아이디얼의 개념

아이디얼의 개념

Theorem 0.1. R은 환이고 N 은 R의 아이디얼 일 때 함수 γ : R → R/N, γ(x) = x + N 은 환준동형사상이 되고 ker γ = N 이 된다.

Proof. 임의의 x, y ∈ R에 대해

γ(x + y) = (x + y) + N = (x + N ) + (y + N ) = γ(x) + γ(y), γ(xy) = xy + N = (x + N )(y + N ) = γ(x)γ(y)

이다. 정의에 의해 N ⊂ ker γ이다. 이제 x ∈ ker γ이라고 하자. 그러면 γ(x) = x + N = N 에서 x ∈ N 이 된다. 따라서 ker γ ⊂ N 이다.

Theorem 0.2. (Fundmental Homomorphism Theorem) 함수 φ : R → R⁰은 환준동형사상이고 N = ker φ이라고 하자. 그러면 함수 µ : R/N → φ(R), µ(x + N ) := φ(x) 은 환준동형사상이 된다. 이 때 환준동형사상 γ : R → R/N, γ(x) :=

x + N 에 대해 φ = µ ◦ γ 이 된다.

Proof. 위의 γ와 µ의 정의를 이용하면 증명은 쉽게 된다.

Example 0.3. 환준동형사상 φ : Z → Zn, φ(a) := a (mod n)은 전사함수이고 ker φ = nZ이므로 위 정리에 의해 Z/nZ ' Zn 이다.

<연습>

1. Z12의 아이디얼을 모두 구하여라.

(풀이) 먼저 Z12의 부분환을 구해보자. {0}, {0, 2, 4, 6, 8, 10}, {0, 6}, {0, 3, 6, 9}, {0, 4, 8} 은 Z12의 진부분환이다. 그리고 이것들 모두는 Z12의 아이디얼이 됨을 알 수 있다.

2. 환 Z × Z의 부분환 중에서 아이디얼이 아닌 것을 구하여라.

(풀이) N := {(n, n) | n ∈ Z}이라 두자. 그러면 N은 Z×Z의 부분환이 된다. 그러나 아이디얼은 되지 않는다. 예를 들면

(2, 3)N = {(2n, 3n) | n ∈ Z} * N 이다.

3. R은 표수가 소수 p이고 단위원을 가지는 가환환이다. 이 때 함수 φ_p : R → R, φ(a) = a^p은 환준동형사상이 됨을 보여라. (이것을 Frobenius Homomor- phism이라고 한다.)

(풀이)

φ_p(a + b) = (a + b)^p =

p

X

k=0

p k



a^p−kb^k = a^p+ b^p = φ(a) + φ(b), φ(ab) = (ab)^p = (ab)(ab) · · · (ab) = (a · · · a)(b · · · b) = a^pb^p = φ(a)φ(b).

4. R은 가환환이고 a ∈ R일 때 I_a := {x ∈ R | ax = 0_R}은 R의 아이디얼이 됨을 보여라.

(풀이)b ∈ R에 대해 bI_a ⊂ I_a임을 보이면 된다. x ∈ I_a에 대해 a(bx) = (ab)x = (ba)x = b(ax) = b0_R = 0_R 이므로 bx ∈ I_a 이다.

학생들이 전할 문제

1. R은 가환환이고 N 은 R의 아이디얼일 때 집합

√

N := {a ∈ R | aⁿ ∈ N 이 되는 자연수 n 이 존재}

은 R의 아이디얼이 됨을 보여라.

2. R이 가환환일 때 집합

N := {a ∈ R | aⁿ = 0_R이 되는 자연수 n 이 존재}

은 R의 아이디얼이 됨을 보여라.

Example 0.4. p가 소수이면 Zp는 체가 된다. 그리고 우리는 Z/pZ ' Zp임을 알고 있다. 따라서 정역 Z의 잉여환은 체와 동형일 수 있다는 사실을 이끌어 낼 수 있다.

Example 0.5. Z⁶의 부분환 N = {0, 6}을 생각해 보자. N 은 Z6의 아이디얼이 됨은 쉽게 알 수 있다. 그리고 잉여환 Z6/N 은

Z⁶/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N }

으로 표현되고 따라서 Z6/N ' Z³인 것을 얻는다. 이것을 통해 정역이 아닌 환에 대해서 잉여환은 체와 동형일 수 있다는 사실을 알 수 있다.

Example 0.6. Z × Z는 정역이 아니다. N := {(0, n) | n ∈ Z}이라 두면 N 은 Z × Z 의 아이디얼이 됨은 쉽게 알 수 있다. 이 때 잉여환 Z × Z/N은 Z와 동형이다.(함수 φ : Z × Z → N, φ((m, k) + N ) := m은 동형사상이 됨을 보일 수 있다.) 따라서 정역이 아닌 환의 잉여환은 정역과 동형이 될 수 있다는 사실을 이끌어 낼 수 있다.

Example 0.7. Z는 정역이다 그러나 잉여환 Z/4Z ' Z4는 정역이 아니다. 따라서 정역의 잉여환은 정역이 아닐 수도 있다는 사실이 성립한다.

여기서 우리는 어떤 경우에 잉여환이 체가 되고 또는 정역이 되는지에 대한 대수 적 이론을 공부할 필요성을 가지게 된다.

Definition 0.8. R은 환이고 N 이 R의 아이디얼일 때 N 6= R이면 N 을 진아이디 얼(proper ideal)이라고 한다. 만일 N = {0_R}이면 이것을 자명아이디얼(trivial ideal)이라고 한다. 그리고 N 6= R이고 N 6= {0R}이 되는 N 을 비자명진아이디얼 (proper nontrivial ideal)이라고 한다.

Theorem 0.9. R은 단위원을 가지는 환일 때 N 이 단원을 포함하는 R의 아이디 얼이면 N = R이다.

Proof. u ∈ N 를 단원이라고 하자. 그러면 uu⁻¹ = u⁻¹u = 1_R이 되는 u⁻¹ ∈ R이 존재한다.그리고 u ∈ N 이므로 1_R∈ N 이다. 따라서 임의의 r ∈ R에 대해 r1_R∈ N 이므로 결국 R ⊂ N 이 된다.

Corollary 0.10. 체는 비자명진아이디얼을 가지지 않는다.

Proof. 체는 단위원을 가지며 영아닌 모든 원소가 단원이다. 따라서 체의 비자명 아이디얼은 항상 단원을 포함하게 된다. 그러면 위 정리에 의해 비자명 아이디얼 은 체와 같은 집합이 된다.

Definition 0.11. R은 환이고 M 은 R의 진아이디얼일 때 M 을 포함하는 R의 진 아이디얼이 존재하지 않으면 M 을 극대아이디얼(maximal ideal)이라고 한다.

Example 0.12. 소수 p에 대해 pZ는 Z에서 극대아이디얼이 된다. 왜냐하면 pZ ⊂ nZ이면 n|p이고 따라서 n = 1, p가 되어 pZ를 포함하는 Z의 진아이디얼이 존재하 지 않음을 알 수 있다.

Theorem 0.13. R은 단위원을 가지는 가환환이라고 하자. 이 때 M 이 R의 극대 아이디얼이 되는 필요충분조건은 잉여환 R/M 이 체가 되는 것이다.

Proof. M 을 R의 극대아이디얼이라고 하자. R이 단위원을 가지는 가환환이므로 잉여환 R/M 도 단위원을 가지는 가환환이 된다. 왜냐하면

(a + M )(b + M ) = ab + M = ba + M = (b + M )(a + M ), (1_R+ M )(a + M ) = 1_Ra + M = a + M, ^∀a + M, b + M ∈ R/M 이기 때문이다. 이제 a + M ∈ R/M, a /∈ M 이라고 하자. 집합

N := {ra + m | r ∈ R, m ∈ M } 은 덧셈 연산

(r1a + m1) + (r2a + m2) := (r1+ r2)a + (m1+ m2)

에 대해 군이 된다. 나아가 N 은 R의 부분환이 된다. 이제 임의의 b ∈ R에 대해 b(ra + m) = (br)a + bm ∈ N 에서 bN ⊂ N 이 됨으로 N 은 R의 아이디얼이다.

그리고 M N이다. M이 극대아이디얼이므로 N = R일 수 밖에 없다. 따라서 1_R= ca + m이 되는 c ∈ R, m ∈ M 이 존재한다. 그러면

1_R+ M = ca + m + M = ca + M = (c + M )(a + M )

에서 a + M 의 곱셈에 대한 역원이 존재함을 알 수 있다. 즉, a + M 은 단원이 된다.

그러므로 R/M 은 체가 된다.

역으로 R/M 이 체라고 하자. 그리고 준동형사상 γ : R → R/M, γ(a) := a + M 을 생각하자. 만일 N 이 M ⊂ N ⊂ R을 만족하는 아이디얼이면 γ(N )은 R/M 의 아이디얼이 된다. 그런데 R/M 은 체이므로 γ(N ) = R/M 이거나 γ(N ) = {0_R+ M } 이다. 따라서 N = R이거나 N = M 이다. 결국 M 은 R의 극대아이디얼이 된다.

Example 0.14. Z/nZ ' Zn이므로 Zn이 체가 되는 필요충분조건은 n이 소수가 되는 것이다.

Corollary 0.15. R이 단위원을 가지는 가환환일 때 R이 체가 되는 필요충분조 건은 R이 비자명진아이디얼을 가지지 않는 것이다.

Proof. R이 비자명진아이디얼을 가지지 않는다고 하자. 그러면 {0R}은 극대아이 디얼이 된다. 따라서 R/{0_R}은 체가 된다. 그런데 R/{0R} ' R이므로 R은 체이다.