함수해석학(위상 벡터 공간을 주로)

擊 析 解 數 빼

空間울 主로- -位相 빽타

基 善 宋

P

L

!%'+1- x.;즉

2

!%'+i-x.J~2 k’+i-ll%2-x11~!%2-Xll

c。

:S k'+'-' =lx

2

-%11 2 k" <IX , ^-X1Ie

’

=1 .늑”

이와같이 하여 점 렬

{x.}

_은

Ca uchy

의 收數條件 올 械足하요로 한 點 x. 어I 收歡하겠다. 야 點

^X.

가 빼數 f 의 固定點0/ 됨응 f 가 連續〔事實上 隆 件〔※〕는

f

가 zr;等運훌암 울 뭇한다〕업을 it慧하 연

I(x.)=lim/(x.)=lim %'+1 =%•

•-’ co

o~o。

에서 공 알수 있어 파연 f 의 固定點운 存在한 다. 지금

y 7t

f 의 또 하나의 固定點.

llP f(y )=y

이라하연

!%.-yj=lf(%.)-j(v)!즉k!x.-y)

이요. k 는 <1인 正數야므로

x.=y

_{휠 수 밖에} 없어 固定鄭이 存在하되 오직 하냐밖에 없음이 完全히 밝혀졌다.

定理l 뼈散 f 가 實數題 R 위에서 定義판 빼數혹 條件 G혔)률 驚足하연

f

의 固定點OJ 칙 하냐存在한다.

3.

톨훌훌뼈

위외 定理I의 證明윤 實數體 R 이 寶數의 銀 對f홉에 關하여 흩E離뿔閒(.IlP 두 賣數 x 와 y 사。l 의 題홉훌 d(%.y)로 ;.%-..1/훌 擇한마〕임과 賣歡짧의 完懶性(completeness)에 依存하였￡으로 그 定理­

의 훌훌윷올 팩할 수 있겠마.

치급 한 集合 E 의 任意의 두 元의 雙

(x, y)

(gEE,

yeE)에 對하여 한 實數

d(X.y)7r

對應하되

任훌의 元 xε:E， yεB. zeE어l 對하예

1)

d(x;y)늘0이고 尊觀는 x=y얼빼， 그려고 야 해에 限하여 威立하고

2) d( x. y)=d (Y, x)

(對稱性〕

3)

d(x. z)~d(x.j1)+d(y.z) (三角不等式)률 빼 足할 혜 E 률 “d 률 距離로 하는 距離호間’이라 한다.

d 률 뚫離혹 하는 距緣호間 E 內의 점혈 {ι10J

實오

- 2 0 -

1.

緣 롭

無限딩;元의 e훌數호間의 解析을 主題로 하는 빼 數解析學은

Volterra

의 變分學의 핍究에 그 始初 를 둔 것 A로 그後 積分方程式의 解률 求하는 問 題가 그의 發展올 크게 刺觀하였다. 公理的이고 抽象的언 方法올 取하.!!.로서 個{뽑의 問題를 別逢 혹 取됐하는 것보다 統一的이고 -般的안 結꿇올 엠게 되는 이 빼數解析學의 廣範圍한 全般에 걸 치어 그 解짧융 껴한다는 것윤 現在의 筆者로서 能히 到達하~l 웃하는 領城에 훌하는 것이 分明 하므로 主로 位相 Vector 호間議의 解說올 試圖 하되 本휘홉의 材料는 거의 Goffman 의 鷹짧的안 論文

Preliminaries to Functional Anal ysi s. Studies

in Modern

a없lysis(4)와

Bourbaki

의

Espaces V e- etoriels

t야l야ogiq없s(3)에 서 取한 것 야 마.

2.

_{固훌훨훌훌}

f 가 實數뽑 R 위에서 定義뭔 實S협활로 條件

〔줬) 한 常數

k,

O<k<l.가 存在하되 엽의의

J&ER,

_{y£R 어l 훨하여}

l{(%)-

/(y)I~KIx-yl

롤 織足한마고 하자. 01 혜 우려는 園數 f 에 固 定點， 용P

/(x)=%

되는 짧아 오척 한個 存在합용 다옵과 같이 말활 수 았다.

그 固뚫짧율 찾기 훌훌하여 우려늪 所謂漸췄 近 1!:J，옳용 使用한다. 용P 任훌훌의 한 點 X 훌 홉하얘

。l 짧융 %J=x 로 놓~h 다융에

X2=/(X1).···.

%0+1 =/(:x.,)•...

01 와 갚야 하여 우려는 한 청혈

〔수옐) (짜}용 얻는데 그 動薦훌 Jl.기 篇하여 그 距훌훌 생 각하얘 보연 條件 〔※〕에 依하여

IXo+1-셔 =tr(Xo)-책 =!f(x.)-j(x，‘1)1책x.-x_1i

=파{ex，←1)-j(X，ι2)I~kZjX-1-μzJ~'"

~k"-Jlxz-x11윷 얻는다. k는 O<k<1안 常數이 었 으묘로任훌의 e>O에 對하여 N올 定활 수 있되

2k’ <e

o

:::,.N

그려 면 X늘N 야.:il. P가 任훌훌의 되게 할수 있다.

自然數얼 a셰

iε(X.-%;)2)τ .，;;;; (E(x‘ _y;)2) ²

+(E(Y .-z ‘)') ,

올 얻으으로

.!!P

d(x.z) .,;;;; d(x.y ’ )+d (y .z)

를 뼈足하기 혜문이다.

d.에 對해서는 우리 가 알고있는 不等式

p>O, 1 . 1

q>O이고

---=- p +-=- . q ^{= 1}

이연 任意의 추 寶數

a. b

에 對하여

!a

^,

P • :hi"

때h 즉-교 +국「

《이 不等式은 위의 不等式 2ao..，;;;; a'+b' 의 續張압 을 注意〕

율 利用하여 證明할 수 있는 HδIder 의 不等式

(Ca uchy-Schwarz

의 不等-式의 據張)

:

‘츠E했써빠때밟i써싸b 샤‘ ⁱ

올 ^써서 얻는 Mi따mwski 의 不等式

(Dai+b.IP)T ^.,;;;;(Ei a; ’ )7 +(Eib.!P)'

윷 利用하연 완다. 뿐만 아니라 E. 內의 두 元

x=(x ‘’ ^{XZ' ....} ,

Xn)과

y= (Y"Yz··· , Y.)

사이의 合을

X+y=(x\十YIt

x , +Yz … , X.+Y.)

j응 定義하고 또 한·元

x= (XI' %2' .u ,

_{X'n)과 한 實} 數 A 와의 곱을

i.x=( J.x

I •

Ax,• .... Ax.)

로 定義하연

E.

은 하냐으1 백 !'1~ 間을 이 푼마. 섹 터호휩j E‘위에 거려

d

l t

d" d

3 그려고 d

‘률

^넣

어 생 각하였을 혜 그호間올 各各 ^l∞^(n).

^ll(n).

l , (n).

lp(n)_으로 表示한다.

定理

3

호間 l∞ (n).ll(η).

l , (n).

{pen)은다 完備안 꺼려공간이다.

本 定理는 本質的으로 實數으} 完備{生에 첼盤을 둔것으로그證明운위에서 얄한諸不等파올쓰 연 판마.

5.

노홈훨間

앞철에서 얄한 結果는 곧 無限컸元으로 擬張할 수 있다. 郞

lα‘로셔 모든 寶數列

X=(Xb X2 , ...

_)으로서 supjx;J<∞인 것들의 棄合

t ,= {a=(xltx

Z

, ...) :

Ejι<∞}， 즉 요둔 絡對收 歡하는數列들의 호聞

1 ,= {x=(X

^It

X2 , ) : E.'x;j2

<∞}，

μ =

{X=Xh X2' ) :

끽x;1’<∞}

위의 호間들은 그 호間內의 두 元의 合올 “自 然的"~£ 定義하고〔좌JE끼 리) 또 한 元파 한)寶

d 3 (ιy)=C~\(x;-y;)2 )+

d2(x.y)=

ε

Jx ‘ -Y;i

(Elo;b;/)2길〔εo;')(Eb‘2) 을 利用하얘 證明할 수 있는 不等式

(E(a，+써')

2

길띠a‘2JT+(Eb，'f강 에서 α;=x;-y，.

b;=y ‘ -Zi

로 놓아

d.(x. ^y )=( ;~，1Xi-Y'서÷ ^{[ P> l ]}

d3^이 事實上의 거려됨은 任훨、의 두 寶數 ^a와&에 對하여 잘 알려진 不等式

2μ히";;;;0²+0²

어l 基鍵률 둔 所謂

Ca uchy-Schwarz

_{의 不等式，}

.l1P

任意의 實數

a J , O 2''', a.; 0lt 02"', b.

_{에 對하여 成} 立하는

한 點

^X ,

에 j않없한다는 것은 ff:意의 c:>o어l 對하­

여 한 自然、數 N 올 찾을 수 있되 n ;:，N이 1건

d(x ‘ ,

X.)<ε 되 거l 할 수 있융을 듯한다. 만일 任意、의 e>O에 對하여 한 自 然、數 N올 찾을 수 있되 m늑N.

’늘N 이연 d(x"，^{• •}x.)<s 되게 할수있을째 정렬

Ix.J

은

Ca uchy

정 렬이 라 부른다. 收歡하는 點찌 은

Ca uchy

_{점 혈 이 냐}

Ca uchy

_{점 렬 이} 반드λ1 1&歡 한다고 할 수는 없다. 모든 Cauchy 점렬야 收敏 하는 距離 호f려은 하~~짧아 다 라고 말한다. 그러 면 우리는 마음 固定點 :Q:理들 얻는다.

훌理

2. E

을 完備안 距離초間。l 라 하자.

E 위헤 定義환 E 로 가는 빼數 f 에 對하여 한I-E 數

k. O<k<l.

가 f{(f.하되 엽의의 xεE， y(E 어l 對하여

dU(x). J (y ))£.kd(x.y)

이 연

^j

는 오직 하냐의 I휠定點윷 갖는아.

이 힘理의 證明응 定웰l의 그것파 거의 같~

으로 했略하고 精 j)的이고 探究心이 행한 讀者의 힘i習rrfj짧j료 남긴다.

4.

距離벡터뿔間

E.

_융

n

_켰元으J

Euclid

_호間，

.l1 n

모든

n

_{個의 實} 數의 排쩨

{(xJ.X,.···.X.) : X;( R, i=1, 2.

， ··n) 의 集 깜야라 하자.

E.

의 if意、의 두 元

X=(Xb X,. '··X.).

y= (Yb."2. ' ..y.)

사야 익 거 리 릎 다음과 같이 定義 할 수 있다.

d.(x.y)= sup jX'-Yil

I£. ’";;;;'

數와의 곱융 “自然、的"~로 定養하면 벡 터 훨間됨 은 협거1 볼 수 았으나 다만 앞절에셔 본 諸不等 式의 x→∞안 혈遇(이 는 事實上 모든 有限의 경 우의 優限이므로 萬- 그不等式률이 모든 有限의 境遇에 成호한다연 自動的(?)으로 無限의 境遇 에도 成立항이 期待판다! )를 앞철에서 본 距離

d" d

2

, d ,

그라고 d，를 定義한 式에서 ε 記號의 上端언

n

을 各各 ∞로 아꾸어 놓오연 對應하는 호間 l∞ •

I •• ',.

_그리고

I

~에서의 距離를 주는 定 義式을 얻는다.

엑 더 호間의 距離는 그 호間위 에 定훌훌판 “노릉’

\..nonn)로 因하얘 定해질 예가 있다. 한 벡터호間 E위의 노릎은 E 위얘셔 定義원 寶數ft훌 빼數로

(x

의 노릎을 펴냄表示)

1)

零벡터 6의 노릎 삐1=0 이요，

x추0⁰1 연

IlxU>o

2)

任意의 寶數 A에 對하여

llAxl1 = ilmx Jl 3)

Iix+yli같뼈1+페}

을 {補먼하는 것。l 다. 벡더호間 E 위에 한 노틈이 定義되어 았을 빼 E 률 노름벡터훗間(nonned

linear spacd)

또는 簡單허 노릎훈間이라 부릎마.

E 가 노름호間얼 혜 두 元 %€E 와 yfE 샤이의 距 鍵를

d(x , Y)=iJx- y\!

로 定義하연 E 는 하냐의 距離호間이 판다.

위에서 말한 호間둘 l∞•

I •• 1

2 그려고 Ip 의 元 X^어1 對하여 各各 11껴|∞ =supjx;1 ijxlj，=I:따 !써12=

(I:lx;12)2 ,

IIx!jp=(I:jx.1’)T.로 定義하면 이들윤 各 各 對應하는 호間위의 노릎이 되고 이 노륨률에 依하여 定훌훌되는 距離는 우리가 처융 出發한 距 離와 같마.

完備안 노릎호間올 Banach 호間이라 부릎다.

f휠理

4

위에서 본 諸홍間윤

Bana ch

호間이 다.

讀者에게 이 定理룰 證明해 보시기률 권한다.

6.

꿇naeh 뿔閒

童要한 노름호間은 위에셔 말한 數列훈間에서 보다 빼數호間， ~p-定한 棄合위에서 定훌훌펀 빼 數률올 元으로 하는 호間에서 찾아폴 수 있다.

가장 간단한 것으로 單位區間

1=(0 ,

_{IJ 위에서} 定義원 모둔 連績훌휩數들의 集合올 C(I)로 나타내 연 이것야 액터호間용 이룹운 밝고 또 임의의 元 fεC(l)어l 對하여

jifll=sup Cf(t)!: t El)

로 定義하연 C( l)가 노름호間됨 도 보기 쉽 다. 또 한 C(η 가 完備， 따라서

Ban ach

_{호間됨 은 “連緣}

훌쩍數갖 Ij의 zp:等極限은 하나의 連續힘휩數이 다”의 定 理에 依하여 알 수 있냐..'E 하냐의 古典的， 그 러 냐 大端히 重要한 훌間으로

L

p껄間들이 었다.

따 任意의 正數 P^{늘1에 對하여 그} P^제꼽이 總對 可積分 (Lebesgue) 안 뼈數들의 컬間이 다. 따라서

f(-L~는

f ~lf(t)IPdt<∞

블 뜻한다

(*). ^Holder.

Mi퍼wwski 不等式의 積 分}없이 또한 成효하여

L

p호間이 펙 터 호間을 ^。l 루고 또헌 任意의

ffLp

에 對하여

t"

rt ., 1/ ’

;

_fli~=

I I If(t):Pdt I'

로 定훌훌하면

L p

는 ^{이 노릎에 對하여}

^Ba nach

호 間이 됨이 證明원다.

7.

다시 固뭘點定훌어| 關하여

固定點 問題의 한 應用~로 다음 問題률 생 각 하여 보자. 지금 k(x， y)는

O ,.;;;; x .s; l , O .s; y ,h

1에서 連績언 빼澈， g(x)는 Oζx.s; l에서 連續인 흩월數 라 할 예

Fredholm

形의 積分方程式

C**) ^g(X)+A f ~k(x， Y)f(y)앙=f(x)

올 輔足하는 連續빼數〔區間 O즉X즉 1 위에서 定훌훌 판) f 가 存在하느냐?

任意、의 빼數 ufC(l)에 對하여 한 點 .%f (0，1J어l

셔의 廳{直가 ^g(X)+A f :k(x써(y)양 로 決定

되는 빼數를 Ku 로 나타내면， 郞

(Ku)(성 =g(x)十AI :k(x，y).u(Y)ψ

이 연

g

의 連續性파

k

의 쭈等連續性용 利用하여 Ku 도

I

위에서 fiE훌옳된 連緣뼈數엽이 밝혀져，

1! P

KufC(l)야 되어 K:u→Ku 는

Ce ^l)

위에 定義왼 Cel)에로 가는 흩휩數〔線型〕됨올 알 수 있 다. 그리 하여 빼數 f 가 績分方程式 c**)의 解됨은

H

=f , .ll P ^f 7}

變換 K 의 I웹定點됨과 같은뜻이다.

지 금 任意의 두 元

UfC (l),

vfC(l)어l 對하여

Ku

와 Ku 의 距離를 求해보연

!IKu- Kvll=su해Ku(x)-Kv(x)!

xd

(*)

正確하게 말하연 거의 도처에셔 O되는 뼈 數의 積分은 0이므로 L~ 호펌j은 그 P 제곱이 組對 可積分인 빼數들의 거의 도처에셔 O되는 뼈數들 에 對한 商초間오로 定義훤다.

- 2 2 -

=폈(g(상+짜k(x，yψ폐

- [g(x)+ A: I :k(x써어)dy]1

=폈iI:k(x，y)(Uω-v(y) )d yl

，G;I씨펼J ^{:lk(x , y) l! u (Y )-V (Y )\dy}

，G; lljM 폈!u(y)-vω=!쳐 .Mau-vll 여 71 서

M=sup {/k (x , y)l: xd , yd}

그러으로 만일 깨M<l 則 씨<끓언 쳐I 對하여

는 定理2률 適用한 수 있어 積分方程式(**) 는 오직 하냐의 解를 가짐을- 알 수 있다.

8. Hilbert

뿔間

4節에 서 본 휠問 12는 Hilbeπ 카 積、分方程式

[J (x)+ f:k(x，y).u(Y)ψ =f(x)

의 解률 IJfJ'E함에 있어서

(1 906)

얻은 ?찬間.E..로

←오늘날의 Hilbert 헬間의 起因이 원 것이었다.

Hilbeπ 호間의 公理的안 1&짧은

]. von Neumann

어，1 {k하여 1929年에 發表되 었요며 그는 그의 量 子力學의 基짧에 關한 맑究와 關聯하여 有界가 아닌 線맺變換을 取폈하였‘고 한便 거의 같은 우 형 에

Stone

와

Wintner

도 같은 事業에 從事하였 다.

Hilbeπ 호間은

Ba nach

초間의 3待珠한 것.E..로 그 노름이 內積(Inner

produc t. scalar

pre녕uet)‘으 호 定義된다.

I，의 두 元

x=(x" %2' •••

)과 y= (y，.

Y2'

_{…〕의 內짧} (x， y)률

co Cx , y)=

ε

x;y,

로 定義하연 우려는 곧 다음 事寶들이 成교함을 알 수 있다-

1)

임의의 두 元

^xE/

2• Yε12에 對하여

(%,Y)=0 , x)

2)

엽의의 두 元

xd"

yEl， 와 엽의의 寶數 A어}

짧하여

(lx.

y)=λ(x， y)

3)

임의의

x ,y, fIlEt

2에 對하여

(x , y+Z)=(X , y)+Cx , z)

4)

임 의 의 xε12^에l 對하여 (X， x)늑0이 고 야， x)=o 융 x=O와 同等

1: , 2) ,

3)에 依하여 內뚫은 ..':t한

(x , ly)=l(x , y) , 0+z , x)= (y, x)+(z , x)

도 輪JE 함융 알 수 있다. 이와같야 하여 內짧윤 對稱的안 雙-*.形이 되 고 또

’ Ixii=(x.X)'/' ,

，벼|늘0이 며 lixiJ=().은 x=O와 同等 업을 알 수 있아-

-폈￡로 實數릎 係數域」즈로 하는 벡 터호間

H

위 에

(n , (2) , (3),

(4)블 漸足하는 內積이 定議되 어 있고 H 에 노릎을

;x‘'=(x.x)'/ι

로 導入하였을 혜

H

가 이 노릎에 關하썩 完備。l 연

H

룰

Hilbert

호間야 라 부른다.

호間 L，의 任意의 두 元 f 와 g 에 對하예

α，g)= ^{f :J(t) .g(t)dt}

를 定義하연 야 것 이 위 의

(n. (2).

(3)을 滿足함 용 밝￡냐 (4)는

(4) ’

임의의 jEL2에 對하얘 (tJ)늘0이고， αJ)

=0은 j=O( 거 의 도처 〕와 同淳

.E..로 f l;;置띈다. 그러냐 벤져 말한 빼註에 {衣하면 거의 도처에서 0되는 함수 f 는 L2호間의 ⁹벡터 로 볼 수 있으므로

(4) ’

대신 (4)를 그대로 쓸수 있고 6節에 서 定義한

L 2

홍間의 노름은 llf~h=

(f JYI2

으로 表示되 어 L2가 이 노릎에 關하얘 完 備이므르 ^L2도 하냐의 Hilbert 호間됨을 알 수 있다.

Euc 1Jd

호間에 서 와 그f갚 7}지 로 內積.E..로 因하여

Hilbert

초間內의 두

'j :-,

二; i달交性융 말할 수 있 다.

li! P

두 벡터〔元) x.YfH 가

(X.y)=o

을 滿Ii할 혜 X 와 y 는 셔혹 直交한다고 말한다.

그리하여 우리는 업의의 Hilbeπ 호間 H 內에 完 全直쪼系 {x，α}，

liP

X

a-o

•

X5、_x~)=

(0

α추g 이면

、

1 a= f3

올 滿足하는 部分集合융 所謂 Schmidt 외 正規直 交法어1 1tc하여 定할 수 았 다. 이 같야 하냐의 完 全直交系

{x a }

틀 擇하연

f흔理

5

任意의

xfH

는

X=L(X.Xa)Xa

로表示되며

, x;:'=E(x.xa)'

으로 表示원다. 도한

定훌

6

둔 Hilbeπ 호間 H，과 H2의 원의

Cardinality

_{가 같으연}

HI

위 에 서 定義된

Hz

위 j응.

가는 힘댐歡 φ를 fiE힐 수 있 51 (f찮으 I

a.{k R. ;.gfH ,

- 2 3 -

에 對하여

φ(af+{3g)=aφ(J)+빼(g). (，φcη. f/J(g))=α'.g) 되게 할 수 있마

• .!!P

基의

Cardinality

가 서로 같 은 두 Hilbeπ 空間은 本質的￡로 같다는 結꿇을 얻는다. 特허

/2

와

L 2

는 ^{各各 조일깐} 可附홉集 合올 ^가지므로 그들은 本質的으로 같다고 홀 수 있다.

9.

位相빽터뿔間， 局홉IS~ 뿔뼈 노흥호間의 -般的인 定義는 l애92때0-’-’-’.

에

s. Banach. H. Ha hn

그리 고

E. Helly

等에 依 하여 주어 졌고 1934年에

A. N.

Kolm앵orv 는

-

般的언 位相벡 터 호間(linεar

topological

space)용 훌想하되 그 홍間이 노릎을 갖기옳한必要充分條 껴:올 짧見했 다. 그 다음해 1935年

von Neumann

은 局部며벡 터 쫓間(locally

convex

_{space)에 對한} 公웰훌 세우고 그 理論융 展開하였다.

지금 E 를 하나의 핵허호間이라 하고 E 위에 位 相 이 定義되되

1) EXE

에 서

E

호 가는 빼數 (x.y)

• x+y

와

2)

RXE 에서 E 로 가는 빼數 (a.x)→ax 가 連 緣얼 혜 E 플 位相벡터홍間이라 부른다. 지금까 지 말한 노릎호間，

Banach

훗間 〈짜라서

Hilbert

호間도〕들은 位相벡 터호間의 特珠한 껴l들 이 다.

特히 位相벡 터호間~로 그 原點이 려集合〔한 集 合 V 가 엄이라 함은 입의의 ".yεV， O즉t~1에 對

하여

tx+ (l-t)yf. V

됨 훌 풋한다)~호 된 近f총系

를 가질 쩌 이것올 局部암호間야라 한다.

지금 E 와 F 차 位相빽터 홍間이라활혜 한 變 複〔뺑數， 作用素Xtransformation，

functio n. ope- rator. map) T

가

E

해 에 定養되 고

F

_{를- 그 f直域} 으로 갖되 모든 a.~R， x.yεE 어l 對하여

T(ax+ I3Y

)=aT，，+얘Ty

를 澈足할 빼 T 률 線型變換이라 한다.

T7t

綠 型일뿐 아니 라 連績얼 혜

T

툴 連績線型뿔換(Con­

tinuous

lin않r map)야 라 하고

E

_{위 에 서 定義원}

F

로 가는 모든 連續線型變換의 全部를 L(E.F).로 나타내변 L(E， F)는 그 元사이의 合짜 寶數와 그 元사이의 풍올 ‘自然的’으로 定義하연 ."f.하냐의 벡터훌間이 원다.

特허

F

가 寶數體

R

와 -줬할 혜 寶數로 가는

E

위에 定훌훌뭘 連寶線型흉훌換을 連續線型〔素)라 부르고 오듣 連績線멤률의 集合

^j! P

팩 려홍間

L( E.R) =E ’

를

E

의 位相的 짝〔共輕홍圖)(topolo·

gicaI

d'따1)이 라 부른다.

한 位相빽터호問 E 를 주었올 예 그 位相的 짝 E’륭 決定하는 問題는 1909年에

F.

Ri않Z 가

C( l)

의 位相的 쩍은 모든 않ielt.ies 積分 ^{f •} f 늘'tlgC*l

들의 棄合이 됨을 發見한 것을 처옴으로 하며 그 後 그는 다시 L，(l ~p< ∞)의 位相的 짝은

L.

1 , 1

〔고-+고-)에 同型힘을 本質的으로 究明하였다.

X 를 位相벡터홍間 E 의 한 元 X’률 그 位相的 싹 E’의 한 元야 라 할 예

EXE ’

위 에 定義판 實 國數(".x’〕→x’(，，)= <"， x'> 률 생각하연 야는 第 一變數， 第二變數의 各各에 對하여 線型야 되 어 예 71 서 E 의 性質올 究明하는데 그 位相的 쩍

E'

。l 重要한 흉짧을 하게 됨울 짐작할 수 였겠다.

1935年 以後

01

觀顧에 서 서

E

와 E’를 짝으로 同時에 훌다究률 進行시켜 큰 훌훌t올 셰 운 學者 가 운데

Di eudonne

_와

Mackey

_{가 있 마.}

f껴l컨례 位相벡 터 쫓間

E

어l 꿇位相， ~옳位相，

E'

內의 適當한 部分葉合族 위 에서의 zfi等收數의 位 相 等의 導入(E’ 에 對하여도 마찬가지) 또 그들 사이의 關係 等等의 問題율야 마루어 졌다. 그러 나 局部8홍間의 理論이 애 당초 純公理的으로 出 爽하였었기 혜운에 그後 흔 應用올 發見치 뭇하 였 먼훗 1950年에 L.Schw없tz 가 그 超빼數論(-般 的 빼數論)(

distribution

theory)을 發刊함에 이 르 려 局部~호間論이 妙上樓關이 아닝 이 證明되 었 고 이 超屬數짧은 아직도 그 完成段階에 이르려 면 먼 時 日 이 要하려 라고 보겠 다. 局部82칠間論 에 는 特히 Bour뼈ki 와 Grothendieck의 頁敵。l 컸 으t9 Bour밟ki 의 觀點윤 호間의 特珠한 性質에 훌眼하얘 그 性質을 輔足하는 홍間의 特徵化률 企團한 것이라 하겠다.

6험數는 그 取하는 빼數i直률 생 각하여 願序 擬

;웅:율 導入활 수 있고 또 適當한 線型흉흉흉&에도 順 rt;擺;옳올 導入향 수7t 았는례 빽터쫓間.2-1료 同時 에 束(lattice)올 이 루는 액 터 束의 擬;웅‘은 1928年

F.

Riesz 에 依하여 주어졌고 그後

Banach

쩔間 으로 束올 이 루는 Banach束에 對하여는 Fro.펴.en­

lhal. Kantorovitch, Kapransky,

中野秀五l짧， 吉田

fJtf' F

等의 責敵야 않였다• Ti훌部~間에 願If 廳;융:

윷 導入한 것 은 N없nioka 와

Sc haefer

_{이 었A며}

C*) F. Riesz

_{의 이 理꿇。1}

Bo urbaki

_{의 積分論} 의 III發點이 되겼다.

j! p

I 위의 뼈l度 μ 는 單純히 CCl)위 에 서 의 連寶線型.

'!:!P

f.κC(l)'~로 보는 것 야다.

- 24-

이 들은 局部러초 Ii최 內어1 Ii:깅 rt:에 1:t~한 1ft相파 처 음 位相과익 諸 !M.l 係를 폐하였다.

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