2.1. 체의 공리
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제2장. 실수계
2.1. 체의 공리
: 두 실수의 덧셈과 곱셈의 기본 성질 → 우리가 알고 있는 각종 등식의 성질 유도
[2.1.1 체의 공리] 체
집합 위에 정의된 두 연산 , ⋅ 에 대하여 다음이 성립할 때, ⋅ 을 체(field)라고 한다.
A1. ∀∈, 덧셈에 대한 교환법칙 A2. ∀∈, 덧셈에 대한 결합법칙 A3. ∀∈, ∃∈, 덧셈에 대한 항등원(영, zero) A4. ∀∈, ∃∈, 덧셈에 대한 역원(inverse)
M1. ∀∈, ⋅ ⋅ 곱셈에 대한 교환법칙
M2. ∀∈, ⋅⋅ ⋅ ⋅ 곱셈에 대한 결합법칙 M3. ∀∈, ∃≠ ∈, ⋅ ⋅ 곱셈에 대한 단위원(identity) M4. ∀∈, ∃∈, ⋅ ⋅ 곱셈에 대한 역원(inverse) D. ∀∈, ⋅ ⋅ ⋅ 분배(배분)법칙
* 은 체이지만, 은 체가 아니다.
[2.1.2 정리] 항등원(단위원)의 유일성
의 영(항등원)과 단위원은 각각 유일하다.
′ ⇒ ′ ′ ⇒ ′
[증명]
[2.1.3 정리] 역원의 유일성
∀∈, 덧셈에 대한 의 역원은 유일하다.
∀≠ ∈, 곱셈에 대한 의 역원은 유일하다.
′ ⇒ ′
[증명]
* 덧셈에 대한 의 역원은 유일하므로 로 나타낸다.
* 곱셈에 대한 ≠ 의 역원은 유일하므로 또는
로 나타낸다.
[2.1.4 정리] 일차방정식의 해의 유일성 (1) ∀∈, ∃ ∈ s.t. (2) ∀≠ ∈, ∃ ∈ s.t.
[증명]
(1) 존재성:
유일성:
* 는 로 나타내기로 한다.
* 즉,
는 또는 ÷ 로 나타내기로 한다.
[2.1.5 정리] 덧셈과 곱셈의 기본 성질
∀ ∈ (a) ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(b) : 는 덧셈에 대한 의 역원
(c) : 의 역원과 의 역원의 합은 와 의 합의 역원과 같다.
(d) : 덧셈에 대한 의 역원의 역원은 자기 자신이다.
(e) ⋅
⋅
(f) ⇒ 또는
≠
(g) ,
(h) ≠ ⇒ ≠ ,
(i) ≠ ⇒
(j) ≠ ⇒
1) 분석을 하지 않으면, 주어지는 증명을 이해하고 암기하더라도, 그것이 내 아이디어가 아니므로, 금방 잊어버린다. 내가 고안한 증
명이나 아디어디가 아니더라도 오래 기억하고 필요할 때 재생해낼 수 있으려면 반드시 ‘분석’을 해 보아야 한다.
2.2. 순서공리
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2.2. 순서공리
: 의 두 원소 사이에 대소 관계 부여 → 우리가 알고 있는 각종 부등식의 성질 유도(특히, 삼각부등식)
[2.2.1 순서공리]
∃≠ ∅ ⊂ s.t.
(i) ∀∈, ∈, ∈
(ii) ∀∈, ∈, , ∈ 중 하나만 성립
* 의 원소: 양의 실수, ∈ 의 원소: 음의 실수
→ (i) 두 양의 실수의 합과 곱은 모두 양의 실수, (ii) 모든 실수는 양의 실수, 음의 실수, 0 셋 중 하나
[2.2.2 정의] 대소(순서) 관계
∀∈, (i) ⇔ ∈ (ii) ⇔ ∈
* ≥ ⇔ 또는 , ≤ ⇔ 또는
[2.2.3 정리]
∀∈
(a) , , 중 하나만 성립한다.(삼일률) (b) , ⇒
∈
(c) ≤ , ≤ ⇒
≠
[2.2.4 정리]
∀∈
(a) ≥ , ∴
(b) , ⇒
(c) , ⇒
(d) ⇒
[2.2.5 정리]
∀ ∈
(a) ⇒ (b) , ⇒ (c) , ⇒
(d) , ⇒
(e) ⇒ ∧ 또는 ∧ (f) , 일 때, ⇒
[2.2.6 정의] 절댓값
∀∈,
≥ 를 의 절댓값(absolute value)이라고 한다.[2.2.7 정리] 절댓값의 성질 (a) ≥ , ⇔ (b)
(c)
(d) ≥ 일 때, ≤ ⇔ ≤ ≤ (e) ≤ ≤
[2.2.8 정리] 삼각부등식2)
∀∈, ≤ ± ≤
(i) ± ≤ ⇐ ≤ ± ≤ ⇐ ≤ ≤ , ≤± ≤
(ii) ≤ ± ⇐ ≤ ⇐ ≤ ≤ ⇐ ≤ ≤
[참고]
Bernoulli 부등식: ⇒ ∀∈, ≥
* 체의 공리, 순서 공리를 만족시키는 은 우리가 알고 있는 자연수, 정수, 유리수를 포함하고 있다.
(∵ ) ∈ ⇒ ∀∈, ⋯ ⋅ ∈, ∴⊂
∀∈⊂, ∈, ∈ ∴⊂
∀≠ ∈⊂,
∈ ⇒ ∀≠ ∈⊂,
∈, ∴∈
* 은 순서체이다.
