Lecture Note: Acceleration Analysis II

(1)

Lecture Note: Acceleration Analysis II

무릇 지킬만한 것보다 더욱 네 마음을 지키라 생명의 근원이 이에서 남이니라

(잠언 4 장 23 절)

(2)

해석적 가속도 해석방법

위 그림에서



 cos

cos l

r

x   r sin   l sin 

^{--- (1)}

이 식을 미분하면





 sin  sin

 r l

x    r  cos   l   cos 

--- (2) 따라서

 

 



 



 



 



 



 



 



 

 

 



 



 2 cos

2 sin sin

cos sin cos

sin r r l

l r r

r x

이 식을 다시 미분하면

   ^ ^



 



 



 







 cos

cos cos

2 sin 2 sin 2 cos

2 cos cos

2 2 cos sin

sin

² ² ² ² ² ² ₂

l r l

r l r l

r l r

r

x   

 



 

 

 



 







위에서 보듯이 순수한 해석적인 방법은 매우 복잡한 식을 초래하게 되는 경우가 많이 있다.

따라서 언뜻 보기에는 좋아 보여도 경우에 따라 많은 시간과 노력을 소요해야 하는 경우도 종종 발생한다. 그러므로 이 방법은 엔지니어가 직접 식을 유도하여 해석을 진행해야 하는 경우에는 제한적으로 사용하는 것이 바람직하다. 그러나 최근에는 해석적 계산을 수행하는 Symbolic computation 방법들이 (MAPLE, MATHEMAICA) 발전되어 사용되고 있는 추세이므로 이러한 전산방법을 이용한다면 오히려 더 편리할 수도 있다.

(3)

복소대수를 이용한 가속도 해석방법

라벤에 의해 제시된 복소수를 이용하여 가속도를 구하는 방법을 위 예제를 이용하여 다루어 보자. 위 예제에 대해 폐루프 방정식은 다음과 같이 기술할 수 있다.

0

4 2 1 3

2

3

2



^j



^^j



^j



j

r e r e r e

e r

 

 --- (1)

위 식의 실수와 허수 부를 분해하면,

0 cos

cos

₂ ₃ ₃ ₄

2

 r  r 

r  

0 sin

sin

₂ ₃ ₃ ₁

2

 r  r 

r  

위의 두 번째 식을 풀이하면

 

 



  



^

3 2 2 1 1

3

sin sin

r r

r 



이제 위 식을 첫 번째 식에 대입하면

r

₄를 구할 수 있다. 즉,

3 3 2 2

4

r cos  r cos 

r  

이상은 위치 해석의 과정을 보여준다. 다음은 속도 해석을 수행하기 위해 원래 주어진 폐루프 방정식을 미분해 보자.

0

4 3

3 2

2

3

2



^j



^j



j

jr e r e

e

jr 

^



^



^{--- (2)}

위 식을 실수와 허수 부로 나눈 후



₃^와

r

₄^{를 구하면,}

3 3

2 2 2

3

cos





 

r

 r

 r 

₄

  r

₂

sin 

₂



₂

 r

₃

sin 

₃



₃

이상은 속도 해석의 과정을 보여준다.

(4)

이제 가속도 해석을 위해 식(2)를 한번 더 시간에 대해 미분하면,

0

4 2

3 3 3

3 2

2 2 2

2

3 3

2



^j



^j



^j



^j



j

r e jr e r e r e

e

jr 

^



^



^



^

 

이제 위 식을 실수와 허수 부로 나누어



₃^와

r 

₄를 구하면,

3 3

3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2

3

cos

sin sin

cos











 

r

r r

r  

 

3 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2

4

r  sin  r  cos  r  sin  r  cos 

r      



본 예제는 편심까지 고려한 슬라이더-크랭크 예제임에도 불구하고 앞 절에서 소개한 순수한 해석적 방법에 비해 유도과정이 훨씬 덜 복잡한 것을 알 수 있다.

(5)

운동기하 계수를 이용한 가속도 해석방법

3 장에서 운동기하 계수와 관련하여 다음 방정식이 유도 되었다.

2 2 4 4 4 3 3

3

sin   r sin   r sin 

r    



2 2 4 4 4 3 3

3

cos   r cos   r cos 

r     

위 두 식을



₂^{에 관해 미분하면}

2 2 4 4 4 2 4 4 4 3 3 3 2 3 3

3

cos   r sin   r cos   r sin   r cos 

r        



2 2 4 4 4 2 4 4 4 3 3 3 2 3 3

3

sin   r cos   r sin   r cos   r sin 

r        



위에서 double prime 은



₂에 관해 두 번 미분한 값을 의미한다. 위 두 식을 풀이하면,



3 4



3

4 2 4 1

3

sin

sin cos



 



 

 r

f

4



3 4



3 2 3 1

4

sin

sin cos



 



 

 r

f f

여기서

2 4 4 4 2 3 3 3 2 2

1

 r cos   r cos     r cos    f

2 4 4 4 2 3 3 3 2 2

2

 r sin   r sin     r sin    f

2 계 운동기하 계수를 이용하여 각가속도를 구하면 (체인 룰을 이용해 계산해 볼 것)

2 3 2 2 3

3

   

    

2 4 2 2 4

4

   

    

(6)

체이스의 가속도 해석방법

위 4 절 기구에 대한 폐루프 방정식은 다음과 같다.

4

0

3 2

1

 r  r  r  r    

이 식을 미분하면 (벡터 미분정리 이용)

4

0

4 3 3 2

2

 r     r     r  

  



^{--- (*)}

k k ˆ , ˆ

3 3 2

2

  

    

그리고

r 

₂

 r

₂

r ˆ

₂

, r 

₃

 r

₃

r ˆ

₃

, r 

₄

 r

₄

r ˆ

₄

의 식을 위 식에 대입하면,

0 ˆ ) ( ˆ ˆ )

( ˆ ˆ )

( ˆ

₂ ₃ ₃ ₃ ₄ ₄ ₄

2

k  r  r k  r  r k  r 

r   

위 식에

ˆr

₄^혹은

ˆr

₃을 내적 하면 좌변의 세 번째나 네 번째 항이 사라지고 이로부터



₃

혹은



₄를 구해 속도해석을 완료할 수 있다. 이제 다시 (*) 식을 미분하면,

0 ) (

) (

)

(

₂ ₂ ₃ ₃ ₃ ₃ ₃ ₄ ₄ ₄ ₄

2 2

2

 r       r     r       r     r       r  

        



위 식을 요소를 대입하여 다시 쓰면

ˆ 0 ˆ )

( ˆ ) ˆ

ˆ ˆ ˆ (

ˆ )

( ˆ

₂ ₂ ₂² ₂ ₃ ₃ ₃ ₃ ₃² ₃ ₄ ₄ ₄ ₄ ₄² ₄

2

k  r  r r  r k  r  r r  r k  r  r r 

r      

앞의 경우와 마찬가지로 위 식에

ˆr

₄ ^혹은

ˆr

₃을 내적 하면 좌변의 세 번째나 다섯 번째 항이 사라지고 이로부터



₃^혹은



₄를 구할 수 있다.

(7)

가속도 순간중심

서로 다른 두 강체에 고정된 점이 공간 상 같은 위치에서 가속도가 같아지는 점을 가속도 순간중심이라 부른다. 가속도 순간중심은 그러나 속도 순간중심처럼 유용하게 사용되고 있지 못하며 가속도 순간중심은 속도 순간중심과 일반적으로 일치하지 않는다. 특별히 일치하는 경우로는 기구의 핀 조인트 점들이 있다.

한 강체의 각속도와 각가속도



와



를 알고, 그 강체 상 한 점

A

의 가속도 값을 알고 있다고 하자. 가속도가 0 이 되는 점을

P

라 하면, 2 점 정리 가속도 공식에 의해

ˆ ) ( ˆ ˆ

2

AP AP

A

R R R k R

A ^      

. 따라서 아래 그림에서

 

 



 tan 

₂



 

^또한

A

_A

 R

_AP



⁴

 

² 

2

4



 



^A

AP

R A

위 두 식으로

P

점의 위치와 방향이 결정될 수 있다.



^방향이

A

의 가속도 방향을 기준 으로 반시계방향인지 시계방향인지는



의 부호가 결정한다.

만일 동일한 강체 위에 고정된 두 점의 가속도만 안다고 할 때, 가속도 순간중심은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. 이 방법의 증명과정은 생략한다.

동일 강체 위에 고정된 두 점

A

와

B

의 위치를 알고 동시에 두 점의 가속도

A 

_A

와

A 

_B

를 안다고 하면, 두 점이 고정된 강체가 기반 링크와 만드는 가속도 순간중심은 다음과 같이 구한다.

1. 평면 상에 두 점을 위치시키고 그로부터 가속도를 화살표로 위 그림과 같이 그린다.

2. 두 가속도의 연장선이 서로 만나는 점을

Q

^{라 하면 세 점}

Q

^,

A

^,

B

^{가 만드는}

원을 그린다.

3. 두 가속도 벡터 끝 점과

Q

점이 만드는 원을 또 그리면 2 에서 그린 원과 여기서 그린 원이 만나는 또 다른 점

P

가 바로 구하려는 가속도 순간 중심점이다.

P

Q

A B



(8)

오일러-사바리 방정식

전 주 강의노트에서 우리는 상대적인 경로가 주어질 때 유용하게 사용할 수 있는 관찰 가속도 식을 다루었다 (1 점 정리). 그런데 이 경로를 따라 움직이는 점의 가속도 성분 중 법선 방향 성분은 경로의 곡률반경을 알아야 구할 수 있는 것을 확인하였다. 그러므로 기구상의 임의 점이 선정되었을 때 그 점이 운동하며 만드는 경로의 곡률을 구할 수 있다면 상당히 유용할 것이다. 여기서는 평면 기구 상 한 점의 곡률 반경과 곡률중심점의 위치를 구하기 위한 방법을 소개하려 한다.

일반적으로 두 강체가 평면 상에서 상대 운동을 할 때 (예로 기구의 두 링크간 상대운동) 한 강체에 속한 점

A

의 경로는 다른 강체에 고정된 좌표계에 대해서 기술될 수 있다.

A

가 만드는 이 경로의 곡률 중심점을

A

이라 한다면 기구학적 변환 개념을 이용하면

A

가 또한

A

이 만드는 경로의 곡률중심점도 될 수 있을 것이라는 점을 쉽게 추론할 수 있다. 이렇게 정해지는 두 점을 켤레점이라 하며 두 점간 거리가 곡률 반경이 된다.

아래 그림은

C

을 중심으로 하는 순간중심궤적과

C

를 중심으로 하는 순간중심 궤적을 나타낸다. 여기서는 설명 편의상

C 

을 고정 순간중심 궤적의 중심점으로 하였으나 실제로는 고정될 필요가 없고 곡률을 찾는 경로를 포함하는 링크에 고정되면 된다. 또한 순간중심궤적이 아래와 같이 원의 형상을 가질 필요도 없다. 여기서는 다만 두 순간중심 궤적이 접하는 접점

P

에서의 곡률에 의해 순간적으로 생성된 두 원을 그려 놓은 것이다.

아래 그림에서

C

점은 순간중심점

P

를 중심으로 회전하나

C

가 만드는 궤적의 곡률중심은

P

점이 아니라는 것을 이해해야 한다. 만일

P

점이 고정되어 있다면 그 점이 곡률중심점이 되겠으나

P

점은 아래의 경우 움직이고 있으며 따라서 곡률중심은

C 

점에 위치하는 것이다.

(9)

3 장 두 번째 강의노트 마지막 부분에서 언급되었듯이 두 순간중심 궤적은 서로 구름 접촉을 하는 물체가 상대운동을 하듯이 미끄럼 없이 상대 운동을 한다. 그런데

P

점은 지금 두 강체의 속도 순간중심점이기 때문에 우리는 두 궤적을 마치 구름접촉 운동을 하는 두 강체의 형태 선으로 생각할 수 있다.

만일 아래에 있는 고정된 원형 강체에 대한 위에 위치한 원형 강체의 각속도를



^라

한다면 위에 위치한 원형 강체의 중심점

C

의 속도는 다음과 같이 주어진다.

CP

C

R

V  

^{--- (1)}

이와 유사하게 위 원 강체에 속한 임의 점

A

의 (그 곡률 중심을

A

라 하자) 속도는

AP

A

R

V  

^{--- (2)}

운동이 진행되면서 순간 중심

P

가

이동하는 속도 v

는 (이동하는

P

점은 두 강체 중 어느 강체에도 고정된 점이 아니며

C

점을 중심으로 회전하는 가상 강체에 속한 점이다) (1)식에서 구한 구름운동을 하는 위 강체 중심점의 속도와 가상강체에 속한

C

점의 속도는 같으므로, 그림에서와 같이 삼각형 닮은꼴을 이용하여 다음과 같이 구해진다.

C C C

C

P

V

R v R





 ^{--- (3)}

이제

v

의 성분 중

V

_A에 평행한 성분을 구하고 (이를

u

라 표시하였음)

V

_A와

u

의 끝 점을 연결선을 그려 이 선이

A

와

P

를 연결하는 선과 만나는 점이

A

의 곡률 중심인

A

이다. 이렇게

A

을 구하는 작도 방법을 하트만 구성도라 부른다. 하트만 구성도의 중요개념은 순간중심점

P

가 움직이는 속도의 접선방향 성분을 가지고 임의 점의 켤레점을 구할 수 있다는 것이다.

하트만 구성도의 개념을 따르면 위 그림에서 접선과

A

와

P

를 연결하는 선이 수평선과 이루는 각도를



^{라 하면}

u

는 다음과 같이 구할 수 있다.

 sin v

u 

^{--- (4)}

또한 그림에서

A A A

A P

V R u R





 ^{--- (5)}

따라서 (4)와 (5)식에 (1-3)식을 대입하고 등호관계를 맺으면







^P^A ^AP

CP C P

R R R R

R u R





 sin

(10)

이 식을 정리하면

v R R

R R

CP C P

C C AP

A P

A

   



sin

그런데

R

_A_A_

 R

_AP

 R

_A__P^그리고

R

_C_C_

 R

_CP

 R

_C__P를 이용하면 (부호를 고려할 것)

 

 



 

 



 



 



P CP CP

A

AP

R R R

R

1 sin 1

1 1 

^{--- (6)}

위 식을 오일러-사바리 방정식이라 부른다. 이 방정식이 나타내는 바는 일단 두 순간중심 궤적의 곡률반경

R

_CP^와

R

_C'_P이 알려지면 두 켤레 점

A

^와

A

의 위치를 순간중심

P

^에

대해 결정할 수 있다는 것이다.

오일러-사바리 방정식의 중요 결점은 이 식을 이용하기 위해

R

_CP^와

R

_C__P^{을 동시에 알아야}

한다는 점이다. 이러한 문제점을 극복하기 위해서 순간중심 궤적의 법선 상에 위치한 다음의 관계를 만족하는 특별한 점

I

를 이용한다.

 

 



 



P C CP

IP

R R

R

1 1 1

오일러 사바리 방정식에서

A

^를

I

^{로 선정하면 (}



값이 90 도이므로)

P

R

I_

1

의 값이 0 이

되어야 하므로

R

_I__P의 값은 무한대가 된다. 즉

I 

점은 무한대의 위치에 존재한다.

I

^점과

같이 켤레점이 무한대에 위치하면 그가 만드는 경로는

I

점에서 무한대의 곡률반경을 갖는 변곡점을 갖게 되며 이러한 점을 변곡극점이라 (inflection pole) 부른다.

만일

I

점 이외에도 그 켤레점을 무한대의 위치에 갖는 점이 있다 하고 그 점을

I

_A점이라 하면 (그 켤레점은

I 

_A 이라 하자) _I__P

 

R

A 이다. 따라서 이를 오일러-사바리 방정식에 대입하면,

IP P

I P

I

R R

R

sin 1 1

1   





 



 





(11)

이를 정리하면 (좌변 괄호 안 두 번째 항이 0 이 되므로)



IP

sin

P

I

R

A



이 방정식은 직경을

R

_IP 로 갖는 원의 방정식이며 이를 변곡원이라 (Inflection circle) 부른다. 이제 이 변곡원 방정식을 이용하여 오일러-사바리 방정식을 다시 쓰면,

P I P A

AP

R R

_A

R

1 1

1  



 



 



--- (7)

아울러 두 켤레점 사이의 거리 즉 곡률반경은 다음 식에 의해 구할 수 있다 (증명 생략).

AIA

AP A

A

R

R R



2



_



--- (8)

(7)식과 (8)식을 수정된 오일러-사바리 방정식이라 부른다. 원래의 오일러-사바리 방정식과 달리 이 식은 순간중심 궤적의 곡률 반경을 몰라도 사용할 수 있으므로 훨씬 유용하다.

다만 이 식을 사용하려면 변곡원을 구할 수 있어야 하는데 그것을 구하는 방법은 통상 (8)식을 이용해 구하는데 예제를 통해 설명하는 것이 이해가 쉬우므로 다음 예제를 통해 설명하기로 한다.

(예제)

<문제>

위 슬라이더 크랭크 기구의 커플러 상의 한 점

C

의 곡률 중심과 곡률 반경을 구하라.

<풀이>

우선 다음 쪽의 그림과 같이 링크 1 과 3 의 순간중심점

P

를 (정식 표기로는

P

₁₃) 구한다.

이제 변곡원 상에는

P

와

B

가 (왜냐하면 직선 슬라이딩 조인트로 인해 운동의 곡률반경이 무한대이므로) 있어야 하므로 하나의 점만 더 구하면 된다.

(12)

이제

A

점의 곡률 중심은

O

₂이므로 (이제

A

이라 표기함) 수정된 오일러-사바리 방정식의 두 번째 식으로부터 다음 식을 구할 수 있다.

A A AP

AI

R

R R

A 



²

여기서

I

_A의 위치를 결정할 수 있고 이제 3 개의 변곡원을 위한 점이 확보되었으므로 원을 그릴 수 있다. 원의 직경은

P

에서 법선을 그어 원과 만나는 점

I

를 구해 구한다.

이제

P

에서

C

를 연결하는 연장선을 그어 만나는 점

I

_C를 구하고 이를 이용하여 다음에 기술된 수정 오일러-사바리 방정식의 두 번째 식을 이용하여

C

의 곡률중심

C 

을 구한다.

CIC

CP C

C

R

R R

2



_



위 계산 과정에서

I

_A^나

C 

의 위치가 어떤 방향으로 결정되는지 부호에 주의하라. 즉,

R

CC_와

CIC

R

의 방향이 같아야 한다.

(13)

바빌리어 구성도

B B BP

BI

R

R R

B 



²

A A AP

AI

R

R R

A 



²

위 그림은 변곡원과 순간중심점

P

에서의 접선 그리고 법선이 그려진 그림이다. 먼저 움직이는 강체 상의 (

P

와 일직선상에 있지 않는) 임의의 두 점

A

와

B

를 선택한다.

다음은 오일러-사바리 방정식에 의해

A

과

B

을 구한다. 두 점

A

와

B

를 연결하는 직선과

A

과

B

을 연결하는 직선이 만나는 점을

Q

라 표기하자. 이제

P

점과

Q

점을 연결하는 직선을 공통직선축이라 (Collineation axis) 부른다. 이 때 접선과

A

와

A

을 연결하는 선이 이루는 각도는 공통직선축과

B

와

B

이 이루는 각도와 항상 동일하다라는 것이 바빌리어 정리이다. (증명생략)

하트만 구성도는 켤레점과 경로의 곡률반경을 결정하는 하나의 방법론을 제시한다. 그러나 이 방법을 사용하려면 두 순간중심 궤적의 곡률반경이 필요하다. 두 순간중심 궤적의 곡률반경 없이 주어진 점에 대해 켤레점과 변곡원을 구할 수 있는 작도 방법이 있다면 더 바람직할 것이다. 여기서는 그러한 방법을 소개하려 한다.

4 절 기구와 같이 주어진 기구에서 두 세트의 켤레점을 구할 수 있는 경우가 종종 존재한다.

이 때 이러한 주어진 정보를 이용하여 변곡원을 어떻게 구할 수 있는가? 다음 쪽의 그림은 그 방법을 그림으로 보여주는데 이를 바빌리어 구성도라 부른다. 그림에서

A

와

B

그리고

A

과

B

을 알려진 두 켤레점 세트라 하자. 또한 앞에서 언급된 대로

Q

점을 찾은 후

P

점과 연결하여 공통직선축도 그린다. 이 첫 번째 과정은 아래 그림 (a)에 나타나 있다.

(14)

이제 두 번째 과정은 그림 (b)에 나타나 있는데 점

P

에서

A

과

B

의 연결선에 평행한 선을 그어 이 선이

A

와

B

를 연결하는 선과 만나는 점을

W

라 한다. 이제

W

에서 공통직선축에 평행선을 그어 이것이

A A

과 만나는 점이

I

_A이고

B B

과 만나는 점이

I

B이다.

이제 세 번째 과정으로 세 점

P

,

I

_A,

I

_B 를 이용하여 변곡원을 그릴 수 있다. 그런데

I

A점에서

A A

에 수직선을 긋고

I

_B점에서

B B

에 수직선을 그으면 두 선이 만나는 점이

I

가 된다. 이제

P

와

I

를 연결하는 선은 변곡원의 직경에 해당하니 원을 아주 쉽게 그릴 수 있다. 이렇게 그린 바빌리어 구성도는 바빌리어 정리의 결과와 일치하는 것을 확인할 수 있다.

(15)

이제 마지막으로 남은 문제는 임의의 한 점

C

의 켤레점을 어떻게 구하는가 하는 것이다.

1. 우선

C

와

P

를 연결하여 그 선이 변곡원과 만나는 점에서

I

_C를 구한다.

2. 다음은

I

_C 와

I

를 연결하고

P

에서 이 선에 평행한 선을 그으면 그 선이 공통직선축이다.

3. 다음은 공통직선축과

I

와

C

를 연결하는 직선이 만나는 점이

Q

점이다.

4. 이제

Q

에서

I

와

P

를 연결하는 선에 평행한 선을 그어 이것이

C

와

P

를 연결하는 직선과 만나는 점이

C

점이 된다.

앞에서 소개된 수정된 오일러-사바리 정리에서는 수식을 이용하여 켤레점을 구하는 과정이 소개되었으나 여기서는 수식의 도움 없이 켤레점의 위치를 구하는 과정이 소개되고 있다.

이것이 바빌리어 정리의 장점이다.

(16)

운동기하 계수를 이용한 궤적의 곡률 반경

기구의 한 링크에 고정된 점

A

의 속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  ^

 ^

 V x i y j

V

_A



_A

ˆ

_A

 

_A

ˆ  

_A

ˆ

^{--- (1)}

따라서

 ^

A

r

V  

여기서

r

_A

  x

_A



²

 y

_A



² 그러므로

 

A A A

A

x i y j r

 

 

 ˆ ˆ 1

 ˆ

^또한

 

A A A

A

x j y i r

 

 



 ˆ ˆ 1

 ˆ

이제 (1)식을 시간에 대해 한번 더 미분하면,

 ^x ^x   ⁱ ^y ^y  ^j

A ^

_A



_A

  ^

²

 

_A

 ^ ^ ˆ 

_A

  ^

²

 

_A

 ^ ^ ˆ

가속도의 법선방향 성분을

A

ⁿ_A이라 하면

ˆ 

2

 



 

 









 



 







A A A A A A

n

A

r

x y y A x

A

그런데 곡률반경

n A A

A V

²

 

이므로

A A A A

A

x y y x

r



 





 

³



따라서 곡률 중심

A

의 위치는 (

A

의 켤레점) 다음 식에서 구한다.

A A

A

R

R 

_

     ˆ

(17)

곡률정지점 궤적

4 절 기구의 커플러 상의 한 점이 기반 링크에 대해 운동하며 궤적을 형성할 때 현 위치에서의 곡률 반경을



라고 하면, 이 반경은 운동과 함께 연속적으로 변화한다.

그런데 어떤 경우는 다음의 식을 만족시키는 경우가 발생한다.

 0 ds d 

여기서

s

는 점이 이동한 궤적 상의 거리를 나타낸다. 이와 같이 궤적을 따라 곡률의 변화가 없는 점을 곡률정지점이라 부른다.

커플러 상의 모든 곡률정지점들을 연결하면 궤적을 형성하게 되는데 이를 곡률정지점 궤적이라 부르기로 한다. 곡률정지점 궤적이 의미하는 바는 일정한 곡률을 가질 수도 있으나 일반적으로는 곡률이 최대 혹은 최소가 된다는 의미이다.

이제 해인에 의해 제시된 곡률정지점 궤적을 얻는 방법을 살펴보자. 위 그림의 4 절 기구에서

A

와

B

점은

A

과

B

을 중심점으로 일정한 곡률 반경을 갖는다. 따라서

A

와

B

점은 곡률정지점 궤적에 속한다.

궤적 형성을 위한 첫 번째 과정은 순간중심 궤적의 접선과 법선을 얻는 것이다. 변곡원이 필요하지 않기 때문에

P

와

Q

를 연결하는 공통직선축을 그림과 같이 그리고 여기서 공통직선축과

P

와

A

를 연결하는 선 간 각도



를 얻는다. 이제 이 각도를 이용하여

(18)

P

와

B

를 연결하는 선과



의 각도를 이루는 접선을 그리고 다시 이에 수직인 법선을 그린다.

다음에는

P

와

A

를 연결하는 선에 수직인 선을

A

점으로부터 그려서

A

_N과

A

_T를 구한다.

유사한 방법으로

P

와

B

를 연결하는 선에 수직인 선을

B

점으로부터 그려서

B

_N과

B

_T를 구한다.

이제

A

_N 과

A

_T로부터 접선과 법선 방향으로 선을 그어 만나는 점에서

A

_G를 얻고 다시

B

N 과

B

_T 로부터 접선과 법선 방향으로 선을 그어 만나는 점에서

B

_G 를 얻는다. 이제

A

G와

B

_G를 연결하여 선

G

를 얻고 이 선을 이용하여 곡률정지점 궤적을 다음과 같은 방법으로 형성한다.

선

G

상에 임의 점

S

_G 를 정하고 이로부터

S

_N 과

S

_T 를 얻는다. 이제

S

_N 과

S

_T 를 연결하는 선과

P

에서 수직선을 내려 만나는 점이

S

점이 된다. 이와 같은 작업을 반복하면 곡률정지점 궤적을 생성시킬 수 있다.

그림에서 보듯이 곡률정지점 궤적 상의 점

P

에서는 두 개의 접선이 존재한다. 여기를 지나는 두 궤적의 곡률 반경은 다음과 같은 방법으로 구한다. 선

G

와 선

T

가 만나는 점을

G

_T 라 하고 선

G

와 선

N

이 만나는 점을

G

_N이라 하자. 이 때

P

에서

G

_T 까지 거리의 반이 법선에 접하는 궤적의 곡률반경이고

P

에서

G

_N 까지의 거리의 반이 접선에 접하는 궤적의 곡률 반경이다.

곡률정지점 궤적이 변곡원과 만나는 점을 볼의 점이라 부르며 흥미로운 특징을 갖고 있다.

즉, 볼의 점과 일치하는 커플러 상의 점은 그것이 변곡원 상의 점이므로 곡률이 무한대가 되고 곡률변화가 없으므로 거의 직선 경로를 생성한다.

Lecture Note: Acceleration Analysis II