한국학교수학회논문집 제 16 권, 제 1 호 Journal of the Korean School Mathematics Society Volume 16, Number 1, 63-86, March 2013
수학 논술형 문항에 대한 중학생들의 인식 및 수학적 숙련도 1)
박석순
2)․김구연
3)이 연구의 목적은 중학생들이 논술형 문항을 해결하면서 무엇을 어렵게 느끼고 있으며 무엇이 문제인지를 알기 위한 것으로, 논술형 문항에 대한 중학생들의 다양한 반응을 살펴 보고 학생들과의 인터뷰를 통하여 논술형 문항을 해결하는 동안의 학생들의 사고과정을 분 석하였다. 학생들은 논술형 문항을 주로 풀이과정을 논리적으로 쓰는 것(17%), 설명하면서 풀 줄 알아야 하는 것(7%)으로, 또한 많은 수학적 이해를 필요로 하는 문제, 자신의 생각을 쓰는 것, 주관식 등으로 다양하게 인식하고 있었다. 논술형 문항을 해결할 때 가장 어려움 을 겪는 부분에 대해서는 문제를 읽고 이해하기(26%), 적용하기(12%), 수학적 글쓰기 (25%), 계산능력(23%), 추론능력(14%) 등으로 나타났다. 학생들의 수학적 숙련도에 대한 분 석 결과, 각 비율이 추론의 오류(35%), 문제이해의 오류(31%), 적용의 오류(9%), 계산의 오 류(3%) 순서로 나타났다.
주요용어: 논술형 문항, 중학생의 인식, 수학적 숙련도, 수학적 사고
Ⅰ. 서론
최근에 발표된 2009 개정 수학과 교육과정은 선택형 위주의 평가를 지양하고 서술형 평 가, 관찰, 면담, 자기평가 등의 다양한 평가 방법을 활용하여 수학 학습에 대한 종합적인 평가가 이루어질 것을 권장하고 있다. 구체적으로 인지적 영역에 대한 평가에서는 학생의 수학적 사고력 신장을 위하여 결과뿐만 아니라 과정도 중시하여 평가하고 추론, 수학적 사 고, 의사소통, 창의적으로 사고하는 능력 등 복합적인 내용을 평가하는 것을 강조하고 있다. 예 전의 선다형 문항 및 단답형 문항으로는 이러한 능력을 계발하기 어렵고 서술형, 논술형 문항을 통하여 상황을 이해하고 분석하여 자신의 의견을 타당한 근거를 토대로 논리적으로 주장하는 능력을 길러야 한다. 논술형 평가는 지금까지 우리에게 익숙한 선다형, 단답형 문
1) 이 연구는 2011년 교육과학기술부의 재원으로 한국 연구재단의 지원을 받아 수행된 것임 (NRF-2011-B00216).
2) 통진고등학교 ([email protected]) 3) 서강대학교 ([email protected]), 교신저자
항에서는 평가할 수 없는 학생들의 고등사고 능력을 측정한다는 장점이 있다.
National Research Council[NRC](2002)에서는 바람직한 수학 학습은 이해 (understanding), 추론(reasoning), 적용(applying), 계산(computing), 그리고 태도(engaging) 라는 다섯 가지 기준을 만족시켜야 한다고 한다. 또한, National Council of Teachers of Mathematics[NCTM](2000)에서도 역시 수학 학습의 다섯 가지 기준을 제시하였다.
NRC(2001)와 NCTM(2000)에서 언급된 각각의 다섯 가지 과정규준은 서로 독립적인 것이 아니며 항상 서로 영향을 주며 밀착되어 보완관계를 이루어야 바람직한 수학 학습이 이루 어진다고 할 수 있다. 평가와 수업이라고 하는 것은 밀접한 관계를 가지며 평가의 방법이 변하면 이를 위한 수업의 내용이 바뀌게 되고 결국엔 수업의 개선이 이루어지게 된다. 논 술형 평가에 대한 연구가 활발해지고 정착화 된다면 이를 통해 수학수업에서 학생들의 창 의력 증진과 수학적 글쓰기를 통한 수학교육의 본질적인 목적을 달성할 수 있다. 이처럼 논술교육 및 평가는 필요하며 학생들은 이를 통하여 수학적 개념, 원리, 법칙을 이해하고 기능을 습득하여 주변의 여러 가지 현상에서 문제 상황을 수리․논리적 사고를 통하여 합 리적으로 해결하는 능력을 기르고자 하는 것이다. 이러한 기준으로 이루어지는 논술형 평 가는 최근 교육의 목적인 창의적이고 논리적인 학생 육성이라는 목표를 달성하는데 큰 역 할을 할 수 있을 것이다.
학생들은 답이 여러 가지인 상황과 문제들 속에서 실증적이지 못할 때를 알고, 과정의 뒷받침과 그들이 얻은 답이 어떻게 정당화 될 수 있는지 알아야 한다. 선다형이나 단답형 문항은 학생 답에 대한 맞고 틀림만을 제공해주지만 논술형 평가를 통해서는 학생의 이해 정도와 무엇을 어떻게 잘못 이해하고 있으며 어떤 부분에서 취약한지를 다각적으로 분석 가능하다. 학생뿐만 아니라 교사들도 학생들의 논술형 문항 답안을 채점하면서 선택형 문 항보다는 학생들 개개인에 대한 수준과 학습정도를 더 잘 확인할 수 있고 교사 자신이 수 업에 대한 구체적인 정보를 얻게 되며 교수 학습방법을 개선하는데 많은 도움을 받을 것이 다.
이 연구의 목적은 중학생들이 논술형 문항을 해결하면서 무엇을 어렵게 느끼고 있으며
무엇이 문제인지를 알기 위한 것으로, 논술형 문항에 대한 중학생들의 다양한 반응을 살펴
보고 학생들과의 인터뷰를 통하여 논술형 문항을 해결하는 동안의 학생들의 사고과정을 분
석한다. 나아가 논술형 문항에 대한 연구로 인하여 수학수업의 변화를 유도하고 교사들이
수학수업을 진행하면서 무엇에 중점을 두고 교수학습방법을 어떻게 변화 시켜야 하는지에
대한 정보를 제공하고자 한다. 이러한 목적을 위한 구체적인 연구 문제를 다음과 같이 설
정하였다. 첫째, 수학 논술형 문항에 대한 중학생들의 인식은 어떠한가? 둘째, 수학 논술형
문항을 해결하는 동안 중학생들의 사고과정은 어떠한가?
한국학교수학회논문집 제 16 권, 제 1 호 Journal of the Korean School Mathematics Society Volume 16, Number 1, 63-86, March 2013
수학 논술형 문항에 대한 중학생들의 인식 및 수학적 숙련도 1)
박석순
2)․김구연
3)이 연구의 목적은 중학생들이 논술형 문항을 해결하면서 무엇을 어렵게 느끼고 있으며 무엇이 문제인지를 알기 위한 것으로, 논술형 문항에 대한 중학생들의 다양한 반응을 살펴 보고 학생들과의 인터뷰를 통하여 논술형 문항을 해결하는 동안의 학생들의 사고과정을 분 석하였다. 학생들은 논술형 문항을 주로 풀이과정을 논리적으로 쓰는 것(17%), 설명하면서 풀 줄 알아야 하는 것(7%)으로, 또한 많은 수학적 이해를 필요로 하는 문제, 자신의 생각을 쓰는 것, 주관식 등으로 다양하게 인식하고 있었다. 논술형 문항을 해결할 때 가장 어려움 을 겪는 부분에 대해서는 문제를 읽고 이해하기(26%), 적용하기(12%), 수학적 글쓰기 (25%), 계산능력(23%), 추론능력(14%) 등으로 나타났다. 학생들의 수학적 숙련도에 대한 분 석 결과, 각 비율이 추론의 오류(35%), 문제이해의 오류(31%), 적용의 오류(9%), 계산의 오 류(3%) 순서로 나타났다.
주요용어: 논술형 문항, 중학생의 인식, 수학적 숙련도, 수학적 사고
Ⅰ. 서론
최근에 발표된 2009 개정 수학과 교육과정은 선택형 위주의 평가를 지양하고 서술형 평 가, 관찰, 면담, 자기평가 등의 다양한 평가 방법을 활용하여 수학 학습에 대한 종합적인 평가가 이루어질 것을 권장하고 있다. 구체적으로 인지적 영역에 대한 평가에서는 학생의 수학적 사고력 신장을 위하여 결과뿐만 아니라 과정도 중시하여 평가하고 추론, 수학적 사 고, 의사소통, 창의적으로 사고하는 능력 등 복합적인 내용을 평가하는 것을 강조하고 있다. 예 전의 선다형 문항 및 단답형 문항으로는 이러한 능력을 계발하기 어렵고 서술형, 논술형 문항을 통하여 상황을 이해하고 분석하여 자신의 의견을 타당한 근거를 토대로 논리적으로 주장하는 능력을 길러야 한다. 논술형 평가는 지금까지 우리에게 익숙한 선다형, 단답형 문
1) 이 연구는 2011년 교육과학기술부의 재원으로 한국 연구재단의 지원을 받아 수행된 것임 (NRF-2011-B00216).
2) 통진고등학교 ([email protected]) 3) 서강대학교 ([email protected]), 교신저자
항에서는 평가할 수 없는 학생들의 고등사고 능력을 측정한다는 장점이 있다.
National Research Council[NRC](2002)에서는 바람직한 수학 학습은 이해 (understanding), 추론(reasoning), 적용(applying), 계산(computing), 그리고 태도(engaging) 라는 다섯 가지 기준을 만족시켜야 한다고 한다. 또한, National Council of Teachers of Mathematics[NCTM](2000)에서도 역시 수학 학습의 다섯 가지 기준을 제시하였다.
NRC(2001)와 NCTM(2000)에서 언급된 각각의 다섯 가지 과정규준은 서로 독립적인 것이 아니며 항상 서로 영향을 주며 밀착되어 보완관계를 이루어야 바람직한 수학 학습이 이루 어진다고 할 수 있다. 평가와 수업이라고 하는 것은 밀접한 관계를 가지며 평가의 방법이 변하면 이를 위한 수업의 내용이 바뀌게 되고 결국엔 수업의 개선이 이루어지게 된다. 논 술형 평가에 대한 연구가 활발해지고 정착화 된다면 이를 통해 수학수업에서 학생들의 창 의력 증진과 수학적 글쓰기를 통한 수학교육의 본질적인 목적을 달성할 수 있다. 이처럼 논술교육 및 평가는 필요하며 학생들은 이를 통하여 수학적 개념, 원리, 법칙을 이해하고 기능을 습득하여 주변의 여러 가지 현상에서 문제 상황을 수리․논리적 사고를 통하여 합 리적으로 해결하는 능력을 기르고자 하는 것이다. 이러한 기준으로 이루어지는 논술형 평 가는 최근 교육의 목적인 창의적이고 논리적인 학생 육성이라는 목표를 달성하는데 큰 역 할을 할 수 있을 것이다.
학생들은 답이 여러 가지인 상황과 문제들 속에서 실증적이지 못할 때를 알고, 과정의 뒷받침과 그들이 얻은 답이 어떻게 정당화 될 수 있는지 알아야 한다. 선다형이나 단답형 문항은 학생 답에 대한 맞고 틀림만을 제공해주지만 논술형 평가를 통해서는 학생의 이해 정도와 무엇을 어떻게 잘못 이해하고 있으며 어떤 부분에서 취약한지를 다각적으로 분석 가능하다. 학생뿐만 아니라 교사들도 학생들의 논술형 문항 답안을 채점하면서 선택형 문 항보다는 학생들 개개인에 대한 수준과 학습정도를 더 잘 확인할 수 있고 교사 자신이 수 업에 대한 구체적인 정보를 얻게 되며 교수 학습방법을 개선하는데 많은 도움을 받을 것이 다.
이 연구의 목적은 중학생들이 논술형 문항을 해결하면서 무엇을 어렵게 느끼고 있으며
무엇이 문제인지를 알기 위한 것으로, 논술형 문항에 대한 중학생들의 다양한 반응을 살펴
보고 학생들과의 인터뷰를 통하여 논술형 문항을 해결하는 동안의 학생들의 사고과정을 분
석한다. 나아가 논술형 문항에 대한 연구로 인하여 수학수업의 변화를 유도하고 교사들이
수학수업을 진행하면서 무엇에 중점을 두고 교수학습방법을 어떻게 변화 시켜야 하는지에
대한 정보를 제공하고자 한다. 이러한 목적을 위한 구체적인 연구 문제를 다음과 같이 설
정하였다. 첫째, 수학 논술형 문항에 대한 중학생들의 인식은 어떠한가? 둘째, 수학 논술형
문항을 해결하는 동안 중학생들의 사고과정은 어떠한가?
Ⅱ. 이론적 배경
이 연구에서 논술형 문항의 의미는 ‘서술형 평가 문항의 실제(경기도교육청, 2010)’에 명 시한 것처럼 학생이 자기 나름대로의 생각이나 주장을 논리적으로 설득력 있게 조직하여 작성해야 함을 강조하는 문항으로써 서술형 문항처럼 풀이과정과 답을 작성하는 것에서 벗 어나 문제를 이해하고 주어진 조건을 이용한 추론과 판단의 근거를 수학적 글쓰기를 통하 여 표현하고 문제를 해결하는 문항을 말한다. 이는 학생들이 문제를 얼마나 이해하고, 논리 적인 추론을 통하여 자신이 가진 수학적 지식을 적용시켜 계산해내며 자신의 주장을 글쓰 기를 통하여 얼마나 잘 나타내는지를 알아보는 문항으로써 복합적인 학생의 사고과정을 살 펴볼 수 있는 문항이다. 2012학년도 경기도 교육청 학업성적관리 시행규정에 보면 서술형 평가는 요약, 개념, 이해, 설명, 풀이 과정 등 사실을 바탕으로 기술하는 평가이며, 논술형 평가는 자기의 의견, 주장을 논리적으로 기술하는 평가로 정의하고 있다. 또한 수학에서의 논술형 평가 문항은 학생들의 수학적인 추측들을 추론하고 정당화시켜 논리적인 글쓰기를 하도록 하는 문항이라고 정의하였다. 이와 같이 수학적 추측과 증명 및 정당화 과정, 글쓰 기가 하나로 융합되어 주어진 상황과 문제의 요구에 맞게 작성해 나가는 것이 논술형 평가 문항이라고 할 수 있다.
학교 수학에서 평가(Assessment)는 학생이 가지고 있는 수학적·개념적·절차적 지식과 태 도에 관한 정보 수집 과정이며(NCTM, 1995). 따라서 평가는 수학 수업을 완성하는 요소로 학생들의 수학 학습을 강화하는 중요한 기준이 된다(NCTM, 1995, 2000). 이러한 토대에서 평가 규준(Assessment Standards)에서는 여섯 가지 평가 규준과 이러한 평가에 대한 관점 의 변화에 따른 설명을 다음과 같이 제시하였다(NCTM, 1995). 우선 평가는 모든 학생이 알아야 할 것과 할 수 있는 수학을 반영해야 한다. 알아야 할 것만 강조하다보면 자칫 어 렵고 멀게 느껴지는 수학이 될 수 있으므로 학생들이 경험한 것을 토대로 할 수 있는 수학 을 반영하여 평가를 해야 한다. 또한 평가는 수학 학습을 향상시키기 위한 것이며 수업의 연장으로써 하나의 이벤트가 아닌 필수적인 중요한 요소이다. 즉, 평가는 수업의 연장으로 써 수업 중 학습목표를 명확히 제시하고 학생들에게 무엇을 기대하는지 그들이 아는 것을 어떻게 표현할 수 있는지를 미리 알려줘야 하며 평가를 통해 학생들의 수학 학습에 대한 타당한 추론을 도출해 낼 수 있어야 한다. 결과보다 과정에 초점을 맞추어 평가하게 되면 기존의 평가에서처럼 단순히 답이 틀렸거나 계산이 잘못되었다는 식으로 쉽게 결론을 내리 기 어렵다. 마지막으로 평가는 일관적인 과정이어야 한다. 일관성은 각각의 평가가 평가 목 적에 맞게 적절하게 사용되었는지를 의미하는 것으로 최근에는 대부분의 사항을 교과협의 를 통해 결정하도록 하고 있다. 이와 같이 평가는 수업의 연장으로써 학생들의 사고과정을 살펴보고 결과의 피드백을 통하여 수업향상에 목적이 있다.
학생들의 사고과정은 단순한 풀이과정만을 얘기하는 것이 아니라 학생들의 문제해결을 위한 모든 활동들을 포함하는 것을 말한다. 최근 이탈리아나 프랑스, 일본과 같은 나라의 수학교육 연구자들은 추론과 증명에 관련된 모든 활동을 포함하고 있다(Bieda, 2010). 또한 이러한 과정들을 이 연구에서는 이해(understanding)와 추론(reasoning), 적용(applying), 계 산(computing), 태도(engaging)(NRC, 2001)를 아우르는 수학적 숙련도(mathematical proficiency)의 관점을 토대로 살펴본다. 이러한 각각의 요소는 수학적 힘을 기르는 데 필수 적인 것으로 수학적 숙련도(mathematical proficiency)(그림 II-1)를 구성하는 요소들로 서 로 밀접하게 관련되어 있다(NRC, 2001). 이해(understanding)는 논술형 평가문항에서 문제 가 나타내는 상황을 정리하고 판단할 수 있으며 문제에서 주어진 조건을 이용하여 무엇을 물어보고자 하는지 정확하게 아는 것을 의미한다. 문제를 해결하기 위한 첫 단계라고 할 수 있으며 이해단계를 제대로 거치지 않으면 더 이상 문제해결을 위해 나아갈 수 없게 된다.
많은 학생들이 이 단계에서 어려움을 겪고 있다.
추론(reasoning)은 결론에 도달하기 위해 주어진 정보를 변환시키는 제반 인지 과정을 의미하는 것으로, 추론의 유형은 크게 Imitative reasoning [IR]과 Creative Mathematically founded Reasoning [CMR]으로 나누어진다. IR은 정형화되고 틀에 박힌 문제에 사용되는 것으로써 학생들이 수학문제를 해결할 때 가장 많이 사용하는 추론 방법이라고 할 수 있 다. 또한 IR은 기억과 관계되는 추론 유형인 Memorized Reasoning [MR]과 알고리듬을 기 억해내고 선택하는 것과 관계되는 추론 유형인 Algorithmic Reasoning [AR] 로 나뉜다. 또 하나의 추론유형인 Creative Mathematically founded Reasoning [CMR]은 다음 3가지 조건 으로 정의되는데, 첫째는 새로운 추론을 만들어내는 상황이나 잊어버렸던 과정을 다시 창 조해내는 과정인지, 둘째는 진실인데 왜 그 결론이 참이나 또는 진실인지를 설명하는 과정 인지, 셋째는 수학적 기초인지로 결정된다(Boesen, Lithner, & Palm, 2010).
적용(applying)은 추론한 것을 문제의 상황에 맞도록 상황에 맞게 퍼즐을 맞추듯 사용 하는 것으로써 적용단계가 되지 않으면 상황에 맞지 않는 잘못된 공식을 사용하게 된다.
문제의 이해단계가 정확하게 되었을 때 적용을 잘 할 수 있는 것이고 수학지식에 대한 전 반적인 그림과 구조화가 되었을 때 문제의 상황에 맞게 적용할 수 있게 된다.
계산(computing)은 추론하고 적용한 것을 실제적 대상을 가지고 사칙연산 및 다양한 연 산을 사용하여 풀어가는 것을 의미한다. 계산과정에서도 많은 학생들이 계산을 실수하게 되며 수학적 글쓰기의 연습이 안 된 학생들이 많이 힘들어 하는 과정이다.
마지막으로 태도(engaging)란 논술형 평가문항에 대해 학생들이 어떤 반응과 성실성을
가지고 문제해결을 하려했는지에 대해 글쓰기를 통해 나타난 부분을 말하는 것이다. 이 부
분에서 대부분의 학생들은 논술형 평가문항에 대한 자신감이 부족하여 백지를 내는 학생들
이 많은 것이 현실이다.
Ⅱ. 이론적 배경
이 연구에서 논술형 문항의 의미는 ‘서술형 평가 문항의 실제(경기도교육청, 2010)’에 명 시한 것처럼 학생이 자기 나름대로의 생각이나 주장을 논리적으로 설득력 있게 조직하여 작성해야 함을 강조하는 문항으로써 서술형 문항처럼 풀이과정과 답을 작성하는 것에서 벗 어나 문제를 이해하고 주어진 조건을 이용한 추론과 판단의 근거를 수학적 글쓰기를 통하 여 표현하고 문제를 해결하는 문항을 말한다. 이는 학생들이 문제를 얼마나 이해하고, 논리 적인 추론을 통하여 자신이 가진 수학적 지식을 적용시켜 계산해내며 자신의 주장을 글쓰 기를 통하여 얼마나 잘 나타내는지를 알아보는 문항으로써 복합적인 학생의 사고과정을 살 펴볼 수 있는 문항이다. 2012학년도 경기도 교육청 학업성적관리 시행규정에 보면 서술형 평가는 요약, 개념, 이해, 설명, 풀이 과정 등 사실을 바탕으로 기술하는 평가이며, 논술형 평가는 자기의 의견, 주장을 논리적으로 기술하는 평가로 정의하고 있다. 또한 수학에서의 논술형 평가 문항은 학생들의 수학적인 추측들을 추론하고 정당화시켜 논리적인 글쓰기를 하도록 하는 문항이라고 정의하였다. 이와 같이 수학적 추측과 증명 및 정당화 과정, 글쓰 기가 하나로 융합되어 주어진 상황과 문제의 요구에 맞게 작성해 나가는 것이 논술형 평가 문항이라고 할 수 있다.
학교 수학에서 평가(Assessment)는 학생이 가지고 있는 수학적·개념적·절차적 지식과 태 도에 관한 정보 수집 과정이며(NCTM, 1995). 따라서 평가는 수학 수업을 완성하는 요소로 학생들의 수학 학습을 강화하는 중요한 기준이 된다(NCTM, 1995, 2000). 이러한 토대에서 평가 규준(Assessment Standards)에서는 여섯 가지 평가 규준과 이러한 평가에 대한 관점 의 변화에 따른 설명을 다음과 같이 제시하였다(NCTM, 1995). 우선 평가는 모든 학생이 알아야 할 것과 할 수 있는 수학을 반영해야 한다. 알아야 할 것만 강조하다보면 자칫 어 렵고 멀게 느껴지는 수학이 될 수 있으므로 학생들이 경험한 것을 토대로 할 수 있는 수학 을 반영하여 평가를 해야 한다. 또한 평가는 수학 학습을 향상시키기 위한 것이며 수업의 연장으로써 하나의 이벤트가 아닌 필수적인 중요한 요소이다. 즉, 평가는 수업의 연장으로 써 수업 중 학습목표를 명확히 제시하고 학생들에게 무엇을 기대하는지 그들이 아는 것을 어떻게 표현할 수 있는지를 미리 알려줘야 하며 평가를 통해 학생들의 수학 학습에 대한 타당한 추론을 도출해 낼 수 있어야 한다. 결과보다 과정에 초점을 맞추어 평가하게 되면 기존의 평가에서처럼 단순히 답이 틀렸거나 계산이 잘못되었다는 식으로 쉽게 결론을 내리 기 어렵다. 마지막으로 평가는 일관적인 과정이어야 한다. 일관성은 각각의 평가가 평가 목 적에 맞게 적절하게 사용되었는지를 의미하는 것으로 최근에는 대부분의 사항을 교과협의 를 통해 결정하도록 하고 있다. 이와 같이 평가는 수업의 연장으로써 학생들의 사고과정을 살펴보고 결과의 피드백을 통하여 수업향상에 목적이 있다.
학생들의 사고과정은 단순한 풀이과정만을 얘기하는 것이 아니라 학생들의 문제해결을 위한 모든 활동들을 포함하는 것을 말한다. 최근 이탈리아나 프랑스, 일본과 같은 나라의 수학교육 연구자들은 추론과 증명에 관련된 모든 활동을 포함하고 있다(Bieda, 2010). 또한 이러한 과정들을 이 연구에서는 이해(understanding)와 추론(reasoning), 적용(applying), 계 산(computing), 태도(engaging)(NRC, 2001)를 아우르는 수학적 숙련도(mathematical proficiency)의 관점을 토대로 살펴본다. 이러한 각각의 요소는 수학적 힘을 기르는 데 필수 적인 것으로 수학적 숙련도(mathematical proficiency)(그림 II-1)를 구성하는 요소들로 서 로 밀접하게 관련되어 있다(NRC, 2001). 이해(understanding)는 논술형 평가문항에서 문제 가 나타내는 상황을 정리하고 판단할 수 있으며 문제에서 주어진 조건을 이용하여 무엇을 물어보고자 하는지 정확하게 아는 것을 의미한다. 문제를 해결하기 위한 첫 단계라고 할 수 있으며 이해단계를 제대로 거치지 않으면 더 이상 문제해결을 위해 나아갈 수 없게 된다.
많은 학생들이 이 단계에서 어려움을 겪고 있다.
추론(reasoning)은 결론에 도달하기 위해 주어진 정보를 변환시키는 제반 인지 과정을 의미하는 것으로, 추론의 유형은 크게 Imitative reasoning [IR]과 Creative Mathematically founded Reasoning [CMR]으로 나누어진다. IR은 정형화되고 틀에 박힌 문제에 사용되는 것으로써 학생들이 수학문제를 해결할 때 가장 많이 사용하는 추론 방법이라고 할 수 있 다. 또한 IR은 기억과 관계되는 추론 유형인 Memorized Reasoning [MR]과 알고리듬을 기 억해내고 선택하는 것과 관계되는 추론 유형인 Algorithmic Reasoning [AR] 로 나뉜다. 또 하나의 추론유형인 Creative Mathematically founded Reasoning [CMR]은 다음 3가지 조건 으로 정의되는데, 첫째는 새로운 추론을 만들어내는 상황이나 잊어버렸던 과정을 다시 창 조해내는 과정인지, 둘째는 진실인데 왜 그 결론이 참이나 또는 진실인지를 설명하는 과정 인지, 셋째는 수학적 기초인지로 결정된다(Boesen, Lithner, & Palm, 2010).
적용(applying)은 추론한 것을 문제의 상황에 맞도록 상황에 맞게 퍼즐을 맞추듯 사용 하는 것으로써 적용단계가 되지 않으면 상황에 맞지 않는 잘못된 공식을 사용하게 된다.
문제의 이해단계가 정확하게 되었을 때 적용을 잘 할 수 있는 것이고 수학지식에 대한 전 반적인 그림과 구조화가 되었을 때 문제의 상황에 맞게 적용할 수 있게 된다.
계산(computing)은 추론하고 적용한 것을 실제적 대상을 가지고 사칙연산 및 다양한 연 산을 사용하여 풀어가는 것을 의미한다. 계산과정에서도 많은 학생들이 계산을 실수하게 되며 수학적 글쓰기의 연습이 안 된 학생들이 많이 힘들어 하는 과정이다.
마지막으로 태도(engaging)란 논술형 평가문항에 대해 학생들이 어떤 반응과 성실성을
가지고 문제해결을 하려했는지에 대해 글쓰기를 통해 나타난 부분을 말하는 것이다. 이 부
분에서 대부분의 학생들은 논술형 평가문항에 대한 자신감이 부족하여 백지를 내는 학생들
이 많은 것이 현실이다.
[그림 II-1] 수학적 숙련도(Mathematical Proficiency, NRC, 2001, p. 117)
Ⅲ. 연구 방법
수학 논술형 문항에 대한 중학생들의 인식은 어떠하며 논술형 문항을 해결하는 동안 중 학생들의 사고과정은 어떠한지를 알아보기 위하여, 논술형 문항을 제작하여 중학생들로 하 여금 그 문항들을 해결하도록 했다. 논술형 문항을 제작함과 동시에 채점 기준을 개발하여 그 준거를 마련하였다. 검사를 실시하는데 있어서 학생들에게 문항별로 정해진 제한시간을 부여하였으며, 상·중·하 난이도의 문제를 풀게 하고, 학생들이 작성한 답안지를 수거하여 채점을 하면서 문제의 난이도와 채점기준 등 수정·보완 할 점 등을 기록하였다. 그 과정에 서 나타나는 중학교 학생들의 논술형 평가문항에 대한 반응도를 살펴보았다. 검사를 위해 사용한 논술형 문항들은 창의·인성함양을 위한 서술형·논술형 평가 시스템 구축을 위한 연 구 프로젝트에서 개발된 문항들로, 학생들의 사고반응인 이해와 추론, 적용, 계산, 태도를 살펴보기에 적당한 문항들을 선정한 것이다. 또한 선정된 문항들을 가지고 예비검사와 본 검사를 실시하면서 학생들이 제출한 답안지를 분석하며 반응을 분석하였다. 각 학년별 단 원별 문항들을 살펴보면 중학교 2학년과정의 6단원 도형의 성질에서 3문항, 7단원 도형의 닮음에서 2문항을 선택했으며, 중학교 3학년 과정의 1단원 실수와 그 계산에서 4문항, 5단 원 통계에서 1문항, 6단원 피타고라스 정리에서 1문항, 7단원 삼각비에서 4문항, 8단원 원 의 성질에서 2문항을 선택하여 논술형 문항지로 활용하였다. 수준은 상·중·하 수준의 문제 를 같은 비율로 배정하였으며 단순한 풀이과정만을 묻는 것이 아니라 상황을 이해하고 수 학적이고 논리적인 추론을 근거로 하여 자신의 의견을 수학적 글쓰기를 통하여 쓸 수 있도
록 제작하였다. 문항은 2명의 현직교사 자문을 받아 수정하였으며 저자들 간의 검토와 합의 과정을 거쳐 개발되었다.
중학교 3학년 학생들의 논술형 문항에 대한 자세한 사고과정을 살펴보기 위하여 수도권 강서지역에 소재한 두 개의 공립중학교와 한 개의 사립중학교 3학년 학생 65명을 대상으로 논술형 문항에 대한 인식을 설문조사하였다. 한편 설문에 참여했던 학생 중에서 4명은 수 학성적을 기준으로 상위 10%이내인 학생 2명, 상위20∼40%인 학생 1명, 상위50∼70%인 학생 1명을 선발하였으며 2시간씩 3회에 거쳐 실제로 7개의 논술형 문항들을 풀어보면서 사고과정을 관찰하고 인터뷰를 통해 논술형 문항에 대한 중학생들의 반응을 살펴보았다.
중학생들의 논술형 문항에 대한 인식을 조사하기 위하여 설문지를 직접 제작하여 활용하 였다. 설문지의 구성을 보면, 처음에 설문의 목적과 의도를 표시하여 학생들이 성실하게 설 문에 임하도록 안내문을 포함하였으며 기본 정보란에 성별과 수학수준, 사교육 유무 등을 표기하도록 하여 설문응답자의 기본적인 정보를 파악할 수 있도록 하였다. 설문문항은 총 21문항으로 만들었으며 크게 세 개의 내용으로 설문지를 구성하였다. 첫째는
논술형 평가 현황을 알아보기 위한 설문으로 현재 학 교에서 실시하고 있는 논술형 평가가 얼마나 자주 실시되고 있으며 어떤 형태로 이루어지는 지를 질문했다. 또한 수업시간에 얼마나 논술형 문항에 대한 연습이 되고 있는지, 논술형 문항을 풀었다면 어디에서 풀어봤는지 등을 물어 보는 7개의 문항으로 구성하였다. 두 번째는 평소 수학 공부하는 습관에 대해 알아보고 이 를 논술형 문항 해결력와 어떠한 연관이 있는지 분석하기 위한 설문으로 구성하였다. 어려 운 문제를 대하는 습관과 평소 수학공부 하는 방법을 물어보았고 모르는 문제를 풀 때는 어떤 반응을 보이는지와 수학공부를 하는 교재가 무엇인지 등을 물어보는 7개의 문항으로 구성하였다. 마지막으로 논술형 평가문항의 어려운 점을 직접적으로 묻는 문항으로 논술형 문항에서 무엇을 가장 어려워하고 있으며 어떤 방식으로 해결하는지를 묻는 7개의 문항으 로 구성하였다. 연구의 목적에 적합하도록 설문의 제작은 1저자가 직접 하였으며 저자들이 타당도를 검증한 후 설문을 실시하였다.보다 심층적인 조사를 위해 논술형 문항지 17문항 중에서 학생들의 사고과정을 살펴보기 에 용이한 7개의 문항을 선택하여 이를 중학교 3학년 학생 4명으로 하여금 풀도록 하였다.
모두 풀어본 학생 4명을 대상으로 논술형 문항을 해결하면서 무엇이 어려우며 어떤 사고과 정을 통하여 문항을 해결했는지 관찰과 인터뷰를 통해 살펴보았다. 인터뷰의 질문은 선행 연구에서 살펴보았던 이해, 추론, 적용, 계산, 태도에 관해 자세히 질문하고 그때의 학생 생 각을 살펴보고 나타나는 특징들을 기록하고 분석하였다. 질문지는 학생들이 작성한 답안을 미리 살펴보고 연구에 필요하고 부합되는 내용들로 간추려 미리 준비하였으며 학생들이 편 안한 가운데 인터뷰에 응할 수 있도록 분위기를 만들어 주고 인터뷰내용은 녹음하였고 이 를 바탕으로 녹취록을 정리하여 분석하였다.
학생들의 답안은 문제이해의 오류와 추론의 오류, 적용의 오류, 계산의 오류, 태도의 오
[그림 II-1] 수학적 숙련도(Mathematical Proficiency, NRC, 2001, p. 117)
Ⅲ. 연구 방법
수학 논술형 문항에 대한 중학생들의 인식은 어떠하며 논술형 문항을 해결하는 동안 중 학생들의 사고과정은 어떠한지를 알아보기 위하여, 논술형 문항을 제작하여 중학생들로 하 여금 그 문항들을 해결하도록 했다. 논술형 문항을 제작함과 동시에 채점 기준을 개발하여 그 준거를 마련하였다. 검사를 실시하는데 있어서 학생들에게 문항별로 정해진 제한시간을 부여하였으며, 상·중·하 난이도의 문제를 풀게 하고, 학생들이 작성한 답안지를 수거하여 채점을 하면서 문제의 난이도와 채점기준 등 수정·보완 할 점 등을 기록하였다. 그 과정에 서 나타나는 중학교 학생들의 논술형 평가문항에 대한 반응도를 살펴보았다. 검사를 위해 사용한 논술형 문항들은 창의·인성함양을 위한 서술형·논술형 평가 시스템 구축을 위한 연 구 프로젝트에서 개발된 문항들로, 학생들의 사고반응인 이해와 추론, 적용, 계산, 태도를 살펴보기에 적당한 문항들을 선정한 것이다. 또한 선정된 문항들을 가지고 예비검사와 본 검사를 실시하면서 학생들이 제출한 답안지를 분석하며 반응을 분석하였다. 각 학년별 단 원별 문항들을 살펴보면 중학교 2학년과정의 6단원 도형의 성질에서 3문항, 7단원 도형의 닮음에서 2문항을 선택했으며, 중학교 3학년 과정의 1단원 실수와 그 계산에서 4문항, 5단 원 통계에서 1문항, 6단원 피타고라스 정리에서 1문항, 7단원 삼각비에서 4문항, 8단원 원 의 성질에서 2문항을 선택하여 논술형 문항지로 활용하였다. 수준은 상·중·하 수준의 문제 를 같은 비율로 배정하였으며 단순한 풀이과정만을 묻는 것이 아니라 상황을 이해하고 수 학적이고 논리적인 추론을 근거로 하여 자신의 의견을 수학적 글쓰기를 통하여 쓸 수 있도
록 제작하였다. 문항은 2명의 현직교사 자문을 받아 수정하였으며 저자들 간의 검토와 합의 과정을 거쳐 개발되었다.
중학교 3학년 학생들의 논술형 문항에 대한 자세한 사고과정을 살펴보기 위하여 수도권 강서지역에 소재한 두 개의 공립중학교와 한 개의 사립중학교 3학년 학생 65명을 대상으로 논술형 문항에 대한 인식을 설문조사하였다. 한편 설문에 참여했던 학생 중에서 4명은 수 학성적을 기준으로 상위 10%이내인 학생 2명, 상위20∼40%인 학생 1명, 상위50∼70%인 학생 1명을 선발하였으며 2시간씩 3회에 거쳐 실제로 7개의 논술형 문항들을 풀어보면서 사고과정을 관찰하고 인터뷰를 통해 논술형 문항에 대한 중학생들의 반응을 살펴보았다.
중학생들의 논술형 문항에 대한 인식을 조사하기 위하여 설문지를 직접 제작하여 활용하 였다. 설문지의 구성을 보면, 처음에 설문의 목적과 의도를 표시하여 학생들이 성실하게 설 문에 임하도록 안내문을 포함하였으며 기본 정보란에 성별과 수학수준, 사교육 유무 등을 표기하도록 하여 설문응답자의 기본적인 정보를 파악할 수 있도록 하였다. 설문문항은 총 21문항으로 만들었으며 크게 세 개의 내용으로 설문지를 구성하였다. 첫째는
논술형 평가 현황을 알아보기 위한 설문으로 현재 학 교에서 실시하고 있는 논술형 평가가 얼마나 자주 실시되고 있으며 어떤 형태로 이루어지는 지를 질문했다. 또한 수업시간에 얼마나 논술형 문항에 대한 연습이 되고 있는지, 논술형 문항을 풀었다면 어디에서 풀어봤는지 등을 물어 보는 7개의 문항으로 구성하였다. 두 번째는 평소 수학 공부하는 습관에 대해 알아보고 이 를 논술형 문항 해결력와 어떠한 연관이 있는지 분석하기 위한 설문으로 구성하였다. 어려 운 문제를 대하는 습관과 평소 수학공부 하는 방법을 물어보았고 모르는 문제를 풀 때는 어떤 반응을 보이는지와 수학공부를 하는 교재가 무엇인지 등을 물어보는 7개의 문항으로 구성하였다. 마지막으로 논술형 평가문항의 어려운 점을 직접적으로 묻는 문항으로 논술형 문항에서 무엇을 가장 어려워하고 있으며 어떤 방식으로 해결하는지를 묻는 7개의 문항으 로 구성하였다. 연구의 목적에 적합하도록 설문의 제작은 1저자가 직접 하였으며 저자들이 타당도를 검증한 후 설문을 실시하였다.보다 심층적인 조사를 위해 논술형 문항지 17문항 중에서 학생들의 사고과정을 살펴보기 에 용이한 7개의 문항을 선택하여 이를 중학교 3학년 학생 4명으로 하여금 풀도록 하였다.
모두 풀어본 학생 4명을 대상으로 논술형 문항을 해결하면서 무엇이 어려우며 어떤 사고과 정을 통하여 문항을 해결했는지 관찰과 인터뷰를 통해 살펴보았다. 인터뷰의 질문은 선행 연구에서 살펴보았던 이해, 추론, 적용, 계산, 태도에 관해 자세히 질문하고 그때의 학생 생 각을 살펴보고 나타나는 특징들을 기록하고 분석하였다. 질문지는 학생들이 작성한 답안을 미리 살펴보고 연구에 필요하고 부합되는 내용들로 간추려 미리 준비하였으며 학생들이 편 안한 가운데 인터뷰에 응할 수 있도록 분위기를 만들어 주고 인터뷰내용은 녹음하였고 이 를 바탕으로 녹취록을 정리하여 분석하였다.
학생들의 답안은 문제이해의 오류와 추론의 오류, 적용의 오류, 계산의 오류, 태도의 오
류, 오류 없음으로 6가지로 분류하였다. 문제에서 의도하는 핵심을 모르고 문제의도와 전혀 다르게 해석하여 답안을 작성하거나 문제이해를 하지 못해 수학적 글쓰기를 제대로 하지 못한 학생들을 문제이해의 오류로 분류하였다. 한편 문제는 이해하였으나 근거의 제시과정 이 논리적이지 못하고 내용을 작성함에 있어서 잘못된 근거를 제시하였을 경우에는 추론의 오류로 분류하였다. 또한 문제를 이해하였으나 추론을 해가면서 문제의 의도에 맞지 않는 공식을 사용하거나 잘못된 내용 적용을 했을 경우는 적용의 오류로 분류했고 계산과정에서 계산이 틀린 경우는 계산의 오류로 분류했다. 또한 전혀 문제를 풀려는 의도가 없는 백지 답안은 태도의 오류로 분류했고 아무 오류 없이 문제를 잘 해결한 답안은 오류 없음으로 분류하였다. 또한 학생들의 풀이과정을 살펴보면서 추론하는 과정에만 집중하여 학생답안 들을 분류하고 분석하였다. 추론을 하는 유형을 분석하여 자신의 전반적인 수학적 지식과 기억에 의해 문제를 해결하고 추론하는 경우는 MR로 분류하였고 교과서나 문제집에서 많 이 다룬 내용으로써 공식에 대입하듯 알고리즘에 의해 풀이과정을 전개했다면 AR로 분류 하였다. 마지막으로 교과서나 문제집에서는 보기 드문 문항들에 대해서 자신만의 창의적인 방법으로 문제에 접근하고 문제를 해결했다면 CMR로 분류하였다. 분류를 하는 과정에서 분류가 어려운 경우는 가장 근접한 오류라고 판단되는 것으로 분류했으며 중복으로 분류하 지는 않았다. 또한 문항이 자료를 자세하게 지시한 문항과 자료를 자세하게 제시하지 않은 문항으로 나누고 각각의 문항별로 어떤 오류 유형이 많이 나타나는지에 대해서도 분석하였다.
학생설문은 수거된 65개의 설문지를 정리하여 엑셀프로그램을 활용해 결과를 기록하였으 며 설문개수와 전체인원에 대한 비율을 구하였다. 먼저 기본적인 남학생과 여학생, 수학수 준, 사교육 유무에 따라 분류하여 나누고 그에 따른 설문결과가 어떻게 나오는지를 분석하 였다. 특히 수학 수준에 따라 수학글쓰기 습관과 문제를 답이 나올 때까지 푸는 학생들의 유형을 분류하여 분석하였다. 설문지의 각 문항별로 인원수와 전체인원에 대한 비율을 정 리하였고 논술형 문항에 자신감을 보이는 학생들과 수학 공부 방법의 상관관계를 살펴보았 다. 또한 앞에서 살펴본 논술형 문항에 대한 학생들의 답안분류에서 사용하였던 추론 방법 인 MR, AR, CMR을 적용하여 설문지의 내용을 분석하였다.
설문에 답했던 65명의 학생 중 중학교 3학년 학생들을 대표할 수 있는 학생들을 선발하 기 위해 수학담당교사의 도움을 받아 수학성취도를 기준으로 수준별 상위권학생 2명, 중위 권학생 1명, 하위권학생 1명으로 우선 4명을 선발하였다. 또한 학생답안 분석에 사용하였던 17개의 문항 중에서 학생들의 사고과정을 살펴보기에 용이한 것으로 인터뷰를 위한 논술형 문항 7개를 따로 선정하였다. 심층 인터뷰는 2명씩 한 조를 이루어 조별로 3회에 걸쳐 논 술형 문항풀이와 인터뷰를 병행하였으며 학생들의 사고과정에 대하여 질문하고 기록 및 녹 음하였다. 또한 녹음된 내용은 녹취록을 만들고 분석하였으며 학생들의 풀이가 적힌 논술 형 문항 답안지와 함께 자료를 정리하였다.
Ⅳ. 연구 결과 1. 수학 논술형 문항에 대한 중학생들의 인식
중학교 2, 3학년 학생들의 논술형 문항에 대한 인식을 알아보기 위한 설문지 조사를 통해 얻은 자료를 분석한 결과는 다음과 같다. 설문에 참여한 인원은 65명으로 응답 학생들의 성 별 비율은 남학생이 49.2%, 여학생이 50.8%였으며(표 IV-1) 수학수준별 응답비율은 상위 10%이내의 학생이 18.5%, 상위10∼30%의 성적인 학생이 33.8%, 상위30∼70%의 성적인 학 생이 27.7%, 상위 70∼90%의 성적인 학생이 15.4%, 상위 90∼100%인 학생이 4.6%로 나타 났다(표 IV-2). 또한 사교육 유무를 살펴봤을 때 사교육을 받고 있는 학생이 47.7%였으며 사교육을 받지 않는 학생이 52.3%로 나타났다(표 IV-3). 이 설문대상 학생들은 종합적으로 살펴보면 남녀비율 및 수학성적 분포는 고르게 나타났고 사교육은 다른 지역에 비하여 많 이 하지 않았다.
설문지의 논술형 평가 실시 현황 영역은 선택형 6문항과 진술형 1문항으로 구성하였으며 현재 학교에서 실시하고 있는 지필고사 수학시험의 평가형태를 묻는 질문에 선다형+서술 형이라는 응답이 89.2%로 가장 많았으며 선다형+서술형+논술형 이라는 응답은 9.3%, 서술 형+논술형 이라는 응답도 1.5% 있었다(표 IV-4). 이 학생은 서술형과 논술형에 대한 정확 한 의미를 모르고 대답한 학생으로 판단되며 대부분의 학교에서 선다형+서술형의 형태로 지필고사 수학시험을 시행하고 있었고 논술형 평가는 거의 시행되지 않았다.
현재 학교에서 실시하는 수행평가의 평가형태를 묻는 질문은 복수선택을 가능하도록 하 였는데 과제형이 48명, 관찰형(태도)이 45명으로 대부분의 학교에서 과제와 태도가 주된 수 행평가 방법이었으며 논술형이 수행평가 형태라고 대답한 학생은 1명뿐이었다. 한 학기당 실시하는 논술형 평가의 횟수를 묻는 질문은 78.5%가 2회라고 응답했으며 전혀 실시하지 않는다가 16.9%였다. 이는 설문을 담당한 학교의 교사를 통해 확인한 결과 학생들이 서술
<표 IV-1> 설문참여자 성별
구분 항목 인원(명) 비율(%)
성별
남 32 49.2
여 33 50.8
합계 65 100.0
류, 오류 없음으로 6가지로 분류하였다. 문제에서 의도하는 핵심을 모르고 문제의도와 전혀 다르게 해석하여 답안을 작성하거나 문제이해를 하지 못해 수학적 글쓰기를 제대로 하지 못한 학생들을 문제이해의 오류로 분류하였다. 한편 문제는 이해하였으나 근거의 제시과정 이 논리적이지 못하고 내용을 작성함에 있어서 잘못된 근거를 제시하였을 경우에는 추론의 오류로 분류하였다. 또한 문제를 이해하였으나 추론을 해가면서 문제의 의도에 맞지 않는 공식을 사용하거나 잘못된 내용 적용을 했을 경우는 적용의 오류로 분류했고 계산과정에서 계산이 틀린 경우는 계산의 오류로 분류했다. 또한 전혀 문제를 풀려는 의도가 없는 백지 답안은 태도의 오류로 분류했고 아무 오류 없이 문제를 잘 해결한 답안은 오류 없음으로 분류하였다. 또한 학생들의 풀이과정을 살펴보면서 추론하는 과정에만 집중하여 학생답안 들을 분류하고 분석하였다. 추론을 하는 유형을 분석하여 자신의 전반적인 수학적 지식과 기억에 의해 문제를 해결하고 추론하는 경우는 MR로 분류하였고 교과서나 문제집에서 많 이 다룬 내용으로써 공식에 대입하듯 알고리즘에 의해 풀이과정을 전개했다면 AR로 분류 하였다. 마지막으로 교과서나 문제집에서는 보기 드문 문항들에 대해서 자신만의 창의적인 방법으로 문제에 접근하고 문제를 해결했다면 CMR로 분류하였다. 분류를 하는 과정에서 분류가 어려운 경우는 가장 근접한 오류라고 판단되는 것으로 분류했으며 중복으로 분류하 지는 않았다. 또한 문항이 자료를 자세하게 지시한 문항과 자료를 자세하게 제시하지 않은 문항으로 나누고 각각의 문항별로 어떤 오류 유형이 많이 나타나는지에 대해서도 분석하였다.
학생설문은 수거된 65개의 설문지를 정리하여 엑셀프로그램을 활용해 결과를 기록하였으 며 설문개수와 전체인원에 대한 비율을 구하였다. 먼저 기본적인 남학생과 여학생, 수학수 준, 사교육 유무에 따라 분류하여 나누고 그에 따른 설문결과가 어떻게 나오는지를 분석하 였다. 특히 수학 수준에 따라 수학글쓰기 습관과 문제를 답이 나올 때까지 푸는 학생들의 유형을 분류하여 분석하였다. 설문지의 각 문항별로 인원수와 전체인원에 대한 비율을 정 리하였고 논술형 문항에 자신감을 보이는 학생들과 수학 공부 방법의 상관관계를 살펴보았 다. 또한 앞에서 살펴본 논술형 문항에 대한 학생들의 답안분류에서 사용하였던 추론 방법 인 MR, AR, CMR을 적용하여 설문지의 내용을 분석하였다.
설문에 답했던 65명의 학생 중 중학교 3학년 학생들을 대표할 수 있는 학생들을 선발하 기 위해 수학담당교사의 도움을 받아 수학성취도를 기준으로 수준별 상위권학생 2명, 중위 권학생 1명, 하위권학생 1명으로 우선 4명을 선발하였다. 또한 학생답안 분석에 사용하였던 17개의 문항 중에서 학생들의 사고과정을 살펴보기에 용이한 것으로 인터뷰를 위한 논술형 문항 7개를 따로 선정하였다. 심층 인터뷰는 2명씩 한 조를 이루어 조별로 3회에 걸쳐 논 술형 문항풀이와 인터뷰를 병행하였으며 학생들의 사고과정에 대하여 질문하고 기록 및 녹 음하였다. 또한 녹음된 내용은 녹취록을 만들고 분석하였으며 학생들의 풀이가 적힌 논술 형 문항 답안지와 함께 자료를 정리하였다.
Ⅳ. 연구 결과 1. 수학 논술형 문항에 대한 중학생들의 인식
중학교 2, 3학년 학생들의 논술형 문항에 대한 인식을 알아보기 위한 설문지 조사를 통해 얻은 자료를 분석한 결과는 다음과 같다. 설문에 참여한 인원은 65명으로 응답 학생들의 성 별 비율은 남학생이 49.2%, 여학생이 50.8%였으며(표 IV-1) 수학수준별 응답비율은 상위 10%이내의 학생이 18.5%, 상위10∼30%의 성적인 학생이 33.8%, 상위30∼70%의 성적인 학 생이 27.7%, 상위 70∼90%의 성적인 학생이 15.4%, 상위 90∼100%인 학생이 4.6%로 나타 났다(표 IV-2). 또한 사교육 유무를 살펴봤을 때 사교육을 받고 있는 학생이 47.7%였으며 사교육을 받지 않는 학생이 52.3%로 나타났다(표 IV-3). 이 설문대상 학생들은 종합적으로 살펴보면 남녀비율 및 수학성적 분포는 고르게 나타났고 사교육은 다른 지역에 비하여 많 이 하지 않았다.
설문지의 논술형 평가 실시 현황 영역은 선택형 6문항과 진술형 1문항으로 구성하였으며 현재 학교에서 실시하고 있는 지필고사 수학시험의 평가형태를 묻는 질문에 선다형+서술 형이라는 응답이 89.2%로 가장 많았으며 선다형+서술형+논술형 이라는 응답은 9.3%, 서술 형+논술형 이라는 응답도 1.5% 있었다(표 IV-4). 이 학생은 서술형과 논술형에 대한 정확 한 의미를 모르고 대답한 학생으로 판단되며 대부분의 학교에서 선다형+서술형의 형태로 지필고사 수학시험을 시행하고 있었고 논술형 평가는 거의 시행되지 않았다.
현재 학교에서 실시하는 수행평가의 평가형태를 묻는 질문은 복수선택을 가능하도록 하 였는데 과제형이 48명, 관찰형(태도)이 45명으로 대부분의 학교에서 과제와 태도가 주된 수 행평가 방법이었으며 논술형이 수행평가 형태라고 대답한 학생은 1명뿐이었다. 한 학기당 실시하는 논술형 평가의 횟수를 묻는 질문은 78.5%가 2회라고 응답했으며 전혀 실시하지 않는다가 16.9%였다. 이는 설문을 담당한 학교의 교사를 통해 확인한 결과 학생들이 서술
<표 IV-1> 설문참여자 성별
구분 항목 인원(명) 비율(%)
성별
남 32 49.2
여 33 50.8
합계 65 100.0
<표 IV-3> 설문참여자 사교육 유무
구분 항목 인원(명) 비율(%)
사교육
실시 31 47.7
미실시 34 52.3
합계 65 100.0
<표 IV-2> 설문참여자 수학수준
구분 항목 인원(명) 비율(%)
수학수준
상위10%이내 12 18.5
10%∼30% 22 33.8
30%∼70% 18 27.7
70%~90% 10 15.4
90%~100% 3 4.6
합계 65 100.0
형 평가를 잘못 이해하고 응답해서 이런 결과가 나왔음을 알 수 있었다. 모든 학교에서 경 기도 교육청에서 주관하는 논술형 평가 외에는 논술형 평가를 실시하고 있지 않았다. 평소 수업에서 논술형 평가문항을 얼마나 자주 연습하는지에 대한 문항은 단원별로 1∼2문제 정 도 다룬다는 응답이 23.7%, 단원별로 3∼5문제 정도 다룬다는 응답이 33.9%, 단원별로 6∼
10문제 정도 다룬다는 응답도 32.2%, 전혀 다루지 않는다는 응답은 8.5%이었다. 그러므로 대부분 단원별로 논술형 문항을 다루는 것으로 나타났다. 또한 교과서에서 논술형 문항을 다룬 경험에 대한 질문은 ‘매우 그렇다’라는 응답이 1.7%, ‘그런 편이다’라는 응답이 32.2%,
‘보통이다’라는 응답이 37.3%, ‘그렇지 않다’라는 응답이 20.3%, ‘전혀 그렇지 않다’라는 응 답도 8.5%가 되었다. 최근 중학교 교과서에는 창의력을 키우는 논술형 문항들을 단원별로 생각해보기와 논술형 문항 맛보기 등을 통하여 제시하고 있으므로 학생들이 예전에 비해서 많이 접하는 것으로 나타났다.
<표 IV-4> 학교에서 실시하는 지필고사 수학시험의 형태
구분 항목 인원수(명) 비율(%)
지필고사 수학 시험의 형태
선다형 0 0
선다형+서술형 58 89.2
선다형+논술형 0 0
선다형+서술형+논술형 6 9.3
서술형+논술형 1 1.5
기타 0 0
합계 65 100
논술형 문항을 풀어 본 것은 어디를 통해서인가라는 질문에 학교시험을 통해서라는 응답 이 16.9%, 학원이라는 응답이 22.0%, 문제집이라는 응답이 45.8%, 과외라는 응답은 1.7%,
‘전혀 없다’라는 응답은 13.6%이었다. 이는 대부분의 학생들이 논술형 문항을 문제집이나 학원을 통해서 접하고 있음을 알 수 있는 대목이다.
마지막으로 논술형 평가가 무엇이라고 생각하느냐는 진술형 설문 문항 대해서는 풀이과 정을 논리적으로 쓰는 것이라는 응답이 16.9%로 가장 많았으며 설명하면서 풀 줄 알아야 하는 것 이라는 응답이 6.8%였으며 그 외 기타의견으로는 많은 수학적 이해를 필요로 하 는 문제, 자신의 생각을 쓰는 것, 주관식 등 다양한 응답이 있었다. 그 중에서도 어려운 식 과 복잡한 풀이가 있는 문제로 인색하고 있는 학생도 있었는데 학생들의 논술형 평가에 대 한 정의에서도 어렵고 힘든 문제라는 생각을 하는 것으로 나타났다. 논술형 문항 활용 현 황을 묻는 설문에서 나타난 것은 최근 서술형, 논술형 문항에 대한 관심과 필요성이 대두 되면서 교과서에 단원별로 서술형, 논술형 문항들을 포함시키고 있는데 수업시간에 교사들 이 다루기는 하지만 평가에는 여러 가지 이유들로 인하여 반영하지 않고 있음을 알 수 있 었다. 이는 평가와 수업이 같은 방향으로 가지 않는다는 것을 암시하는 것으로 볼 수 있다.
수학공부를 하는 형태를 살펴본 문항에서는 혼자 공부한다는 응답이 44.6%, 과외를 받는
다는 응답이 10.8%, 학원을 다닌다는 응답이 35.4%, 인터넷강의를 듣는다는 응답이 7.7%로
나타났다. 이는 많은 수의 학생들이 과외, 학원, 인터넷 강의를 통하여 자신의 생각을 키우
는 공부가 아니라 수동적인 입장에서 강의를 듣고 문제 푸는 방법 중심의 공부를 하는 것
으로 짐작할 수 있다. 문제를 풀다가 모르는 문제일 경우 어떻게 대처하는가에 대한 질문
은 답이 나올 때까지 푼다는 응답이 20.0%, 답안지를 본다는 응답이 30.8%, 교사나 친구에
게 질문한다는 응답이 47.7%, 기타가 1.5%으로 나타났다. 대부분의 학생들은 모르는 문제
를 끝까지 풀거나 관련 자료를 찾아보는 것이 아니라 쉽게 알 수 있는 답안지나 친구, 교
사에게 질문하여 문제를 해결하고 있었다. 이는 다양한 방법과 창의적인 생각으로 풀어보
는 수학적 사고의 시간을 단축시키고 궁극적으로 논술형 문항을 해결하는 힘을 기르지 못
<표 IV-3> 설문참여자 사교육 유무
구분 항목 인원(명) 비율(%)
사교육
실시 31 47.7
미실시 34 52.3
합계 65 100.0
<표 IV-2> 설문참여자 수학수준
구분 항목 인원(명) 비율(%)
수학수준
상위10%이내 12 18.5
10%∼30% 22 33.8
30%∼70% 18 27.7
70%~90% 10 15.4
90%~100% 3 4.6
합계 65 100.0
형 평가를 잘못 이해하고 응답해서 이런 결과가 나왔음을 알 수 있었다. 모든 학교에서 경 기도 교육청에서 주관하는 논술형 평가 외에는 논술형 평가를 실시하고 있지 않았다. 평소 수업에서 논술형 평가문항을 얼마나 자주 연습하는지에 대한 문항은 단원별로 1∼2문제 정 도 다룬다는 응답이 23.7%, 단원별로 3∼5문제 정도 다룬다는 응답이 33.9%, 단원별로 6∼
10문제 정도 다룬다는 응답도 32.2%, 전혀 다루지 않는다는 응답은 8.5%이었다. 그러므로 대부분 단원별로 논술형 문항을 다루는 것으로 나타났다. 또한 교과서에서 논술형 문항을 다룬 경험에 대한 질문은 ‘매우 그렇다’라는 응답이 1.7%, ‘그런 편이다’라는 응답이 32.2%,
‘보통이다’라는 응답이 37.3%, ‘그렇지 않다’라는 응답이 20.3%, ‘전혀 그렇지 않다’라는 응 답도 8.5%가 되었다. 최근 중학교 교과서에는 창의력을 키우는 논술형 문항들을 단원별로 생각해보기와 논술형 문항 맛보기 등을 통하여 제시하고 있으므로 학생들이 예전에 비해서 많이 접하는 것으로 나타났다.
<표 IV-4> 학교에서 실시하는 지필고사 수학시험의 형태
구분 항목 인원수(명) 비율(%)
지필고사 수학 시험의 형태
선다형 0 0
선다형+서술형 58 89.2
선다형+논술형 0 0
선다형+서술형+논술형 6 9.3
서술형+논술형 1 1.5
기타 0 0
합계 65 100
논술형 문항을 풀어 본 것은 어디를 통해서인가라는 질문에 학교시험을 통해서라는 응답 이 16.9%, 학원이라는 응답이 22.0%, 문제집이라는 응답이 45.8%, 과외라는 응답은 1.7%,
‘전혀 없다’라는 응답은 13.6%이었다. 이는 대부분의 학생들이 논술형 문항을 문제집이나 학원을 통해서 접하고 있음을 알 수 있는 대목이다.
마지막으로 논술형 평가가 무엇이라고 생각하느냐는 진술형 설문 문항 대해서는 풀이과 정을 논리적으로 쓰는 것이라는 응답이 16.9%로 가장 많았으며 설명하면서 풀 줄 알아야 하는 것 이라는 응답이 6.8%였으며 그 외 기타의견으로는 많은 수학적 이해를 필요로 하 는 문제, 자신의 생각을 쓰는 것, 주관식 등 다양한 응답이 있었다. 그 중에서도 어려운 식 과 복잡한 풀이가 있는 문제로 인색하고 있는 학생도 있었는데 학생들의 논술형 평가에 대 한 정의에서도 어렵고 힘든 문제라는 생각을 하는 것으로 나타났다. 논술형 문항 활용 현 황을 묻는 설문에서 나타난 것은 최근 서술형, 논술형 문항에 대한 관심과 필요성이 대두 되면서 교과서에 단원별로 서술형, 논술형 문항들을 포함시키고 있는데 수업시간에 교사들 이 다루기는 하지만 평가에는 여러 가지 이유들로 인하여 반영하지 않고 있음을 알 수 있 었다. 이는 평가와 수업이 같은 방향으로 가지 않는다는 것을 암시하는 것으로 볼 수 있다.
수학공부를 하는 형태를 살펴본 문항에서는 혼자 공부한다는 응답이 44.6%, 과외를 받는
다는 응답이 10.8%, 학원을 다닌다는 응답이 35.4%, 인터넷강의를 듣는다는 응답이 7.7%로
나타났다. 이는 많은 수의 학생들이 과외, 학원, 인터넷 강의를 통하여 자신의 생각을 키우
는 공부가 아니라 수동적인 입장에서 강의를 듣고 문제 푸는 방법 중심의 공부를 하는 것
으로 짐작할 수 있다. 문제를 풀다가 모르는 문제일 경우 어떻게 대처하는가에 대한 질문
은 답이 나올 때까지 푼다는 응답이 20.0%, 답안지를 본다는 응답이 30.8%, 교사나 친구에
게 질문한다는 응답이 47.7%, 기타가 1.5%으로 나타났다. 대부분의 학생들은 모르는 문제
를 끝까지 풀거나 관련 자료를 찾아보는 것이 아니라 쉽게 알 수 있는 답안지나 친구, 교
사에게 질문하여 문제를 해결하고 있었다. 이는 다양한 방법과 창의적인 생각으로 풀어보
는 수학적 사고의 시간을 단축시키고 궁극적으로 논술형 문항을 해결하는 힘을 기르지 못
하는 원인이 될 수 있다. 또한 '답이 나올 때까지 푼다'라고 대답한 12명에 대하여 수학수 준을 살펴보면 상위 10%이내의 학생이 25%, 상위10%∼30%인 학생이 41.7%, 상위30∼
70%인 학생이 25%, 상위70∼90%인 학생이 8.3%로 나타났다(그림 IV-1). 이는 모르는 문 제에 대하여 바로 답을 보거나 교사 친구에게 질문하는 학생 보다는 끝까지 여러 가지 방 법을 생각하며 해결하고자 노력하는 학생들의 수학 수준이 높음을 시사한다. 수학공부를 할 때 가장 중점을 두는 것은 무엇이냐는 질문에 기본정의 및 정리라는 응답은 35.4%, 공 식암기라는 응답이 6.2%, 문제풀이라는 응답이 58.5%를 차지하였다. 학생들은 기본정의와 정리도 중요시 여기지만 문제풀이를 더 중요시 여김을 알 수 있다. 이는 학생들의 추론능 력에서도 창의적으로 생각하고 추론하는CMR보다는 자신의 기억을 이용한 IR에 가까운 추 론을 하게 만드는 것이다. 어려운 문제를 풀 때 새로운 자신만의 방법을 시도해본다는 응 답은 5.1%밖에 없었으며 지금까지 풀어봤던 문제와 비교하여 적용해 본다는 응답은 대부 분의 학생인 94.9%이었다. 이는 앞에서도 언급했듯이 학생들의 추론과정이 자신만의 창의 적인 사고를 가지고 생각하는 CMR보다는 기존에 풀어봤던 문제집에서의 풀이방법을 기억 하거나 자신이 알고 있는 수학적 기억에 기초하여 문제를 해결하는 IR에 의존하는 것을 알 수 있다. 이는 기존의 평가방법인 선다형과 단순한 서술형 문항평가에서 다양한 추론과 방 법을 모색할 수 있는 논술형 문항으로의 변화를 꾀하지 않으면 학생들의 공부 방법에서도 변화를 기대할 수 없음을 시사한다.
논술형 평가 문항에 대하여 느끼는 어려운 점을 묻는 영역은 5개의 선다형 문항과 2개의 진술형 문항으로 구성하였다. 평소 학생들이 논술형 문항을 해결할 때 무엇을 가장 어려워 하고 있으며 무엇을 중요하게 생각하는지를 알기 위한 영역이다. 평가 문항 중에서 가장 해결하기 쉬운 형태는 어떤 문항이냐는 설문에 선다형이라는 응답이 56.9%, 단답형이라는 응답이 40.0%, 서술형이라는 응답이 3.1%나왔고 논술형 문항이라는 응답은 한 명도 없었다
0%
20%
40%
60%
80%
100%
수학수준 상위10%이내, 25
10~30%, 41.7 30~70%, 25 70~90%, 8.3
끝까지 문제푸는 학생들의 수학 수준분포
[그림 IV-1] 끝까지 문제를 해결하는 학생들의 수학수준
<표 IV-5> 해결하기 쉬운 문항의 형태
구분 항목 인원수(명) 비율(%)
해결하기 쉬운 문항의 형태
선다형 37 56.9
단답형 26 40.0
서술형 2 3.1
논술형 0 0.0
합 계 65 100.0
(표 IV-5). 이는 논술형 문항이 학생들의 생각 속에 가장 어려운 문제로 인식되고 있으며, 서술형이나 논술형 문항에 대해서 학생들의 자신감이 부족함을 짐작할 수 있다.
논술형 문항을 받았을 때 문제를 해결하는 자세를 묻는 질문에는 ‘문제를 읽지만 이해가 안 되면 백지제출’이 6.8%였으며, ‘자신감은 없지만 최대한 풀 수 있는 데까지 풀어 본다’
가 가장 많은 67.8%였고, ‘자신감을 가지고 푼다’라는 응답이 25.4%로 나타났다. ‘자신감을 가지고 푼다’라고 응답한 학생은 25.4%뿐으로 대부분의 학생들이 논술형 문제를 가장 어려 워하고 있음을 알 수 있다. 또한 많은 학생들이 백지로 제출하기보다는 최대한 풀 수 있는 데까지 풀기 위해 노력한다고 응답하였다.
논술형 문항을 해결할 때 가장 어려움을 겪는 부분에 대한 질문에 대하여는 문제를 읽고 이해하기라는 응답이 26.2%, 적용하기 12.3%, 수학적 글쓰기 24.6%, 계산능력 23.1%, 추론 능력이라는 응답이 13.8%으로 나타났다(표 IV-7). 학생들이 논술형 문항을 풀면서 가장 어 려워하는 부분이 문제를 읽고 이해하기라는 것을 알 수 있었고 의외로 계산하기가 어렵다 는 응답을 한 학생들도 많았다. 이는 앞의 논술형 문항 분석에서 계산의 오류가 가장 적었 던 것을 감안할 때 그때의 결과와 반대되는 내용이며 이에 대해서는 학생과의 인터뷰를 통 하여 자세히 살펴보았다.
<표 IV-6> 논술형 문항 풀이에서 가장 중요한 것
구분 항 목 인원수(명) 비율(%)
논술형 문항 풀이에서 가장 중요한 것
읽고 이해하기 35 53.8
적용하기 4 6.2
수학적 글쓰기 11 16.9
계산능력 7 10.8
추론능력 8 12.3
합계 65 100.0
하는 원인이 될 수 있다. 또한 '답이 나올 때까지 푼다'라고 대답한 12명에 대하여 수학수 준을 살펴보면 상위 10%이내의 학생이 25%, 상위10%∼30%인 학생이 41.7%, 상위30∼
70%인 학생이 25%, 상위70∼90%인 학생이 8.3%로 나타났다(그림 IV-1). 이는 모르는 문 제에 대하여 바로 답을 보거나 교사 친구에게 질문하는 학생 보다는 끝까지 여러 가지 방 법을 생각하며 해결하고자 노력하는 학생들의 수학 수준이 높음을 시사한다. 수학공부를 할 때 가장 중점을 두는 것은 무엇이냐는 질문에 기본정의 및 정리라는 응답은 35.4%, 공 식암기라는 응답이 6.2%, 문제풀이라는 응답이 58.5%를 차지하였다. 학생들은 기본정의와 정리도 중요시 여기지만 문제풀이를 더 중요시 여김을 알 수 있다. 이는 학생들의 추론능 력에서도 창의적으로 생각하고 추론하는CMR보다는 자신의 기억을 이용한 IR에 가까운 추 론을 하게 만드는 것이다. 어려운 문제를 풀 때 새로운 자신만의 방법을 시도해본다는 응 답은 5.1%밖에 없었으며 지금까지 풀어봤던 문제와 비교하여 적용해 본다는 응답은 대부 분의 학생인 94.9%이었다. 이는 앞에서도 언급했듯이 학생들의 추론과정이 자신만의 창의 적인 사고를 가지고 생각하는 CMR보다는 기존에 풀어봤던 문제집에서의 풀이방법을 기억 하거나 자신이 알고 있는 수학적 기억에 기초하여 문제를 해결하는 IR에 의존하는 것을 알 수 있다. 이는 기존의 평가방법인 선다형과 단순한 서술형 문항평가에서 다양한 추론과 방 법을 모색할 수 있는 논술형 문항으로의 변화를 꾀하지 않으면 학생들의 공부 방법에서도 변화를 기대할 수 없음을 시사한다.
논술형 평가 문항에 대하여 느끼는 어려운 점을 묻는 영역은 5개의 선다형 문항과 2개의 진술형 문항으로 구성하였다. 평소 학생들이 논술형 문항을 해결할 때 무엇을 가장 어려워 하고 있으며 무엇을 중요하게 생각하는지를 알기 위한 영역이다. 평가 문항 중에서 가장 해결하기 쉬운 형태는 어떤 문항이냐는 설문에 선다형이라는 응답이 56.9%, 단답형이라는 응답이 40.0%, 서술형이라는 응답이 3.1%나왔고 논술형 문항이라는 응답은 한 명도 없었다
0%
20%
40%
60%
80%
100%
수학수준 상위10%이내, 25
10~30%, 41.7 30~70%, 25 70~90%, 8.3
끝까지 문제푸는 학생들의 수학 수준분포
![[그림 II-1] 수학적 숙련도(Mathematical Proficiency, NRC, 2001, p. 117) Ⅲ. 연구 방법 수학 논술형 문항에 대한 중학생들의 인식은 어떠하며 논술형 문항을 해결하는 동안 중 학생들의 사고과정은 어떠한지를 알아보기 위하여, 논술형 문항을 제작하여 중학생들로 하 여금 그 문항들을 해결하도록 했다](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dokinfo/5282688.372427/5.1261.243.950.245.637/mathematical-proficiency-중학생들의-어떠하며-사고과정은-어떠한지를-중학생들로-해결하도록.webp)
