½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 51, Number 6, 2005¸ 12 Z 4, pp. 495∼498

(1)

½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 51, Number 6, 2005¸ 12 Z 4, pp. 495∼498

r

\

A 0ì Å= k; c" e × P º8 ý ì Å] k ù

,

>

¦ û B ^∗

â

B@ / < Æ §, & ñ Ð@ / < Æ, â l ¸ 6 x 449-701 (2005¸ 10 Z 4 5{ 9 ~ Ã Î6 £ §)

A á

¤ o ½ ¨ ¸ H è H5 Å x s 1 l xd Ó ü t` ¦ q 2 © K ¸% _ & ³ © \ " f H ¸_ þ v s 9 s A á ¤ o ½ ¨

¸ü < ' a ) a % i < Æ& h $ í | 9 É r s ½ ¨ ¸ H _ < Æ& h , Ò q tÓ ü t < Æ& h , l © < Æ& h 1 p x _ & ³ © \ " f × æ כ ¹ô Ç _

p \ ¦ | 9 כ Ü ¼ Ð Ä »Æ Ò ) a . s 7 Hë H \ " f H " é ¶ A á ¤ o ½ ¨ ¸ Ð ÿ t K ^ _ + þ A\ @ / # ¶ ú (

R Ð ¤ . A á ¤ o ½ ¨ ¸ : £ ¤ Ä »_ Ô ¦ç H{ 9 $ í É r ü @Â Ò + þ A§ 4 \ @ /ô Ç ² D G è& h + þ A_ ì r í\ ¦ íA ¦ s

Ð K s [ þ t ½ ¨ ¸ : £ ¤ Ä »_ ò ø Í$ í x 9 è$ í \ ' aº ) a $ í | 9 s > ) a . s ü < ' a # A á ¤ o ½ ¨ ¸

\

¦ t H d Ó ü t õ è H5 Å x s \ " f % i < Æ& h $ í | 9 \ ' aº ) a & ³ © [ þ t` ¦ 7 H _ K : r .

PACS numbers: 05

Keywords: A á ¤ o , Ð ÿ t K ^

I. " e Â ] Ø

7 H5 Å x s _ 8 ú ¤ y ë ß Ü ¼ Ð s כ s B Ä º Ã Ì Ã Ì ¦ Â Ò" ft l /

'î r Ó ü t| 9 \ O 6 £ § õ ° ú É r F | 9 s H z ´` ¦ © l

H ~ 1 t · ú § É r X < s H è H5 Å x s _ A á ¤ o ½ ¨ ¸ M :ë H s . ¸

%

\ " f ' a8 £ ¤ ÷ & H A á ¤ o ½ ¨ ¸ü < s \ ' a ) a s ½ ¨ ¸_

%

i < Æ& h $ í | 9 \ ' a ) a ª ô Ç & ³ © \ " f ' a8 £ ¤ ½ + É Ã º e

x [1]. : £ ¤ y | Ã Ð_ ñf ¨ > , í H¨ 8 > 1 p x` ¦ q 2 © ô Ç #

Q l ' a _ ½ ¨ ¸ A á ¤ o ½ ¨ ¸\ ¦ Ð H כ É r ¸ ú · ú 9 4

R e ¦ s [ þ t _ ½ ¨ ¸ü < ' a ) a ò ø Í$ í & h $ í | 9 É r s [ þ t l ' a _

l 0 p x \ × æ כ ¹ô Ç % i ½ + É` ¦ o H & h É r Ø æì r y Ä »Æ Ò½ + É Ã

º e H z ´s . s ü @\ ¸ d Ó ü t s 1 l xÓ ü t \ " f ª ô Ç A

á

¤ o ½ ¨ ¸\ ¦ 0 Ar # t | 9 < Æ& h , l © < Æ& h # Q

& ³ © \ ¸ A á ¤ o ½ ¨ ¸_ % i < Æ& h $ í | 9 s ' a # o Ä

»Æ Ò½ + É Ã º e x . s 7 Hë H \ " f H " é ¶ A á ¤ o ½ ¨ ¸ Ð ÿ

t K ^ (Menger sponge)ü < ' aº ) a ò ø Í$ í x 9 è$ í & h

$ í

| 9 ` ¦ & ñ o K Ð ¦ ô Ç . Ð ÿ t K ^ H ¸ ú · ú 9 ñ ß

ÐØ Ô | 9 ½ + Ë (Cantor set)s s " é ¶ A á ¤ o ½ ¨ ¸ r # Q

2 ;Û ¼v ª ò ø Í (Sierpinski carpet)_ " é ¶& h + þ AI s

[1].

Ð ÿ

t K ^ _ A á ¤ o ½ ¨ ¸\ ¦ [ O " î 6 £ § õ ° ú .

Fig. 1 \ " fü < ° ú s 5 Å q s T q ` ð ø Í & ñ ¹ ¢ ¤ ^ _ y ` ¦ 1 p x ì

r < ÊÜ ¼ Ð+ ¾ º# Qt H 3 ³ = 27 > h_ É r & ñ ¹ ¢ ¤ ^ [ þ t \

"

f _ × æd \ ] X ô Ç # $ Á > hü < ^ & h × æd E 0 Au ô Ç

\

¦ ½ + ËK ¸½ + Ë { 9 Y L > h_ É r & ñ ¹ ¢ ¤ ^ \ ¦ ] j H כ ` ¦

∗

E-mail: [email protected]

é

ß 0 A õ & ñ Ü ¼ Ð ¦ s õ & ñ _ õ Ð è ß Û ¼Á º > h_

É r & ñ ¹ ¢ ¤ ^ \ s õ & ñ ` ¦ [ þ v u > ½ + É M : H A

á

¤ o ½ ¨ ¸ Fig. 2\ " f Ð H כ õ ° ú É r Ð ÿ t K ^ s

.

s

õ & ñ ` ¦ n _ ì ø Í4 ¤ ô Ç ½ ¨ ¸\ " f é ß 0 A & ñ ¹ ¢ ¤ ^ _ Ã º N n , é ß 0 A _ U ´s L ⁿ , ^ & h V n É r 6 £ § õ ° ú .

N n = 20 ⁿ , L n = L o ( 1

3 )

n

, V n = V o ( 20

27 )

n

¢

¸ s A á ¤ o ½ ¨ ¸_ 6 x | ¾ Ó " é ¶ (capacity dimension) d _cap H 6 £ § õ ° ú .

d cap = lim

n→∞

lnN n

lnL n

= ln20 ln3

= 2.726833 · · · s

õ & ñ ` ¦ n u " é ¶ A ^ & h \ @ /q ô Ç K ^ _ ¨ î ç

H x 9 ¸ H ( ²⁰ ₂₇ ) ⁿ C Ð n_ 7 £ x \ & h & h y è > ) a

.

¦^ \ + þ A§ 4 s K | 9 M : Õ ª ß ¼l 7 £ x < Ê\

¼

# _ © Hooke_ H Z O g Ë :s & h 6 x ÷ & H q Y Vô Ç> \ ¦ Å Ü ¼

+ þ A/ + þ A§ 4 _ q + þ A ' a > ¦ s Ê ê è$ í ô Ç

>

\ ¦ t " f % ò ½ ¨ + þ A` ¦ íA ¦ \ P ÷ & H © S ! \ s

É r . F K5 Å q _ è$ í â ì2 £ § % ! 3 + þ As \ P s µ 1 ÏÒ q t

-495-

(2)

-496- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 51, Number 6, 2005¸ 12 Z 4

H © S ! É r " é ¶ ½ © ¸_ ² D G è& h C \ P _ o Ð Â Ò'

H כ s t ë ß ç H| 9 ô Ç Ó ü t| 9 _ â Ä º 5 Å q ^ Ð" f 2 [/ å L s

0 p x . A á ¤ o ½ ¨ ¸\ " f x 9 ¸_ y è\ s ½ ¨

¸_ ¨ î ç H& h ò ø Í$ í Ò ¦ ¸ Ö ¦ Q o ½ + É כ s . t ë ß A

á

¤ o ½ ¨ ¸ : £ ¤ Ä »_ x 9 ¸_ Ô ¦ç H{ 9 $ í Ü ¼ Ð K s [ þ t _

%

i < Æ& h $ í | 9 É r Ð ^ > & h 2 [/ å L` ¦ 9 כ ¹ Ð ô Ç . Õ ªo

¦ { 9 ì ø Í& h Ô ¦ ½ ©g Ë :ô Ç / B N| 9 $ í ¦^ ü < ² ú o A á ¤ o ½ ¨

¸_ Ô ¦ç H{ 9 $ í É r ½ ©g Ë :$ í ` ¦ ? / í ¦ e Ü ¼Ù ¼ Ð Ð ì r

$ 3

& h 2 [/ å L s 0 p x .

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼ Ð ¦^ \ " f_ + þ A§ 4 s + þ A É r J $ " f& h 2 [ /

å

L s 9 כ ¹ô Ç @ / © s . t ë ß s 7 Hë H \ " f H l : r& h s

¦ Ù þ d & h 2 [/ å L` ¦ 0 AK s \ ¦ rx ¦ © /· ú » ¡ ¤ + þ A

\

² D G ô Çr & ç ß é ß > À Òl Ð ô Ç .

II. r \ A 0ì Å= k8 ý ì Å] k ù

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼ Ð ¦^ \ + þ A§ 4 s K | 9 M : © õ · ú 8 £ ¤

+ þ As " f Ð @ /g A& h s m t ë ß + þ A§ 4 s 7 £ x " f Hooke _ Z O g Ë :Ü ¼ Ð H ÷ & H q Y V% ò % i \ ¦ t ½ Ó4 ¤& h (yield point) t H " é ¶ A © I Ð 4 ¤ ½ ¨ | ¨ c Ã º e t ë ß ½ Ó 4

¤& h ` ¦ Å # Q % ò ½ ¨ + þ As > ÷ & ¦ 8 7 £ x

\ P \ s Ø Ô> ÷ & H X < A á ¤ o ½ ¨ ¸_ â Ä º x 9 ¸_ Ô ¦ ç

H{ 9 $ í Ü ¼ Ð + þ A§ 4 ¸ Ô ¦ç H{ 9 $ í ` ¦ Ðs > ) a . A á ¤ o

½

¨ ¸ ^ & h % i < Æ& h $ í | 9 É r l : r& h Ó ü t| 9 _ F | 9 õ

Ö ¦ Q A á ¤ o ½ ¨ ¸\ _ K " f & ñ | ¨ c Ã º e .

A á

¤ o ½ ¨ ¸ü < ' a ) a 1 l xd Ó ü t s Ðs H A á ¤ o ½ ¨ ¸ ü < \ O 6 £ §` ¦ q 2 © ô Ç o < Æ& h A á ¤ o ½ ¨ ¸ [2] H " f Ð É r

ª © ` ¦ Ð . d Ó ü t s 1 l xÓ ü t _ Ò q t" î ^ \ " f ^ ¦ Ã º e

H A á ¤ o ½ ¨ ¸ H l © ½ ¨ ¸ H é ß > l , כ

-Î . > h & ñ ¸s ¦ F | 9 ¦Ä »_ ò ø Í$ í Ö ¦ s Ü ¼ 9 ½ Ó4 ¤

&

h s \ P & h \ s Ø Ô H + þ A_ # 3 0 A ß ¼ . ì ø Í è H s

( F gÓ ü t| 9 )_ o < Æ& h A á ¤ o _ â Ä º H é ß > _ Ã º H s `

ß ¼ ¦ F | 9 ¦Ä »_ ò ø Í$ í Ò ¦ s ß ¼ 9 ½ Ó4 ¤& h s \ P & h

\

s Ø Ô H + þ A_ # 3 0 A B Ä º . s ¿ º â Ä º\ ¦ ½ ¨ì r

# ¶ ú ( R Ðl Ð ô Ç .

1. ] § ×X ì È T 8 ý mV R Ë õ t Ú ì Å× D l

: r F | 9 _ ò ø Í$ í Ò ¦` ¦ Y o ½ + É M : A á ¤ o ½ ¨ ¸\ _ ô Ç ò

ø Í$ í Ò ¦ _ o\ ¦ ¶ ú ( R Ðl Ð ô Ç . s ½ ¨ ¸\ _ ô Ç Ä »

´

ò ò ø Í$ í Ò ¦ É r ü @Â Ò + þ A§ 4 s K | 9 M : s \ @ /ô Ç ^ & h

+ þ Aõ _ q Ö ¦ Ð & ñ _ ) a . Ä º Fig. 1\ " f À » \

· ú

» ¡ ¤ + þ A§ 4 s K | 9 M : 1 ½ ¨ ¸_ + þ A` ¦ ¶ ú ( R Ð T q

` ð ø Í { 9 ~ ½ Ó^ ü < 1 l x{ 9 ô Ç j Ë µs K | 9 M : ] j{ 9 À » 8 £ x õ

© A 8 £ x _ { 9 ~ ½ Ó^ \ K t H ¨ î ç H + þ A§ 4 É r ⁹ ₈ p o s

¦ × æ ç ß 8 £ x _ { 9 ~ ½ Ó^ \ H ⁹ ₄ p o _ + þ A§ 4 s 6 x Ù ¼ Ð T q ` ð

ø Í { 9 ~ ½ Ó^ + þ A\ q # ^ & h + þ A_ q Ö ¦ É r 6 £ § õ

° ú .

2 3 × 9

8 + 1 3 × 9

4 = 3 2

n ½ ¨ ¸_ â Ä º T q ` ð ø Í { 9 ~ ½ Ó^ \ q K + þ A_ q ( ³ 2 ) ⁿ C

) a . " f l : r F | 9 _ % ò Ò ¦ (Young modulus)` ¦ Y o ¦ ½ + É M : n K ^ ½ ¨ ¸_ ¨ î ç H ò ø Í$ í Ö ¦ Y n _ q Ö ¦

É r Y n = ( ² ₃ ) ⁿ Y o Ü ¼ Ð x 9 ¸_ q Ö ¦ ( ²⁰ ₂₇ ) ⁿ Ð 8 ´ ú §s y

è > ) a . A á ¤ o ½ ¨ ¸\ " f x 9 ¸_ q Ö ¦ Ð ò ø Í$ í _ q

Ö ¦ _ o 8 & " f + þ As 8 & t ¦ Ä » K t H כ

`

¦ _ p H X < s כ _ " é ¶ É r A á ¤ o ½ ¨ ¸_ Ô ¦ç H{ 9 $ í s

.

2. ] § ×X ì È8 ý Ä Z Ø× D

#

Q " F | 9 _ ½ Ó4 ¤& h s \ P & h É r F | 9 s y { © ½ + É Ã º e

H é ß 0 A ^ & h { © ò ø Í$ í \ -t 7 £ ¤, \ -t x 9 ¸ Ð & ñ s

÷

& H X < ½ Ó4 ¤& h \ K { © H + þ A§ 4 _ ß ¼l \ ¦ p r ½ + É M : A

á

¤ o ½ ¨ ¸\ _ ô Ç ½ Ó4 ¤& h _ ì r o\ ¦ ¶ ú ( R Ðl Ð ô Ç .

s

\ ¦ 0 AK " f Ð ÿ t K ^ \ K t H ü @Â Ò + þ A§ 4 \ _ K

H ² D G è + þ A§ 4 _ ì r í\ ¦ ½ ¨ # ô Ç . Ä º

° ú

É r F | 9 Ð s À Ò# Q T q ` ð ø Í & ñ ¹ ¢ ¤ ^ ü < 1 ½ ¨ ¸\ ¦ q

§½ + É M : ° ú É r ß ¼l _ j Ë µs À » \ K | 9 M : 1 ½ ¨ ¸ _

É r { 9 ~ ½ Ó^ 0 Au \ H + þ A§ 4 s ² ú t

H X < 1 ½ ¨ ¸_ 20 > h_ É r & ñ ¹ ¢ ¤ ^ H Fig. 1 õ ° ú s

[ j 7 á x À Ó_ é ß 0 A { 9 ~ ½ Ó^ Ð ½ ¨ì r ½ + É Ã º e x . Fig.% ! 3

½

¨ ¸_ ¸" fo \ 0 Au ô Ç 8> h\ ¦ A, Õ ªo ¦ À » õ Ï ? @

\ 0 Au ô Ç Qt # W = > h_ É r & ñ ¹ ¢ ¤ ^ \ ¦ B, & h ¸

\ 0 Au ô Ç W 1 > h\ ¦ C ¦ ì r À Óô Ç . Fig. 1_ ¿ º ½ ¨ ¸ _

À » \ 1 l x{ 9 ô Ç ü @§ 4 s K | 9 M : y & ñ ¹ ¢ ¤ ^ \ K t

H ¨ î ç H + þ A§ 4 ` ¦ ¶ ú ( R : r . T q ` ð ø Í ½ ¨ ¸\ " f_ + þ A§ 4

`

¦ p o = ^F _A ¦ ½ + É M : 1 ½ ¨ ¸_ # Q { 9 ~ ½ Ó^ \ " f

Fig. 1. One step of the operation for Menger sponge.

(3)

½ ¨ 7 Hë H Ð ÿ t K ^ \ " f A á ¤ o ½ ¨ ¸_ + þ A – ½ ©5 p x -497-

Fig. 2. Menger sponge as the result of triple operation steps.

H + þ A§ 4 É r y l

p A = αp o ≥ 9 8 p o

p B = βp o ≤ 9 8 p o

p C = γp o = 9 4 p o

Ð + þ A§ 4 _ ß ¼l H 0 Au \ p C ≥ p A ≥ p B ü < ° ú s ç

H{ 9 t · ú § . 2 ½ ¨ ¸\ " f H + þ A§ 4 É r 0 Au \ p _AA = α ² p _o

p AB = αβp o

· · · p CC = γ ² p o

ü

< ° ú s ì r o ) a . n ½ ¨ ¸\ " f H 20 ⁿ > h_ þ j è { 9 ~ ½ Ó^

\

" f_ ² D G è + þ A§ 4 [ þ t É r 0 Au \ ' aº ) a ABAC · · · ü < ° ú

É

r l ñí H\ P Ð & ñ | ¨ c Ã º e . s í H\ P \ " f A, B, C _ Ì

Ã º y y k + l + m = n\ ¦ ë ß 7 á ¤ H k, l, m s s { 9

~ ½ Ó^ \ H + þ A§ 4 p _ABAC··· H

p ABAC··· = p _(klm) = α ^k β ^l γ ^m p o (1) ü

< ° ú . n ½ ¨ ¸\ " f > r F H 20 ⁿ > h_ é ß 0 A { 9 ~ ½ Ó^ \

"

f " f Ð ½ ¨ì r ÷ & H (k, l, m) _ â Ä º_ Ã º H (n+1)(n+2) > h

0 p x . ° ú É r (k, l, m) \ K { © # ° ú É r 1 l x{ 9 ô Ç + þ

A§ 4 ` ¦ Ðs H é ß 0 A & ñ ¹ ¢ ¤ ^ _ Ã º H n!

k!l!m! 8 ^k+l 4 ^m (2) s

.

1 l x{ 9 ô Ç ü @Â Ò + þ A§ 4 \ _ K ² D G è + þ A§ 4 s © ß ¼>

H / B M É r CC · · · CC _ { 9 ~ ½ Ó^ [ þ t s 9 © É r

Fig. 3. Yield stress distribution for unit cubics of 10- step Menger sponge with α = ¹⁰ ₈ β = 1, γ = ⁹ ₄ . The yield stress is expressed with unit of ( ²⁰ ₂₇ ) ⁿ p _r and the distribution stands for relative abundance to the total number of unit cubics.

+ þ

A§ 4 ` ¦ Ðs H / B M É r BB · · · BB Ð ² D G è + þ A§ 4 É r s s

\ " f ª > ì r o ) a . K ^ ½ ¨ ¸_ & h ¸ \ K {

¤& h ` ¦ ´ ú s ô Ç .

p CC···CC = γ ⁿ p o = p r . (3) p _o \ ¦ 7 £ x r v y é ß 0 A & ñ ¹ ¢ ¤ ^ [ þ t É r

p klm = α ^k β ^l γ ^m p o = p r

\

¦ ë ß 7 á ¤ H p o \ " f \ " f ½ Ó4 ¤& h ` ¦ ´ ú s > ) a . Fig.

3 É r 10 ½ ¨ ¸_ Ð ÿ t K ^ \ " f y é ß 0 A{ 9 ~ ½ Ó^ \ " f ì r

o ) a ½ Ó4 ¤& h _ ì r í\ ¦ · p כ s . Ð» ¡ ¤ É r p (klm) = α ^k β ^l γ ^m p o = p r ` ¦ ë ß 7 á ¤ H p o s ¦ [ j Ð» ¡ ¤ É r s \ K { ©

H é ß 0 A { 9 ~ ½ Ó^ _ > hÃ º_ 8 ú x Ì Ã º 20 ⁿ \ @ /ô Ç q Ö ¦ Ð

· p כ s .

III. À X Ø8 ý

t

F K t Ð ÿ t K ^ ½ ¨ ¸\ " f A á ¤ o ½ ¨ ¸\ ' a

)

a · ú » ¡ ¤ + þ A\ @ / # ¶ ú ( R Ð ¤ . > \ H K w n = Ã

º \ O s ´ ú § É r A á ¤ o > r F ¦ Õ ª ½ ¨ ¸ ¢ ¸ô Ç ª ô ÇX <

s

[ þ t A á ¤ o ½ ¨ ¸\ _ ô Ç % i < Æ& h $ í | 9 ` ¦ ¶ ú ( R Ð ¦

%

r # ò ø Í$ í x 9 è$ í & h $ í | 9 ` ¦ ¸ % i H X < Õ ª õ H Ä

d

Ó ü t õ 1 l xÓ ü t _ Ò q t" î ^ [ þ t É r A á ¤ o ½ ¨ ¸\ ¦ Ä »6 x > Ö ¸ 6

x ¦ e H X < d Ó ü t _ ½ ¨ ¸\ " f H A á ¤ o ½ ¨ ¸

(4)

-498- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 51, Number 6, 2005¸ 12 Z 4

á

¤ o ½ ¨ ¸ H s [ þ t l ' a s 9 כ ¹ Ð H > _ & h ` ¦ S X

Ð½ + É Ã º e > H כ s . s ü < Ö ¦ Q A á ¤ o ½ ¨ ¸ _

Â Ò& h Ä »6 x$ í É r ½ ¨ ¸_ Ä » $ í s . Ò q t" î ^ _ 9 Ã

ß & ñ $ í s . s Qô Ç 9 כ ¹כ ¹| _ ½ ¨ ¸_ Ä » $ í Ü

¼ Ð ü @Â Ò\ " f Ò q t" î ^ \ K t H + þ A\ @ /ô Ç @ /6 £ x É r B

Ä º × æ כ ¹ ¦ ½ + É Ã º e H X < ^ _ # Q l ' a s d Ó

ü

t _ t , { 9 s g 1 Pu ·\ " f ^ ¦ Ã º e H A á ¤ o ½ ¨ ¸ H

x > Ö ¸6 x H \ V ¦ x .

è

H _ 6 £ § ¾ Ó\ @ /ô Ç B Ä º Ä ºÃ ºô Ç f ¨ Ã º^ H z ´ É r ¸ ú

· ú

94 R e . s \ @ /ô Ç l > r _ [ O " î É r è H s t H /

B N| 9 + þ AI _ ½ ¨ ¸_ % i ½ + É [3, 4] X < / B N| 9 Ó ü t| 9 \ " f_

[ þ v ) a èo _ ì ø Í ü < s \ Ã ºì ø Í ) a × æ4 ¤ ) a f ¨ Ã º\ _ ô Ç

כ

è$ í _ ì r o\ _ ô Ç \ -t _ f ¨ Ã º\ Å Ò3 l q # ô Ç

H & h s . { 9 ì ø Í& h f ¨6 £ § ^ Ð 6 x H / B N| 9 Ó ü t| 9

\

" f ¸ A á ¤ o ½ ¨ ¸_ % i ½ + É` ¦ Å Ò3 l q ½ + É 9 כ ¹ e . Ð ÿ t K

^ _ â Ä º x 9 ¸_ o_ q Ö ¦ ( ²⁰ ₂₇ ) ⁿ ü < ò ø Í$ í Ò ¦ _

o_ q ( ² 3 ) ⁿ { 9 u t · ú §6 £ § Ü ¼ Ð / B N" î 1 l x Ã º ² ú t

> ÷ & ¦ ns V , É r % ò % i \ ì r íô Ç ¦ & ñ ô Ç ì r í

ß ) a / B N" î 1 l x Ã º Ð K V , É r % ò % i _ Å Ò Ã º\ ì ø Í6 £ x

H / B N" î ^ Ð" f_ % i ½ + É` ¦ l @ /½ + É Ã º e ` ¦ כ s . z ´ è H _

¹ ¢ ¤ y + þ A_ A á ¤ o ½ ¨ ¸ H Ä ºo 7 H _ ô Ç K ^ ½ ¨ ¸ ü

< H Ø Ô 9 Õ ª ½ ¨ ¸ H è H5 Å x s _ > hZ > & h Ò q t$ í õ & ñ \

÷

&Ù ¼ Ð Â ÒÃ º& h Ü ¼ Ð 8 4 ¤ ¸ ú ½ + É Ã º e . t ë ß 7 H _ ô Ç è H _

Y

c p w Ã U Ø ô

[1] H. O. Peitgen , H. Jurgens and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science ( Springer-Verlag, New York, 1992).

[2] M. Matsushita, M. Sano, Y. Hayakawa, H. Honjo and Y. Swada, Phys. Rev. Lett. 53, 286 (1984). ; D.

B. Hibbert and J. R. Melrose, Phys. Rev. A38, 1036 (1988). ; S. N. Atchison, R.P. Burford and D. B. Hibbert, J. Electroanalytical Chem. 371, 137 (1994). dl; G. Dacoord and R. Lenormand, Nature 325, 41 (1987).

[3] K. Attenborough, S. I. Hayek and J. M. Lawther, J.

Acoust. Soc. Amer. 68, 1493 (1980).

[4] J. Nicolas, J. L. Berry and G. A. Daigle, J. Acoust.

Soc. Amer. 77, 67 (1985).

Deformation of Menger Sponge

Gyu-Seung Shin ^∗

College of Electronics and Information, Kyung Hee University, Yong-In 449-701 (Received 5 October 2005)

Fractal is ubiquitous feature of abundant natural phenomena as snowflake, biological organisms, etc.. It would be conjectured that the mechanical properties of fractal structures have essential functional roles in fractal-structured biological, medical climatological and geological system. In this paper, we study the deformation of fractal structure of Menger sponge under external stress.

Nonuniformities from the fractal structures bring about the distribution of differentiation in local deformation under external stress, therefore, result in characteristic elastic and plastic properties of these structure. Related properties of plants and snowflake are discussed.

PACS numbers: 05

Keywords: Fractal, Menger sponge

∗

E-mail: [email protected]

 ½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 51, Number 6, 2005¸ 12 Z 4, pp. 495∼498

   ½ ¨ 7 Hë  H  Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 51, Number 6, 2005¸  12 Z 4, pp. 495∼498

r

\

  A 0ì Å= k; c" e   × P    º8 ý ì Å] k ù

,

>

¦  û B ∗

 â

B@ / < Æ §,    & ñ  Ð@ / < Æ,  â l  ¸ 6 x  449-701 (2005¸  10 Z 4 5{ 9  ~ Ã Î6 £ §)

A á

¤  o  ½ ¨ ¸  H è  H5 Å x s   1 l xd  Ó ü t`  ¦ q 2  © K   ¸% _      & ³ © \ " f     H  ¸_ þ v s  9 s  A á ¤  o  ½ ¨



¸ü <    ' a ) a % i  < Æ& h $ í | 9  É r s  ½ ¨ ¸     H _  < Æ& h , Ò q tÓ ü t  < Æ& h , l  ©  < Æ& h 1 p x _   & ³ © \ " f ×  æ כ ¹ô  Ç _

p \  ¦ | 9   כ Ü ¼ Ð Ä »Æ Ò  ) a . s   7 Hë  H \ " f  H    " é ¶ A á ¤  o  ½ ¨ ¸  Ð ÿ t  K   ^ _    + þ A\  @ / #  ¶ ú  (

R Ð  ¤ . A á ¤  o  ½ ¨ ¸ : £ ¤ Ä »_  Ô  ¦ç  H{ 9 $ í  É r ü @Â Ò   + þ A§ 4 \  @ /ô  Ç ² D G  è& h     + þ A_  ì  r  í\  ¦  íA   ¦ s 



Ð   K  s [ þ t ½ ¨ ¸ : £ ¤ Ä »_  ò ø Í$ í x 9  è$ í \   ' aº   ) a $ í | 9 s    >   ) a . s ü <    ' a #  A á ¤  o ½ ¨ ¸

\

 ¦ t   H d  Ó ü t õ  è  H5 Å x s \ " f % i  < Æ& h   $ í | 9 \   ' aº   ) a  & ³ © [ þ t`  ¦  7 H _ K   : r .

PACS numbers: 05

Keywords: A á ¤  o , Ð ÿ t  K   ^ 

I. " e Â ] Ø



7 H5 Å x s _  8 ú ¤ y  ë ß Ü ¼ Ð s  כ s  B Ä º  Ã Ì Ã Ì  ¦ Â Ò" ft l  /

'î  r Ó ü t| 9   \ O 6 £ § õ  ° ú  É r F | 9 s    H  z ´`  ¦    ©  l 



 H ~ 1 t  · ú § É r X < s   H è  H5 Å x s _  A á ¤  o  ½ ¨ ¸ M :ë  H s  .  ¸

%

\ " f  ' a8 £ ¤ ÷ &  H A á ¤  o  ½ ¨ ¸ü < s \     ' a ) a s  ½ ¨ ¸_ 

%

i  < Æ& h $ í | 9 \     ' a ) a  ª ô  Ç     & ³ © \ " f  ' a8 £ ¤ ½ + É Ã º e 

  x  [1]. : £ ¤ y   | Ã Ð_  ñf  ¨ > , í  H¨ 8  >  1 p x`  ¦ q 2  © ô  Ç # 



Q l   ' a _  ½ ¨ ¸ A á ¤  o  ½ ¨ ¸\  ¦  Ð    H  כ  É r ¸ ú  · ú  9 4

R e   ¦ s [ þ t _  ½ ¨ ¸ü <    ' a ) a ò ø Í$ í & h $ í | 9  É r s [ þ t l   ' a _

 l 0 p x \  ×  æ כ ¹ô  Ç % i ½ + É`  ¦ o    H & h  É r Ø  æì  r y  Ä »Æ Ò½ + É Ã

º e    H  z ´s  . s  ü @\  ¸ d  Ó ü t s   1 l xÓ ü t \ " f  ª ô  Ç A

á

¤  o  ½ ¨ ¸\  ¦ 0 Ar  #  t | 9  < Æ& h , l  ©  < Æ& h   #  Q  



  & ³ © \  ¸ A á ¤  o  ½ ¨ ¸_  % i  < Æ& h $ í | 9 s   ' a #  o   Ä

»Æ Ò½ + É Ã º e    x . s   7 Hë  H \ " f  H    " é ¶ A á ¤  o  ½ ¨ ¸  Ð ÿ

t  K   ^  (Menger sponge)ü <  ' aº   ) a ò ø Í$ í x 9  è$ í & h

$ í

| 9 `  ¦ & ñ o K   Ð ¦  ô  Ç . Ð ÿ t  K   ^   H ¸ ú  · ú  9  ñ ß 



ÐØ Ô | 9 ½ + Ë (Cantor set)s   s  " é ¶ A á ¤  o  ½ ¨ ¸  r # Q



2 ;Û ¼v   ª ò ø Í  (Sierpinski carpet)_     " é ¶& h   + þ AI s 

 [1].

Ð ÿ

t  K   ^ _  A á ¤  o  ½ ¨ ¸\  ¦ [ O " î   6 £ § õ  ° ú .

Fig. 1 \ " fü < ° ú s  5 Å q s  T q ` ð ø Í & ñ ¹ ¢ ¤  ^ _  y     `  ¦   1 p x ì

 r  < ÊÜ ¼ Ð+  ¾ º# Qt   H 3 3 = 27 > h_     É r & ñ ¹ ¢ ¤  ^ [ þ t \ 

"

f   _  ×  æd  \  ] X ô  Ç # $ Á > hü < ^ & h ×  æd  E  0 Au ô  Ç  

\

 ¦ ½ + ËK   ¸½ + Ë { 9 Y  L > h_     É r & ñ ¹ ¢ ¤  ^ \  ¦ ] j    H  כ `  ¦

E-mail: [email protected]

é

ß 0 A õ & ñ Ü ¼ Ð  ¦ s  õ & ñ _    õ  Ð  è ß  Û ¼Á º > h_ 





 É r & ñ ¹ ¢ ¤  ^ \  s  õ & ñ `  ¦  [ þ v  u >  ½ + É M :     H A

á

¤  o  ½ ¨ ¸ Fig. 2\ " f  Ð  H  כ õ  ° ú  É r Ð ÿ t  K   ^  s

 .

s

 õ & ñ `  ¦ n  _  ì ø Í4  ¤ ô  Ç ½ ¨ ¸\ " f é ß 0 A & ñ ¹ ¢ ¤  ^ _  Ã º N n , é ß 0 A   _  U ´s  L n , ^ & h V n  É r 6 £ § õ  ° ú .

N n = 20 n , L n = L o ( 1

3 )

n

, V n = V o ( 20

27 )

n

¢

¸ s  A á ¤  o  ½ ¨ ¸_  6 x | ¾ Ó " é ¶ (capacity dimension) d cap   H 6 £ § õ  ° ú .

d cap = lim

n→∞

½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 51, Number 6, 2005¸ 12 Z 4, pp. 495∼498

½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 51, Number 6, 2005¸ 12 Z 4, pp. 495∼498

A 0ì Å= k; c" e × P º8 ý ì Å] k ù

¦ û B ^∗

â

B@ / < Æ §, & ñ Ð@ / < Æ, â l ¸ 6 x 449-701 (2005¸ 10 Z 4 5{ 9 ~ Ã Î6 £ §)

¤ o ½ ¨ ¸ H è H5 Å x s 1 l xd Ó ü t` ¦ q 2 © K ¸% _ & ³ © \ " f H ¸_ þ v s 9 s A á ¤ o ½ ¨

¸ü < ' a ) a % i < Æ& h $ í | 9 É r s ½ ¨ ¸ H _ < Æ& h , Ò q tÓ ü t < Æ& h , l © < Æ& h 1 p x _ & ³ © \ " f × æ כ ¹ô Ç _

p \ ¦ | 9 כ Ü ¼ Ð Ä »Æ Ò ) a . s 7 Hë H \ " f H " é ¶ A á ¤ o ½ ¨ ¸ Ð ÿ t K ^ _ + þ A\ @ / # ¶ ú (

R Ð ¤ . A á ¤ o ½ ¨ ¸ : £ ¤ Ä »_ Ô ¦ç H{ 9 $ í É r ü @Â Ò + þ A§ 4 \ @ /ô Ç ² D G è& h + þ A_ ì r í\ ¦ íA ¦ s

Ð K s [ þ t ½ ¨ ¸ : £ ¤ Ä »_ ò ø Í$ í x 9 è$ í \ ' aº ) a $ í | 9 s > ) a . s ü < ' a # A á ¤ o ½ ¨ ¸

¦ t H d Ó ü t õ è H5 Å x s \ " f % i < Æ& h $ í | 9 \ ' aº ) a & ³ © [ þ t` ¦ 7 H _ K : r .

Keywords: A á ¤ o , Ð ÿ t K ^

7 H5 Å x s _ 8 ú ¤ y ë ß Ü ¼ Ð s כ s B Ä º Ã Ì Ã Ì ¦ Â Ò" ft l /

'î r Ó ü t| 9 \ O 6 £ § õ ° ú É r F | 9 s H z ´` ¦ © l

H ~ 1 t · ú § É r X < s H è H5 Å x s _ A á ¤ o ½ ¨ ¸ M :ë H s . ¸

\ " f ' a8 £ ¤ ÷ & H A á ¤ o ½ ¨ ¸ü < s \ ' a ) a s ½ ¨ ¸_

i < Æ& h $ í | 9 \ ' a ) a ª ô Ç & ³ © \ " f ' a8 £ ¤ ½ + É Ã º e

x [1]. : £ ¤ y | Ã Ð_ ñf ¨ > , í H¨ 8 > 1 p x` ¦ q 2 © ô Ç #

Q l ' a _ ½ ¨ ¸ A á ¤ o ½ ¨ ¸\ ¦ Ð H כ É r ¸ ú · ú 9 4

R e ¦ s [ þ t _ ½ ¨ ¸ü < ' a ) a ò ø Í$ í & h $ í | 9 É r s [ þ t l ' a _

l 0 p x \ × æ כ ¹ô Ç % i ½ + É` ¦ o H & h É r Ø æì r y Ä »Æ Ò½ + É Ã

º e H z ´s . s ü @\ ¸ d Ó ü t s 1 l xÓ ü t \ " f ª ô Ç A

¤ o ½ ¨ ¸\ ¦ 0 Ar # t | 9 < Æ& h , l © < Æ& h # Q

& ³ © \ ¸ A á ¤ o ½ ¨ ¸_ % i < Æ& h $ í | 9 s ' a # o Ä

»Æ Ò½ + É Ã º e x . s 7 Hë H \ " f H " é ¶ A á ¤ o ½ ¨ ¸ Ð ÿ

t K ^ (Menger sponge)ü < ' aº ) a ò ø Í$ í x 9 è$ í & h

| 9 ` ¦ & ñ o K Ð ¦ ô Ç . Ð ÿ t K ^ H ¸ ú · ú 9 ñ ß

ÐØ Ô | 9 ½ + Ë (Cantor set)s s " é ¶ A á ¤ o ½ ¨ ¸ r # Q

2 ;Û ¼v ª ò ø Í (Sierpinski carpet)_ " é ¶& h + þ AI s

[1].

t K ^ _ A á ¤ o ½ ¨ ¸\ ¦ [ O " î 6 £ § õ ° ú .

Fig. 1 \ " fü < ° ú s 5 Å q s T q ` ð ø Í & ñ ¹ ¢ ¤ ^ _ y ` ¦ 1 p x ì

r < ÊÜ ¼ Ð+ ¾ º# Qt H 3 ³ = 27 > h_ É r & ñ ¹ ¢ ¤ ^ [ þ t \

f _ × æd \ ] X ô Ç # $ Á > hü < ^ & h × æd E 0 Au ô Ç

¦ ½ + ËK ¸½ + Ë { 9 Y L > h_ É r & ñ ¹ ¢ ¤ ^ \ ¦ ] j H כ ` ¦

ß 0 A õ & ñ Ü ¼ Ð ¦ s õ & ñ _ õ Ð è ß Û ¼Á º > h_

É r & ñ ¹ ¢ ¤ ^ \ s õ & ñ ` ¦ [ þ v u > ½ + É M : H A

¤ o ½ ¨ ¸ Fig. 2\ " f Ð H כ õ ° ú É r Ð ÿ t K ^ s

.

õ & ñ ` ¦ n _ ì ø Í4 ¤ ô Ç ½ ¨ ¸\ " f é ß 0 A & ñ ¹ ¢ ¤ ^ _ Ã º N n , é ß 0 A _ U ´s L ⁿ , ^ & h V n É r 6 £ § õ ° ú .

N n = 20 ⁿ , L n = L o ( 1

¸ s A á ¤ o ½ ¨ ¸_ 6 x | ¾ Ó " é ¶ (capacity dimension) d _cap H 6 £ § õ ° ú .

õ & ñ ` ¦ n u " é ¶ A ^ & h \ @ /q ô Ç K ^ _ ¨ î ç

H x 9 ¸ H ( ²⁰ ₂₇ ) ⁿ C Ð n_ 7 £ x \ & h & h y è > ) a

.

¦^ \ + þ A§ 4 s K | 9 M : Õ ª ß ¼l 7 £ x < Ê\

# _ © Hooke_ H Z O g Ë :s & h 6 x ÷ & H q Y Vô Ç> \ ¦ Å Ü ¼

+ þ A/ + þ A§ 4 _ q + þ A ' a > ¦ s Ê ê è$ í ô Ç

\ ¦ t " f % ò ½ ¨ + þ A` ¦ íA ¦ \ P ÷ & H © S ! \ s

É r . F K5 Å q _ è$ í â ì2 £ § % ! 3 + þ As \ P s µ 1 ÏÒ q t

-496- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 51, Number 6, 2005¸ 12 Z 4

H © S ! É r " é ¶ ½ © ¸_ ² D G è& h C \ P _ o Ð Â Ò'

H כ s t ë ß ç H| 9 ô Ç Ó ü t| 9 _ â Ä º 5 Å q ^ Ð" f 2 [/ å L s

0 p x . A á ¤ o ½ ¨ ¸\ " f x 9 ¸_ y è\ s ½ ¨

¸_ ¨ î ç H& h ò ø Í$ í Ò ¦ ¸ Ö ¦ Q o ½ + É כ s . t ë ß A

¤ o ½ ¨ ¸ : £ ¤ Ä »_ x 9 ¸_ Ô ¦ç H{ 9 $ í Ü ¼ Ð K s [ þ t _

i < Æ& h $ í | 9 É r Ð ^ > & h 2 [/ å L` ¦ 9 כ ¹ Ð ô Ç . Õ ªo

¦ { 9 ì ø Í& h Ô ¦ ½ ©g Ë :ô Ç / B N| 9 $ í ¦^ ü < ² ú o A á ¤ o ½ ¨

¸_ Ô ¦ç H{ 9 $ í É r ½ ©g Ë :$ í ` ¦ ? / í ¦ e Ü ¼Ù ¼ Ð Ð ì r

& h 2 [/ å L s 0 p x .

ì ø Í& h Ü ¼ Ð ¦^ \ " f_ + þ A§ 4 s + þ A É r J $ " f& h 2 [ /

L s 9 כ ¹ô Ç @ / © s . t ë ß s 7 Hë H \ " f H l : r& h s

¦ Ù þ d & h 2 [/ å L` ¦ 0 AK s \ ¦ rx ¦ © /· ú » ¡ ¤ + þ A

² D G ô Çr & ç ß é ß > À Òl Ð ô Ç .

II. r \ A 0ì Å= k8 ý ì Å] k ù

ì ø Í& h Ü ¼ Ð ¦^ \ + þ A§ 4 s K | 9 M : © õ · ú 8 £ ¤

¤& h ` ¦ Å # Q % ò ½ ¨ + þ As > ÷ & ¦ 8 7 £ x

\ P \ s Ø Ô> ÷ & H X < A á ¤ o ½ ¨ ¸_ â Ä º x 9 ¸_ Ô ¦ ç

H{ 9 $ í Ü ¼ Ð + þ A§ 4 ¸ Ô ¦ç H{ 9 $ í ` ¦ Ðs > ) a . A á ¤ o

¨ ¸ ^ & h % i < Æ& h $ í | 9 É r l : r& h Ó ü t| 9 _ F | 9 õ

Ö ¦ Q A á ¤ o ½ ¨ ¸\ _ K " f & ñ | ¨ c Ã º e .

¤ o ½ ¨ ¸ü < ' a ) a 1 l xd Ó ü t s Ðs H A á ¤ o ½ ¨ ¸ ü < \ O 6 £ §` ¦ q 2 © ô Ç o < Æ& h A á ¤ o ½ ¨ ¸ [2] H " f Ð É r

ª © ` ¦ Ð . d Ó ü t s 1 l xÓ ü t _ Ò q t" î ^ \ " f ^ ¦ Ã º e

H A á ¤ o ½ ¨ ¸ H l © ½ ¨ ¸ H é ß > l , כ

-Î . > h & ñ ¸s ¦ F | 9 ¦Ä »_ ò ø Í$ í Ö ¦ s Ü ¼ 9 ½ Ó4 ¤

h s \ P & h \ s Ø Ô H + þ A_ # 3 0 A ß ¼ . ì ø Í è H s

( F gÓ ü t| 9 )_ o < Æ& h A á ¤ o _ â Ä º H é ß > _ Ã º H s `

ß ¼ ¦ F | 9 ¦Ä »_ ò ø Í$ í Ò ¦ s ß ¼ 9 ½ Ó4 ¤& h s \ P & h