2006학년도 2학기 서울대학교 조선해양공학과 이규열

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(1)전산 선박 설계 강의 교재 Part 3. 격자 구조(Grillage) 해석 방법을 이용한 선박 화물창 구조 해석. 2006학년도 2학기 서울대학교 조선해양공학과 이규열.

(2) 목차 Ch0. 배울 내용 소개 Ch1. 선수 학습 : 재료 역학5), Notation, 좌표축의 회전 변환 Ch2. 스프링 구조 해석. 1,2. Ch3. 트러스 구조 해석. 1,2. Ch4. 보 및 프레임(Frame) 구조 해석 Ch5. 격자 구조(Grillage) 해석 Ch6. 변위법과 응력법. 1,2. 2,3. 1,2,3,4,5. Ch7. 격자 구조(Grillage) 해석 방법을 이용한 선박 화물창 구조 해석 Ch8. 격자 구조(Grillage) 해석 프로그램 작성 Guide 참고자료 1: 박재형, “구조해석 꼭 어려워야 하나” , 기문당, 2006 2: Daryl L. Logan, “유한요소법의 첫걸음” 제2판, 시그마프레스, 1998 3: Robert E. Sennett, “매트릭스 구조해석”, 지성출판사, 1996 4: K.C. Rockey, H.R. Evans, “유한요소법”, 기문당, 1987 2/180. 5: S. Timochenko, 임상전 편저, “재료역학”, 문운당 2002 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(3) Ch0. 배울 내용 소개.

(4) Ch1. 선수 학습 : 재료 역학 ① 응력-변형율 관계. F δ =E A L. σ = Eε 변형율(ε) : 단위길이당 늘어난 길이. 압력=응력(σ) : 단위면적당 작용하는 힘. σ. σ yield. σ. 탄성 변형. δ. O. r. 탄성영역. a. γ. σ= Eε. L. c c’. d. ε. O dθ. F. c’ M. 순수 굽힘. F. dx. τ. 소성 변형. d2y EI 2 = M ( x) dx. M. τ b. ② 보의 처짐 방정식 (2계 미분 방정식). F. Tl θ= GJ. ③ 비틂-비틂각 관계 :. F. r. c. d. τ 4/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(5) Ch2.스프링. Ch3.트러스. k. 절점1. f1. f2. δ1. f1. δ2. M 1 ,θ1. Frame. δ2. f y1 , δ y1 f y2 ,δ y2. 절점2. Ch4.보. Ch4.프레임 f y1 , δ y1. EA L. δ1. 트러스+보. f x1 , δ x1. k=. 절점1. 절점2. f y2 ,δ y2. M 2 ,θ 2. Beam. M 2 ,θ 2. M 1 ,θ1. f x2 ,δ x2 비틂+보. Ch5.격자 구조 (Grillage) y. z. x. Mx1 θ x1. Mx2 θ x 2 Mz2 θ z 2. θ z1 Mz1 L. f y 1 δ y1 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU. f y2 δ y2. 5/180.

(6) Ch6. 변위법과 응력법 (예제). L 2. F. <응력법>. L 2. d2y EI 2 = M ( x) 를 두번 적분하여 y를 구함 dx. L. <변위법>. F. M1. M2. 다음과 같이 요소로 나눈 뒤 강성 매트릭스를 구성하여 풀이 M3 , θ 3. M1 , θ 1 절점1. 절점1. fy1. 절점2. fy2. fy1, δ y1. L 2. M3 , θ 3 절점3. fy3, δ y 3. fy3, δ y 3. M2 , θ 2 L 2. 절점2. fy2, δ y 2. 응력법과 변위법의 장단점 비교. 6/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(7) Ch7. 격자 구조 해석 방법을 이용한 선박 화물창 구조 해석 Step1. 화물창을 격자 구조 (Grillage)로 표현. ½ Hold. ①. ⑤ ④. ② ⑤. 1 Hold. ④ ③ ⑤. ½ Hold. y. z. x. ②. ①. Step2. 각 부재의 Property와 절점에 작용하는 힘과 모멘트 계산. ① Side Shell ② Side Longitudinal Bulkhead ③ Center Girder + Longitudinal Bulkhead. ①. ⑤ ④. ② ⑤. ④ Transverse Bulkhead. ④ ③ ⑤. ⑤ Transverse Floor. ②. ①. Step3. 격자 구조의 강성 방정식으로부터 각 절점의 변위 계산 ①. ② ④. ③ 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. ⑤ ④ ⑤. ⑤. ②. 7/180. ① NAOE/SNU.

(8) Ch8. 격자 구조(Grillage) 해석 프로그램 작성 Guide. Process. Input 절점의 좌표. Grillage Class. Node Class. 1. 각 요소마다 Grillage 강성 방정식을 세움. 경계 조건. 2. 강성 방정식을 중첩. 절점에 가해지는 힘과 모멘트 연결된 점 (i,j) Beam Property Beam 요소가 Global 좌표계와. Structure Class. 3. 경계 조건에 따라 알려진 값과 모르는 값을 구별. Output 변위. 힘 이루는 각 모멘트 Node Class NodeConnet Class 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 4. 알려진 힘과 모르는 변위만으로 구성된 강성 방정식을 세워 변위를 구함 5. 구한 변위를 중첩된 강성 매트릭스에 대입하여 미지의 힘과 모멘트를 구함 NAOE/SNU. 8/180.

(9) Ch1. 선수 학습. 1.1 응력과 변형도 관계식 1.2 보의 처짐 방정식 1.3 비틂힘(Torque)과 비틂각(θ)의 관계 1.4 절점 (Node) 1.5 Notation 1.6 좌표축의 회전 변환.

(10) 1.1 응력과 변형율의 관계. ① 힘은 압력(σ)과 면적의 곱으로 표현. F =σ ⋅A. F σ= A. ③ δ를 길이 L로 나누어 주어도 여전히 비례 관계를 만족한다.. F δ ∝ A L. ② 어떤 재료를 힘을 주어 당기면 늘어난다. ④ 비례상수 E를 사용하여 관계식으로 나타내면,. L. F δ =E A L. σ = Eε. σ 변형율(ε) : 단위길이당 늘어난 길이. δ 이 때, 늘어난 길이는 압력에 비례. 압력=응력(σ) : 단위면적당 작용하는 힘. F σ = ∝δ A 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 10/180 NAOE/SNU.

(11) 1.1 응력과 변형율의 관계 ⑤ E는 실험을 통해 탄성 영역 내에서 구하게 된다.. σ. 200GPa = 200 × 10 9 Pa 탄성영역. = 200 × 10 9 N / m 2. ※탄성 영역 : 인장 후 힘을 없애면 원래 길이로 돌아감. σ= Eε. σ yield. ex) 강철의 탄성 계수. = 200 × 10 3 N / mm 2. (E: 탄성 계수). 탄성 변형. ※ σ yield (항복응력) : 탄성영역 내에서 가장 큰 응력. 소성 변형. ε ex) Mild Steel의 허용 응력과 탄성계수가 다음과 같을 때, 탄성영역 내에서 1m 봉이 최대로 늘어날 수 있는 길이는?. σ all = 235 N / mm 2 E = 185GPa = 185 × 10 3 N / mm 2 sol). ε=. σ E. =. 235 × 10 −3 = 1.27 ×10 −3 185. (σ = Eε ). 즉, 1.27mm 이상 늘어날 경우 허용 응력을 넘어선다.. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 11/180 NAOE/SNU.

(12) 1.2 보의 처짐 방정식 – 보 속의 굽힘 응력1) 1) S. Timochenko, 임상전 편저, “재료역학”, 문운당 2002 , pp 154~159. y F 보 속의 굽힙 응력1) 순수 굽힘 상태 : 전단력 없이 모멘트만 존재 상태 (빗금친 부분). F x. M. M F. F. 1. ① ρ dθ = dx. ρ. =. dθ dx. ② 중립면에서 y만큼 떨어진 곳의 변형율 (ε x ). cd ' = dx : 원래길이 dd ' = ydθ : 늘어난 길이. εx =. 늘어난길이 ydθ y = = 원래길이 dx ρ. ③ 중립면에서 y만큼 떨어진 곳의 응력 (σ x ). σ x = Eε x =. Ey. ρ 12/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(13) 1.2 보의 처짐 방정식 – 보 속의 굽힘 응력1) 1) S. Timochenko, 임상전 편저, “재료역학”, 문운당 2002 , pp 154~159. ④ 단면에 작용하는 힘 :. dF = σ x dA =. E. ρ. ydA. 중립면. y dA <보의 단면>. ⑤ 단면에 작용하는 모멘트 : 미소면적에 작용하는 힘에 거리를 곱하여 적분. M = ∫ ydF = ∫ y ⋅ A. I = ∫ y 2 dA A. M =. EI. ρ. A. E. ρ. ydA =. E. ρ. ∫. A. y 2 dA. 라고 정의 하면( I : 2차모멘트). M 1 = EI ρ. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 13/180 NAOE/SNU.

(14) 1.2 보의 처짐 방정식 - 탄성선의 미분 방정식1) 1) S. Timochenko, 임상전 편저, “재료역학”, 문운당 2002 , pp 265~267. C. y. ③ ①과 ②의 결과에서 다음 식을 얻는다.. d2y 1 = 2 ρ dx. dθ. ρ. 2 M d y M ④ = = ± 이므로, ρ EI dx 2 EI. 1. ds O. x. θ x. dx. dθ. ① 호의 길이는 각과 반지름의 곱 dθ 1 = ρ dθ = ds ds ρ. ⑤ 한편 좌표계를 그림과 같이 잡을 경우, 2계 미분값이 (+)이면 아래로 볼록한 모양, (-)이면 위로 볼록한 모양이된다. 즉 왼쪽 그림과 같이 아래로 볼록한 모양인 경우, (+)의 모멘트가 발생함을 알 수 있다. 따라서,. d2y M = dx 2 EI. 탄성선의 미분방정식. ② ds ≈ dx , θ ≈ dy / dx 라고 가정. dθ d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dy ⎞ d 2 y = ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= 2 ds ds ⎝ dx ⎠ dx ⎝ dx ⎠ dx 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. ※ 재료역학 교재에는 y축의 방향이 아래쪽으로 향하고 있기 때문에 부호가 달라짐. d2y M = − dx 2 EI. 14/180 NAOE/SNU.

(15) 1.3 비틂힘(Torque)과 비틂각(θ)의 관계1) 1) S. Timochenko, 임상전 편저, “재료역학”, 문운당 2002 , pp 97~102. ①. O. r a. γ. ② γ≪1이라면, 다음이 성립. τ. dx. b c. c’. cc' = rdθ. tan γ ≈ γ =. d. τ. cc' rdθ = ac' dx. dθ = φ 라고 정의하면, ( φ :단위길이당 비틂각) dx. ③. γ = rφ ④ 전단응력(τ)과 전단에 의한 변형각(Υ)은 비례관계. O. 비례상수(G)를 도입하면, (G:전단탄성계수). dθ. c’. r. τ = Gγ = Grφ ※ 응력-변형율의 관계와 동일. c. d. τ. σ = Eε 15/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(16) 1.3 비틂힘(Torque)과 비틂각(θ)의 관계1) 1) S. Timochenko, 임상전 편저, “재료역학”, 문운당 2002 , pp 97~102. ⑤ 중심에서 ρ만큼 떨어진 곳에서의 전단응력. τ = Gρφ ⑥ 미소면적(dA)에 작용하는 전단력과 모멘트. O ρ. r. ☞ 전단력 : τ dA = Gρφ dA. ☞ 모멘트 : (거리) × (힘) = ρ × τ dA = Gφρ 2 dA d. c. τ. ⑦ 단면 전체에 작용하는 모멘트. T = ∫ Gφρ 2 dA = Gφ ∫ ρ 2 dA = Gφ J A. A. ※ J : 극2차 모멘트. ⎛⎜ J = ρ 2 dA ⎞⎟ ∫A ⎠ ⎝. ⑧ φ 는 단위 길이당 비틂각 이므로, 길이 l 인 부재가 받는 총모멘트는. θ =φl T = Gφ J =. θ=. GJ θ l. Tl GJ. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 16/180 NAOE/SNU.

(17) 1.4 절점 (Node) k. 절점1. 절점2. f1. f2. δ1. 절점 : 평형 방정식이 세워지고 변위가 구해지는 점 (일반적으로 부재의 교차점이나 힘이 작용하는. δ2. ex1). 점, 변위를 구하고자 하는 점이 절점이 된다.) ex2). 1tonf. y. 절점3. 100cm. x 부재2. 부재1. z. 22kN 부재2. 부재1. y. 3m. 절점1 절점2. x. 3m. 절점1. 절점3. 절점2. 100cm 17/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(18) 1.5 Notation f p2 δ p2. Local Coordinate : pqr좌표계. Global Coordinate : xyz좌표계. 절점2. q. 절점2. f q2 δ q2. p. 절점1. f x2 δ x2. q. f y2 δ y2. p. 절점1. δ p1 f p1. δ x1 f x1 f q1 δ q1. y. f y1 δ y 1. y. x. x Moment : 다음 그림에서 나타나는 방향이 양의 부호 θ1 θ2. y. 절점1. x. 절점2 18/180. z. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(19) 1.5 Notation Global Coordinate와 이루는 각도 : 절점의 번호가 낮은 곳을 기준으로 반시계 방향으로 기울어진 각도를 측정함. θ 절점2. 절점1. θ. 절점1. 절점2. y. y x. x. θ. 절점1 절점2. θ y. y x. 절점1. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 절점2. x. 19/180 NAOE/SNU.

(20) 1.6 회전 변환 행렬 – 점의 회전 이동 좌표평면 위 한 점의 회전이동. ② 점 A의 좌표를 각으로 표현하면,. x 2 = r cos(α + θ ). y. y 2 = r sin(α + θ ). A(x2,y2) θ. r r. A’(x1, y1). ③ 삼각함수의 합공식으로 전개하면,. x 2 = r cos α cos θ − r sin α sin θ = (r cos α ) cos θ − (r sin α ) sin θ. α. = x1 cos θ − y1 sin θ. x. y 2 = r sin α cos θ + r cos α sin θ = (r sin α ) cos θ + (r cos α ) sin θ ① 삼각함수 합공식. = y1 cos θ + x1 sin θ. sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β ) = cos α cos β − cos α cos β. ④ 행렬로 표현하면,. ⎡ x 2 ⎤ ⎡cos θ ⎢ y ⎥ = ⎢ sin θ ⎣ 2⎦ ⎣. − sin θ ⎤ ⎡ x1 ⎤ cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ y1 ⎥⎦ 20/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(21) 1.6 회전 변환 행렬 – 좌표축의 회전 이동 좌표축의 회전변환 : xy좌표계가 pq좌표계로 θ만큼 회전하였을 때, 점 A의 좌표 좌표축이 θ만큼 회전 q. θ. 점A가 -θ만큼 회전 y. y. q. A(x1,y1). A(x1,y1). A’(p1,q1). θ. θ. A’(p1,q1). p. x. x. (-θ)만큼 회전 변환한 점의 좌표. ※ 점의 회전이동. ⎡ x 2 ⎤ ⎡cos θ ⎢ y ⎥ = ⎢ sin θ ⎣ 2⎦ ⎣. p. − sin θ ⎤ ⎡ x1 ⎤ cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ y1 ⎥⎦. ⎡ p1 ⎤ ⎡cos(−θ ) − sin( −θ )⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ cos θ ⎢ q ⎥ = ⎢ sin( −θ ) cos(−θ ) ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢− sin θ ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ ⎣ 1⎦ ⎣. sin θ ⎤ ⎡ x1 ⎤ cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ y1 ⎥⎦ 21/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(22) 1.6 회전 변환 행렬 –좌표축 회전 이동 z축을 기준으로 좌표축을 θ만큼 회전. y. 좌표축 회전변환 행렬의 3차원 확장 (xyz → pqr). ⎡ p1 ⎤ ⎡ cos θ ⎢ q ⎥ = ⎢− sin θ ⎣ 1⎦ ⎣. sin θ ⎤ ⎡ x1 ⎤ cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ y1 ⎥⎦. ⎡ p1 ⎤ ⎡ cos θ ⎢ q ⎥ = ⎢− sin θ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎢⎣ r1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0. sin θ cos θ. ⎡ p1 ⎤ ⎡ cos θ ⎢q ⎥ = ⎢ 0 ⎢ 1⎥ ⎢ ⎢⎣ r1 ⎥⎦ ⎢⎣− sin θ. 0 sin θ ⎤ ⎡ x1 ⎤ 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢ y1 ⎥⎥ : y축을 기준으로 회전변환 0 cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ z1 ⎥⎦. 0. 0 ⎡ p1 ⎤ ⎡1 ⎢ q ⎥ = ⎢0 cos θ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎢⎣ r1 ⎥⎦ ⎢⎣0 − sin θ. 0⎤ ⎡ x1 ⎤ 0⎥⎥ ⎢⎢ y1 ⎥⎥ : z축을 기준으로 회전변환 1⎥⎦ ⎢⎣ z1 ⎥⎦. θ. p θ x. r. y축을 기준으로 좌표축을 θ만큼 회전. q. y. p. x. z. z. θ. θ x. r. x축을 기준으로 좌표축을 θ만큼 회전. 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ sin θ ⎥⎥ ⎢⎢ y1 ⎥⎥ : x축을 기준으로 회전변환 cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ z1 ⎥⎦. y. z 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. x. z. y. q. y. q. x NAOE/SNU. z. θ θ. r. p22/180.

(23) 1.6 회전 변환 행렬 –좌표축 회전 이동. f2. fq2 fp2. q. xy좌표계와 pq좌표계의 관계식. sin θ. 0. cos θ 0. 0 cos θ. 0. − sin θ. y. fq1. f1. 절점1의 좌표축을 (θ)만큼 회전이동. ⎡ f p1 ⎤ ⎡ cos θ ⎢f ⎥ ⎢ ⎢ q1 ⎥ = ⎢− sin θ ⎢ f p2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ f q 2 ⎥⎦ ⎣ 0. p. 0 ⎤ ⎡ f x1 ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎢ f y1 ⎥ sin θ ⎥ ⎢ f x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ cos θ ⎦ ⎢⎣ f y 2 ⎥⎦. fp1. fq1sinθ. fq1. θ. fq1cosθ. θ fp1cosθ. fp1 fp1sinθ x. 절점2의 좌표축을 (θ)만큼 회전이동. 3차원으로 확장예. z축을 기준으로 회전변환 ⎡ f p1 ⎤ ⎡ cos θ ⎢ f ⎥ ⎢− sin θ ⎢ q1 ⎥ ⎢ ⎢ M r1 ⎥ ⎢ 0 ⎥=⎢ ⎢ f ⎢ p2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ fq2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎣⎢ M z 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 0. sin θ cos θ 0 0 0 0. 0 0. 0 0. 1 0 0 cos θ 0 − sin θ 0 0. 0 0 0 sin θ cos θ 0. 0⎤ ⎡ f x1 ⎤ 0⎥⎥ ⎢⎢ f y1 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎢ M z1 ⎥ ⎥ ⎥⎢ 0⎥ ⎢ f x 2 ⎥ 0⎥ ⎢ f y 2 ⎥ ⎥ ⎥⎢ 1⎦⎥ ⎣⎢ M z 2 ⎦⎥. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 23/180 NAOE/SNU.

(24) Ch2. 스프링 구조 해석 2.1 스프링의 힘과 변위 관계 2.2 스프링의 선형성 2.3 1차원 단일 스프링 - 강성 방정식 유도 2.4 1차원 단일 스프링 - 강성 방정식의 분석 2.5 1차원 복수 스프링의 강성 방정식 유도 2.6 1차원 복수 스프링 – 중첩의 원리 2.7 1차원 복수 스프링 - 강성 방정식의 분석 2.8 2차원 스프링의 힘과 변위와의 관계 2.9 2차원 스프링 요소의 중첩 2.10 변위법에 따른 스프링 해석 예제 2.11 강성 매트릭스 각 성분의 의미.

(25) 2.1 스프링의 힘과 변위 관계. Hooke’s Law. k. : 힘은 변위에 비례. f = kδ f : 힘(하중) k : 스프링 상수. δ. f=kδ. : 변위. δ k. 절점1. f1. 절점2. f2. δ1. δ2. 스프링 요소 : 축방향의 힘에 의해서만 변형이 일어남. 수직방향의 힘에 대해서는 변형이 없음 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 25/180 NAOE/SNU.

(26) 2.2 스프링의 선형성 선형성(Linearity)의 정의. L ( v1 + v 2 ) = L ( v 1 ) + L ( v 2 ). ( α : Scalar). L(α v1 ) = α ⋅ L( v1 ) 위 두 가지 성질을 만족하면 ‘선형성이 있다’고 함. 스프링의 선형성 ( α : Scalar). f (δ1 ) = kδ1 , f (δ 2 ) = kδ 2. f (δ1 ) = kδ1. f (δ1 ) + f (δ 2 ) = kδ1 + kδ 2 = k (δ1 + δ 2 ). f (α ⋅ δ1 ) = k (αδ 1 ) = kαδ 1. f (δ1 + δ 2 ) = k (δ1 + δ 2 ) ∴ f (δ1 + δ 2 ) = f (δ1 ) + f (δ 2 ). = α (kδ1 ) = α ⋅ f (δ1 ) ∴ f (α ⋅ δ1 ) = α ⋅ f (δ1 ) 26/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(27) 2.3 1차원 단일 스프링 - 강성 방정식 유도 k. 절점1. 변위법의 적용. 절점2. f1. f2. δ1 ① 절점 1을 고정할 경우 (δ1=0) 절점1. ② 절점 2를 고정할 경우 (δ2=0). k. 절점2. f1. f2. δ1=0. f 1 = −kδ 2. δ2. k. 절점1. f1. f2. δ2. f 2 = kδ 2. ③ 절점을 모두 고정하지 않을 경우. f 1 = kδ 1 − kδ 2 = k (δ 1 − δ 2 ). 절점2. δ2=0. δ1. f 1 = kδ 1. f 2 = −kδ 1. 강성 매트릭스. Matrix Form. f 2 = − kδ 1 + kδ 2 = k (δ 2 − δ 1 ) 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. ⎡ f1 ⎤ ⎡ k ⎢ f ⎥ = ⎢− k ⎣ 2⎦ ⎣. − k⎤ k ⎥⎦. ⎡δ 1 ⎤ ⎢δ ⎥ ⎣ 2⎦. [ f ] = [K ][δ ] (강성 방정식). 27/180. NAOE/SNU.

(28) 2.4 1차원 단일 스프링 - 강성 방정식의 분석 강성 매트릭스. f1 = k (δ1 − δ 2 ). Matrix Form. f 2 = k (δ 2 − δ1 ). − k⎤ k ⎥⎦. ⎡ f1 ⎤ ⎡ k ⎢ f ⎥ = ⎢− k ⎣ 2⎦ ⎣. ⎡δ 1 ⎤ ⎢δ ⎥ ⎣ 2⎦. k. 절점1. f1. 절점2. f2. δ1. δ2. 윗 식을 아래 식에 더함. f1 = k (δ1 − δ 2 ). f1 + f 2 = 0. Matrix Form. ⎡ f1 ⎤ ⎡k − k ⎤ ⎡δ1 ⎤ ⎢ f + f ⎥ = ⎢ 0 0 ⎥ ⎢δ ⎥ ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 1 2⎦ ⎣. 절점2. f1. f2 δ1. 강성 방정식의 의미. δ2. f1과 f2는 크기는 같고 방향은 반대 (힘 두개 중 하나만 주어지면 됨). 1) 강성 매트릭스의 역행렬이 존재하지 않음 (Determinant=0). δ1 , δ 2 의 차이만 일정하면 됨. 2) 방정식의 해가 무수히 많음 ( 미지수의 개수, 2개 > 식의 개수, 1개). f1 = k (δ1 − δ 2 ). δ1 , δ 2. k. 절점1. 3) 해를 구하기 위해서는 δ1 , δ 2 중에 하나가 주어져야 함 (구속 조건 부여) 절점1. k. 절점2. f1. f2. δ1=0. δ2. 절점 1을 구속 ( 1=0)”, 2006학년도 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계 2006학년도 2학기. δ. ⎡ f1 ⎤ ⎡ k ⎢ f ⎥ = ⎢− k ⎣ 2⎦ ⎣. − k⎤ k ⎥⎦. ⎡ f1 ⎤ ⎡ k ⎢ f ⎥ = ⎢− k ⎣ 2⎦ ⎣. ⎡0⎤ ⎢δ ⎥ ⎣ 2⎦ − k⎤ ⎡ 0 ⎤ k ⎥⎦ ⎢⎣δ 2 ⎥⎦ NAOE/SNU. f 2 = kδ 2. δ2 =. f2 k. 대입. f1 = −kδ 2 28/180.

(29) 2.5 1차원 복수 스프링의 강성 방정식 유도 (1) ka f1 절점1. δ1. kb. f2. f3 δ2. 절점2. δ3. 절점3. ① 절점 1,2가 고정일 경우 (δ1= δ2=0). 1 f1=0 δ1=0. f1 = 0. ka. f2. kb 2. δ2=0. f 2 = −k bδ 3. 3. f3. δ3. f 3 = k bδ 3. 변위 δ3이 발생했을 때, 절점 1,2가 고정이므로 절점력은 절점 2,3에서만 발생한다.. 29/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(30) 2.5 1차원 복수 스프링 - 강성 방정식 유도 (2) ka f1 절점1. δ1. kb. f2. f3 δ2. 절점2. δ3. 절점3. ② 절점 2,3이 고정일 경우 (δ2= δ3=0) f1. ka. 1. 2. δ1. f1 = k aδ 1. f2. δ2=0. f 2 = −k aδ 1. kb. 3 f3=0 δ3=0. f3 = 0. 변위 δ1이 발생했을 때, 절점 2,3이 고정이므로 절점력은 절점 1,2에서만 발생한다.. 30/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(31) 2.5 1차원 복수 스프링 - 강성 방정식 유도 (3) ka f1 절점1. δ1. kb. f2. f3 δ2. 절점2. δ3. 절점3. ③ 절점 1,3이 고정일 경우 (δ1= δ3=0) f1. 1. ka. 2. δ1=0. f1 = −k a δ 2. f2. kb. δ2. f 2 = k aδ 2 + k bδ 2. 3. δ3=0. f 3 = −kbδ 2. = (k a + k b )δ 2 변위 δ2가 발생했을 때, 절점 2,3은 고정이고, 절점력은 모든 절점에서 발생한다.. 31/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(32) 2.5 1차원 복수 스프링 - 강성 방정식 유도 (4) f 1 = k aδ 1 − k aδ 2. ① 절점 1,2가 고정일 경우 (δ1= δ2=0) ka. 1. f2. δ1=0. kb. 2. δ2=0 f 2 = −k bδ 3. f1 = 0. f3. 3. δ3. ka. 1. f2. 2. Matrix Form. kb. 3 f3=0. δ1. δ3=0 f3 = 0. δ2=0 f 2 = −k aδ 1. f1 = k aδ 1. f 3 = − kbδ 2 + kbδ 3. f 3 = k bδ 3. ② 절점 2,3이 고정일 경우 (δ2= δ3=0) f1. f 2 = − k aδ 1 + ( k a + k b )δ 2 − k bδ 3. 강성 매트릭스. ⎡ f1 ⎤ ⎡ k a − k a ⎢ f ⎥ = ⎢− k ka + kb ⎢ 2⎥ ⎢ a ⎢⎣ f 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 − kb. 0 ⎤ ⎡δ1 ⎤ − k b ⎥ ⎢δ 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ k b ⎥⎦ ⎢⎣δ 3 ⎥⎦. ③ 절점 1,3이 고정일 경우 (δ1= δ3=0) f1. ka 1. 2. f2. kb. 3. δ3=0 δ1=0 δ2 f1 = −k a δ 2 f 2 = k a δ 2 + k bδ 2 f 3 = − kbδ 2. [ f ] = [ K ][δ ] (강성 방정식). = (k a + k b )δ 2 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 32/180 NAOE/SNU.

(33) 2.6 1차원 복수 스프링 – 중첩의 원리 (1) ka. 절점1. f1. f2 δ1. δ2. kb. 절점2. 0 ⎤ ⎡δ1 ⎤ ⎡ f1 ⎤ ⎡0 0 ⎢ f ⎥ = ⎢0 k −k ⎥ ⎢δ ⎥ b b⎥⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢⎣ f 3 ⎥⎦ ⎢⎣0 −kb kb ⎥⎦ ⎢⎣δ 3 ⎥⎦. 절점3. f2. f3 δ2. ka δ1. δ3. kb. f2. f1 절점1. ⎡ f1 ⎤ ⎡ ka −ka 0⎤ ⎡δ1 ⎤ ⎢ f ⎥ = ⎢−k k 0⎥ ⎢δ ⎥ a ⎢ 2⎥ ⎢ a ⎥⎢ 2⎥ ⎢⎣ f 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦ ⎢⎣δ3 ⎥⎦. 절점2. 절점2. f3 δ2. 절점3. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. δ3. ⎡ f1 ⎤ ⎡ k a − k a ⎢ f ⎥ = ⎢− k ka + kb ⎢ 2⎥ ⎢ a ⎢⎣ f 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 − kb. 0 ⎤ ⎡δ1 ⎤ − k b ⎥ ⎢δ 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ k b ⎥⎦ ⎢⎣δ 3 ⎥⎦. 33/180 ※ 스프링의 선형성 때문에 중첩 가능 NAOE/SNU.

(34) 2.6 1차원 복수 스프링 – 중첩의 원리 (2) ex) 스프링의 각 절점에서의 변위와 힘의 관계를 나타내는 강성 방정식을 구하시오.. ka. f2. f1 절점1. ⎡ f1 ⎤ ⎡ k a ⎢ f ⎥ ⎢− k ⎢ 2⎥ = ⎢ a ⎢ f3 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ f4 ⎦ ⎣ 0. δ1 − ka ka 0 0. ⎡ f1 ⎤ ⎡ k a ⎢ f ⎥ ⎢− k ⎢ 2⎥ = ⎢ a ⎢ f3 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ f4 ⎦ ⎣ 0. kb. δ2. 절점2. 0 0⎤ ⎡δ 1 ⎤ 0 0⎥⎥ ⎢⎢δ 2 ⎥⎥ 0 0⎥ ⎢δ 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 0⎦ ⎣δ 4 ⎦. − ka ka + kb − kb 0. 0 − kb kb + kc − kc. 0 ⎤ 0 ⎥⎥ − kc ⎥ ⎥ kc ⎦. f3. 0 − kb kb 0. f4 δ3. 절점3. 0 ⎡ f 1 ⎤ ⎡0 ⎢ f ⎥ ⎢0 k b ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎢ f 3 ⎥ ⎢0 − k b ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎣ f 4 ⎦ ⎣0. kc. 0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦. ⎡δ 1 ⎤ ⎢δ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢δ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣δ 4 ⎦. δ4. 절점4. ⎡ f 1 ⎤ ⎡0 ⎢ f ⎥ ⎢0 ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎢ f 3 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ f 4 ⎦ ⎣0. 0 0. 0 0. 0 kc 0 − kc. 0 ⎤ ⎡δ 1 ⎤ 0 ⎥ ⎢δ 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ − k c ⎥ ⎢δ 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ k c ⎦ ⎣δ 4 ⎦. ⎡δ 1 ⎤ ⎢δ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢δ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣δ 4 ⎦ 34/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(35) 2.7 1차원 복수 스프링 - 강성 방정식의 분석. 강성 매트릭스. ⎡ f1 ⎤ ⎡ ka − ka ⎢ f ⎥ = ⎢− k ⎢ 2 ⎥ ⎢ a ka + kb ⎢⎣ f 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 − kb. f1 = k a (δ1 − δ 2 ) f 2 = − k aδ 1 + ( k a + k b )δ 2 − k bδ 3 f 3 = kb (δ 3 − δ 2 ). ka. 첫번째, 세번째 식을 두번째 식에 더해줌. 절점 1. f1 = k a (δ1 − δ 2 ) f1 + f 2 + f 3 = 0 (힘 세 개 중 두 개만 주어지면 됨) f 3 = kb (δ 3 − δ 2 ). δ1. kb. f2. f1 절점 2. 0 ⎤ ⎡δ1 ⎤ − kb ⎥⎥ ⎢⎢δ 2 ⎥⎥ kb ⎥⎦ ⎢⎣δ 3 ⎥⎦ f3. δ2. 절점 3. δ3. 강성 방정식의 의미 1) 강성 매트릭스의 역행렬이 존재하지 않음 (Determinant=0) 2) 방정식의 해가 무수히 많음 ( 미지수의 개수, 3개 > 식의 개수, 2개). δ1 , δ 2 , δ 3. f1 = k a (δ1 − δ 2 ) , f 3 = kb (δ 3 − δ 2 ). 3) 해를 구하기 위해서는 세 변위 중 두 개와 힘 하나가 주어져야 함 (구속 조건 부여). f1. 1. ka. 2. δ1=0. f2. kb. 3. δ2 35/180. 절점 3을 구속 ( 3=0) 절점 1을 구속 ( =0) 서울대학교 조선해양공학과 학부 31학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. δ. δ. NAOE/SNU.

(36) 2.8 2차원 스프링의 힘과 변위와의 관계(1) 2차원 스프링 • 평면 상의 임의의 위치에 놓여진 스프링 • 항상 1차원의 단일 선상에 존재하는 것이 아님 • 작용하는 힘도 스프링에 수평 방향으로만 작용하지 않음 • Global Coordinate와 Local Coordinate의 도입이 필요. y. f2 Step1. Local Coordinate(pq좌표계)에서 힘과 q. 변위와의 관계를 강성 매트릭스로 표현. p. Step2. Global Coordinate(xy좌표계)와 Local. θ. f1. coordinate의 관계를 구함 Step3. Global Coordinate에서의 힘과 변위의. x. 관계를 나타내는 강성 매트릭스를 구함 36/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(37) 2.8 2차원 스프링의 힘과 변위와의 관계(2) y. f2. Step1. Local Coordinate(pq좌표계)에서 힘과 q. 변위와의 관계를 강성 매트릭스로 표현. p. δ pi. : 절점 i에서 p축 방향의 변위. δ qi. : 절점 i에서 q축 방향의 변위. θ. f1. Notation : pq 좌표계의 변위. x fq2. pq 좌표계의 작용힘. fp2. f pi : 절점 i에서 p축 방향의 힘. ⎡ f p1 ⎤ ⎡ k ⎢f ⎥ ⎢ ⎢ q1 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ f p 2 ⎥ ⎢− k ⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎢ f q 2 ⎦⎥ ⎣ 0. 0 −k 0 0. 0 k. 0. 0. 0⎤ ⎡δ p1 ⎤ ⎢ ⎥ 0⎥⎥ ⎢ δ q1 ⎥ 0⎥ ⎢δ p 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0⎦ ⎣⎢δ q 2 ⎦⎥. q. p. δ p2. fq1. f1. f qi : 절점 i에서 q축 방향의 힘. f2. fp1. δ p1. ①. [F pq ] = [K pq ][δ pq ] 37/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(38) 2.8 2차원 스프링의 힘과 변위와의 관계(3). f2. fq2 fp2. q. Step2. Global Coordinate(xy좌표계)와 Local. p. y. f1. coordinate의 관계를 구함 (1) 작용힘의 관계. fq1sinθ. fp1. fq1. fp1의 분해. fq1의 분해. x축 : f p1 cos θ. x축 : − f q1 sin θ. y축 : f q1 sin θ. y축 : f q1 cos θ. x축 : f x1 = f p1 cos θ − f q1 sin θ. x축 : f x 2 = f p 2 cos θ − f q 2 sin θ. y축 : f y1 = f p1 sin θ + f q1 cos θ. y축 : f y 2 = f p 2 sin θ + f q 2 cos θ. 0. cos θ 0. 0 cos θ. 0. sin θ. θ. ⎤ ⎡ f p1 ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎢ f q1 ⎥ − sin θ ⎥ ⎢ f p 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ cos θ ⎦ ⎣⎢ f q 2 ⎦⎥ 0. 역행렬 곱해줌. ⎡ f p1 ⎤ ⎡ cos θ ⎢f ⎥ ⎢ ⎢ q1 ⎥ = ⎢− sin θ ⎢ f p2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎢ f q 2 ⎦⎥ ⎣ 0 ②. x. 좌표축의 회전변환행렬. sin θ. 0. cos θ 0. 0 cos θ. 0. − sin θ. [F pq ] = [T][Fxy ] 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. fp1 fp1sinθ. fp1cosθ. 절점 2에 작용하는 힘의 분해. − sin θ. fq1cosθ. θ. Total force in Global Coordinate. ⎡ f x1 ⎤ ⎡cos θ ⎢f ⎥ ⎢ ⎢ y1 ⎥ = ⎢ sin θ ⎢ f x2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎢ f y 2 ⎦⎥ ⎣ 0. f1. fq1. NAOE/SNU. 0 ⎤ ⎡ f x1 ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎢ f y1 ⎥ sin θ ⎥ ⎢ f x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ cos θ ⎦ ⎣⎢ f y 2 ⎦⎥ 38/180.

(39) δq2. 2.8 2차원 스프링의 힘과 변위와의 관계(4) q. Step2. Global Coordinate(xy좌표계)와 Local coordinate의 관계를 구함. δp2. p. y. δq1 δp1. δq1 sinθ. (2) 변위의 관계 δp1의 분해. δq1의 분해. x축 : δ p1 cos θ. x축 : − δ q1 sin θ. y축 : δ p1 sin θ. y축 : δ q1 cos θ. δq1. x축 : δ x1 = δ p1 cos θ − δ q1 sin θ. x축 : δ x 2 = δ p 2 cos θ − δ q 2 sin θ. y축 : δ y1 = δ p1 sin θ + δ q1 cos θ. y축 : δ y 2 = δ p 2 sin θ + δ q 2 cos θ. 0. cos θ 0. 0 cos θ. 0. sin θ. δp1sinθ. δp1 cosθ. 절점 2에 작용하는 힘의 분해. − sin θ. δp1. θ. Total force in Global Coordinate. ⎡ δ x1 ⎤ ⎡cos θ ⎢δ ⎥ ⎢ ⎢ y1 ⎥ = ⎢ sin θ ⎢δ x 2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎢δ y 2 ⎦⎥ ⎣ 0. θ. δq1 cosθ. ⎤ ⎡δ p1 ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎢ δ q1 ⎥ − sin θ ⎥ ⎢δ p 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ cos θ ⎦ ⎣⎢δ q 2 ⎦⎥ 0. 역행렬 곱해줌. ⎡δ p1 ⎤ ⎡ cos θ ⎢δ ⎥ ⎢ ⎢ q1 ⎥ = ⎢− sin θ ⎢δ p 2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎢δ q 2 ⎦⎥ ⎣ 0 ③. 좌표축의 회전변환행렬. sin θ. 0. cos θ 0. 0 cos θ. 0. − sin θ. [δ pq ] = [T][δ xy ] 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. x. NAOE/SNU. 0 ⎤ ⎡ δ x1 ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎢δ y1 ⎥ sin θ ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ cos θ ⎦ ⎣⎢δ y 2 ⎦⎥ 39/180.

(40) 2.8 2차원 스프링의 힘과 변위와의 관계(5) Step3. Global Coordinate에서의 힘과 변위의 관계를 나타내는 강성 매트릭스를 구함. [T][Fxy ] = [K pq ][T][δ xy ]. ① [F pq ] = [K pq ][δ pq ] ② [F pq ] = [T][Fxy ]. ③ [δ pq ] = [T][δ xy ] δy2 fy2. y. [Fxy ] = [T]T [K pq ][T][δ xy ]. f2 fx2. δy1. δx2. fy1. f1. fx1. θ. [T] −1 = [T]T 을 곱함. δx1. x. ⎡ f x1 ⎤ ⎡ C2 ⎢f ⎥ ⎢ 1 y ⎢ ⎥ = k ⎢ CS ⎢ f x2 ⎥ ⎢− C 2 ⎢ ⎥ ⎢ f ⎢⎣ y 2 ⎥⎦ ⎣⎢− CS. CS S2 − CS − S2. −C2 − CS C2 CS. C:cos S:sin. − CS ⎤ ⎡ δ x1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − S 2 ⎥ ⎢ δ y1 ⎥ CS ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ S 2 ⎦⎥ ⎢⎣δ y 2 ⎥⎦. [Fxy ] = [K xy ][δ xy ] 40/180 2차원 스프링 요소의 강성 방정식. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(41) 2.9 2차원 스프링 요소의 중첩. C:cos S:sin. ex) 스프링의 각 절점에서의 변위와 힘의 관계를 나타내는 강성 방정식을 구하시오. f2. y. (1) 왼쪽 스프링의 강성 방정식 절점2. ka. kb. θ1. θ2. f1. Cθ1 Sθ1. − C 2θ1. S 2θ1. − Cθ1 Sθ1. − Cθ1 Sθ1 − S 2θ1. C 2θ1 Cθ1 Sθ1. − Cθ1 Sθ1 ⎤ ⎡ δ x1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − S 2θ1 ⎥ ⎢δ y1 ⎥ Cθ1 Sθ1 ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ S 2θ1 ⎥⎦ ⎢⎣δ y 2 ⎥⎦. (2) 오른쪽 스프링의 강성 방정식 절점3. 절점1. f3. (3) 두 스프링의 중첩. ⎡ f x1 ⎤ ⎡ k a C 2θ1 ⎢f ⎥ ⎢ ⎢ y1 ⎥ ⎢ k a Cθ1 Sθ1 ⎢ f x 2 ⎥ ⎢ − k a C 2θ1 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ f y 2 ⎥ ⎢− k a Cθ1 Sθ1 ⎢ f x3 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎣⎢ f y 3 ⎦⎥ ⎣⎢. ⎡ f x1 ⎤ ⎡ C 2θ1 ⎢f ⎥ ⎢ 1 y ⎢ ⎥ = k ⎢ Cθ1 Sθ1 a ⎢ f x2 ⎥ ⎢ − C 2θ1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ f y 2 ⎥⎦ ⎢⎣− Cθ1 Sθ1. x. ⎡ f x2 ⎤ ⎡ C 2θ 2 ⎢f ⎥ ⎢ y 2 ⎢ ⎥ = k ⎢ Cθ 2 Sθ 2 b ⎢ f x3 ⎥ ⎢ − C 2θ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ f y 3 ⎥⎦ ⎢⎣− Cθ 2 Sθ 2. Cθ 2 Sθ 2. − C 2θ 2. S 2θ 2. − Cθ 2 Sθ 2. − Cθ 2 Sθ 2 − S 2θ 2. C 2θ 2 Cθ 2 Sθ 2. k a Cθ1 Sθ1 k a S 2θ1 − k a Cθ Sθ1. − k a C 2θ1 − k a Cθ1 Sθ1 k a C 2θ1 + k b C 2θ 2. − k a Cθ1 Sθ1 − k a S 2θ1 k a Cθ1 Sθ1 + k b Cθ 2 Sθ 2. 0 0 − k b C 2θ 2. − k a S 2θ1 0 0. k a Cθ1 Sθ1 + k b Cθ 2 Sθ 2 − k b C 2θ 2 − k b Cθ 2 Sθ 2. k a S 2θ1 + k b S 2θ 2 − k b Cθ 2 Sθ 2 − k b S 2θ 2. − k b Cθ Sθ k b C 2θ 2 k b Cθ 2 Sθ 2. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU. − Cθ 2 Sθ 2 ⎤ ⎡δ x 2 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − S 2θ 2 ⎥ ⎢δ y 2 ⎥ Cθ 2 Sθ 2 ⎥ ⎢δ x 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ S 2θ 2 ⎥⎦ ⎢⎣δ y 3 ⎥⎦ ⎤ ⎡ δ x1 ⎤ 0 ⎥ ⎢δ ⎥ 0 ⎥ ⎢ y1 ⎥ − k b Cθ 2 Sθ 2 ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ − k b S 2θ 2 ⎥ ⎢δ y 2 ⎥ k b Cθ 2 Sθ 2 ⎥ ⎢δ x 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ k b S 2θ 2 ⎦⎥41/180 ⎣⎢δ y 3 ⎦⎥.

(42) 절점1. 2.10 변위법에 따른 스프링 해석 예제 2번 스프링. ex) 다음 스프링 구조물에서 각 절점의 변위와 반력을 구하라. (스프링 상수 k=100 kgf/cm) Step1. 스프링 요소 해석을 위한 입력 데이터 정리. 30cm. y. 절점3. 절점2. x. 좌표축 설정. 1번 스프링. 40cm. 1번 스프링의 길이 방향(오른쪽)을 x축,. 1kgf. 수직 방향(위쪽)을 y축으로 하는 Global Coordinate 설정 스프링의 삼각함수 값과 스프링 상수 스프링 cosθ sin θ. 스프링 상수(kgf/cm). 1번. 1. 0. 100. 2번. 4/5. -3/5. 100. 42/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(43) 절점1. 2.10 변위법에 따른 스프링 해석 예제 2번 스프링. Step2. 스프링 요소의 강성 방정식 구성 C:cos S:sin. [ F xy ] = [ K xy ][ δ xy ] ⎡ f x1 ⎤ ⎡ C2 ⎢f ⎥ ⎢ y 1 ⎢ ⎥ = k ⎢ CS ⎢ f x2 ⎥ ⎢− C 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ − CS ⎢⎣ f y 2 ⎥⎦. CS S. 2. − CS −S2. −C2 − CS C2 CS. − CS ⎤ ⎡ δ x1 ⎤ ⎥ ⎥⎢ − S 2 ⎥ ⎢ δ y1 ⎥ CS ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥ ⎥⎢ S 2 ⎥⎦ ⎢⎣δ y 2 ⎥⎦. 30cm. y. 절점3. 절점2. x. 1번 스프링. 40cm. 1kgf. ☞ 1번 스프링의 강성 방정식. ⎡ f x 2 ⎤ ⎡ 100 ⎢f ⎥ ⎢ ⎢ y2 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ f x 3 ⎥ ⎢− 100 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ f y 3 ⎥⎦ ⎣ 0. 0 − 100 0 0 0 100 0 0. 0⎤ ⎡δ x 2 ⎤ ⎢ ⎥ 0⎥⎥ ⎢δ y 2 ⎥ 0⎥ ⎢δ x 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0⎦ ⎢⎣δ y 3 ⎥⎦. ☞ 2번 스프링의 강성 방정식. ⎡ f x1 ⎤ ⎡ 64 − 48 − 64 48 ⎤ ⎡δ x1 ⎤ ⎢f ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ ⎥ 48 36 48 36 − − y 1 ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ y1 ⎥ ⎢ f x 3 ⎥ ⎢− 64 48 64 − 48⎥ ⎢δ x 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ f y 3 ⎥⎦ ⎣ 68 − 36 − 48 36 ⎦ ⎢⎣δ y 3 ⎥⎦ 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. ☞ 전체 강성 강성 방정식의 구성 ⎡ f x1 ⎤ ⎡ 64 − 48 0 ⎢f ⎥ ⎢ 0 ⎢ y1 ⎥ ⎢− 48 36 ⎢ f x2 ⎥ ⎢ 0 0 100 ⎢ ⎥=⎢ 0 0 ⎢ f y2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ f x 3 ⎥ ⎢− 64 48 − 100 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎢⎣ f y 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 48 − 36. 0 0 0 0 0 0. 48 ⎤ ⎡ δ x1 ⎤ ⎢ ⎥ − 36⎥⎥ ⎢δ y1 ⎥ − 100 0 ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 0 ⎥ ⎢δ y 2 ⎥ 164 − 48⎥ ⎢δ x 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ − 48 36 ⎦⎥ ⎢⎣δ y 3 ⎥⎦ − 64 48. 중첩 43/180 NAOE/SNU.

(44) 절점1. 2.10 변위법에 따른 스프링 해석 예제 2번 스프링. (x,y축 방향 변위)= 0. Step3. 변위 구하기. 30cm. 절점에서의 변위(known/unknown Variable 구분). y. 9 known Variables : δx1(=0),δy1 (=0), δx2 (=0), δy2 (=0). 절점3. 절점2. x. 1번 스프링. 9 unknown Variables : δx3,δy3 40cm. 절점에서의 힘(known/unknown Variable 구분). 1kgf. 9 known Variables : fx3(=0), fy3(=-1) 9 unknown Variables : fx1, fy1, fx2, fy2. ⎡ f x1 ⎤ ⎡ 64 − 48 0 ⎢ f ⎥ ⎢ 0 y1 ⎢ ⎥ ⎢− 48 36 ⎢ f x2 ⎥ ⎢ 0 0 100 ⎢ ⎥=⎢ 0 0 ⎢ f y2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ f x 3 = 0 ⎥ ⎢− 64 48 − 100 ⎢ ⎥ ⎢ = − 1 f 0 ⎣⎢ y 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 48 − 36. 0 0 0 0 0 0. 48 ⎤ ⎡ δ x1 = 0 ⎤ ⎢ ⎥ − 36⎥⎥ ⎢δ y1 = 0 ⎥ − 100 0 ⎥ ⎢δ x 2 = 0 ⎥ ⎥ ⎥⎢ 0 0 ⎥ ⎢δ y 2 = 0⎥ 164 − 48⎥ ⎢ δ x 3 ⎥ ⎥ ⎥⎢ − 48 36 ⎦⎥ ⎣⎢ δ y 3 ⎦⎥ − 64 48. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. ⎡ 0 ⎤ ⎡ 164 − 48⎤ ⎡δ x 3 ⎤ ⎢− 1⎥ = ⎢− 48 36 ⎥ ⎢δ ⎥ ⎦ ⎣ y3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −1. (cm). ⎡δ x 3 ⎤ ⎡ 164 − 48⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ − 0.0133⎤ ∴⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢− 1⎥ = ⎢− 0.0456⎥ δ − 48 36 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ y3 ⎦ ⎣ 44/180 NAOE/SNU.

(45) 1 kgf. 2.10 변위법에 따른 스프링 해석 예제. 절점1. 1.33 kgf. ⎡δ x 3 ⎤ ⎡ − 0.0133⎤ ⎢δ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ y 3 ⎦ ⎣− 0.0456⎦. Step4. 절점력 구하기 ⎡ f x1 ⎤ ⎡ 64 − 48 0 ⎢ f ⎥ ⎢ 0 y1 ⎢ ⎥ ⎢− 48 36 ⎢ f x2 ⎥ ⎢ 0 0 100 ⎢ ⎥=⎢ 0 0 ⎢ f y2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ f x 3 = 0 ⎥ ⎢− 64 48 − 100 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎢⎣ f y 3 = −1⎥⎦ ⎢⎣ 48 − 36. 0 0 0 0 0 0. 48 ⎤ ⎡ δ x1 = 0 ⎤ ⎢ ⎥ − 36⎥⎥ ⎢δ y1 = 0 ⎥ − 100 0 ⎥ ⎢δ x 2 = 0 ⎥ ⎥ ⎥⎢ 0 0 ⎥ ⎢δ y 2 = 0⎥ 164 − 48⎥ ⎢ δ x 3 ⎥ ⎥ ⎥⎢ − 48 36 ⎥⎦ ⎢⎣ δ y 3 ⎥⎦ − 64 48. y. 절점3. x 1.33 kgf. 절점2. 1 kgf. Global Coordinate에서 변위와 절점력의 계산 결과. 48 ⎤ ⎡ f x1 ⎤ ⎡ − 64 ⎡− 1.33⎤ ⎢f ⎥ ⎢ ⎢ 1.00 ⎥ ⎥ − 0.0133 48 36 − ⎡ ⎤ y 1 ⎢ ⎥=⎢ ⎥ (kgf ) ⎥ =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ f x 2 ⎥ ⎢− 100 0 ⎥ ⎣− 0.0456⎦ ⎢ 1.33 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎦ 0 ⎢⎣ f y 2 ⎥⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣. ⎡ f x1 ⎤ ⎡− 1.33⎤ ⎢f ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ f x 2 ⎥ ⎢ 1.33 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ f y2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ f x3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ f y 3 ⎥⎦ ⎢⎣ − 1 ⎥⎦. ⎡ δ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢δ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ y1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥=⎢ ⎥ 0 ⎢δ y 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ x 3 ⎥ ⎢ − 0.0133⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣δ y 3 ⎥⎦ ⎢⎣− 0.0456⎥⎦ 45/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(46) 2.10 변위법에 따른 스프링 해석 예제 q. Step5. 스프링의 축력 계산 (pq좌표계에서의 힘) 1.664 kgf. [F pq ] = [K pq ][δ pq ]. [δ pq ] = [T][δ xy ]. = [K pq ][T][δ xy ] 1번 스프링. ⎡ f p 2 ⎤ ⎡ 1.33 ⎤ ⎢f ⎥ ⎢ ⎥ 0 q 2 ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ f p 3 ⎥ ⎢− 1.33⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ f q 3 ⎥⎦ ⎣ 0 ⎦. p. 절점1. 2번 스프링. ⎡ f p1 ⎤ ⎡− 1.664⎤ ⎢f ⎥ ⎢ ⎥ 0 q 1 ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ f p 3 ⎥ ⎢ 1.664 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ f q 3 ⎥⎦ ⎣ 0 ⎦. 1.664 kgf. q. 절점3. p 1.33 kgf. 절점2. 1.33 kgf. 46/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(47) 2.10 변위법에 따른 스프링 요소 해석 방법 Step1. 스프링 요소 해석을 위한 입력 데이터 정리 주어진 문제의 스프링의 좌표축을 설정하고, 좌표축과 부재가 양의 방향(반시계 방향)으로 이루는 각도를 측정한다. 각 스프링 요소의 cos, sin값을 구하고, 스프링 상수를 알아본다.. (. Step2. 스프링 요소의 강성 방정식 구성 [Fxy ] = [K xy ][δ xy ]. ). 스프링 별로 강성 매트릭스를 구성한 연결 부분을 중첩시켜 최종 강성 방정식을 얻는다. Step3. 변위 구하기 known/unknown 변위와 힘을 구별한 뒤 매트릭스에서 unknown 변위와 known 힘에 대한 방정식을 만들어 변위를 구한다. Step4. 절점력 구하기 구한 변위를 최종 강성 방정식에 대입하여 미지의 절점력을 구한다.. 47/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(48) 2.11 강성 매트릭스 각 성분의 의미 스프링 요소의 경우 하나의 절점에는 2개의 변위와 2개의 힘이 존재한다. 3개의 절점을 가지는 스프링 요소의 강성 방정식은 다음과 같다.. ⎡ f x1 ⎤ ⎡ k11 ⎢f ⎥ ⎢ ⎢ y1 ⎥ ⎢k 21 ⎢ f x 2 ⎥ ⎢k 31 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ f y 2 ⎥ ⎢k 41 ⎢ f x 3 ⎥ ⎢k 51 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ f y 3 ⎥⎦ ⎢⎣k 61. k12. k13. k14. k15. k 22 k 32. k 23 k 33. k 24 k 34. k 25 k 35. k 42. k 43. k 44. k 45. k 52 k 62. k 53 k 63. k 54 k 64. k 55 k 65. k16 ⎤ ⎡ δ x1 ⎤ ⎢ ⎥ k 26 ⎥⎥ ⎢δ y1 ⎥ k 36 ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ k 46 ⎥ ⎢δ y 2 ⎥ k 56 ⎥ ⎢δ x 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ k 66 ⎥⎦ ⎢⎣δ y 3 ⎥⎦. kij의 의미 : [δ] 행렬의 j번째 변위가 1만큼 변했을 때, [F] 행렬의 i번째 원소가 받는 힘. ex) k11 : 변위 δx1=1만큼 생겼을 때, 절점 1에 x축 방향으로 발생하는 힘 ex) k24 : 변위 δy2=1만큼 생겼을 때, 절점 1에 y축 방향으로 발생하는 힘. M 48/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(49) Ch3. 트러스 구조 해석. 3.1 트러스 구조의 정의 3.2 트러스 구조의 예 3.3 트러스 구조물과 스프링의 관계 3.4 1차원 트러스 구조물의 강성 방정식 3.5 2차원 트러스 구조물의 강성 방정식 3.6 2차원 트러스 구조물 해석 예제.

(50) 3.1 트러스 구조의 정의 트러스 정의 : 비교적 가늘고 긴 직선 부재를 연결하여 삼각형의 구성 요소가 되도록 배열한 구조물 트러스 특징 9 몇 개의 가는 부재의 조합으로 구성 9 단면적은 일정하고 단면적에 비해 부재의 길이가 매우 김 9 응력, 변형도는 축방향만 고려, 전단응력은 무시 9 각 부재는 핀으로 접합되어 있어서 모멘트 발생 없음 9 핀의 접합 부분을 절점으로 보고 외력이 작용할 때 힘은 절점을 통해 전달. 50/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(51) 3.2 트러스 구조의 예. 51/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(52) 3.3 트러스 구조물과 스프링의 관계 <트러스>. 그림과 같은 단일 트러스에 양방향으로 힘 F가 작용할 때, 탄성 영역 내에서 응력(σ)과 변형율(ε)사이에는. f1. A(단면적) E(탄성계수). 다음 관계를 만족한다.. F δ =E A L. σ = Eε E : 탄성계수. F σ = σ: 응력( ) A δ ε: 변형율( ε = ) L 탄성영역. 탄성 변형. <스프링>. f2 k=. EA L. ∴트러스 구조물. σ= Eε. σ. L(길이). f1. EA F= δ L. f2. F = kδ. 소성 변형. ε. EA ⎞ ⎛ ⎟ ⎜k = L ⎠ ⎝. = 스프링 상수가 k = 스프링 요소와 동일. 52/180. Hooke의 법칙. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. EA 인 L. NAOE/SNU.

(53) 3.4 1차원 트러스 구조물의 강성 방정식(1) 1차원 단일 스프링 요소의 강성 방정식. k. 절점1. 절점2. f1. f2. δ1. δ2. 1차원 단일 트러스 구조물의 강성 방정식 : k에. k=. 절점1. f1 δ1. EA L. 절점2. f2 δ2. ⎡ f1 ⎤ ⎡ k ⎢ f ⎥ = ⎢− k ⎣ 2⎦ ⎣. − k ⎤ ⎡δ 1 ⎤ k ⎥⎦ ⎢⎣δ 2 ⎥⎦. EA 을 대입 L. ⎡ EA ⎡ f1 ⎤ ⎢ L ⎢ f ⎥ = ⎢ EA ⎣ 2 ⎦ ⎢− ⎣ L. EA ⎤ L ⎥ ⎡δ 1 ⎤ EA ⎥ ⎢⎣δ 2 ⎥⎦ ⎥ L ⎦. −. 53/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(54) 3.4 1차원 트러스 구조물의 강성 방정식(2) 1차원 복수 스프링 요소의 강성 방정식. ka f1 절점1. δ1. kb. f2. f3 δ2. 절점2. 절점3. δ3. 1차원 복수 트러스 구조물의 강성 방정식 ka =. f1 절점1. δ1. E a Aa La 절점2. f2. kb =. δ2. Eb Ab Lb. 절점3. f3 δ3. ⎡ f1 ⎤ ⎡ ka − ka ⎢ f ⎥ = ⎢− k ⎢ 2 ⎥ ⎢ a ka + kb ⎢⎣ f 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 − kb. ⎡ Ea Aa ⎢ f ⎡ 1 ⎤ ⎢ La ⎢ f ⎥ = ⎢− Ea Aa ⎢ 2⎥ ⎢ L a ⎢⎣ f 3 ⎥⎦ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣. −. 0 ⎤ ⎡δ1 ⎤ − kb ⎥⎥ ⎢⎢δ 2 ⎥⎥ kb ⎥⎦ ⎢⎣δ 3 ⎥⎦. Ea Aa La Ea Aa Eb Ab + La Lb EA − b b Lb. ⎤ ⎥ ⎥ ⎡δ1 ⎤ Eb Ab ⎥ ⎢ ⎥ δ2 − Lb ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Eb Ab ⎥⎥ ⎣δ3 ⎦ Lb ⎥⎦ 0. 54/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(55) ⎡ cos θ ⎢− sin θ [T] = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0. 3.5 2차원 트러스 구조물의 강성 방정식 2차원 스프링 요소의 강성 방정식 δy2 fy2. y δy1. f1. cos θ. 0. 0 0. cos θ − sin θ. [Fxy ] = [T]T [K pq ][T][δ xy ] = [K xy ][δ xy ]. fx2. ⎡ f x1 ⎤ ⎡ C2 ⎢f ⎥ ⎢ 1 y ⎢ ⎥ = k ⎢ CS ⎢ f x2 ⎥ ⎢− C 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣− CS ⎢⎣ f y 2 ⎥⎦. fx1. θ. 0. f2 δx2. fy1. sin θ. δx1. x. CS S2 − CS − S2. −C2 − CS C2 CS. 0 ⎤ 0 ⎥⎥ sin θ ⎥ ⎥ cos θ ⎦. − CS ⎤ ⎡ δ x1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − S 2 ⎥ ⎢ δ y1 ⎥ CS ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ S 2 ⎥⎦ ⎢⎣δ y 2 ⎥⎦. 2차원 트러스 요소의 강성 방정식 δy2 fy2. y. fx2. δy1. δx2. fy1. f1. fx1. θ. f2. δx1. [Fxy ] = [K xy ][δ xy ] ⎡ f x1 ⎤ ⎡ C2 ⎢f ⎥ ⎢ EA 1 y ⎢ ⎥= ⎢ CS ⎢ f x2 ⎥ L ⎢− C 2 ⎢ ⎥ ⎢ f ⎢⎣− CS ⎣⎢ y 2 ⎦⎥. CS S2 − CS − S2. −C2 − CS C2 CS. − CS ⎤ ⎡ δ x1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − S 2 ⎥ ⎢ δ y1 ⎥ CS ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ S 2 ⎦⎥ ⎣⎢δ y 2 ⎦⎥ 55/180. x 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(56) 3.6 2차원 트러스 구조물 해석 예제. A = 1cm 2. 절점3. E = 200GPa 부재2. ex) 다음 트러스 구조물의 각 절점에서의 변위와 반력을. 1m. 구하시오. (단면적 A=1㎠, 탄성계수 E=200 ㎬) y. 절점1. 부재1. x. Step1. 트러스 구조물 해석을 위한 입력 데이터 정리. 절점2. 1m. 좌표축 설정 부재 1번 의 길이 방향(오른쪽)을 x축,. 45° 10kN. 수직 방향(위쪽)을 y축으로 하는 Global Coordinate 설정 스프링의 삼각함수 값과 스프링 상수 ( θ1 = 0 , θ 2 = 90 ). 200GPa = 200 × 10 9 N / m 2. = 200 × 10 5 N / cm 2 부재. EA 200 × 10 5 N / cm 2 ⋅ 1cm 2 k= = = 2 × 10 5 N / cm L 100cm. cosθ sin θ 길이 단면적 탄성계수 스프링상수 (N/cm) (cm) (GPa) (㎠). 1번. 1. 0. 2번. 0. 1. 100. 1. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 200. 2X105. 56/180 NAOE/SNU.

(57) 3.6 2차원 트러스 구조물 해석 예제. A = 1cm 2. 절점3. E = 200GPa. Step2. 트러스 구조물의 강성 방정식 구성. [Fxy ] = [K xy ][δ xy ] ⎡ f x1 ⎤ ⎡ C2 ⎢f ⎥ ⎢ y 1 ⎢ ⎥ = k ⎢ CS ⎢ f x2 ⎥ ⎢− C 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣− CS ⎢⎣ f y 2 ⎥⎦. CS S2. − CS − S2. −C2 − CS C2 CS. 1m. 부재2. − CS ⎤ ⎡ δ x1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − S 2 ⎥ ⎢ δ y1 ⎥ CS ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ S 2 ⎥⎦ ⎢⎣δ y 2 ⎥⎦. y. 절점1. 절점2. 부재1. x. 45°. 1m. 10kN. ☞ 부재 1의 강성 방정식. ⎡ f x1 ⎤ ⎡ 2 × 10 5 ⎢f ⎥ ⎢ ⎢ y1 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ f x 2 ⎥ ⎢− 2 × 10 5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ f y 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0. 0 − 2 × 10 5 0 0 0 2 × 10 5 0 0. 0⎤ ⎡ δ x1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ δ y1 ⎥ 0⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0⎥⎦ ⎢⎣δ y 2 ⎥⎦. ☞ 부재 2의 강성 방정식. 0 ⎡ f x 2 ⎤ ⎡0 ⎢f ⎥ ⎢ 5 0 2 10 × 2 y ⎢ ⎥=⎢ ⎢ f x 3 ⎥ ⎢0 0 ⎢ ⎥ ⎢ 5 ⎢⎣ f y 3 ⎥⎦ ⎣0 − 2 × 10. 0 0 ⎤ ⎡δ x 2 ⎤ ⎢ ⎥ 0 − 2 × 10 5 ⎥⎥ ⎢δ y 2 ⎥ 0 0 ⎥ ⎢δ x 3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 2 × 10 5 ⎦ ⎢⎣δ y 3 ⎥⎦. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. ☞ 전체 강성 방정식의 구성 ⎡ f x1 ⎤ ⎡ 2 × 10 5 ⎢f ⎥ ⎢ 0 ⎢ y1 ⎥ ⎢ ⎢ f x 2 ⎥ ⎢− 2 × 10 5 ⎢ ⎥=⎢ 0 ⎢ f y2 ⎥ ⎢ ⎢ f x3 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎢⎣ f y 3 ⎥⎦ ⎢⎣. 0 − 2 × 10 5 0 0 0 2 × 10 5 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0 2 × 10 5 0 − 2 × 10 5. ⎤ ⎡ δ x1 ⎤ ⎥ ⎢δ ⎥ ⎥ ⎢ y1 ⎥ ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 − 2 × 10 5 ⎥ ⎢δ y 2 ⎥ ⎥ ⎢δ x 3 ⎥ 0 0 ⎥⎢ ⎥ 0 2 × 10 5 ⎥⎦ ⎢⎣δ y 3 ⎥⎦. 0 0 0. 0 0 0. 57/180 NAOE/SNU.

(58) 3.6 2차원 트러스 구조물 해석 예제. A = 1cm 2. 절점3. E = 200GPa. Step3. 변위 구하기. 부재2. 1m. 절점에서의 변위(known/unknown Variable 구분) y. 9 known Variables : δx1,δy1, δx3, δy3(=>0). 절점1. x. 9 unknown Variables : δx2,δy2 절점에서의 힘(known/unknown Variable 구분). 절점2. 부재1. 45°. 1m. 9 known Variables : fx2(= 7070 N ), fy2(= − 7070 N ). 10kN. 9 unknown Variables : fx1, fy1, fx3, fy3 f x1 ⎤ ⎡ 2 × 10 5 ⎡ ⎥ ⎢ ⎢ f 0 y 1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ f x 2 = 7070 ⎥ ⎢− 2 × 10 5 ⎥=⎢ ⎢ 7070 f = − 0 y 2 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ f x3 0 ⎥ ⎢ ⎢ f y3 0 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎢⎣. 0 − 2 × 10 5 0 0 0 2 × 10 5 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0. ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 − 2 × 10 5 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ 0 2 × 10 5 ⎥⎦. 0 0 0. 2 × 10 5 0 − 2 × 10 5. ⎡ 5000 2 ⎤ ⎡2 × 10 5 ⎢ ⎥=⎢ 5000 2 − ⎣ ⎦ ⎣ 0. 7070 N = 7.07 kN. ⎤ ⎡δ x 2 ⎤ ⎥⎢ ⎥ 2 × 10 5 ⎦ ⎣δ y 2 ⎦ 0. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 0 0 0. ⎡δ x1 = 0 ⎤ ⎢δ = 0 ⎥ ⎥ ⎢ y1 ⎢ δ x2 ⎥ ⎥ ⎢ δ 2 y ⎥ ⎢ ⎢δ x 3 = 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣δ y 3 = 0⎥⎦. 7070 N. 10kN. = 7.07 kN. −1. ⎡δ x 2 ⎤ ⎡2 × 10 5 0 ⎤ ⎡ 5000 2 ⎤ ⎥ ⎢δ ⎥ = ⎢ 5⎥ ⎢ × 0 2 10 − 5000 2 y 2 ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 58/180 ⎡ 0.03535 ⎤ =⎢ ⎥ (cm) − 0 . 03535 ⎣ ⎦ NAOE/SNU.

(59) 3.6 2차원 트러스 구조물 해석 예제 Step4. 절점력 구하기 ⎡ f x1 ⎤ ⎡ 2 × 10 5 ⎢f ⎥ ⎢ 0 ⎢ y1 ⎥ ⎢ ⎢ f x 2 ⎥ ⎢− 2 × 10 5 ⎢ ⎥=⎢ 0 ⎢ f y2 ⎥ ⎢ ⎢ f x3 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎢⎣ f y 3 ⎥⎦ ⎢⎣. 0 − 2 × 10 5 0 0 0 2 × 10 5 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0 2 × 10 5 0 − 2 × 10 5. ⎡δ x 2 ⎤ ⎡ 0.03535 ⎤ ⎢δ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ y 2 ⎦ ⎣− 0.03535⎦ ⎤ ⎡δ x1 = 0 ⎤ 0 0 ⎥ ⎢δ = 0 ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ y1 ⎥ ⎢ ⎥ δ 0 0 x2 ⎥ ⎥⎢ 0 − 2 × 10 5 ⎥ ⎢ δ y 2 ⎥ ⎥ ⎢δ x 3 = 0 ⎥ 0 0 ⎥ ⎥⎢ 0 2 × 10 5 ⎥⎦ ⎢⎣δ y 3 = 0⎥⎦. (N ) ⎡ f x1 ⎤ ⎡− 2 × 10 5 ⎢f ⎥ ⎢ ⎢ y1 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ f x3 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ f y 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0. ⎤ ⎡− 7070⎤ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎡ 0.03535 ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥≈ 0 ⎥ ⎣− 0.03535⎦ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ 7070 2 × 10 5 ⎥⎦ ⎦ ⎣ 0. A = 1cm 2. 절점3. E = 200GPa 부재2. y. 절점1. 1m. 절점2. 부재1. x. 1m. 45° 10kN. Global Coordinate에서의 변위와 절점력의 계산 결과. ⎡ f x1 ⎤ ⎡− 7.07⎤ ⎢f ⎥ ⎢ ⎥ 0 y 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ f x 2 ⎥ ⎢ 7.07 ⎥ (kN ) ⎢ ⎥=⎢ ⎥ f 7 . 07 − y 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ f x3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ f y 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 7.07 ⎦⎥. ⎡ δ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢δ ⎥ ⎢ ⎥ 0 y 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ x 2 ⎥ ⎢ 0.03535 ⎥ (cm) ⎢ ⎥=⎢ ⎥ δ 0 . 03535 − y 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢δ x 3 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢⎣δ y 3 ⎥⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ 59/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(60) Ch4. 보 및 프레임 구조 해석. 4.1 보(Beam)와 프레임(Frame)의 정의 4.2 경계 조건 (Boundary Condition) – 보(Beam) 4.2 경계 조건 (Boundary Condition) – 프레임(Frame) 4.3 보의 강성 방정식 유도 4.4 프레임의 강성 방정식 4.5 2차원 프레임의 강성 방정식 4.6 프레임 해석 예제.

(61) 4.1 보(Beam)와 프레임(Frame)의 정의 보 (Beam) 비틈이나 축 뱡향의 변형 보다 굽힘에의한 변형을 뚜렷하게 보여주는 구조부재 횡 하중에 의해 굽힘 모멘트와 전단력이 발생 축방향의 변형은 없음 모멘트에 의한 회전 변위(처짐각)와 수직힘에 의한 수직 변위(처짐)만 존재 프레임 (Frame) 보의 성질과 트러스의 성질을 함께 가지는 구조물 회전 변위, 수직 변위, 수평 변위(축방향 변위)가 존재 f y1 , δ y1. f y2 ,δ y2. M 2 ,θ 2. Beam. M 1 ,θ1. f x1 , δ x1. f y1 , δ y1. f y2 ,δ y2 Frame. M 1 ,θ1. M 2 ,θ 2 f x2 ,δ x2 61/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(62) 4.2 경계 조건 (Boundary Condition) – 보(Beam) 보 구조물의 경계 조건 ① 변위가 고정일 경우 반력 또는 모멘트가 발생함 ② 변위가 고정되어 있지 않을 경우 외력 또는 모멘트를 받아 변위가 발생 ③ 즉, 변위가 고정일 경우 이에 대한 반력(또는 모멘트)가 미지수가 되고, 고정이 아닐 경우 외력과 모멘트에 의해서 발생할 변위가 미지수가 됨 Simple Support. 절점에 가해지는 힘과 모멘트. Fixed End. Free-End. M 1 ,θ1 f y1 , δ y 1. Known. Unknown. δ y1 , M 1. δ y1 , θ 1. f y1 , M 1. (=0). (=0). (Given). f y1 ,. θ1. f y1 , M 1. δ y1 , θ 1 62/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(63) 4.2 경계 조건 (Boundary Condition) – 프레임(Frame) 프레임 구조물의 경계 조건 Simple Support. 절점에 가해지는 힘과 모멘트. δ x1. Fixed End. Free-End. M 1 ,θ1. f x1 f y1 , δ y 1. Known. Unknown. δ x1 , δ y1 , M 1 (=0). f x1 , f y1 , θ1. δ x1 , δ y1 , θ1 (=0). f x1 , f y1 , M 1 (Given). f x1 , f y1 , M 1. δ x1 , δ y1 , θ1. 63/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(64) 4.3 보의 강성 방정식 유도1) 1) 박재형, “구조해석 꼭 어려워야 하나” , 기문당, 2006, pp.99~103. (. (1) 절점 2를 고정한 경우 δ y 2 = 0 , θ 2 = 0 보이론을 기반으로 보의 강성방정식 유도 y. 절점1. fy1,δ1. M1. 절점2. x θ1. M1. y. M2 θ2. fy1,δ1. 절점1. ). 절점2. x θ1 L. fy2,δ2. d2y 미분방정식 : EI = − M 1 + f y1 x 2 dx. L. d2y 탄성선의 미분방정식 : EI = −M 2 dx. ② 다시 적분하면, ①. M 1 2 f y1 3 EIy = − x + x + C1 x + C 2 2 6 x = L 에서 y ]x = L = δ y 2 = 0. f y1 2 dy 적분하면, EI = −M 1 x + x + C1 dx 2 x = L 에서. − M1L +. f y1. 2. dy ⎤ = θ2 = 0 ⎥ dx ⎦ x = L L + C1 = 0 ∴ C1 = M 1 L − 2. f y1 2. M 1 2 f y1 3 L + L + C1 L + C 2 = 0 2 6 f y1 3 f y1 3 M M 64/180 ∴ C 2 = 1 L2 − L − C1 L = − 1 L2 + L 2 6 2 3 −. L2. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(65) 4.3 보의 강성 방정식 유도 ③ ①②에서 구한 처짐 곡선식과 처짐각식에서 x=0에서의 수직변위(δy1)와 회전변위(θ1)를 계산 M 1 2 f y1 3 x + x + C1 x + C 2 2 6 f y1 2 dy 처짐각식 : EI = −M 1 x + x + C1 dx 2 f y1 2 f y1 3 M C1 = M 1 L − L , C 2 = − 1 L2 + L 2 2 3 처짐 곡선식 : EIy = −. x=0에서의 y축 방향의 수직변위. δ y1 = y x =0. f y1 3 C2 M1 2 = =− L + L EI 2 EI 3EI. x=0에서의 회전변위. θ1 =. dy dx. =. f y1 2 C1 M 1 L− = L EI EI 2 EI. Matrix 형태로 표현. ⎡ L3 ⎡δ y1 ⎤ ⎢ 3EI ⎢ θ ⎥ = ⎢ L2 ⎣ 1 ⎦ ⎢− ⎢⎣ 2 EI. ⎡ L3 x =0 ⎡ f y1 ⎤ ⎢ 3EI ∴⎢ ⎥ = ⎢ 2 ⎣ M 1 ⎦ ⎢− L ⎢⎣ 2 EI 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. L2 ⎤ − ⎥ 2 EI ⎥ ⎡ f y1 ⎤ L ⎥ ⎢⎣ M 1 ⎥⎦ EI ⎥⎦ −1. L2 ⎤ ⎡12 EI − ⎥ 2 EI ⎥ ⎡δ y1 ⎤ = ⎢ L3 L ⎥ ⎢⎣ θ1 ⎥⎦ ⎢⎢ 6 EI ⎣ L2 EI ⎥⎦ NAOE/SNU. 6 EI ⎤ L2 ⎥ ⎡δ y1 ⎤ ⎢θ ⎥ 4 EI ⎥65/180 ⎥⎣ 1 ⎦ L ⎦.

(66) 4.3 보의 강성 방정식 유도 ④. 힘과 모멘트의 평형 조건을 이용하여 x=L에서의 수직힘(fy2)과 모멘트(M2)를 계산 y방향 힘 : 모멘트 :. ∑f. ∑M. y. 2. = f y1 + f y 2 = 0 = − f y1 L + M 1 + M 2 = 0. 절점 2에서 y방향의 힘. f y 2 = − f y1 절점 2에서 모멘트. M 2 = f y1 L − M 1. Matrix 형태로 표현. ⎡ f y 2 ⎤ ⎡− 1 0 ⎤ ⎡ f y1 ⎤ ⎢ M ⎥ = ⎢ L − 1⎥ ⎢ M ⎥ ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎡12 EI 6 EI ⎤ ⎡− 1 0 ⎤ ⎢ L3 L2 ⎥ ⎡δ y1 ⎤ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎣ L − 1⎦ ⎢ 6 EI 4 EI ⎥ ⎣ θ1 ⎦ L ⎦ ⎣ L2 6 EI ⎤ ⎡ 12 EI − − 3 ⎢ L2 ⎥ ⎡δ y1 ⎤ =⎢ L 6 EI 2 EI ⎥ ⎢⎣ θ1 ⎥⎦ ⎢ ⎥ L ⎦ ⎣ L2. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 절점 2를 고정했을 때, 힘과 변위와의 관계식. ⎡ 12 EI ⎢ L3 ⎡ f y1 ⎤ ⎢ 6 EI ⎢M ⎥ ⎢ 2 ⎢ 1⎥ = ⎢ L ⎢ f y 2 ⎥ ⎢− 12 EI ⎢ M ⎥ ⎢ L3 ⎣ 2⎦ ⎢ 6 EI ⎢ ⎣ L2. 6 EI ⎤ L2 ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎥ ⎡δ y1 ⎤ 6 EI ⎥ ⎢⎣ θ1 ⎥⎦ − 2 ⎥ L 2 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 66/180. NAOE/SNU.

(67) 4.3 보의 강성 방정식 유도. (. (1) 절점 1을 고정한 경우 δ y1 = 0 , θ1 = 0 y. 절점1. ). M2 θ2. 적분하면,. f y2 2 dy EI = M2x + x + C1 dx 2. dy ⎤ = θ1 = 0 x = 0 에서 dx ⎥⎦ x =0. 절점2. x. ①. fy2,δ2. ∴ C1 = 0. EI. f y2 2 dy = M2x + x dx 2. L 미분방정식 :. d2y EI 2 = M 2 + f y 2 x dx. ② 다시 적분하면, EIy =. M 2 2 f y2 3 x + x + C2 2 6. x = 0 에서 y ]x =0 = δ y1 = 0. ∴C 2 = 0. EIy =. M 2 2 f y2 3 x + x 2 6 67/180. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(68) 4.3 보의 강성 방정식 유도 ③ ①②에서 구한 처짐 곡선식과 처짐각식에서 x=L에서의 수직변위(δy2)와 회전변위(θ2)를 계산 M 2 2 f y2 3 EIy = x + x 2 6 f y2 2 dy 처짐각식 : EI x = M2x + dx 2 처짐 곡선식 :. Matrix 형태로 표현. x=L에서의 y축 방향의 변위. δ y 2 = y x=L =. M 2 2 f y2 3 L + L 2 EI 3EI. ⎡ L3 ⎡δ y 2 ⎤ ⎢ 3EI ⎢ θ ⎥ = ⎢ L2 ⎣ 2⎦ ⎢ ⎢⎣ 2 EI. x=L에서의 회전변위(처짐각). dy θ2 = dx. x=L. f y2 2 M2 L+ L = EI 2 EI. ⎡ L3 ⎡f ⎤ ⎢ ∴ ⎢ y 2 ⎥ = ⎢ 3EI 2 ⎣M 2 ⎦ ⎢ L ⎢⎣ 2 EI. L2 ⎤ ⎥ 2 EI ⎥ ⎡ f y 2 ⎤ L ⎥ ⎢⎣ M 2 ⎥⎦ EI ⎥⎦ −1. L2 ⎤ ⎡ 12 EI ⎥ 2 EI ⎥ ⎡δ y 2 ⎤ = ⎢ L3 L ⎥ ⎢⎣ θ 2 ⎥⎦ ⎢⎢− 6 EI ⎣ L2 EI ⎥⎦. 6 EI ⎤ L2 ⎥ ⎡δ y 2 ⎤ 4 EI ⎥ ⎢⎣ θ 2 ⎥⎦ ⎥ L ⎦. −. 68/180 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. NAOE/SNU.

(69) 4.3 보의 강성 방정식 유도 ④. 힘과 모멘트의 평형 조건을 이용하여 x=0에서의 수직힘(fy1)과 모멘트(M1)를 계산 y방향 힘 : 모멘트 :. ∑f. y. = f y1 + f y 2 = 0. ∑M. 1. = f y2 L + M1 + M 2 = 0. 절점 2에서 y방향의 힘. f y1 = − f y 2 절점 2에서 모멘트. M1 = − f y2 L − M 2. Matrix 형태로 표현. ⎡ f y1 ⎤ ⎡ − 1 0 ⎤ ⎡ f y 2 ⎤ ⎢ M ⎥ = ⎢− L − 1⎥ ⎢ M ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ 6 EI ⎤ ⎡ 12 EI − ⎡ − 1 0 ⎤ ⎢ L3 L2 ⎥ ⎡δ y 2 ⎤ =⎢ ⎥⎢ 4 EI ⎥ ⎢⎣ θ 2 ⎥⎦ ⎣− L − 1⎦ ⎢− 6 EI ⎥ L ⎦ ⎣ L2 ⎡ 12 EI 6 EI ⎤ ⎢− L3 L2 ⎥ ⎡δ y 2 ⎤ =⎢ 6 EI 2 EI ⎥ ⎢⎣ θ 2 ⎥⎦ ⎢− 2 ⎥ L ⎦ ⎣ L. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. 절점 1를 고정했을 때, 힘과 변위와의 관계식. ⎡ 12 EI 6 EI ⎤ ⎢ − L3 L2 ⎥ ⎡ f y1 ⎤ ⎢ 6 EI 2 EI ⎥ ⎥ ⎡δ ⎤ ⎢M ⎥ ⎢ − 2 L 1 L ⎥ ⎢ y2 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ f y 2 ⎥ ⎢ 12 EI − 6 EI ⎥ ⎣ θ 2 ⎦ ⎢ M ⎥ ⎢ L3 L2 ⎥ ⎣ 2⎦ ⎢ 6 EI 4 EI ⎥ ⎥ ⎢− 2 L ⎦ ⎣ L 69/180 NAOE/SNU.

(70) y. 4.3 보의 강성 방정식 유도. M1 fy1,δ1. 절점 2를 고정했을 때, 힘과 변위와의 관계식. ⎡ 12 EI ⎢ L3 ⎡ f y1 ⎤ ⎢ 6 EI ⎢M ⎥ ⎢ 2 ⎢ 1⎥ = ⎢ L ⎢ f y 2 ⎥ ⎢− 12 EI ⎢ M ⎥ ⎢ L3 ⎣ 2⎦ ⎢ 6 EI ⎢ ⎣ L2. 6 EI ⎤ L2 ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ ⎡δ ⎤ L ⎥ y1 6 EI ⎥ ⎢⎣ θ1 ⎥⎦ − 2 ⎥ L 2 EI ⎥ ⎥ L ⎦. 절점1. 절점2. x θ1. M2 θ2. fy2,δ2. L. 절점 1를 고정했을 때, 힘과 변위와의 관계식. ⎡ 12 EI 6 EI ⎤ ⎢ − L3 L2 ⎥ ⎡ f y1 ⎤ ⎢ 6 EI 2 EI ⎥ ⎥ ⎡δ ⎤ ⎢M ⎥ ⎢ − 2 L ⎥ y2 L ⎢ 1⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ f y 2 ⎥ ⎢ 12 EI − 6 EI ⎥ ⎣ θ 2 ⎦ ⎢ M ⎥ ⎢ L3 L2 ⎥ ⎣ 2⎦ ⎢ 6 EI 4 EI ⎥ ⎥ ⎢− 2 L ⎦ ⎣ L. ⎡ 12 EI ⎢ L3 ⎡ f y1 ⎤ ⎢ 6 EI ⎢M ⎥ ⎢ 2 L 1⎥ ⎢ ⎢ = 보(Beam)의 강성 방정식 : ⎢ f y 2 ⎥ ⎢− 12 EI ⎢ M ⎥ ⎢ L3 ⎣ 2⎦ ⎢ 6 EI ⎢ L2 ⎣ 2학기 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도. 6 EI L2 4 EI L 6 EI − 2 L 2 EI L. 12 EI 6 EI ⎤ L3 L2 ⎥ δ 6 EI 2 EI ⎥ ⎡ y1 ⎤ ⎥⎢θ ⎥ − 2 L ⎥⎢ 1 ⎥ L 12 EI 6 EI ⎥ ⎢δ y 2 ⎥ − L3 L2 ⎥ ⎢⎣ θ 2 ⎥⎦ 6 EI 4 EI ⎥ − 2 ⎥ L ⎦ L NAOE/SNU −. 70/180.

(71) 4.4 프레임의 강성 방정식. (트러스). (프레임의 강성 방정식) = (트러스의 강성 방정식) + (보의 강성방정식) 트러스. y. 절점1. 절점2. x. f x1 , δ x1. f x2 ,δ x2 L. y. 보 M1. fy1,δ1. 절점1. 절점2. x θ1. fy2,δ2. L. 프레임 f x1 , δ x1. y M1. fy1,δ1. 절점1. 절점2. x θ1. M2 θ2 L. (보). ⎡ 12 EI ⎢ L3 ⎡ f y1 ⎤ ⎢ 6 EI ⎢M ⎥ ⎢ 2 ⎢ 1⎥ = ⎢ L ⎢ f y 2 ⎥ ⎢− 12 EI ⎢ M ⎥ ⎢ L3 ⎣ 2⎦ ⎢ 6 EI ⎢ ⎣ L2. 12 EI 6 EI ⎤ L3 L2 ⎥ δ 6 EI 2 EI ⎥ ⎡ y1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − 2 L ⎥ ⎢ θ1 ⎥ L 12 EI 6 EI ⎥ ⎢δ y 2 ⎥ − L3 L2 ⎥ ⎢⎣ θ 2 ⎥⎦ 6 EI 4 EI ⎥ − 2 ⎥ L ⎦ L. 6 EI L2 4 EI L 6 EI − 2 L 2 EI L. −. (프레임) M2. θ2. EA ⎤ ⎡ EA − f ⎡ x1 ⎤ ⎢ L L ⎥ ⎡δ 1 ⎤ ⎢ f ⎥ = ⎢ EA EA ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ y 2 ⎦ ⎢− ⎥ ⎣δ 2 ⎦ L ⎦ ⎣ L. fy2,δ2. f x2 ,δ x2. ⎡ EA 0 ⎢ L ⎢ 12 EI ⎡ f x1 ⎤ ⎢ 0 ⎢f ⎥ ⎢ L3 6 EI ⎢ y1 ⎥ ⎢ ⎢M1 ⎥ ⎢ 0 L2 ⎢ ⎥ = ⎢ EA ⎢ f x 2 ⎥ ⎢− 0 ⎢ f y2 ⎥ ⎢ L 12EI ⎢ ⎥ ⎢ − 0 M ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎢ L3 ⎢ 6 EI ⎢ 0 L2 ⎣. 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. −. 0 6 EI L2 4 EI L 0 6 EI L2 2 EI L. −. EA L 0 0. EA L 0 0. NAOE/SNU. 0 12 EI L3 6 EI − 2 L. −. 0 12EI L3 6 EI − 2 L. ⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎡δ ⎤ ⎥ x1 L2 ⎥ ⎢δ ⎥ 2 EI ⎥ ⎢ y1 ⎥ L ⎥ ⎢ θ1 ⎥ ⎥ ⎢δ ⎥ 0 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥ ⎢δ ⎥ 6 EI ⎥ ⎢ y 2 ⎥ − 2 ⎣⎢ θ 2 ⎦⎥ L ⎥ 4 EI ⎥ 71/180 ⎥ L ⎦ 0.

(72) 4.5 2차원 프레임의 강성 방정식 2차원 공간에 위치한 프레임. y δ q2. δ q1. f p1δ. f q1. f q2. f p2 δ p2. p1. M2. δy2. y. x fy2. δy1 q. M1. θ. fy1. fx2 M2. p. (2) 회전 변위(θ1,θ2)와 모멘트는 z축을 기준으로 돌리므로, 회전시켜도 동일함. [δ pq ] = [T][δ xy ]. M1. θ. (1) pq방향의 변위와 힘은 2차원 트러스와 동일 (z축 기준으로 회전변환). δx2. fx1. δx1. x 서울대학교 조선해양공학과 학부 3학년 교과목 “전산선박설계” 전산선박설계”, 2006학년도 2006학년도 2학기. ⎡δ p1 ⎤ ⎡ cos θ ⎢ δ ⎥ ⎢− sin θ ⎢ q1 ⎥ ⎢ ⎢ θ1 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥=⎢ ⎢δ p 2 ⎥ ⎢ 0 ⎢δ q 2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎢ θ 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 0. sin θ cos θ 0 0 0 0. 0 0. 0 0. 1 0 0 cos θ 0 − sin θ 0 0. 0 0 0 sin θ cos θ 0. 0⎤ ⎡ δ x1 ⎤ 0⎥⎥ ⎢⎢δ y1 ⎥⎥ 0⎥ ⎢ θ 1 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0⎥ ⎢δ x 2 ⎥ 0⎥ ⎢δ y 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 1⎦⎥ ⎣⎢ θ 2 ⎦⎥. [ f pq ] = [T][ f xy ] ⎡ f p1 ⎤ ⎡ cos θ ⎢ f ⎥ ⎢− sin θ ⎢ q1 ⎥ ⎢ ⎢M1 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ f p2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ f q2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎢ M 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 0. sin θ cos θ 0 0 0 0. 0 0. 0 0. 1 0 0 cos θ 0 − sin θ 0 0 NAOE/SNU. 0 0 0 sin θ cos θ 0. 0⎤ ⎡ f x1 ⎤ 0⎥⎥ ⎢⎢ f y1 ⎥⎥ 0⎥ ⎢ M 1 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0⎥ ⎢ f x 2 ⎥ f y2 ⎥ 0⎥ ⎢ 72/180 ⎥⎢ ⎥ 1⎦⎥ ⎣⎢ M 2 ⎦⎥.