ ^∂Φt + ∇Φ +ρ + =

∂

Bernoulli Eq.

gz z

P_Fluid( )= −ρ

유체 입자들이 유체 중에 잠긴 물체에 작용하는 정적인 힘과 모멘트

( )

∫∫

⁻

=

SB

d gz S

F ρ ⁼ ⁻

∫∫ ( )

SB

dS z

g n

ρ ⁼ ⁻

∫∫

SB

zdS g n ρ

SB : 침수표면

r

y z

O j k

( )

∫∫

^× ⁻

=

SB

d gz S r

M ρ ⁼⁻

∫∫

^×

( )

SB

dS z

g r n

ρ ⁼⁻

∫∫ (

^×

)

SB

zdS

g r n

ρ

∫∫∫

=

V

dV ρg

k F

[ ]

∫∫∫

⁻

=

V

dV x y

g i j

M ρ

Divergence Theorem

V : 침수부피

Fluid

P gz

ρ ^∂Φt ρ

= − −

∂

선형화된 Bernoulli Equation

Fluid

P gz

ρ ^∂Φt ρ

= − −

∂

정수→유체의속도=0

7/143

(8)

 Hydrostatic force (Surface force)

∫∫

−

=

SB

dS z

g n

F ρ

∫∫∫ ^∇

=

V

zdV ρ g

F  

 



 =

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ i j k k

z z y

z x

z z

: 물에 잠긴 물체의 부피에 해당하는 물의 무게를 수면과 수직 방향으로 받음 (≒아르키메데스의 원리)

 



 

 ∫∫ ⋅ = ∫∫∫ ∇

V S

fdV dA

f n

divergence theorem¹⁾ 사용하면,

※ (-)부호가 사라진 이유

: Divergence theorem은 면의 외향 단위 벡터를 기준으로 한다.

부력 계산시 사용하는 Normal vector는 내향 단위 벡터이므로, (−)를 곱한 뒤, Divergence theorem을 적용해야 한다.

∫∫∫

=

V

dV ρ g

k

) (t ρ gV

= k

2)

1) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9^th,Wiley,Ch10.7(p458~463) 2) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9^th,Wiley,Ch9.9(p414~417)

( : wetted surface)S

선박의 운동 시, 시간에 따라 배수 용적V가 달라지므로, V는 시간에 대한 함수 V(t)임

부력의 유도

선박에 작용하는 유체의 정적 압력(Hydrostatic pressure)과 부력(Buoyancy)

8/143

(9)

Hydrostatic Moment

 Hydrostatic moment

( )

∫∫∫ ^∇ ^×

−

=

V

zdV

g r

M ρ

( )

∫∫ ^×

−

=

SB

zdS g r n

M ρ

Divergence theorem¹⁾ 사용하면,









∫∫∫

∇× =

∫∫

×

V S

dA

dV n F

F













+

−

 =



 





∂

− ∂

∂ + ∂



 





∂

− ∂

∂ + ∂



 





∂

− ∂

∂

= ∂

∂

= ∂

×

∇ xz y x

yz y z x

xz x yz z

z z y z

yz xz

z y

z x i j k i j

k j

i

r ² ²

2

[ ]

∫∫∫ ⁻ ⁺

−

=

∴

V

dV x y

g i j M ρ

2)

( : wetted surface)S_B

ξ4

y′

z z′

y O′ O

SB

Normal Vector의 방향이 반대이므로 (-)부호를 붙여줌

 의미 ?

1) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9^th,Wiley,Ch10.7(pp.458~463 2) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9^th,Wiley,Ch9.9(pp.414~417)

( )

∫∫ ^×

=

SB

zdS g n r

ρ

9/143

(10)

Hydrostatic Moment (횡 경사)

[ ] ∫∫∫ [ ]

∫∫∫ ⁻ ⁺ ⁼ ⁻

−

=

V V

dV x y g

dV x y

g i j i j

M ρ ρ

∫∫∫

∫∫∫ ⁻

=

V V

xdV g

ydV

g i ρ j

ρ ₌ i ρ _gV _⋅ _y

_B

₋ j ρ _gV _⋅ _x

_B

부력의횡 방향 중심 부력의종 방향 중심 부력

BL

BT

M

M j

i +

=

부력에 의한 횡 방향 모멘트

부력에 의한 종 방향 모멘트

<zy 방향으로 기울었을 경우(-방향) >

CL

y y′

∇

V

x x′

B

ξ4

z′

B2

z

yB

< 선박 안정론 > KN = KGsinφ +GZ

수선면 고정 좌표계의 x축을 기준으로한 부력의 횡 방향 모멘트 암

B

:

y

배 밑면의 중심 K를 통과하는

축을 기준으로한 부력의 횡 방향 모멘트 암

: KN

(Q) 다른 것인가?

(A) 중량에 의한 모멘트를 고려해 보면,모두 GZ가 횡 복원 모멘트 암이 된다.

즉, 선박이 받는 횡 복원 모멘트는 동일하다.

CL

y y′

∇

V

x x′

B

ξ4

z′

B2

z

K

G

B N δy δ^z^B

G Z Z

(

^M_BL ⁼⁻^ρ^gV ^⋅^x_B

)

V , V

B B

V V

ydV xdV

y x

dV dV

 

 

= =

 

 

∫∫∫ ∫∫∫

10/143

(11)

Hydrostatic Moment (종 경사)

[ ] ∫∫∫ [ ]

∫∫∫ ⁻ ⁺ ⁼ ⁻

−

=

V V

dV x y g

dV x y

g i j i j

M ρ ρ

∫∫∫

∫∫∫ ⁻

=

V V

xdV g

ydV

g i ρ j

ρ ₌ i ρ _gV _⋅ _y

_B

₋ j ρ _gV _⋅ _x

_B

부력의횡 방향 중심 부력의종 방향 중심 부력

BL

BT

M

M j

i +

=

부력에 의한 횡 방향 모멘트

부력에 의한 종 방향 모멘트

V

z

∇ x y y'

' x '

z

B B²

ξ5 ^선수 선미

xB

V

z

∇ x

y y' x'

' z

B2

B

ξ5

선수 선미

xB

< 선수쪽으로 기울었을 경우(+방향) >

< 선미쪽으로 기울었을 경우(-방향) >

< 0 M

BL

> 0 M

BL

x_B>0이므로, 음의 모멘트

x_B<0이므로, 양의 모멘트

(

^M_BL ⁼⁻^ρ^gV ^⋅^x_B

)

B , B

ydV xdV

y x

dV dV

 

 = = 

 

 

∫∫∫ ∫∫∫

11/143

(12)

Coordinate System

축– 원점: Midship, (+): 선수

축– 원점: Centerline, (+):+y축 영역 축– 원점: 수선면, (+): 선박의 위

x′

y′

z′

Body Fixed Coordinate System

x′

y′

z′

x

y

z

Water Surface Fixed Coordinate System (Global Coordinate System)

축– 원점: Midship, (+): 축을 포함하고 수선면과 직교인 평면과 수선면 사이의 교선

축– 원점: Centerline, (+): 축과 축의 외적 방향 축– 원점: 수면, (+): 수선면에 수직한 위 방향

x′

z x

x y z

(Surge) z z′

x x′

∇

y y′

ξ1

(Roll)

y z z′

∇ y′

x x′

ξ2 CL (Sway)

z z′

x x′

∇

y y′

(Pitch)

(Heave) z z′

x x′

∇ y

y′ ξ₃

x^축translation

x^축^rotation

y^축translation

y^축rotation

z ^축translation

z ^축rotation (Yaw) y′

x′

y z z′

6 x ξ

ξ4

y z′ z

∇ y′

CL x x′

12/143

(13)

Heel

Trim

Immersion

선박의 자세와 힘, 모멘트와의 관계

- Pressure Integration Technique

¹⁾

선박이 유체 중에서 받는 정적인 힘과 모멘트

∫∫∫

=

V

dV ρg

k

F ⁼

∫∫∫ [

⁻

]

V

dV x y

g i j

M ρ

) , ,

(ξ₃ξ₄ξ₅ (ξ₃,ξ₄,ξ₅)

) , ,

(ξ₃ ξ₄ ξ₅ F

F = M =M(ξ₃,ξ₄,ξ₅)

(Q) 침수부피 및 부심이 변하는 자세는?

(Surge)

(Roll)

y z z′

∇ y′

x x′

ξ2 CL

(Sway) (Heave) z

z′

x x′

∇ y

y′ ξ₃

x^축translation

x^축^rotation

y^축translation

y^축rotation

z ^축translation

z ^축rotation (Yaw)

z z′

x x′

∇

y y′

ξ1

ξ4

y z′ z

∇ y′

CL x x′

y′

x′

y z z′

x ξ6

z z′

x x′

∇

y y′

(Pitch)

ξ5

xyz : Global coordinate system

x'y'z' : Body-fixed coordinate system.

1) Söding, H., “Naval Architecture Calculation”, WEGEMT, E2 Computer Aided Ship Design, pp.74-95, 1978

13/143

(14)

미소 변화된 자세의 Total Force & Moment는?

초기 자세( , , )에서

Total force( F ), Total transverse moment(M_T), Total longitudinal moment(M_L)를 알고 있을 때, 미소 변화된 자세( , , )에서의

Total force( F ), Total transverse moment(M_T), Total longitudinal moment(M_L)는?

ξ

3

ξ

₄

ξ

₅

3

ξ

+∆

ξ

₄ +∆

ξ

₄

ξ

₅ +∆

ξ

₅

( )

( ) ( )

k 0

k k

B W

= + =

F F F

y z

CL

∇ x ^G

FW

B

FB

<초기 상태>

Total Force =0 (equilibrium)

= Ship weight(F_W^(k)) + Buoyancy(F_B^(k))

<외력에 의해 자세가 변한 상태>

Total Force

= Ship weight(F_W^(k+1)) + Buoyancy(F_B^(k+1))

y z

CL

x

∇ G

FW

B

FB

( ¹)

(k 1) (k 1) k

B W

+ = + + +

F F F

( ) 3

ξ k

∆ y′

( ¹)

1 1

2 2 2

( ) ( )

k 0

k k

B W

+ = + + + =

F F F

y z

CL

∇ x ^G

FW

B

FB

<외력이 가해지고, 자세가 변하기 전 상태>

Total Force ≠ 0

= Ship weight(F_W^(k+1/2))

+ Buoyancy(F_B^(k+1/2))

14/143

(15)

미소 변화된 자세의 Total Force & Moment는?

(Taylor series expansion) (1)

초기 자세( , , )에서

Total force( F ), Total transverse moment(M_T), Total longitudinal moment(M_L)를 알고 있을 때, 미소 변화된 자세( , , )에서의

Total force( F ), Total transverse moment(M_T), Total longitudinal moment(M_L)는?

ξ

3

ξ

₄

ξ

₅

3

ξ

+∆

ξ

₄ +∆

ξ

₄

ξ

₅ +∆

ξ

₅

3 4 5

( , , ) F ξ ξ ξ

3 4 5

( , , ) MT ξ ξ ξ

3 4 5

( , , ) ML ξ ξ ξ

3 3 4 4 5 5

( , , )

F ξ + ∆ξ ξ + ∆ξ ξ + ∆ξ

3 3 4 4 5 5

( , , )

MT ξ + ∆ξ ξ + ∆ξ ξ + ∆ξ

3 3 4 4 5 5

( , , )

ML ξ + ∆ξ ξ + ∆ξ ξ + ∆ξ

?

Taylor series expansion

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , ) F F F

F ξ ξ ξ ξ ξ ξ F ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ +

∂ ∂ ∂ 

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , ) ^T ^T ^T

T T

M M M

M ξ ξ ξ ξ ξ ξ M ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ +

∂ ∂ ∂ 

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , ) ^L ^L ^L

L L

M M M

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ +

∂ ∂ ∂ 

선형화

15/143

(16)

미소 변화된 자세의 Total Force & Moment는?

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , ) F F F

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , ) ^L ^L ^L

L L

M M M

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , ) ^T ^T ^T

T T

M M M

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

 Taylor series 1차항까지 전개

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , ) F F F

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ ∆ + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , ) ^L ^L ^L

L L

M M M

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ ∆ + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , ) ^T ^T ^T

T T

M M M

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ ∆ + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

3 4 5

F F F

F ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

∆ = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

3 4 5

L L L

L

M M M

M ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

∆ = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

3 4 5

T T T

T

M M M

M ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

∆ = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

16/143

(17)

3 4 5

3 4

3 4 5

5

3 4 5

T T T

T L

L L L

F F F

F M M M

M

M M M M

ξ ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

 ∂ ∂ ∂ 

 ∂ ∂ ∂ 

 

∆ ∆

  ∂ ∂ ∂  

∆  = ∆ 

   ∂ ∂ ∂  

∆  ∆ 

  ∂ ∂ ∂  

 

 ∂ ∂ ∂ 

 

3 4 5

3 4

3 4 5

5

3 4 5

T T T

T L

L L L

F F F

F M M M

M

M M M M

ξ ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

 ∂ ∂ ∂ 

 ∂ ∂ ∂ 

 

∆ ∆

  ∂ ∂ ∂  

∆ = ∆ 

   ∂ ∂ ∂  

∆  ∆ 

  ∂ ∂ ∂  

 

 ∂ ∂ ∂ 

 

미소 변화된 자세의 Total Force & Moment는?

 Taylor series 1차항까지 전개

3 4 5

F F F

F ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

∆ = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

3 4 5

L L L

L

M M M

M ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

∆ = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

3 4 5

T T T

T

M M M

M ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

∆ = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂

3 4 5

3 4

3 4 5

5

3 4 5

T T T

T L

L L L

F F F

F M M M

M

M M M M

ξ ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

 ∂ ∂ ∂ 

 ∂ ∂ ∂ 

 

∆ ∆

  ∂ ∂ ∂  

∆ = ∆ 

   ∂ ∂ ∂  

∆  ∆ 

  ∂ ∂ ∂  

 

 ∂ ∂ ∂ 

 

 Matrix로 표현

b = Ax

변수3개, 식 3개

1. 자세의 변화량이 주어져 있을 때, 힘(모멘트)의 변화량을 구하는 경우

Given Given Find

Ax

b =

^{를 풀면 됨}

2. 힘(모멘트)의 변화량이 주어져 있을 때, 자세의 변화량을 구하는 경우

Given

Given Find

−1

x = A b

^{를 풀면 됨}

A

※ 가 선형화되어 있기 때문에

반복 계산(iteration)을 해야 함 ^17/143

(18)

미소 자세와 미소 힘, 모멘트와의 관계식 ¹⁾

( )

( ) ( )

4 5

3

( )

( ) ( )

4 5

3

( )

( ) ( )

4 5

3

3 4 5

( ) ( )

3

( ) ( )

4

3 4 5

( ) ( )

5

3 4 5

k

k k

k

k k

k

k k

k T T T k

T

k k

L

L L L

F F F

F M M M

M M

M M M

ξ

ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

 ∂ ∂ ∂ 

 

∂ ∂ ∂

 

 ∆  ∆ 

 

∆ =∂ ∂ ∂ ∆ 

   ∂ ∂ ∂  

∆  ∆ 

    

∂ ∂ ∂

 

 ∂ ∂ ∂ 

 

1) Söding, H., “Naval Architecture Calculation”, WEGEMT, E2 Computer Aided Ship Design, pp.74-95, 1978

Jacobian matrix

(자세 변화량을 힘과 모멘트의 변화량으로 변환) Immersion Heel Trim

( ) ( )

3

( ) ( )

4

( ) ( )

5

k k

T

k k

L

F M M

ξ ξ ξ

 ∆    ∆ 

∆ = ⋅ ∆ 

     

 

∆    ∆ 

   

( ) 3

( ) 4 ( ) 5

( )

k WP

gA gT gL ρ ξ ρ ξ ρ ξ

−

( ) 3

( ) ( ) ( ) ( )

4 4

( ) 5

( )

( ) ( )

( )

k WP

k k k k

T B G

k P

gT

gI gV z mg z

gI ρ ξ

ρ ξ ρ ξ

ρ ξ

−

− − + ⋅

( ) 3 ( ) 4

( ) ( ) ( ) ( )

5 5

( )

( ) ( )

k WP

k P

k k k k

L B G

gL gI

gI gV z mg z

ρ ξ ρ ξ

− − + ⋅

수학적 표현

물리적 의미

18/143