Particle and Aerosol Research
Par. Aerosol Res. Vol. 10, No. 1: March 2014 pp. 27-31 http://dx.doi.org/10.11629/jpaar.2014.10.1.027
Bimodal 방법을 이용한 하전입자 응집 모델링
김상복*⋅송동근⋅홍원석⋅신완호
한국기계연구원 환경에너지기계연구본부 환경기계시스템연구실 (2014년 3월 7일 투고, 2014년 3월 13일 수정, 2014년 3월 19일 게재확정)
Development of Simple Bimodal Model for Charged Particle Coagulation
Sang Bok Kim*, Dong Keun Song, Won Seok Hong, Wanho Shin
Department of Eco‐Machinery System, Environmental and Energy Systems Research Division Korea Institute of Machinery and Materials
(Received 7 March 2014; Revised 13 March 2014; Accepted 19 March 2014)
Abstract
A simple bimodal model has been developed to analyze charged particle coagulation by modifying previously suggested bimdal model for evolution of particle generation and growth. In the present model, two monodisperse modes are used and 40 charge nodes are assigned to each mode to account both change of the particle size and charge distribution. In addition, we also implemented the effect of electrostatic dispersion loss in the present model. Based on the developed model, we analyzed coagulation of asymmetric bipolar charged particles by computing evolutions of particle number concentration, geometric mean diameter of particles, charge asymmetric ratio and geometric standard deviation of particle size distribution for various initial charge asymmetric ratios. The number concentration of asymmetric bipolar charged particles decreases faster than that of neutral particles but that does not give faster growth of particles since the electrostatic dispersion loss overwhelms particle growth by coagulation.
Keywords：Charged Particles, Coagulation, Mathematical Modeling
* Corresponding author.
Tel：+82‐42‐868‐7673, E‐mail：[email protected]
Fig. 1. Schematic of bimodal method for charged particle coagulation
1. 서 론
인위적 혹은 자연적으로 생성되어 대기 중에 존 재하는 입자들은 주위 이온의 부착, 기계적인 마찰 혹은 하전을 띄고 있는 입자와의 충돌로 인해 대부 분 하전을 띄고 있다. 하전 입자는 전기장을 이용한 제어가 가능하기 때문에 입자 거동 제어 및 제거 측 면에서 많은 장점이 있다. 따라서 하전을 띠게 되는 기작(mechanism)과 입자를 하전하는 방법에 대해 많 은 연구가 진행되어있다. 이러한 하전 입자에 대한 연구는 전기 이동도 (electrical mobility)를 이용한 입 자의 계측 기술과 전기집진기를 이용한 입자 제거 기술뿐만 아니라 최근에는 입자 패터닝 기술에도 성공적으로 적용되어져 왔다.
하전 입자의 거동은 하전 입자에 의해 생기는 전기 장 혹은 인위적으로 부과된 전기장과 하전을 띤 입자 의 상호작용에 의해 중성입자의 거동과 차이점을 보 인다. 예를 들어 같은 하전을 띤 입자들은 수송과정에 서 입자들 사이의 전기 반발력에 의한 벽면 손실 (wall loss) 증가로 입자 계측의 오차를 야기할 수 있고 서로 다른 극으로 하전된 입자는 충돌하면서 하전을 잃게 되어 전기집진기 성능저하를 야기할 수 있는 반 면 미세입자의 경우는 서로 다른 극으로 하전된 입자 들의 응집속도 증가를 이용하여 빠르게 입자를 성장 시킴으로써 필터를 통한 입자 제거의 효율을 증가시 킬 수 있는 장점도 있다. 따라서 하전 입자의 응집 특 성 해석은 입자 계측기의 설계에 있어 정확도의 향상 과 전기집진기 기술 및 입자 제거 기술의 기반이 될 수 있다.
하전 입자의 응집 해석을 위해 많은 수학적 모델들 이 제시되었다. Adachi et al.(1981)등은 monodisperse model을 통하여 쌍극하전(bipolar charging)된 입자들 의 응집 특성을 분석하였다. Monodisperse model은 하 전분포를 고려할 수 있지만 입자의 크기가 일정하다 는 가정으로 인해 입자 크기에 따른 하전 입자의 응 집 특성이 고려되지 않았다. 이런 문제점을 해결하기 위해 sectional 방법을 기반으로 한 하전 입자의 응집 해석법들이 개발되었다(Oron et al., 1989; Eliasson and Egli, 1991). Sectional 방법은 하전분포뿐만 아니라 입 자크기 분포를 모두 고려하여 정확한 하전 입자의 응 집 특성을 분석할 수 있지만 계산 부하(computational load)가 큰 단점을 가지고 있다.
본 연구에서는 기존의 monodisperse 모델의 낮은 계 산 부화와 sectional 방법을 기반으로 한 하전 입자의 응집 해석법의 높은 정확도의 장점을 유지하면서 하 전입자 응집을 해석할 수 있는 방법으로 기존의 입자 의 생성, 성장 및 소결 을 해석을 위해 Jeong and Choi (2003)에 의해 제안된 bimodal 방법을 수정하였다. 개 발된 해석법을 통하여 비대칭 쌍극하전(asymmetric bipolar charging) 분포를 가지는 입자의 응집 특성을 정전적 분산 손실(electrostatic dispersion loss)를 포함 하여 분석하였다(Kasper (1981)).
2. 수학적 모델링
Fig. 1은 수학적 모델링의 개략도를 보여준다. 입자 의 크기 분포는 두 개의 modes로 표현된다. Mode 1은 초기 입자의 크기를 나타내며 시간에 따라 변하지 않 는다. 반면 mode 2는 응집을 통하여 성장하는 입자의 크기를 나타내며 시간에 따라 변하게 된다. Mode 1에 서 응집을 통해 성장된 입자의 크기는 mode 2의 입자 의 부피가 초기 입자 부피의 2배가 되지 않는 한 어 느 mode에도 속하지 않기 때문에 Jeong and Choi (2003)에 의해 제안된 방법에 의해 다른 비율로 mode 1과 2로 나누어지게 된다. 입자의 하전 분포를 모사하 기 위해 각 mode는 입자의 하전 값에 따라 Fig. 1에서 와 같이 다시 nodes 구성 된다. 따라서 하전 입자의 응집 현상은 각 nodes에 속한 입자들이 충돌함으로써 발생하는 크기와 하전분포의 변화로 모사된다. 이를 바탕으로 하전 입자의 응집 현상은 Equations (1) - (3)으로 표현될 수 있다. 각각의 수식에서 위첨자는
Fig. 2. Evolution of particle number concentration.
하전량을 나타내고 아래첨자는 mode를 나타낸다. 따 라서 Equation (1)과 (2)는 각각 mode 1과 2에 속하는 하전량이 p인 입자들의 시간에 따른 수농도 변화를 나타낸다. 그리고 equation (3)은 mode 2의 시간에 따 른 부피 변화를 나타내며 이로부터 시간에 따른 mode 2에 속하는 입자의 크기 변화를 계산할 수 있다.
∞
∞ ∞
∞ ∞
∞ ∞
∞ , (1)
∞
∞
∞
∞ ∞
∞ ∞
∞ ∞
∞ ∞
∞ , (2)
∞
∞ ∞
∞ ∞
∞ ∞
∞ , (3)
위 식에서 N은 수농도, β는 하전 입자의 충돌계수 (coagulation coefficient) (Vemury et al., 1997), B는 입자의 이동도(mobility) (Hinds, 1982; Friedlander, 1977), e는 전자의 전하량, υ1는 mode 1 입자 하나 의 부피, υ2 = V2/N2는 mode 2 입자 하나의 부피, r
= υ2/υ1이다. 중성 입자의 경우에 대해서 Equation (1) - (3)은 Jeong and Choi (2003)에 의해 유도된 식 과 정확히 일치함을 알 수 있다.
3. 결과 및 고찰
앞 절에서 유도된 하전 입자 응집 모델을 이용하 여 비대칭 하전 분포를 가지는 하전 입자에 대해 그 응집특성을 중성 입자의 응집특성과 비교 분석 하였다.
수치계산을 위해 모든 경우에 대해 초기 입자의 수 농도(N0)와 직경(dp0)은 다음과 같이 주어졌다.
(4)
각 mode는 40개의 nodes로 구성되어 입자의 하전 량이 -20에서 +20인 범위 내에서 수치계산이 수행되 었다. 초기 비대칭 하전분포를 부여하기 위하여 +1 의 하전량을 가지는 입자의 초기 수농도를 N0/2로 고정하고 하전분포의 비대칭비((N-/N+)0)에 따라 -(N-/N+)0의 하전을 가지는 입자의 수농도를 N0/2로 부여하였다.
Fig. 2는 시간에 따른 입자의 수농도 변화를 나타 낸다. 하전 입자의 경우 중성 입자에 비해 수농도가 빠르게 감소하는 것을 볼 수 있다. 특히 초기 하전 분포의 비대칭비가 높을수록 수농도 감소는 더 빠 르게 진행됨을 알 수 있다.
Fig. 3는 시간에 따른 입자의 기하평균직경(geometric mean diameter)의 변화를 나타낸다. 입자의 크기는 하전 입자가 중성입자에 비해 더 느리게 증가하는
Fig. 5. Evolution of geometric standard deviation of the particle size distribution.
Fig. 3. Evolution of geometric mean diameter of particle. Fig. 4. Evolution of charge asymmetric ratio.
것을 볼 수 있으며 초기 하전분포의 비대칭성이 클 수록 입자의 크기가 더 느리게 증가함을 볼 수 있 다. 이는 Fig. 1에서 보인 것과 같이 하전입자의 수 농도가 중성입자에 비해 빠르게 감소하는 것을 고 려할 때 전기적 인력에 의한 응집속도 증가보다 정 전적 분산 손실이 더 큼을 알 수 있다(Vemury et al., 1997). 즉 전기적 인력에 의한 응집속도 증가보다 정 전적 분산 손실에 의한 입자 수농도 감소 때문에 응 집속도가 느려지는 효과가 더 우세하여 입자 크기 증가가 더 느려지는 것으로 생각할 수 있다.
Fig. 4는 시간에 따른 하전분포의 비대칭비(charge asymmetric ratio)를 나타낸다. 초기 하전분포의 비대 칭비가 2인 경우 하전분포의 비대칭비가 시간에 따 라 증가함을 알 수 있다. 이는 서로 반대극으로 하 전된 입자들의 응집이 정전적 분산 손실보다 우세 함을 나타낸다. 따라서 이 경우는 시간이 지날수록 단극 하전(unipolar charge)된 입자처럼 거동할 것으 로 예상할 수 있다. 하지만 초기 하전분포의 비대칭 비가 10인 경우 정전적 분산 손실이 우세하여 시간 에 따라 하전분포의 비대칭비가 감소하는 것을 볼 수 있다. 하지만 앞선 경우와 같이 시간이 지날수록 하전분포의 비대칭비가 다시 증가하여 이 경우에서 도 하전분포의 비대칭비가 증가하여 단극 하전된 입자처럼 거동할 것으로 예상된다.
Fig. 5는 시간에 따른 입자 크기분포의 기하표준 편차(geometric standard deviation)를 나타낸다. 초기
하전분포의 비대칭비가 2인 경우 입자 크기분포의 기하표준편차가 중성입자와 비슷하지만 비대칭비가 10인 경우 중성입자에 비해 낮음을 알 수 있다. 이 는 초기 하전분포의 비대칭비가 큰 경우 단극하전 된 입자와 유사하게 생각할 수 있으므로 중성입자 에 비해 응집속도가 느려 기하표준편차가 낮게 나 타는 것으로 생각할 수 있다. 따라서 초기 하전분포 의 비대칭비가 2인 경우에도 Fig. 4에서 보인 것과 같이 시간이 지남에 따라 하전분포의 비대칭비가 증가하므로 입자분포의 기하표준편차가 중성 입자 에 비해 낮은 값에 수렴할 것으로 예상할 수 있다.
5. 결 론
본 연구에서는 하전된 입자의 응집과정에서 입자 의 크기분포와 하전분포의 변화를 예측할 수 있는 bimodal 모델을 개발하였다. 개발된 모델을 이용하 여 비대칭 쌍극하전된 입자의 응집현상을 예측하였 다. 하전입자의 수농도는 중성입자와 다르게 빠르게 감소하지만 입자의 크기는 중성입자에 비해 느리게 증가함을 알 수 있었다. 이는 하전입자의 경우 입자 가 지닌 하전에 의해 발생하는 정전적 분산 손실이 응집보다 우세하기 때문으로 생각되어진다. 이런 현 상은 하전 입자를 계측하는데 있어 하전 입자의 수 송과정에서 일어날 수 있다. 따라서 본 연구에서 제 시한 하전 입자의 응집 해석 방법은 보다 정밀한 하 전 입자의 계측에 적용될 수 있으며 나아가 전기집 진기와 같은 입자의 하전입자를 이용한 제어 및 제 거 기술의 기반이 될 수 있을 것이다.
Acknowledgement
본 연구는 한국기계연구원 기본연구사업(NK182B) 의 지원으로 수행되었습니다.
Reference
Adachi, M., Okuyama, K. and Kousaka Y. (1981).
Electrostatic coagulation of bipolarly charged aerosol particles. J. Chem. Eng. Jpn., 14.
467-473.
Eliasson, B. and Egli, W. (1991). Bipolar coagulation:
modeling and applications. J. Aerosol Sci., 22, 429-440.
Friedlander, S. K. (1977) Smoke, Dust and Haze, Wiley, New York.
Hinds, W. C. (1982). Aerosol Technology: Properties, Behavior and Measurement of Airbone Particles. Wiley, New York.
Jeong, J. I. and Choi, M. (2003). A simple bimodal mod- el for the evolution of non-spherical particles undergoing nucleation, coagulation and coalesccence. J. Aerosol Sci., 34, 965-976.
Kasper, G. (1981). Electrostatic dispersion of homopolar charged aerosols. J. Colloid Interface Sci., 81, 32-.40
Oron, A., Seinfeld, J. H. (1989) The dyanmics behavior of charged aerosols. Part III. Numerical sol- ution by the sectional method. J. Colloid Interface Sci., 133, 66-79.
Vemury, S., Janzen, C. and Pratsinis, S. E. (1997) Coagulation of symmetric and asymmetric bi- polar aerosols. J. Aerosol Sci., 28. 599-611.
