Computer aided ship designComputer aided ship designPart 2. Ship Motion & Wave LoadPart 2. Ship Motion & Wave Load

(1)

Computer aided ship design Computer aided ship design

Part 2. Ship Motion & Wave Load Part 2. Ship Motion & Wave Load

Computer aided ship design Computer aided ship design

Part 2. Ship Motion & Wave Load Part 2. Ship Motion & Wave Load

October 2008 Prof. Kyu-Yeul Lee

Department of Naval Architecture and Ocean Engineering,

Seoul National University of College of Engineering

(2)

:

: 강의 강의 개요 개요

¡ 유체 역학 (학부 2학년) , 해양환경정보시스템 (학부 3학년) , 선박운항

제어론 ^{(학부 3학년)} , 선체구조설계시스템 ^{(학부 3학년)} 의 전공 과목과

공학 수학 (학부 2학년) , 기초구조정역학 (학부 2학년) , 동역학 (학부 2학년)

의 기초 교과목을 토대로 선박의 6자유도 운동 방정식 의 유도 과정을 이해한다.

¡ 선박의 6자유도 운동 방정식의 계산 결과를 구조 설계 에 활용 하는 방안에 대해 이해한다.

Computer Aided Ship Design 2008

Computer Aided Ship Design 2008 –– PART II: Ship Motion & Wave LoadPART II: Ship Motion & Wave Load _NAOE/SNU

¡ 유체 역학 (학부 2학년) , 해양환경정보시스템 (학부 3학년) , 선박운항

제어론 ^{(학부 3학년)} , 선체구조설계시스템 ^{(학부 3학년)} 의 전공 과목과

공학 수학 (학부 2학년) , 기초구조정역학 (학부 2학년) , 동역학 (학부 2학년)

의 기초 교과목을 토대로 선박의 6자유도 운동 방정식 의 유도 과정을 이해한다.

¡ 선박의 6자유도 운동 방정식의 계산 결과를 구조 설계 에 활용 하는 방안에 대해 이해한다.

2

(Ship Motion)

(Wave Load)

(3)

: Term project (I)

: Term project (I) – – 6DOF Ship motion simulation 6DOF Ship motion simulation

¡ 선박의 6자유도 운동 방정식을 수치적으로 계산하여 시간에 따른 선박의 운동을 구하고, 이를 화면에 가시화 한다.

ex) MOSES (Multi-Operational Structural Engineering Simulator) : Ultramarine 에서 개발(미국, 휴스턴)

Part I. 곡선,곡면 모델링의 결과 사용

3

(4)

¡ 6자유도 운동 방정식의 풀이 결과를 사용하여 선박에 작용하는 Wave Load 를 계산하고, Shear force 및 Bending moment를 계산한다.

: Term project (II)

: Term project (II) – – Wave Load Wave Load에 에 의한 의한 VWBM VWBM

¹⁾¹⁾

계산 계산

중량-부력 하중 곡선

부력

Wave와 선박 운동에 의한 하중 곡선

Diffraction force

Mass inertia force

4

중량

부력 Diffraction

force

Added mass force Damping

force Froude-Krylov force

Mass inertia force

(5)

:

: 참고 참고 자료 자료

¡ 참고 서적 및 자료

1) 小山健夫 저, 구종도 역, "선박과 해양구조물의 운동학", 연건문화사, 1997 2) Bhattacharyya, R. , "Dynamics of Marine Vehicles", John Wiley & Sons, 1978

3) Faltinsen, O.M. , "Sea loads on ships and offshore structures", Cambridge Univ. Press, 1998 4) Dean, R.G. , “Water wav mechanics for engineers and scientists”, Prentice-Hall,Inc , 1984 5) Newman, J.N. , "Marine Hydrodynamics", The MIT Press, Cambridge, 1997

6) 이승건, "선박운동 조종론", 부산대학교 출판부, 2004

7) Journee, J.M.J. , Massie, W.W. , "Offshore Hydrodynamics", Delft University of Technology, 2001 (http://www.shipmotions.nl/index.html)

8) Journee, J.M.J. , Adegeest, L.J.M. , "Theoretical Manual of Strip Theory program“ Seaway for Windows”", Delft University of Technology, 2003 (http://www.shipmotions.nl/index.html) 9) Tommy Pedersen, "Wave Load Prediction – a Design Tool", PhD thesis, Department of naval

architecture and offshore engineering, 2000

10) Cengel & Cimbala, "Fluid Mechanics", Mc Graw Hill, 2005

11) Erwin Kreyszig, "Advanced Engineering Mathematics", Wiley, 2005

12) Falnes, J. , “Ocean waves and oscillating systems”, Cambridge Univ. Press, 2002

¡ 참고 서적 및 자료

1) 小山健夫 저, 구종도 역, "선박과 해양구조물의 운동학", 연건문화사, 1997 2) Bhattacharyya, R. , "Dynamics of Marine Vehicles", John Wiley & Sons, 1978

3) Faltinsen, O.M. , "Sea loads on ships and offshore structures", Cambridge Univ. Press, 1998 4) Dean, R.G. , “Water wav mechanics for engineers and scientists”, Prentice-Hall,Inc , 1984 5) Newman, J.N. , "Marine Hydrodynamics", The MIT Press, Cambridge, 1997

6) 이승건, "선박운동 조종론", 부산대학교 출판부, 2004

7) Journee, J.M.J. , Massie, W.W. , "Offshore Hydrodynamics", Delft University of Technology, 2001 (http://www.shipmotions.nl/index.html)

8) Journee, J.M.J. , Adegeest, L.J.M. , "Theoretical Manual of Strip Theory program“ Seaway for Windows”", Delft University of Technology, 2003 (http://www.shipmotions.nl/index.html) 9) Tommy Pedersen, "Wave Load Prediction – a Design Tool", PhD thesis, Department of naval

architecture and offshore engineering, 2000

10) Cengel & Cimbala, "Fluid Mechanics", Mc Graw Hill, 2005

11) Erwin Kreyszig, "Advanced Engineering Mathematics", Wiley, 2005

12) Falnes, J. , “Ocean waves and oscillating systems”, Cambridge Univ. Press, 2002

5

(6)

6

(7)

ü선박의 6자유도 운동 방정식 ü유체력 계산 ü유체입자의

운동방정식

:

: 유체 유체 역학 역학 및 및 선박 선박 운동 운동 방정식 방정식 개요 개요

Cauchy equation

Navier-Stokes equation

Euler equation

Bernoulli equation Newton’s 2^nd Law

å

= F x

m &&

surface body F F +

=

2 C

1

²

= +

F Ñ +

¶ + F

¶ P g z

t r r

r

Mass Conservation

Law

2

0 = F

Laplace

Ñ

Equation

① Coordinate system 정의 (Global & Body-fixed coordinate)

(Incident wave potential) 미시적 유도/

거시적 유도(RTT¹⁾)

③ 비점성 유동 (Invicid flow)

④ 비회전 유동 (Irrotational flow)

③

②④

④

①②

전단 응력 Curl과 회전

Lagrangian &

Eulerian Description

L

^m

y

z

M

유체입자 6자유도

유체입자 3자유도 (회전 3자유도 X)

òò

S

Pn

_B

dS

Linearization

ρgz t

P

^T

¶ F - ¶

-

= r

R D I T

F +

F

=

F (Incident wave potential) (Diffraction velocity potential) (Radiation velocity potential)

Fluid

=

F = F

_static

+ F

_F_._K

+ F

_D

+ F

_R

② Newton’s 2^nd Law

å

= F

x

M & & = F

_body

+ F

_surface

R D K

F static

gravity

F F F F

F + + + +

=

_.

x B x A F

F + - & - & &

=

_restoring _exciting

( ^M ⁺ ^A ) ^& ^x ^& ⁺ ^B ^x ^& ⁼ ^F

_restoring

⁺ ^F

_exciting

cf) 선형화 된 복원력

(

M+A

)

x&&+Bx&+Cx=Fexciting

) (F_restoring =-Cx

üShear force(S.F.) 및 bending moment(B.M.)

) ( )

( )

(x F x Bv x F_restoring + _exciting - _z

(

M + A

)

a_z^(x⁾

z x

Shear force(S.F.) 계산 ê(적분) Bending moment(B.M.) (a_z: z방향 가속도)

(v_z: z방향 속도) .

.F S

. .M B

x1

z방향 성분 Fluid

gravity

F

F +

=

7

(8)

ü유체입자의 운동방정식

Cauchy equation

Euler equation

å

= F x

m &&

surface body F F +

=

2 C

1

²

= +

F Ñ +

¶ + F

¶ P g z

t r r

r

Mass Conservation

Law

2

0 = F

Laplace

Ñ

Equation

미시적 유도/

③

②④

④

①②

Lagrangian &

유체입자 6자유도

유체입자 3자유도 (회전 3자유도 X)

ü선박의 6자유도 운동 방정식 ü유체력 계산

:

: 학부 학부 과목과의 과목과의 연계 연계

L

^m

y

z

M

공학수학

(학부2학년)

유체역학

(학부 2학년)

운항제어론

(학부 3학년) (Incident wave potential)

òò

S

Pn

_B

dS

Linearization

ρgz t

P

^T

¶ F - ¶

-

= r

Fluid

=

F = F

_static

+ F

_F_._K

+ F

_D

+ F

_R

å

= F

x

M & & = F

_body

+ F

_surface

R D K

F static

gravity

F F F F

F + + + +

=

_.

x B x A F

F + - & - & &

=

( ^M ⁺ ^A ) ^& ^x ^& ⁺ ^B ^x ^& ⁼ ^F

_restoring

⁺ ^F

_exciting

(

M+A

)

) (F_restoring =-Cx

) ( )

( )

(

M + A

)

a_z^(x⁾

z x

.F S

. .M B

x1

gravity

F

F +

=

_{조선해양공학계획}

(학부 2학년)

공학수학

(학부2학년)

운항제어론

(학부 3학년)

선체구조설계시스템

(학부 3학년)

재료역학

(학부2학년)

R D I T

F +

F

=

8

(9)

ü선박의 6자유도 운동 방정식 ü유체력 계산 ü유체입자의

운동방정식

:

: 배울 배울 내용 내용

Cauchy equation

Euler equation

å

= F x

m &&

surface body F F +

=

2 C

1

²

= +

F Ñ +

¶ + F

¶ P g z

t r r

r

Mass Conservation

Law

2

0 = F

Laplace

Ñ

Equation

미시적 유도/

③

②④

④

①②

Lagrangian &

L

^m

y

z

M

(1) 유체 입자의 운동 방정식

(Incident wave potential)

òò

S

Pn

_B

dS

Linearization

ρgz t

P

^T

¶ F - ¶

-

= r

Fluid

=

F = F

_static

+ F

_F_._K

+ F

_D

+ F

_R

å

= F

x

M & & = F

_body

+ F

_surface

R D K

F static

gravity

F F F F

F + + + +

=

_.

x B x A F

F + - & - & &

=

( ^M ⁺ ^A ) ^& ^x ^& ⁺ ^B ^x ^& ⁼ ^F

_restoring

⁺ ^F

_exciting

(

M+A

)

) (F_restoring =-Cx

) ( )

( )

(

M + A

)

a_z^(x⁾

z x

.F S

. .M B

x1

gravity

F

F +

(2) 선박의 6자유도 =

운동 방정식

(4) Wave Load &

Shear Force/Bending Moment

R D I T

F +

F

=

(3) Velocity potential &

Strip Theory

9

(10)

10

(11)

(Cauchy eq. ~ Bernoulli eq.) (Cauchy eq. ~ Bernoulli eq.)

① 뉴턴 유체¹⁾ (Newtonian fluid)

Euler Equation :

P

dt

d V = g - Ñ r

r

Navier-Stokes Equation :

(in general form) ¹

( )

²

3

d P

r

dt =

r

- Ñ +

m

^æç Ñ Ñ + Ñ ^ö÷

è ø

V g gV V

Cauchy Equation :

d

r dt V = r + Ñ · s

g

^,

(

^V⁼

[

^{u v w}^{, ,}

]

^T

)

② Stokes assumption²⁾

( ^m ⁼ ⁰ )

1) 전단응력이 전단변형율(의 시간변화율)에 비례하는 유체 2) 선형 변형과 등방 팽창에 의한 점성 계수 μ,λ의 관계식을 정의함

0

=

· Ñ

¶ +

¶

r r

V t

0 =

· Ñ V

⑦ incompressible flow

⑥ irrotational flow Continuity

Equation(질량보존)

0 constant

t r = ^æç^¶r = ^ö÷

è ¶ ø

(

^V^{= ÑF}

)

Laplace

Equation

Ñ

²

F = 0

11

Euler Equation :

P

dt

d V = g - Ñ r

r

④ barotropic flow

Bernoulli equation

(case1)

Constant B =

⑤ Steady flow

Bernoulli equation

(case2)

1 2

2 ( )

gy dP F t

t

r

¶F + ÑF + + =

¶

ò

⑥ Unsteady, irrotational flow t 0

æ¶ ö

ç = ÷

è ¶ ø

V

( ) P r = r

2 2

, 0

q

æ = ÑF ö

ç ÷

ç = ÑF = ÷

è ø

V

ω Euler Equation :

(Another form)

B t

¶ + Ñ = ´

¶

V V ω

^, ¹ ² ^, ² ² ² ²

2

B q gy dP q u v w

r

æ ö

= + + = + +

ç ÷

è

ò

ø

1 2

2

q gy dP C r

æ ö

+ + =

ç ÷

è

ò

ø

along streamlines and vortex lines

(

^r ⁼^constant

)

⑦ Incompressible flow Bernoulli

equation

1 2

2 ( )

gy P F t

t

r

¶F + ÑF + + =

¶

Newtonian fluid Stokes assumption Invicid flow

Unsteady flow Irrotational flow Incompressible flow Laplace

Equation

Ñ

²

F = 0

(12)

12

(13)

질량 X 가속도

P

Cauchy Equation

Cauchy Equation 유도 유도

y

dx dy

dz

미소 유체 요소 ü 미소 유체 요소가 받는 힘 (Newton’s 2^nd Law)

å ⁼ ⁺

=

_Body _Surface

dt

m d V F F F

(체적력 + 표면력) Æ Lagrangian & Eulerian description

Title Title

Surface forces are exerted on an area element by the surroundings through direct contact²⁾ Action at a distance

without physical Contact²⁾

13

x z

dx

물 늪지

유체의 종류에 따라 다르지만, 저항하는 힘을 느낌 (Q) 공기중에서도 표면력이 있는가?

(A) 있다.

(밀도가 작아서 작용하는 힘을 못 느낄 뿐)

ex) gravitational force , magnetic, electrostatic,…

r R

(14)

-

- Body Force Body Force

Body

=

Gravity

F F

ï î ï í ì

=

dxdydz g

mg F

F

dxdydz g

mg F

F

dxdydz g

mg F

F

z z

Gravity z

Body z

y y

Gravity y

Body y

x x

Gravity x

Body x

r r r

, ,

y

dx dy

dz 미소 유체 요소

지구상에서의 체적력

0 0

mg

=

= -

=

ü Gravitational force is a body force on Earth.

m r dxdydz

= g = g ( ^m ⁼ ^r ^dV ⁼ ^r ^dxdydz )

Title

Title _NAOE/SNU

14

x z

dx

지구상에서의 체적력

9.81 g =

^{: 중력가속도}

gy P =

(cf) 중력에 의한 포텐셜 에너지 :

중력력은 보존력(conservative force)이므로,

중력에 의한 포텐셜 에너지의 Gradient로부터 구할 수 있음

= -ÑP

g = -Ñ ( gy )

( gy ) g

x y z

é ¶ ¶ ¶ ù

= - ê + + ú = -

¶ ¶ ¶

ë û

i j k j

(15)

2

xx xx

dx x s - ^¶ s

¶

point

-

- Stress at a point Stress at a point

ü 한 점에서의 응력(Stress at a point)

y

dy

dz

Æ 어느 면에 어느 방향으로 힘이 작용하는지 정의해야 함 Orientation

of the surface

Direction

of the force è 2개의 방향 필요

①

②

dx

element

s

xx

₂

xx xx

dx x s + ^¶ s

¶

Title Title

15

x z

Orientation of the surface

Direction

s x x

Æ point를 element로 간주하여 면에 작용하는 응력을 정의한 후, dx,dy,dz가 거의 0에 가깝다 (dx,dy,dz→0)는 것으로부터 응력을 정의

Æ dx→0일 때, 두 면이 일치하므로,

응력의 크기는 같고, 방향은 반대로 정의됨

(16)

point

-

- Stress at a point Stress at a point

ü 한 점에서의 응력(Stress at a point)

Æ 어느 면에 어느 방향으로 힘이 작용하는지 정의해야 함 Orientation

of the surface

Direction

s x y

s

xx

s

xy

s

xz

s

yx

s

yy

s

yz

s

zx

s

zy

s

zz

Title

Title _NAOE/SNU

x y

z

16

s x y

s

yx

s

yy

s

yz

s

xx

s

xy

s

xz

s

_zx

s

zy

s

zz

s

zz

x y

z

dx

dy

dz

Æ 한 면에 수직인 성분과 2개의 접선 방향 성분으로 나타남 (3개의 응력 성분이 존재함)

Æ 육면체의 세 면에 대해 총 9개의 응력 성분을 정의

( ^s

^xx

^, ^s

^xy

^, ^s

^xz

^, ^s

^yx

^, ^s

^yy

^, ^s

^yz

^, ^s

^zx

^, ^s

^zy

^, ^s

^zz

)

3X3 Matrix 형태로 정리함

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

s s s

s s s s

s s s

é ù

ê ú

= ê ú

ê ú

ë û

응력 텐서 :

(stress tensor)

(17)

2

xy xy

dx x s -^¶s

¶ dy

dx

-

- Stress at a point Stress at a point

s

yx

s

xy

s

xy

s

yx

2

xy xy

dx x s +^¶s

¶ 2

yx yx

dy x s +^¶s

¶

2

xy xy

dx dydz x

s ^¶s

æ ö

ç + ÷

è ¶ ø

2

yx yx

dy dxdz x

s ^¶s

æ ö

ç + ÷

è ¶ ø

2

yx yx

dy dxdz x

s ^¶s

æ ö

ç - ÷

è ¶ ø

2

xy xy

dx dydz x

s ^¶s

æ ö

ç - ÷

è ¶ ø

dx dy

+

z

2 dy

2 dx

2 dy 2

dx

-

Point

-

※ Total moment y

(pf) 응력 성분 중에서

s

_xy

= s

_yx 이다.

(

^s^xz ⁼^s^zx^,^s^yz ⁼^s^zy

)

+ +

Title Title

2

yx yx

dy x s -^¶s

¶

dz

17

Æ rotational equilibrium of the element Point

(

² ²

) (

² ²

)

12 12

zz

m dxdydz

I dx dy r dx dy

= + = +

※ Mass moment of inertia

2 2 2 2

xy yx

z xy yx

xy yx

dx dx dy dy

M dydz dxdz

x x

dx dx dy dy

dydz dxdz

x x

s s

¶ ¶

æ ö æ ö

=ç + ÷ -ç + ÷

¶ ¶

è ø è ø

¶ ¶

æ ö æ ö

+ç - ÷ -ç - ÷

¶ ¶

è ø è ø

xydxdydz yxdxdydz

s s

= - ⁼

(

^s^xy ^-^s^yx

)

^dxdydz

zz z

I w & = M

(

² ²

) ( )

12 ^xy ^yx

dxdydz

dx dy dxdydz

r + w& = s -s

(

² ²

)

12r dx dy ^xy ^yx

w s s

+ & = - point이므로dx → 0 , dy → 0

※ Total moment

xy yx

s s

\ = ( ^s

^xz

⁼ ^s

^zx

^, ^s

^yz

⁼ ^s

^zy

)

0

= x

y

z

(18)

-

- Surface force on Surface force on Element Element

① x^{축에 수직한 면}

dx dydz x

xx

xx ÷

ø ç ö

è æ

¶ - ¶

2

s s

만큼 떨어진 곳에서 x축 방향으로 작용하는 힘

2 ± dx

표면력 중 x축 방향 힘 : 중심면으로부터

s

xx

s

_xx

Title

Title _NAOE/SNU

dx dydz dydz x

dx

F

_xx _xx

x

^xx _xx ^xx

÷

ø ç ö

è æ

¶ - ¶

÷ - ø ç ö

è æ

¶ + ¶

= 2 2

s s s s

18

dx dy

dz

dx dydz x

xx

xx ÷

ø ç ö

è æ

¶ + ¶

2

s s

dx dydz x

xx

xx ÷

ø ç ö

è æ

¶ - ¶

2

s s

x y

z

dxdydz x

xx

¶

= ¶ s

point

(19)

dy

dy dxdz y

yx

yx ÷÷

ø ö ççè

æ

¶ + ¶

2

s s

-

- Surface force on Surface force on Element Element

2 ± dy

② y^{축에 수직한 면}

Title Title

dy dxdz y

yx

yx ÷÷

ø ö ççè

æ

¶ - ¶

2

s s

dxdydz y

yx

¶

= ¶ s

x y

z

dx dy

dz

19

dy dxdz dxdz y

dy

F

_yx _yx

y

^yx _yx ^yx

÷÷

ø ö çç è

æ

¶ - ¶

÷÷ - ø ö çç è

æ

¶ + ¶

= 2 2

s s s s

s

yx

s

yx

(20)

dz dxdy z

zx

zx ÷

ø ç ö

è æ

¶ - ¶

2

s s

-

- Surface force on Surface force on Element Element

③ z^{축에 수직한 면}

2 ± dz

s

zx

s

zx

Title

Title _NAOE/SNU

dz dxdy z

zx

zx ÷

ø ç ö

è æ

¶ - ¶

2

s s

dxdydz z

zx

¶

= ¶ s

dz dxdy dxdy z

dz

F

_zx _zx

z

^zx _zx ^zx

÷

ø ç ö

è æ

¶ - ¶

÷ - ø ç ö

è æ

¶ + ¶

= 2 2

s s s s

20

dx dy

dz

dz dxdy z

zx

zx ÷

ø ç ö

è æ

¶ + ¶

2

s s

x y

z

(21)

-

- Surface force on Element Surface force on Element

dxdydz F

_xx

x

^xx

¶

= ¶ s

① x^{축에 수직한 면}

ü 표면력 중 x^{축 방향 힘}

zx yx

xx surface

x

F F F

F

_,

= + +

dxdydz z

y x

yx zx

xx

÷÷

ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶

= ¶ s s s

ü 표면력 중 y^{축 방향 힘}

dy

dy dxdz y

yx

yx ÷÷

ø ö ççè

æ

¶ +¶

2 s s

dx dydz x

xx

xx ÷

ø ç ö

è æ

¶ -¶

2 s s

dx dy

dz

dx dydz x

xx

xx ÷

ø ç ö

è æ

¶ +¶

2 s s

x y

z

Title Title

dxdydz F

_zx

z

^zx

¶

= ¶ s

dxdydz F

_yx

y

^yx

¶

= ¶ s

② y^{축에 수직한 면}

③ z^{축에 수직한 면}

ü 표면력 중 y^{축 방향 힘}

zy yy

xy surface

y

F F F

F

_,

= + +

dxdydz z

y x

zy yy

xy

÷÷ ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶

= ¶ s s s

ü 표면력 중 z^{축 방향 힘}

zz yz

xz surface

z

F F F

F

_,

= + +

dxdydz z

y x

yz zz

xz

÷÷

ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶

= ¶ s s s

dz dxdy z

zx

zx ÷

ø ç ö

è æ

¶ -¶

2 s s

dx dy

dz

dz dxdy z

zx

zx ÷

ø ç ö

è æ

¶ +¶

2 s s

x y

z dy dxdz y

yx

yx ÷÷

ø ö ççè

æ

¶ -¶

2 s s

x y

z

dx dy

dz

(22)

-

- Surface force on Surface force on Element Element

Surface z

Surface y Surface

x

Surface

= i ˆ F

_,

+ ˆ j F

_,

+ k ˆ F

_,

F

벡터 형태로 나타내면 (3) 미소 유체 요소에 작용하는 표면력

dxdydz z

y

F_x_Surface x^xx ^yx ^zx ÷÷

ø ö ççè

æ

¶ +¶

¶

= ¶s s s

,

③ 표면력 중 z^{축 방향 힘}

dxdydz z

y

F_z_Surface x^xz ^yz ^zz ÷÷

ø ö ççè

æ

¶ + ¶

¶ +¶

¶

= ¶s s s

dxdydz ,

z y

F_y_Surface x^xy ^yy ^zy ÷÷

ø ö ççè

æ

¶ +¶

¶

= ¶s s s

,

② 표면력 중 y^{축 방향 힘}

① 표면력 중 x^{축 방향 힘}

Title

Title _NAOE/SNU

22

Surface z

Surface y Surface

x

Surface

= i ˆ F

_,

+ ˆ j F

_,

+ k ˆ F

_,

F

[ ]

ˆ , , ˆ

ˆ

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

i

j dxdydz dxdydz x y z

k

s s s

s s s s

s s s

é ù é ù

ê ú

é ¶ ¶ ¶ ù ê ú

= ê ë ¶ ¶ ¶ ú ê û ê ú ú ê ú ê ú = Ñ ·

ë û ë û

dxdydz z k

y j x

z y

i x z y

x

yz zz zy xz

yy zx xy

xx yx

ú û ù ê

ë é

÷÷ ø ö çç è

æ

¶ + ¶

÷÷ ø ö çç è

æ

¶ + ¶

÷÷ ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶

= ¶ s s s ˆ s s s ˆ s s s ˆ

( ) ( ) ( ⁱ ^j ^k ) ^dxdydz

k z j

y i k

j

x

^xx

i

^xy ^xz ^yx ^yy ^yz ^zx ^zy ^zz

ú

û ù ê ë

é + +

¶ + ¶ +

¶ + + ¶ +

¶ +

= ¶ s ˆ s ˆ s ˆ s ˆ s ˆ s ˆ s ˆ s ˆ s ˆ

응력 텐서 : Symmetric Matrix

( Q s

xy

= s

yx

, s

xz

= s

zx

, s

yz

= s

zy

)

(23)

Cauchy Equation

Cauchy Equation 유도 유도

y

dx dy

dz 미소 유체 요소

å ⁼ ⁺

=

_Body _Surface

dt

m d V F F F

(체적력 + 표면력)

dxdydz w z

v y u x

t dt

m d ÷÷

ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶

= ¶ V V V V

V r ( ^m ⁼ ^r ^dxdydz )

ü 미소 유체 요소가 받는 힘 (Newton’s 2^nd Law)

Title Title

대입

23

x z

dx

dxdydz

Body

g

F = r F

Surface

= [ Ñ · s

ij

] ^dxdydz

[ ]

u v w dxdydz dxdydz dxdydz

t x y z

r ^æ ç ^¶ + ^¶ + ^¶ + ^¶ ^ö ÷ = r + Ñ · s

¶ ¶ ¶ ¶

è ø

V V V V

g

u v w

t x y z

r ^æ ç ^¶ + ^¶ + ^¶ + ^¶ ^ö ÷ = r + Ñ · s

¶ ¶ ¶ ¶

è ø

V V V V

g

=> Cauchy Equation 로 나누면

dxdydz

(24)

24

(25)

Navier

Navier- -Stokes Equation Stokes Equation 유도 유도

ü Cauchy Equation

d u v w

dt t x y z

r = r ^æ ç ^¶ + ^¶ + ^¶ + ^¶ ^ö ÷ = r + Ñ · s

¶ ¶ ¶ ¶

è ø

V V V V V

g

z y

g x z

w u y v u x u u t

u

xx yx _zx

x

¶

+ ¶

¶ + ¶

÷÷ = ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶

¶ s s s

r

x^{축 성분 :}

r

z y

g x z

w v y v v x u v t

v

xy yy zy

y

¶

+ ¶

¶ + ¶

÷÷ = ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶

¶ s s s

r

y^{축 성분 :}

r

z y

g x z

w w y v w x u w t

w

xz yz _zz

z

¶

+ ¶

¶ + ¶

÷÷ = ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶

¶ s s s

r r

Title Title

(Q) 3개의 식인데, 미지수는 몇 개?

Great Idea !!! 응력 텐서를 속도로 표현하자!!! 25

z y

g x z

w w y v w x u w t

w

xz yz _zz

z

¶

+ ¶

¶ + ¶

÷÷ = ø ö çç è

æ

¶ + ¶

¶

¶ s s s

r

z^{축 성분 :}

r

(A) 밀도(1개), 속도 (3개), 응력 텐서(6개) 총 10개의 미지수가 존재

( r , u , v , w , s

xx

, s

xy

, s

xz

, s

yy

, s

yz

, s

zz

)

응력 텐서 9개 성분 중 대칭성으로 인해 6개의 미지수 존재

( s

ij

= s

ji

)

Æ 유체 입자의 운동과 변형, 뉴턴 유체의 가정으로부터 유도할 수 있음

(26)

P

Navier

Navier- -Stokes Equation Stokes Equation 유도 유도

0 0

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

P

s s s

s s s s

s s s

é ù é - ù

ê ú ê ú

= ê ú = ê - ú

ê ú ê ë - ú û

ë û

ü 응력 텐서 성분의 분해 : 정지 상태의 유체인 경우

미소 유체 요소

P

: 이상기체의 상태방정식과 같은 열역학 방정식으로부터 구해지는

열역학적 압력(thermodynamic pressure)

P

Title

Title _NAOE/SNU

P

26

dy

x y

z

dx

dz

2 P P dx dydz x

æ ¶ ö

ç + ÷

è ¶ ø

2 P P dx dydz x

æ ¶ ö

ç - ÷

è ¶ ø

P

2 2

0

xx

P dx P dx

F P dydz P dydz

x x

P dxdydz mx x

¶ ¶

æ ö æ ö

= - ç + ÷ + ç - ÷

¶ ¶

è ø è ø

= - ¶ = =

¶ &&

Æ 정지 상태에서의 미소 유체 입자의 양쪽 면에 작용하는 열역학적 압력은 같다.

Æ 동일한 방법으로 다른 두 축에 대한 열역학적 압력도 고려하면, 모든 면에 작용하는 열역학적 압력은 동일함

P

(27)

Navier

Navier- -Stokes Equation Stokes Equation 유도 유도

0 0

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

P

s s s

s s s s

s s s

é ù é - ù

ê ú ê ú

= ê ú = ê - ú

ê ú ê ë - ú û

ë û

ü 응력 텐서 성분의 분해 : 유체가 운동하는 경우

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

t t t

é ù

ê ú

+ ê ú

ê ú

ë û

유체 입자가 운동하면, 점성에 의해 각 면에 응력이 발생함

Title Title

27

(28)

뉴턴

뉴턴 유체 유체 (Newtonian Fluid) (Newtonian Fluid)

y velocity profile ( )

u y

dudt

dy dq

ü 미소 구간에서의 전단변형율

tan dudt du

d d dt

dy dy

q » q = =

ü 전단변형율의 시간변화율은 속도 구배와 같음

d du

dt dy q =

ü 뉴턴 유체(Newtonian fluid)

: 전단응력이 전단변형율의 시간변화율에 비례 ---①

Title

Title _NAOE/SNU

28

ü 뉴턴 유체(Newtonian fluid)

: 전단응력이 전단변형율의 시간변화율에 비례

d

dt t µ q

ü 뉴턴 유체(Newtonian fluid)의 특징 ---②

: ①,②에 의해, 전단응력은 속도구배에 비례함 (비레 상수 μ : 점성 계수)

du

t µ dy du

t = m dy

Newtonian

Pseudoplastic

d dt

q

Dilatant Plastic

Ideal Bingham plastic

t

(29)

-

- 유체 유체 입자의 입자의 운동과 운동과 변형 변형

①

③

②

① è ④

: 유체 입자의 이동 경로

è

: 유체 입자의 변형

Æ 즉, 유체 입자는 운동(병진,회전)하면서, 변형(전단변형,선형변형)도 함

Title Title

29

④

③

병진 운동 (translation) 회전 (rotation)

전단변형(angular distortion) 선형변형(volume distortion)

(30)

-

- 전단변형에 전단변형에 의한 의한 전단력 전단력

b d a

d

x y

회전과 전단변형으로 나타낼 수 있음

전단변형(shear strain) 회전 (rotation)

q

1

d q

2

d

q

1

d

q2

d

p

2 1

d d d

a q q

b q q

- = - +

= +

L L

①

② p p

v x( )

L

u y( )

M

t

xy

t

yx

+ +

t

yx

t

xy

Title

Title _NAOE/SNU

30

x

2 1

d d d

a q q

b q q

- = - +

= +

L L

①

②

(1) ②에서 ①을 빼면, d

b

+d

a

= 2d

q

₂

( )

2

1

d

q

= 2 d

a

+d

b

Æ 전단변형율 (2) dt로 나누면, ² 1

2

d d d

dt dt dt

q

_æ

a b

_ö

= ç + ÷

è ø

Æ 전단변형율(의 시간변화율)

(3) 뉴턴 유체라 가정하면, 전단응력은 전단변형율의 시간변화율에 비례함 (비례상수 2μ)

2 1

2 2

2

d d d d d

dt dt dt dt dt

q a b a b

t

=

m

=

m

^æç + ^ö÷=

m

^æç + ^ö÷

è ø è ø

(4) 전단변형율의 시간 변화율은 속도 구배와 같음 du dv

dy dx

t

=

m

^æç + ^ö÷

è ø ^xy ^yx

t t

= =

xz zx ,

du dw dz dx

t

=

t

=

m

^æç + ^ö÷

è ø ^yz ^zy

dv dw dz dy

t

=

t

=

m

^æç + ^ö÷

è ø

(5) 동일한 방법에 의해 다음도 성립함 Given : _d_a_,_d_b

Find : 전단응력

^t

^xy

(

⁼

^t

^yx

)

(31)

-

- 선형 선형 변형에 변형에 의한 의한 수직응력 수직응력

ü 선형 변형²⁾

등방 팽창^*: 각 축방향으로 동일한 길이만큼 팽창

u + du u

C B

dy

dx dx dudt

dy dvdt

Æ 시간 t에서의 부피 : V =dxdydz Æ 시간 t+dt에서의 부피 :

( )( )( )

( ) ( )

²

( )

³

V dV dx dudt dy dvdt dz dwdt

dxdydz dudydz dvdxdz dwdxdy dt dt dudvdw dt

+ = + + +

= + + + + L +

High order term 무시 High order term 무시

Title Title

31

u+du

u dx

dy

O A

'

O

^A

'

B

C

' A

'

후

B

dt

udt ( ^u ⁺ ^{du dt} )

O O' A'

' ( )

AA = u + du dt - udt = dudt

속도차이에 의해 선형적으로 늘어난 길이

( )( )( )

( ) ( )

²

( )

³

V dV dx dudt dy dvdt dz dwdt

dxdydz dudydz dvdxdz dwdxdy dt dt dudvdw dt

+ = + + +

= + + + + L +

( )

dxdydz dudydz dvdxdz dwdxdy dt

@ + + +

du dv dw dxdydz dxdydz dt

dx dy dz

æ ö

= + ç + + ÷

è ø

du dv dw

V V dt

dx dy dz

æ ö

= + ç + + ÷

è ø

High order term 무시

dV V dt

\ = Q

^du ^dv ^dw

dx dy dz

æ ö

Q = Ñ = + +

ç ÷

è ø

gV

(32)

-

- 선형 선형 변형에 변형에 의한 의한 수직응력 수직응력

(등방 팽창^*) (각 축 방향 팽창)

dy dx

dx dudt

dy

dvdt High order term 무시

Title

Title _NAOE/SNU

32

(33)

-

- 선형 선형 변형에 변형에 의한 의한 수직응력 수직응력

dy dx

dy

dx dl

dl

(등방 팽창^*)

dV = Q V dt

^du ^dv ^dw

dx dy dz

æ ö

Q = Ñ = + +

ç ÷

è ø

gV

Æ 등방 팽창이므로, t+dt에서 증가한 부피 dV 중 1/3이 각 축방향으로 증가한 부피

dy

dx dl

dl

미소항으로 소거된 부분

1 3dV 1

3dV

Title Title

33

dV = Q V dt

^du ^dv ^dw

dx dy dz

æ ö

Q = Ñ = + +

ç ÷

è ø

gV

1 1

3 dV = 3 V dt Q = dldydz

(x축으로 등방 팽창한 부피)

1 1 1

3 3 3

V dxdydz

dl dt dt dxdt

dydz dydz

= Q = Q = Q

1 1

3 dl

dt dx æ ö

= Q

ç ÷ è ø

dl로 정리

dxdt로 나눔

Æ 등방팽창에 의한 변형율

Æ 등방팽창에 의한 변형율의 시간변화율

,

1 3 3

dilation isotrpic

t

x

= g Q = Q g

Æ등방팽창에 의한 수직응력은 등방팽창에 의한 변형율의 시간변화율에 비례함 (비례상수 : 3γ)

(분수를 소거하기 위해 3 γ 를 택한 것)

(34)

-

- 선형 선형 변형에 변형에 의한 의한 수직응력 수직응력

dy dx

dy

dx dl

dl

(등방 팽창^*)

dy

dx dl

dl

1 3dV 1

3dV

dy

dx dl

dl

1 3dV

dx¢

dudt

dx dudt dl dudt dl

dx dx dx dx

¢ -

= = -

Æ 등방 팽창을 제외한 x축방향의 팽창에 의한 변형율의 시간 변화율 - x축방향의 변형율 :

1 1

3 dl

dt dx æ ö

= Q

ç ÷ è ø

Æ 등방팽창에 의한 변형율의 시간변화율

du dv dw dx dy dz

æ ö

Q = Ñ = + +

ç ÷

è ø

gV

Title

Title _NAOE/SNU

34

dx dudt dl dudt dl

dx dx dx dx

¢ -

= = -

1 1 1

3 dx du dl du

dt dx dx dt dx dx

¢ = - = - Q

- x축방향의 변형율의 시간변화율 :

1 1

3 dl

dt dx æ ö

= Q

ç ÷ è ø

Æ 등방 팽창을 제외한 x축방향의 팽창에 의한 전단응력 (비례상수 : 2μ)

,

1 2 3

dilation x x

u

t = m ^æ ç ^¶ x - Q ^ö ÷

è ¶ ø

λ,μ는 물질의 특성에 따라 달라지는 값

(35)

-

- 선형 선형 변형에 변형에 의한 의한 수직응력 수직응력

dy dx

dy

dx dl

dl

(등방 팽창^*)

dy

dx dl

dl

1 3dV 1

3dV

dy

dx dl

dl

1 3dV

dx¢

dudt

1 1

3 dl

dt dx æ ö

= Q

ç ÷ è ø

Æ 등방팽창에 의한 변형율의 시간변화율 Æ x축 방향의 팽창에 의한 전단응력 ( )dilation isotropic^, dilation x^,

xx x x

t =t +t

, ,

dilation isotropic dilation x

xx x x

t = t + t

du dv dw dx dy dz

æ ö

Q = Ñ = + +

ç ÷

è ø

gV

Title Title

35

1 1

3 dl

dt dx æ ö

= Q

ç ÷ è ø

, ,

dilation isotropic dilation x

xx x x

t = t + t

2 2

3 u x

g m m ^¶

æ ö

= ç - ÷ Q +

è ø ¶

2 , 2

yy zz

v w

y z

t = Q + l m ^¶ t = Q + l m ^¶

¶ ¶

Æ 동일한 방법에 의해 다음도 성립함 :

2 u

l m ^¶ x

= Q +

¶

2 3 l g m

æ ö

= -

ç ÷

è ø

λ,μ는 물질의 특성에 따라 달라지는 값

( ) ² ^u

l m ^¶ x

= Ñ +

V ¶ g

2 1

3 u

g m ^æ ^¶ x ^ö

= Q + ç - Q ÷

è ¶ ø

등방팽창에 의한 수직 응력

등방팽창을 제외한 각 축방향의 수직 응력

Computer aided ship designComputer aided ship designPart 2. Ship Motion & Wave LoadPart 2. Ship Motion & Wave Load