펄스 변조와 펄스부호 변조

펄스 변조와 펄스부호 변조

‰

Sampling – Ideal and Practical Sampling

‰

Analog Pulse Modulation

• PAM (Pulse Amplitude Modulation)

• PWM (Pulse Width Modulation)

• PPM (Pulse Position Modulation)

‰

Digital Pulse Modulation

‰

Digital Pulse Modulation

• PCM (Pulse Code Modulation)

• DPCM (Differential PCM)

• DM (Delta Modulation)( )

Sampling p g

Sampling Sampling

‰

Ideal Sampling

p g p g

• Impulse Sampling

• Sampling TheoremSampling Theorem

‰

Practical Sampling and PAM

• Natural Sampling

• Flat-top Sampling

Sampling Theorem Sampling Theorem

‰

Sampling Theorem

p g p g

• 어떤 조건 하에서 아날로그 신호를 일정한 주기로 표본화하여도 원래의 신호가 가지고 있는 정보에 손실이 일어나지 않게 할 수 있다.

• 즉 이산 시간의 표본값들을 가지고 모든 시구간에서의 원래 아날로그 신호를 복원시키는 것이 가능하다.

• 여기서 필요한 조건으로는 원래의 아날로그 신호에 대한 것과 표본화 과정에 대한 것이 있다.

• 신호에 대한 조건은 대역폭이 한정되어 있다는 것이고, 표본화

과정에 대한 조건은 표본화 속도를 신호가 가진 최고 주파수 성분의 2배 이상으로 해야 한다는 것이다.

Ideal Impulse Sampling Ideal Impulse Sampling

‰

Impulse Sampling

p p g

p p g

• 어떤 신호 x(t)가 최대 주파수 B Hz로 대역제한 되었다고 가정하자.

이 신호를 일정한 시간 간격 T_s ≤1/2B sec로 (또는 표본화 속도를 f_s

≥2B Hz로) 주기적으로 표본화하면 그 표본 값들로부터 원래 신호 를 왜곡 없이 복원시킬 수 있다.

• 여기서 시간 T_s 를 표본화 주기라 하며 f_s 를 표본화 주파수라 한다.

• 왜곡 없는 표본화를 위한 최저 표본화 주파수, 즉 신호의 최대 주파수의 두 배 주파수를 나이퀴스트율(Nyquist rate)이라 한다.

• 만일 나이퀴스트율보다 낮은 주파수로 표본화를 하면

주파수상에서 aliasing이라고 하는 현상이 발생하여 신호를 복구할 때 왜곡이 생긴다.

Ideal Impulse Sampling Ideal Impulse Sampling

• 표본화된 신호의 표현

p p g

p p g

( ) ( ) ( )

s s s

n

x t ^∞ x nT δ t nT

=−∞

=

∑

• 주기가 T_s인 임펄스 열

( )t (t T ) δ^%

∑

• 표본화된 신호는 다음과 같이 표현 가능하다:

( ) ( )

Ts s

n

t t nT

δ δ

=−∞

=

∑

화 다 과 이 가능하다

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

s Ts s s

n

x t x t

δ

δ

= ∞

= ⋅ ^% =

∑

n=−∞

Impulse Sampling Impulse Sampling p p p p g g

( )

x t × x t_s( )

x t( ) X f( )

( _s)

n

t nT

∞ δ

=−∞

∑ −

t f

←⎯→^F

1

0 t f

0 B

−B

∑∞ ¹ ∑^∞

←⎯→^F

1 Ts

L L

( ) ( ) ( )

s s

n

x t x t δ t nT

=−∞

= ⋅ ∑ − ^{[ ( )]s 1 ( s)}

s n

x t X f nf

T =−∞

= ∑ −

F

0 t f

0 B

−B

Ts −f_s f_s −B f^s

Impulse Sampling Impulse Sampling

• 푸리에 변환의 곱셈/컨볼루션 성질에 의해

p p g

p p g

[ ( )]_s [ ( ) ( _s)] [ ( )] [ ( _s)]

n n

x t x t δ t nT x t δ t nT

∞ ∞

=−∞ =−∞

= ⋅

∑

∑

F F F F

• 임펄스 열의 푸리에 변환은

[ δ(t T )] f δ(f f ) f 1

∞ ∞ ⎛⎜ ⎞⎟

∑ ∑

F

• 따라서 표본화한 신호의 푸리에 변환은 다음과 같다:

[ ( _s)] _s ( _s), _s

n n s

t nT f f nf f

δ δ T

=−∞ =−∞

⎜ ⎟

− = − ⎜⎜⎝ = ⎟⎟⎠

∑ ∑

F

따라서 화 의 푸리에 다 과 다

[ ( )]_s ( ) _s ( _s) 1 ( _s)

n s n

x t X f f f nf X f nf

δ T

∞ ∞

=−∞ =−∞

= ∗

∑

∑

F

n ∞ n ∞

Impulse Sampling Impulse Sampling

• 신호 x(t) 를 시간 T_s 마다 표본화한 신호 x_s(t) 의 푸리에 변환은 X(f)가

p p g

p p g

주파수상에서 주기 f_s = 1/T_s 마다 반복되는 주기 함수가 된다:

l 1 1 ^∞

∑



sample F 1 1

( ) ( ) _s( ) ( )

s s f s

T s s n

x t x t X f X f nf

T T _=−∞

⎯⎯⎯⎯→ ←⎯⎯^F → =

∑

• 각 스펙트럼이 겹치지 않으면 표본화된 신호로부터 차단 주파수가 f_s /2 인 저역통과 필터를 통과시킴으로써 원래 신호를 재생시킬 수 있다는 것을 알 수 있다.

Impulse Sampling Impulse Sampling

• 스펙트럼이 겹치지 않을 조건은

p p g

p p g

2 1

s s

2

f B T

> ⇔ < B

• 표본화한 신호 x_s(t) 로부터 x(t) 를 다시 복원할 수 있는 최저 표본화 주파수 f_s =2B 를 나이퀴스트율(Nyquist rate)이라 한다.

표본화 주파수와 Aliasing 현상 표본화 주파수와 Aliasing 현상 g g

[ ( )]x t_s 1 X f( nf_s) T

=

∑

F

1 Ts

s n

T _=−∞

2 f > B

0 ^B f

−B f_s

fs

− f_s −B

... ... _f

_{> 2 B}

11 Ts

s 2

f < B

fs

− f

fs

fs −B

0 B 2f_s

Signal Reconstruction Signal Reconstruction

‰

Ideal Reconstruction Filter

g g

• 표본화된 신호 x_s(t) 로부터 원래의 아날로그 신호 x(t) 를 복원하는 문제

• 시간 영역에서 볼 때 이 문제는 이산 시간 t = nT_s 에서의 신호 값만 가지고 연속시간에서의 신호 값을 채워 주는 interpolation 문제이다.

• 주파수 영역에서 신호의 복원을 생각하는 것이 더 간단하다.

• 나이퀴스트율 이상으로 표본화 하였을 때 표본화된 신호의 스펙트럼은 원래의 아날로그 신호 스펙트럼이 주파수상에서

주기적으로 반복되는(크기는 1/T_s 배) 형태이므로 대역폭이 B Hz인 이상적인 저역통과 필터를 사용하면 원래의 신호와 동일한

스펙트럼을 얻을 수 있다.

Signal Reconstruction Signal Reconstruction

‰

Ideal Reconstruction Filter

g g

• 그러므로 재생(또는 보간) 필터의 전달함수와 임펄스 응답은

( )

( )

( ) ( ) 2 sinc(2 )

s 2f s

H f T h t BT Bt

= ⋅ Π B ⇔ =

h t( )

( ) H f

Ts

h t( )

1 2B 1

−2B

1

t

B

−B f

2B 2B

Signal Reconstruction Signal Reconstruction

‰

Zero order hold circuit에 의한 interpolation

g g

• x(t)를 step function으로 근사화

0( ) h t 1

0( ) H f

1 1 Ts

t 2

Ts

2 Ts

−

f 1

Ts

1 Ts

−

( )

0( ) y t ( ) h t

x ts

2 2

( ) y

s( ) x t

0( )

s( )

( ) y t

0 t

T t

0

Signal Reconstruction Signal Reconstruction

‰

Zero order hold circuit에 의한 interpolation

g g

• 필터의 임펄스 응답과 주파수 응답

0( ) ( _s /2) ( _s /2)

s

h t u t T u t T t

T

⎛ ⎞⎟

= + − − = Π⎜⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟

• 출력(복구한 신호)

0( ) sinc( )

s

s s

T

H f T T f

⎝ ⎠

=

출력(복구한 신호)

0 0

( ) _s( ) ( ) ( _s) ( _s) ( )

k

y t x t h t x kT δ t kT h t

∞

=−∞

∞

= ∗ =

∑

( ) (0 )

( )

s s

k

s

x kT h t kT t kT kT

∞

=−∞

∞

= −

−

⎛ ⎞⎟

Π⎜

∑

∑

k s

t k

x kT T

=−∞

⎜ ⎟

=

∑

Signal Reconstruction Signal Reconstruction

‰

First order hold circuit에 의한 interpolation

선형 보간법 사용하여 오차 개선

g g

• 선형 보간법 사용하여 오차 개선

1( ) H f

1( ) h t 1

t

Ts f

Ts

− 1

T 1

−T

( )

1( ) y t ( ) h t

x ts

Ts

Ts

s( ) x t

( ) y t

t t 0

0

Signal Reconstruction Signal Reconstruction

‰

First order hold circuit에 의한 interpolation

g g

• 필터의 임펄스 응답

1( ) t

h t = Λ⎛⎜⎜⎜ ⎞⎟⎟⎟

• 출력(복구한 신호)

1( )

s

h t = Λ⎜⎜⎝ ⎠T ⎟⎟

출력(복구한 신호)

1 1

( ) _s( ) ( ) ( _s) ( _s) ( )

k

y t x t h t x kT δ t kT h t

∞

=−∞

∞

= ∗ =

∑

( ) (1 )

( )

s s

k

s

x kT h t kT t kT kT

∞

=−∞

∞

= −

−

⎛ ⎞⎟

Λ⎜

∑

∑

k s

t k

x kT T

=−∞

⎜ ⎟

=

∑

Signal Reconstruction Signal Reconstruction

‰

Ideal interpolation

g g

• Ideal interpolation 필터의 임펄스 응답과 주파수 응답

( )

( ) 2 sinc(2 ) ( )

s s 2f

h t BT Bt H f T

= ⇔ = ⋅ Π B

• 출력(복구한 신호)

( ) _s( ) ( ) ( _s) ( _s)

y t x t h t x kT h t kT

∞

= ∗ =

∑

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )2 sinc 2 ( )

s s s

k

s s s

k

y

x kT BT B t kT

=−∞

∞

= −

∑

∑

• 나이퀴스트율을 가정하면, 즉 2BT_s = 1 이면

k =−∞

[ ]

( )t (kT ) i 2 (B t kT )

∑

( ) ( _s) sinc 2 ( _s)

k

y t x kT B t kT

=−∞

=

∑

Signal Reconstruction Signal Reconstruction

‰

Ideal interpolation

g g

( ) h t

( ) H f Ts

1 2B 1

−2B

1

t

B

−B f

( ) y t

s( ) x t

( ) ( ) h t

x ts

s( )

x t y t( )

t 0

Ts

t

실제 환경에서의 문제점 실제 환경에서의 문제점

• 표본화 정리는 원래의 아날로그 신호가 대역제한 되어 있다고 가정한다 그러나 실제로 우리에게 주어지는 신호는 시간

가정한다. 그러나 실제로 우리에게 주어지는 신호는 시간

제한적이며, 대역 제한되지 않은 신호이다(시간-제한과 대역- 제한은 동시에 될 수 없다)

제한은 동시에 될 수 없다).

• 그러므로 표본화 정리를 적용할 수 있는 유한 대역폭 조건이

실제로는 만족될 수 없다 그러므로 실제 주어진 신호를 표본화하면 실제로는 만족될 수 없다. 그러므로 실제 주어진 신호를 표본화하면 신호의 스펙트럼이 중첩된다.

• 다른 문제점으로는 표본화 정리를 적용할 때 사용한 임펄스열

• 다른 문제점으로는 표본화 정리를 적용할 때 사용한 임펄스열 신호를 물리적으로 구현할 수 없다는 것, 그리고 원래의 신호를 복원할 때 사용하는 필터가 이상적인 저역통과 필터인데 이를 복원할 때 사용하는 필터가 이상적인 저역통과 필터인데 이를 실제로 구현할 수 없다는 것을 들 수 있다.

실제 환경에서의 문제점 실제 환경에서의 문제점

• 실제의 신호는 대역 제한되지 않으므로 aliasing이 발생한다.

• Aliasing 현상을 없애기 위한 방법으로 표본화 이전에 f_s/2 이상의 성분을 제거하는 필터링 (anti-aliasing filter) 과정을 거치게 할 수 있다. 그러나 에일리어싱 방지 필터가 이상적인 필터이므로 구현이 불가능하다 에일리어싱 방지 필터가 이상적인 필터이므로 구현이 불가능하다.

• 실제로는 f_s/2 이상의 성분을 매우 작게 감쇄시키는, 높은 기울기의 차단 특성을 갖는 필터를 사용한다 따라서 약간의 스펙트럼 중첩이 발생하게 특성을 갖는 필터를 사용한다. 따라서 약간의 스펙트럼 중첩이 발생하게 되므로 표본화 주파수를 필터 차단 주파수의 두 배보다 조금 크게

선정한다 선정한다.

• 예를 들어 전화에서 음성 신호를 표본화 하는 경우 최대 주파수 성분을 B 3 4 KHz로 하고 표본 주파수를 f 8 KHz로 하여 (8 2x3 4)KHz 1 2 B=3.4 KHz로 하고 표본 주파수를 f_s=8 KHz로 하여 (8-2x3.4)KHz=1.2 KHz 만큼의 보호 대역을 둔다.

Practical Sampling Practical Sampling

‰ 표본화 정리의 증명에서 사용한 임펄스열 신호는 구현할 수 없다.

p g p g

‰ 실제의 표본화 과정에서는 임펄스열 대신 유한한 펄스폭을 가진 구형 펄스열을 사용한다.

‰

Practical sampling

• 자연 표본화(natural sampling): 펄스의 폭은 일정하지만 펄스 구간 동안에 펄스의 진폭이 일정하지 않고 아날로그 신호의 파형을 따라 변하도록 하는 방식

• 평탄 표본화(flat-top sampling): 펄스의 진폭이 표본화 순간의

아날로그 신호의 값으로 펄스 구간 동안 일정하게 유지되도록 하는 방식

Practical Sampling Practical Sampling p p g g

t Ts

(a)

Impulse sampling

(a)

t Ts

(b)

Natural sampling

(b)

t Ts

( )

Flat-top sampling

(c)

Natural Sampling Natural Sampling

t Ts

( )

x t^{( )} x_nsns( )^{( )}t x_ns( )t = x t( )⋅ p t_T ( )

T ( ) p% t

( ) ( ) _s( )

ns pT

s( ) pT t

( )

s( )

T t nTs

p t τ

∞ −

=

∑

 t

( )

n_=−∞ τ

Natural Sampling Natural Sampling

• 구형 펄스열에서 원점에 위치한 한 주기의 구형 펄스를 p(t)라 하고 이 신호의 푸리에 변환을 P(f)라 하면

( )

( ) t ( ) sinc( )

p t P f τ f τ

= Π τ ←⎯⎯^F → =

• 표본화 펄스열과 푸리에 변환은 다음과 같이 된다.

( )

∑

∑

^{( )}

( ) ( )

Ts s

n

p t p t δ t nT

=−∞

= ∗

∑



( )

( )

[ ( )] ( )

[ ( )]

Ts s

n

p t p t t nT

p t t nT

δ δ

=−∞

∞

⎡ ⎤

= ⎢⎣ ∗ − ⎥⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

∑

∑

F % F

F^{[ ( )]} F

( )

( ) ( )

s n

s s

p t t nT

P f f f nf

δ δ

=−∞

∞

= ⋅ ⎢⎣ − ⎥⎦

= ⋅ −

∑

∑

F F

( ) ( )

( ) ( )

s s

n

s s s

n

f f f f

f P nf δ f nf

=−∞

∞

= ∞

= −

∑

n=−∞

∑

Natural Sampling Natural Sampling

[p t_Ts( )] f_sτ sinc(nf_sτ δ) (f nf_s)

∞

=

∑

 F

( )

n

n s

n

c δ f nf

=−∞

∞

=−∞

=

∑

• 이와 같이 구형 펄스열의 푸리에 변환은 주파수 영역에서

sinc( )

n s s

c = f τ nf τ

임펄스열이 된다(크기는 일정하지 않음).

• 이상적인 임펄스 표본화와 다른 점

이상적인 표본화에서 사용한 시간 영역 임펄스열의 푸리에 변환은 일정한 크기(f_s)를 가진 주파수상 임펄스열이다. 그러나 자연

표본화에서 사용한 구형 펄스열의 푸리에 변환은 주파수상에서 크기가 일정하지 않은(c ) 임펄스열이다.

Natural Sampling Natural Sampling

• 자연 표본화된 신호의 푸리에 변환은 다음과 같이 된다.

( ) [ ( ) ( )]

[ ( )] [ ( )]

s s

ns T

T

X f x t p t

x t p t

= ⋅

= ∗



 F

F[ ( )] F[ ( )]

( ) ( )

s

n s

n

X f c δ f nf

∞

=−∞

= ∗

∑

( )

n s

n

c X f nf

∞

=−∞

=

∑

Natural Sampling Natural Sampling

• 자연 표본화된 신호의 스펙트럼을 보면 원래의 아날로그 신호의 스펙트럼 모양이 주기적으로 반복되는 것을 알 수 있다. 이것은 이상적인 임펄스 표본화와 유사하다.

• 차이점은 임펄스 표본화에서는 X(f)가 동일한 이득 f_s 만큼 곱해져서 반복되는데 비해 자연 표본화에서는 X(f) 가 다른 이득 c_n 만큼

곱해져서 반복된다는 것이다.

• 그러나 표본화 정리가 계속 유효하여 표본화 주파수를 f_s > 2B가 되도록 선택하면 스펙트럼 중첩이 발생하지 않으며, 저역통과 필터를 사용하면 표본화된 신호로부터 원래의 아날로그 신호를 복원할 수 있다.

Natural Sampling Natural Sampling

( )

x t X f( )

t

0 f

B B

−

←⎯→^F

s( )

p%T t F{p%Ts^{( )}t }

t f

0

←⎯→^F

fs 2f_s 2f_s

− −f_s 0

{p%Ts^{( )}t }

F

ns( ) x t

t f

0

←⎯→^F

fs 2f_s 2f_s

− −fs

fs

Flat-top Sampling Flat-top Sampling

‰

Flat-top sampling

• 펄스의 진폭을 펄스 구간의 중앙에서의 신호 값으로 하는 경우 평탄 표본화된 신호는 다음과 같이 표현된다.

한편 이상적인 임펄스 표본화가

( )

( ) ( )

ft s s

n

x t x nT p t nT

∞

=−∞

=

∑

• 한편 이상적인 임펄스 표본화가

( ) ( ) _s( ) ( ) ( )

s T s s

n

x t x t δ t x nT δ t nT

∞

= ∞

= ⋅ ^ =

∑

• 와 같이 표현되므로, 평탄 표본화된 신호는 다음 그림과 같이

임펄스 표본화된 신호를 임펄스 응답이 p(t) 인 시스템을 통과시킨

n=−∞

출력으로 모델링할 수 있다.

Flat-top Sampling Flat-top Sampling

( ) t

h t τ

= Π ⎜ ⎟⎛ ⎞ ( )t ⎝ ⎠

( )

x t x t_ft( )

(t nT_s)

∞ δ

∑

⎝ ⎠τ 1

s( ) x t

⎡ ∞ ⎤

∑

....

....

( _s)

n=−∞

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ( ) ( )]

s s s

n

x t p t x nT t nT p t

x nT t nT p t δ

δ

=−∞

∞

⎡ ⎤

⎢ ⎥

∗ = − ∗

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∗

∑

∑

t

T_s

( )[ ( ) ( )]

( ) ( )

s s

n

s s

x nT t nT p t

x nT p t nT δ

=−∞

∞

= − ∗

= −

∑

∑

( )

s s

n ft

p x t

=−∞

=

Sample & hold ∑

Flat-top Sampling Flat-top Sampling

• 따라서 평탄 표본화된 신호의 스펙트럼은 임펄스 표본화된 신호의 스펙트럼과 표본화 펄스 의 스펙트럼 를 곱한 것이 된다 스펙트럼과 표본화 펄스 p(t) 의 스펙트럼 P(f)를 곱한 것이 된다.

그러므로 스펙트럼의 모양이 원 신호의 스펙트럼 X(f)와 달라진다.

• 구형 펄스의 폭이 작을수록 스펙트럼의 변형이 작게 일어난다는 것을 예상할 수 있다.

Flat-top Sampling Flat-top Sampling

s( )

x t F{x ts^{( )}}

t

0 f

B B

−

←⎯→^F T_s

.... ....

{^{p t( )}}

F ( ) t

p t τ

= Π ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠ 1 1

t f

←⎯→^F 0

1 1

−τ 1

τ

{x tft^{( )}}

F

ft( ) x t

t f

0

←⎯→^F

f 2 f

−2 f −f

T 0

fs 2f_s 2f_s f_s

T_s

Flat-top Sampling Flat-top Sampling

‰

Distortion

Fl t t li 에서는 기저대역 스펙트럼이 표본화 펄스 ( )의

• Flat-top sampling에서는 기저대역 스펙트럼이 표본화 펄스 p(t)의 스펙트럼인 P(f)에 의해 곱해지므로 filtering 효과로 인하여 high frequency loss가 있다.

‰

해결 방법

i) τ를 작게 선택 ⇒ 문제점: PAM 신호의 대역폭 넓어짐 ii) 고주파쪽 gain을 크게 하는 equalization filter 사용

( ) H f

s( )

x t T P_s ⁻¹( )f x t( )

1( ), ( ) 0,

T Ps f f B

H f f B

⎧ − <

= ⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ >

LPF Equalizer

⎩

Analog Pulse Modulation g

펄스 변조 펄스 변조

‰

Analog Pulse Modulation

• PAM (Pulse Amplitude Modulation)

• PWM (Pulse Width Modulation)PWM (Pulse Width Modulation)

• PPM (Pulse Position Modulation)

펄스 변조 펄스 변조

t

modulating signal

t PAM

t PAM

t PWM

t

PPM

PAM PAM

‰ 표본 값에 따라 펄스열의 진폭을 결정하는 변조 방식

• Natural sampling : gate 회로로 구현

• Flat-top sampling : sample-and-hold 회로로 구현

스펙트럼 모양이 변형

 스펙트럼 모양이 변형

 펄스의 모양을 사전에 알고 있기 때문에 어떻게 왜곡이 발생하는지 알 수 있고, 수신기에서 이를 보상해 줄 수 있다(등화기 사용). ( )

 그러나 펄스폭을 충분히 작게 선택하면 왜곡이 작게 발생하여 수신기에서 등화기로 왜곡을 보상해줄 필요가 없다.

PAM 신호는 펄스폭이 좁기 때문에 원래의 l 신호보다 대역폭이 크다

• PAM 신호는 펄스폭이 좁기 때문에 원래의 analog 신호보다 대역폭이 크다.

 채널의 대역폭이 넓어야 distortion 안생김

• PAM의 noise performance는 analog 신호를 전송하는 것보다 좋아질 수 없다.

‰ PAM 자체는 신호 전송에 잘 사용되지 않고, PCM을 위한 중간 단계로 사용됨.

PWM PWM

‰ 펄스의 진폭과 위치는 일정하게 하고 펄스폭을 정보 신호의 표본 값에 비례하게 하는 변조 방식

비례하게 하는 변조 방식

PWM( ) t nT^s , _{n W} ( _s)

x t τ k x nT C

∞ ⎛⎜ − ⎞⎟

=

∑

• PWM 변조는 효율적인 스위칭 회로를 이용하여 모터를 제어하는데 사용된다

( ) ( )

n_=−∞

∑

사용된다.

• PWM의 단점으로는 펄스의 상승 부분과 하강 부분을 모두 검출해야 한다는 것이며 또한 보호시간이 상대적으로 길어야 한다는 것을 들 수 있다

것이며, 또한 보호시간이 상대적으로 길어야 한다는 것을 들 수 있다.

PPM PPM

‰ 펄스의 진폭과 폭은 일정하게 하고 펄스 위치를 정보 신호의 표본 값에 비례하게 하는 변조 방식

비례하게 하는 변조 방식

( )

PPM( ) t nT^s , _P ( _s)

x t α k x nT C

τ α

∞ − −

=

∑

• 펄스를 일정한 폭과 크기로 전송하므로 통신용도로서는 PWM에 비해 더 효율적이다.

( )

n_=−∞

∑

• 그러나 수신기에서는 샘플링 시간을 찾기 위한 클럭 타이밍을 재구성해야 한다는 점이 PAM과 PWM에 비해 불리하다. 왜냐하면 PAM이나

PWM에서는 클럭 타이밍이 펄스 자체 내에 직접 포함되어 있기 때문이다.

• PWM과 PPM은 진폭이 일정한 펄스를 사용하기 때문에 부가성 잡음의

영향을 PAM에 비해 적게 받는다는 장점이 있다. 따라서 증폭기나 중계기의 특성이 선형적일 필요가 없다.

수신기에서는 제한 증폭기나 클리핑 회로를 이용하여 PWM이나 PPM의

• 수신기에서는 제한 증폭기나 클리핑 회로를 이용하여 PWM이나 PPM의 진폭 변화를 제거한 다음 펄스의 상승 시간과 하강 시간만 검출하여 복조할 수 있다.

Time Division Multiplexing (TDM) Time Division Multiplexing (TDM)

‰

PAM 신호의 시분할 다중화

p g

p g

• PAM 신호의 펄스 폭을 주기에 비해 충분히 작도록 하여 펄스와

펄스간의 공백 시간에 다수의 다른 PAM 신호를 삽입하여 다중화할 수 있으며 이를 시분할 다중화(TDM)라 한다.

x₁(t) x₂(t)

t T_s

Time Division Multiplexing (TDM) Time Division Multiplexing (TDM)

‰

역다중화 (Demultiplexing)

p g

p g

• 시분할 다중화된 PAM 신호들은 동일한 주파수 대역을 점유하므로 주파수상에서는 분리가 불가능하다. 그러나 각 표본 펄스들의

시간상 위치가 겹치지 않으므로 시간상에서 분리가 가능하다.

Time Division Multiplexing (TDM) Time Division Multiplexing (TDM)

‰

역다중화 (Demultiplexing)

시분할 다중화된 PAM 신호들은 동일한 주파수 대역을 점유하므로

p g

p g

• 시분할 다중화된 PAM 신호들은 동일한 주파수 대역을 점유하므로 주파수상에서는 분리가 불가능하다. 그러나 각 표본 펄스들의

시간상 위치가 겹치지 않으므로 시간상에서 분리가 가능하다 시간상 위치가 겹치지 않으므로 시간상에서 분리가 가능하다.

CH 1 CH 2 CH 3

CH 1 CH 2 LPF CH 3

LPF LPF

CH 4 CH 5 CH 6

CH 4 CH 5 CH 6 CH 7

Transmission medium

LPF LPF LPF

CH2 CH4 CH6

CH8

C 2 CH6 CH8

CH 7 CH 8

CH 7 CH 8 LPF

LPF

CH1

CH3 CH5 CH6

CH7

CH1 CH2

CH3 CH4

CH5 CH7

.... ....

t T_s

Time Division Multiplexing (TDM) Time Division Multiplexing (TDM)

‰

TDM 시스템의 전송 대역폭

p g

p g

• 기저대역 아날로그 신호의 대역폭은 모두 B Hz로 동일하다고 가정하자.

• 표본화 주파수는 아날로그 신호의 최대 주파수의 두 배 이상 되어야 하므로 f_s ≥ 2B로 가정한다.

• 다중화기에서 절환기의 회전 속도는 표본화 주파수와 같다.

• 만일 다중화하고자 하는 채널 수가 N 개 라면 각 표본 펄스의 폭 τ는 스위치의 회전 주기의 1/N 을 초과할 수 없으므로 τ ≤1/2BN을

만족시켜야 한다.

Time Division Multiplexing (TDM) Time Division Multiplexing (TDM)

‰

TDM 시스템의 전송 대역폭

펄스 이 인 형 펄스의 스펙 럼이 처음 을 차하

p g

p g

• 펄스 폭이 τ 인 구형 펄스의 스펙트럼이 처음으로 0을 교차하는 주파수 1/ τ 를 펄스의 근사적인 대역폭으로 간주하면 PAM 변조- 시분할 다중화 시스템의 전송 대역폭은 다음과 같이 된다

시분할 다중화 시스템의 전송 대역폭은 다음과 같이 된다.

TDM

1/ 2 Hz

BW ≅ τ = BN

• 다중화하고자 하는 채널의 개수가 증가할수록 표본 펄스의 폭이 감소되며 이에 비례하여 전송대역폭은 증가한다 이러한 성질은 감소되며 이에 비례하여 전송대역폭은 증가한다. 이러한 성질은 FDM에서 다중화 채널의 수에 비례하여 전송 대역폭이 증가하는 것과 같다

것과 같다.

• AM 변조-FDM 시스템의 전송 대역폭은 PAM 변조-TDM 시스템의 전송 대역폭과 거의 등가적이라는 것을 알 수 있다

전송 대역폭과 거의 등가적이라는 것을 알 수 있다.

Digital Pulse Modulation g

Digital Pulse Modulation Digital Pulse Modulation g g

‰

Digital Pulse Modulation

• PCM (Pulse Code Modulation)

• DPCM (Differential Pulse Code Modulation)DPCM (Differential Pulse Code Modulation)

• DM (Delta Modulation)

• ADM (Adaptive Delta Modulation)

펄스부호 변조(PCM) 펄스부호 변조(PCM)

‰

Pulse Code Modulation (PCM)

아날로그 펄스변조에서는 시변수가 이산적이지만 펄스폭 진폭 위치와

• 아날로그 펄스변조에서는 시변수가 이산적이지만 펄스폭, 진폭, 위치와 같은 펄스 변수들은 연속적인 값을 가지므로 아날로그 변조로 분류하며, 아날로그 변조와 디지털 변조의 중간 단계로 볼 수 있다.

아날로그 변조와 디지털 변조의 중간 단계로 볼 수 있다.

• PCM은 펄스의 크기 및 시변수가 모두 이산적인 디지털 방식이다.

• 펄스의 크기를 이산적인 값으로 표현한다는 것은 유한한 자릿수로써

크기를 나타낸다는 것으로 양자화(quantization) 과정에 의하여 이 변환이 이루어진다.

• 아날로그 신호 x(t)가 가질 수 있는 값의 범위 (-x_p, x_p)의 구간을 M개의 구간으로 분할하면 각 표본의 크기는 M 개 수치 중 하나로 근사화된다.

여기서 각 부분 구간의 크기는 Δ 2 /M이 된다 여기서 각 부분 구간의 크기는 Δ=2 x_p /M이 된다.

PCM PCM

xp

( ) x t

quantization level

7 5

binary code ( ) 1111

x t

q( ) x t

7.5 6.5 5.5 4.5

1111 1110 1101 1100 3.5

2.5 1.5 0.5

1011 1010 1001 1000

2x_p M

0.5 1.5 2.5 3 5

−

−

−

1000 0111 0110 0101 3.5 0100

4.5 5.5 6.5

−

−

−

−

0100 0011 0010 0001

xp

− ^{−7.5 0000}

표본화된 신호의 양자화 및 부호화의 예(양자화 준위의 개수 M=16의 경우)( )

PCM PCM

• 양자화를 거치면 신호는 M-ary 디지털 신호가 된다.

• 표본을 M 개의 레벨로 양자화하여 T_s 마다 M 개 중의 하나의 크기를 가진 펄스를 전송하는 방식을 M-ary PAM 변조라 한다.

• 이에 대한 수신기에서는 수신된 펄스의 크기가 M개의 기준값 중 어느 것과 가장 근사한가를 판단하여 신호를 복원하게 된다.

• 이 과정에서 수신 펄스의 크기를 판단하기 위해 M-1 개의 문턱값과 비교를 해야 하는데, M이 클수록 복잡하게 된다.

• 만일 펄스의 크기가 두 종류라면 수신기에서의 판단은 매우 간단하다.

• 예를 들어 펄스의 크기를 A 또는 0으로 하여 전송한다면

수신단에서는 펄스의 유무만 판단하면 되므로 매우 간단해진다.

PCM PCM

• 양자화된 표본값을 한 자릿수의 M 진수로 표현하는 대신 여러 자릿수의 진수로 표현하는 것이 가능하다

자릿수의 2진수로 표현하는 것이 가능하다.

필요한 비트 수는 log₂M 이상의 정수

• M-ary PAM 변조가 T_s 마다 M 진수로 표현된 크기의 펄스 한 개를 전송하는 것에 비해 PCM은 T_s 마다 2진수로 부호화된 여러 개(비트 수 만큼)의 펄스를 전송

수 만큼)의 펄스를 전송

• 이와 같이 PCM에서는 1과 0의 두 개의 수에 해당하는 펄스만 전송하므로 수신기가 간단하고 전송 잡음에 의한 파형의 왜곡이 전송하므로 수신기가 간단하고, 전송 잡음에 의한 파형의 왜곡이 정보 왜곡으로 이어지는 정도가 다른 변조 방식에 비해 낮다.

PCM PCM

111

binary code binary pulse code

110

101 101

100

011 011

010

001

000

(a) (b)

2진 펄스 부호의 예(M=8의 경우)

PCM PCM

• 송신기와 수신기 사이의 거리가 먼 경우 신호의 감쇄로 인하여 파형이 잡음에 의해 손상되는 것을 해결하기 의하여 중간 중간에 파형이 잡음에 의해 손상되는 것을 해결하기 의하여 중간 중간에 repeater를 둔다.

• 아날로그 전송에서는 중계기에서 신호를 증폭하여 신호 대 잡음 비를 높이는 방법을 사용하는데, 이 경우 중계기들을 거치면서 잡음이 누적 증폭되는 효과가 발생한다.

그러나 PCM을 사용한 디지털 전송에서는 중간 중간의 재생

• 그러나 PCM을 사용한 디지털 전송에서는 중간 중간의 재생

중계기(regenerative repeater)를 통해 잡음에 의해 손상된 2진 파형을 1과 0의 두 파형으로 다시 원상 복구하여 재전송하는 방법을

사용하여 최종 수신측에서는 송신기에서 전송한 2진 파형과 거의 동일한 파형을 얻을 수 있다.

따라서 잡음이 누적 증폭되는 문제가 발생하지 않는다

• 따라서 잡음이 누적 증폭되는 문제가 발생하지 않는다.

PCM PCM

‰

PCM의 단점

• T_s 마다 한 개의 펄스를 전송하는 대신 여러 개의 펄스를 전송하므로 펄스 폭을 작게 해야 하며, 결과적으로 전송 대역폭이 증가한다.

• 표본을 n 비트로 표현하여 PCM 전송을 하는 경우 전송 대역폭이 PAM에 비하여 n 배가 된다.

채널의 대역폭이 신호의 전송 대역폭보다 작은 경우 왜곡이

• 채널의 대역폭이 신호의 전송 대역폭보다 작은 경우 왜곡이

발생한다. 이 경우 양자화 잡음을 증가시키지 않으면서 2진수로 표현할 때의 비트 수를 감소시킬 수 있는 양자화/부호화 방식이 표현할 때의 비트 수를 감소시킬 수 있는 양자화/부호화 방식이 있다면 매우 바람직할 것이다.

Quantization Quantization

‰

양자화

신호의 크기를 미리 정한 유한한( 개) 값 중의 한 값으로

• 신호의 크기를 미리 정한 유한한( M 개) 값 중의 한 값으로 대체시키는 과정

• 양자화기에 입력되는 신호 x(t)의 범위가 (-x x )라고 하고 M 개의양자화기에 입력되는 신호 x(t)의 범위가 ( x_p, x_p)라고 하고 M 개의 균일한 구간으로 분할하여 양자화한다고 하자. 여기서 x_p 는 신호의 최대값이어야 할 필요는 없으며, (-x_p, x_p) 의 범위를

벗어나 신 의 값 제한된다 신 의

벗어나는 신호의 값은 ±x_p 로 제한된다. 즉 x_p 는 신호의 파라미터가 아니고 양자화기의 상수이다.

• 진폭의 범위를 M 개의 균등한 구간으로 나누면 각 구간의 폭은

• 진폭의 범위를 M 개의 균등한 구간으로 나누면 각 구간의 폭은 Δ = 2 x_p /M 이 되며, 신호 표본값은 그 표본이 속한 구간의 한 값(

중간값)으로 근사화된다.

• 진폭 범위를 균일한 구간으로 나누어 양자화하는 방식을 선형 양자화라 한다.

Quantization Quantization

xp

y output

x

xp x

xp

− input

xp

− _p

(a)

Quantization Noise Quantization Noise

‰

Quantization error

양자화 과정에서는 원래 신호의 값을 사전에 정한 유한한 개수의

• 양자화 과정에서는 원래 신호의 값을 사전에 정한 유한한 개수의 값으로 대체하기 때문에 오차를 피할 수 없다.

• 양자화 준위의 간격을양자화 준위의 간격을 Δ 라 하면 양자화 잡음의 크기는 Δ/2 이하가Δ 라 하면 양자화 잡음의 크기는 Δ/2 이하가 된다. 양자화 잡음을 줄이기 위해서는 양자화 준위 수를 증가시키는 방법을 사용할 수 있는데, 이 경우 전송할 이진 펄스의 개수가

가하여 전송 대역 이 가하 결과가 발생한다 증가하여 전송 대역폭이 증가하는 결과가 발생한다.

• 표본 시간 kT_s에서 신호 x(t)의 원래 표본과 양자화된 표본을 각각 x(kT )와 x (kT )라 하면 양자화 잡음 q(kT )는 다음과 같이 표현된다 x(kT_s)와 x_q(kT_s)라 하면 양자화 잡음 q(kT_s)는 다음과 같이 표현된다.

(

) (

)

(

)

q kT = x kT − x kT

Quantization Noise Quantization Noise

( )

x t x t_q( )

1 2 3 4

1 2 0 1

2 3

4 t

i i

quantization error

t