cos tan 

(1)

삼각함수의 미분법

문항 2

핵심노트

1

1함수       sin  에 대하여  ′



^





^{의 값은?}

[2점][2018(가) 3월/교육청 2]

①  ② 

 ③  ④ 

 ⑤ 

2

2함수    cos^에 대하여  ′



^





의 값을 구하시오.

[3점][2017(가) 9월/평가원 23]

3

3함수    cos  ^에 대하여  ′의 값을 구하시오.

[3점][2015(B) /수능 23]

4

4함수   sin에 대하여  ′의 값은?

[3점][2015(가) 11월/교육청(고2) 6]

①   ②  

 ③ 



삼각함수 사이의 관계

문항 4

핵심노트

5

5tan     일 때, sec^ 의 값은?

[3점][2018(가) 3월/교육청 4]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

6

6sin  cos  



^

일 때, tan  cot 의 값은?

[3점][2016(가) 7월/교육청 6]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

7

7sin   cos   

일 때, cos 





^{tan   }tan^





^{의 값은?}

[1994(2차) 수능(A) 1]

①　 

 ②　 

 ③　 

 ④　 

 ⑤　 



8

8이차방정식 ^     의 두 근을 sin , cos라 할 때, 상수 의 값은?

[3점][2016(가) 10월/경남 8]

(2)

중복순열

문항 6

핵심노트

9

9숫자 , , , ,  중에서 중복을 허락하여 세 개를 선택해 일렬로 나 열하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는?

[3점][2018(가) 3월/교육청 6]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

10

10숫자  ,  ,  ,  ,  중에서 중복을 허락하여 세 개를 택해 일렬로 나 열하여 만든 세 자리 자연수가 홀수인 경우의 수는?

[3점][2017(가) 7월/교육청 8]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

11

11서로 다른 과일 개를 개의 그릇 A , B, C에 남김없이 담으려고 할 때, 그릇 A 에는 과일 개만 담는 경우의 수는? (단, 과일을 하나도 담 지 않은 그릇이 있을 수 있다.)

[4점][2016(가) 9월/평가원 19]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

13

13문자   에서 중복을 허용하여 세 개를 택하여 만든 단어를 전송하 려고 한다. 단, 전송되는 단어에  가 연속되면 수신이 불가능하다고 하 자. 예를 들면   등은 수신이 불가능하고   등은 수신이 가능하다. 수신 가능한 단어의 개수를 구하시오.

[2점][2001(인)/수능(홀) 28]

14

14    의 숫자가 하나씩 적힌 개의 공을 개의 상자 A , B, C 에 넣으려고 한다. 어느 상자에도 넣어진 공에 적힌 수의 합이  이상 이 되는 경우가 없도록 공을 상자에 넣는 방법의 수는?

(단, 빈 상자의 경우에는 넣어진 공에 적힌 수의 합을 으로 한다.)

[4점][2007(가) 수능(홀) 14]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

15

15세 수 , ,  중에서 중복을 허락하여 다섯 개의 수를 택해 다음 조건 을 만족시키도록 일렬로 배열하여 자연수를 만든다.

(가) 다섯 자리의 자연수가 되도록 배열한다.

(나) 끼리는 서로 이웃하지 않도록 배열한다.

예를 들어 , 은 조건을 만족시키는 자연수이고 은 조건을 만족시키지 않는 자연수이다. 만들 수 있는 모든 자연수의 개수 는?

[4점][2016(나) 7월/교육청 21]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

16

16오른쪽 그림에 나타나는 수를 크기순으로 나열하 여 다음과 같은 수열을 만들었다.

     

     

    ⋯ 이 수열의 제항은?

[1994(2차) 수능(A) 11]

①　

(3)

대입하여 미지수 구하기

문항 8

핵심노트

17

17최대 충전 용량이 __ 인 어떤 배터리를 완전히 방전시킨 후  시간 동안 충전한 배터리의 충전 용량을   라 할 때, 다음 식이 성 립한다고 한다.

   _



  ^{ }^





(단,  는 양의 상수이다.)

 

 

 

 일 때,  의 값은? (단, 배터리의 충전 용량의 단위는 mAh 이다.)

[3점][2018(가) 3월/교육청 8]

① 

 ②  ③ 

 ④  ⑤ 



18

18도로용량이  인 어느 도로구간의 교통량을  , 통행시간을  라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

log



^^

  



   log 

   

(단, _은 도로 특성 등에 따른 기준통행시간이고,  는 상수이다.) 이 도로구간의 교통량이 도로용량의  배일 때, 통행시간은 기준통행시 간 _의 

 배이다.  의 값은?

[3점][2014(A) 9월/평가원 10]

①  log ②   log ③  log

④   log ⑤   log

19

19누에나방 암컷은 페로몬을 분비하여 수컷을 유인한다.

누에나방 암컷이 페로몬을 분비한 후  초가 지났을 때 분비한 곳으로부 터 거리가  인 곳에서 측정한 페로몬의 농도  는 다음 식을 만족시킨 다고 한다.

log     

 log   

 ^

(단,  와  는 양의 상수이다.) 누에나방 암컷이 페로몬을 분비한 후  초가 지났을 때 분비한 곳으로 부터 거리가  인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는  이고, 분비한 후  초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가  인 곳에서 측정한 페로몬 의 농도는 

 이다.  의 값은?

[3점][2012(가) /수능 7]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

20

20Wi-Fi 네트워크의 신호 전송 범위  와 수신 신호 강도  사이에는 다 음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

     log ^

(단, 두 상수  ,  은 환경에 따라 결정된다.) 어떤 환경에서 신호 전송 범위  와 수신 신호 강도  사이의 관계를 나타낸 그래프가 다음과 같다. 이 환경에서 수신 신호 강도가   일 때, 신호 전송 범위는?

[3점][2016(가) 10월/교육청 10]

① ^^



② ^^



③ ^^



④ ^^



⑤ ^^



(4)

유리함수의 극대․극소

문항 10

핵심노트

21

21함수    

^   

  

의 극댓값과 극솟값의 합은?

[3점][2018(가) 3월/교육청 10]

①   ②  

 ③  

 ④  

 ⑤  



좌표축과 곡선 사이의 넓이

문항 12

핵심노트

22

22그림과 같이 곡선   ^ 위의 점   를 지나고  축에 평행한 직 선을  이라 하자. 곡선   ^과  축 및 직선  로 둘러싸인 도형의 넓이는?

[3점][2018(가) 3월/교육청 12]

①    ②   

 ③   

④   

 ⑤   

(5)

23

23실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수  가　   이고 모든 실 수  에 대하여  ′   이다.

곡선     위의 점 A         에서  축에 내린　수선 의 발을 B 라 하고, 점 A 를 지나고 점 A 에서의 접선과 수직인 직 선이 축과 만나는 점을 C 라 하자. 모든 양수 에　대하여 삼각형 ABC 의 넓이가 

^ ^ ^ 일 때, 곡선     와  축 및

직선   로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[4점][2017(가) 9월/평가원 18]

①    ②  ③   

④    ⑤   

유리함수의 치환적분법

문항 14

핵심노트

24

24뉴턴의 냉각법칙에 따르면 온도가  으로 일정한 실내에 있는 어떤 물 질의 시각  (분)에서의 온도를   라 할 때, 함수   의 도함수

 ′ 에 대하여 다음 식이 성립한다고 한다.



^_{   }^{ ′} ^{   } (단, ,  는 상수이다.)

   ,     일 때,  의 값은? (단, 온도의 단위는 °C 이 다.)

[4점][2018(가) 3월/교육청 14]

①  

ln  ②  

 ln 

③  ln 

④  

 ln 

⑤  

 ln 

(6)

25

25연속함수   가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  ≠  인 실수  에 대하여   ^ ′  ^ 



(나)    

 ^의 값은?

[4점][2017(가) 10월/교육청 16]

①  ln  ②  ln  ③    ln 

④  ln  ⑤    ln 

26

26함수         에 대하여 함수 g 



^__{  }_    

   



이다. 함수 g 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 두 직선        는 함수 g′의 그래프의 점근선이 다.

(나)      에서 방정식 g   의 해는 오직 하나다.

함수 g g′ 가    에서 극값을 가질 때, 모든  의 값의 합이  이다.   ^{g }의 값을 구하시오.

[4점][2017(가) 10월/경남 30]

지수․로그함수와 수열

문항 16

핵심노트

27

27그림과 같이 제 사분면에 있는 곡선   log_   위의 점 P 를 지 나고 기울기가   인 직선이  축과 만나는 점을 Q 라 하자. 자연수  에 대하여 PQ 



^  이 되도록 하는 점 Q 의  좌표를 _이라 할 때,

  





_의 값은?

[4점][2018(가) 3월/교육청 16]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

28

28로그함수    log_의 그래프 위의 두 점 P_ log_, P_{  }   log_  을 지나는 직선 P_P_{  }의 기울기를 g이 라 할 때,



^ ^{g의 값은?}

(7)

29

29그림과 같이 좌표평면에서 직선   가 곡선   ^ 와 만나는 점 을 A_라 하고, 직선     이 직선   와 만나는 점을 B_{  }이라 하자. 선분 A_B_{  }을 대각선으로 하고 각 변은 축 또는 축에 평행 한 직사각형의 넓이를 _라 할 때,



  



_의 값은?

[3점][2015(A) 삼사 13]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

30

30자연수  에 대하여     ^ log_ 이라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[3점][2006(나) 6월/평가원 7]

ㄱ.    

ㄴ.     log_ 

ㄷ.  ^    ^{  }    ^

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

31

31좌표평면에서  이상의 자연수 에 대하여 두 곡선   ^ ,

  log_  으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고

좌표와 좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 가 되도록 하는 자연수

의 개수를 구하시오.

[4점][2017(가) 4월/교육청 29]

32

32함수    

^ 

^

에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

[4점][2005(나) 수능(홀) 10]

ㄱ. 



^





^{ }



ㄴ.          ㄷ.



  







^





^{ }

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(8)

33

33그림과 같이 함수   log_ 의 그래프와 직선    ( 는 자연수),  축과의 교점을 각각 A  B 라 하고, 직선    위의 한 점 P 에 대하 여 직선 OP 가 ∠AOB 를 이등분할 때, 선분 AP 의 길이를   라 하자. _{  }



^ ^^{ }^^의 값을 구하시오. (단, O 는 원점)

[4점][2010(가) 7월/교육청 25]

34

34 ≥ 일 때, log 의 지표와 가수를 각각   , g 라 하자.

좌표평면에서 자연수 에 대하여 함수      g의 그래프와 직선   이 만나는 점의 좌표 중 가장 작은 값을 이라 할 때,

  







^{log }^^{ }  





의 값을 구하시오.

[4점][2015(A) 4월/교육청 30]

다항식끼리의 곱에서 항의 계수

문항 18

핵심노트

35

35다음은 부등식

 나  × 가  이다.

따라서 부등식 _{  }



^

^

^{ ×}^^^C^^^

^

^{≥  ×}^^C^{  }^{을 만족시키는}

자연수  의 최솟값은 다  이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각  , g 이라 하고, (다)에 알맞 은 수를  라 할 때,    g   의 값은?

[4점][2018(가) 3월/교육청 18]

  



_{  }C_{  }× ^(나) ) 이다.

한편  ≤  ≤ 일 때,  ×_C_  ×_{  }C_{  }이므로

  





_C_^



  



 ×_{  }C_{  }× ^(나) )

  ×



  



_{  }C_{  }× ^(나) )

 ^(다) 이다.

< 증 명 >

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

[4점][2009(가) 6월/평가원 15]

(가) (나) (다)

① C_ _C_{    } 

×_C_{  }

② _{  }C_{  } _C_{    } 

×_C_

③   C_{  } _C_{  } 

×_C_

④ C_ _C_{    }  ×_C_{  }

⑤   C_{  } _C_{  }  ×_C_

37

37다음은 에 대한 다항식   ^^과 ^   ^의 전개식에서

^{  }의 계수가 같게 되는 두 자연수 와  ≥ 의 값을 구하는 과 정의 일부이다.

  ^^의 전개식에서 ^{  }의 계수는 ^이다.

^   ^ ^  ^   ^에서

^  ^을 전개하면 ^{  }의 계수는 ㈎ × ^이고,

  ^을 전개하면 ^{  }의 계수는 ^이다.

따라서 ^   ^의 전개식에서 ^{  }의 계수는

㈎ × ^ ^ 이다. 그러므로

^  ㈎ × ^ ^

이고, 이 식을 정리하여 를 에 관한 식으로 나타내면

  ㈏



이다. 여기서 는 자연수이고 은  이상의 자연수이므로

  ㈐ 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각  , g이라 하고, (다)에 알맞 은 수를 라 할 때,    g의 값은?

[4점][2017(가) 6월/평가원 19]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(10)

적분구간이 변수로 주어진 정적분의 미분

문항 20

핵심노트

38

38함수   







sin  cos   에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있 는 대로 고른 것은?

[4점][2018(가) 3월/교육청 20]

ㄱ.  ′  

ㄴ. 함수     의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

ㄷ.    

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

39

39함수    ^{ }







sin ^ 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있 는 대로 고른 것은?

[4점][2017(가) 수능 20]

ㄱ.  



^   

ㄴ.  ′  을 만족시키는 가 열린 구간 



^ 에 적어도 하나 존재한다.

ㄷ.  ′   을 만족시키는 가 열린 구간 



^ 에 적어도 하나 존재한다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

40

40실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 상수     와 모든 실수  에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가)    (나)





  

  sin



^{  }





닫힌 구간 





_{ }



 





에서 두 실수   에 대하여

  cos  cos일 때,    

이다.    의 값을 구 하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2016(가) 6월/평가원 30]

(11)

41

41실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만족시킨 다.

(가)







 ′  sin^ (나)  ′^     모든 자연수 에 대하여 함수 g를

g 



^{  }





^{ }

이라 하고

_









  

g ^

라 하자.



  



 일 때, 의 값을 구하시오.

[4점][2016(가) 10월/경남 30]

42

42실수 전체의 집합에서 연속인 함수   가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  ≤ 일 때,      ^  이다. (단,  ,  ,  는 상수이다.)

(나) 모든 실수  에 대하여   









^    이다.

일 때,







    

일 때,    의 값을 구하시오. (단,  와  는

서로소인 자연수이다.)

[4점][2016(B) /수능 30]

로그부등식

문항 22

핵심노트

43

43부등식 log_    를 만족시키는 모든 자연수  의 값의 합을 구 하시오.

[3점][2018(가) 3월/교육청 22]

44

44로그부등식  log



    log



  의 해가      일 때,

의 값은?

[3점][2007(나) 7월/교육청 6]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

45

45부등식 log_   log_  ≤ 을 만족시키는 정수  의 개수 는?

[3점][2016(가) 6월/평가원 10]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

(12)

46

46부등식   log



^ log



  의 해가      일 때,  의 값을 구하시오.

[3점][2009(나) 6월/평가원 21]

47

47함수    log_ 에 대하여   ∘      ≤  을 만족하는 자연수

 의 개수는?

[3점][2006(가) 10월/교육청 6]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

48

48부등식 log_  ≤   log_

을 만족시키는 모든 정수  의 개 수는?

[3점][2017(가) 6월/평가원 8]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

집합의 분할

문항 24

핵심노트

49

49       의 값을 구하시오.

[3점][2018(가) 3월/교육청 24]

50

50집합의 분할의 수   의 값을 구하시오.

[3점][2016(가) 7월/교육청 24]

(13)

같은 것이 있는 순열

문항 26

핵심노트

51

51세 문자 A , B, C 에서 중복을 허락하여 각각 홀수 개씩 모두  개를 선택하여 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 모든 문자는 한 개 이상씩 선택한다.)

[4점][2018(가) 3월/교육청 26]

52

52 개의 문자        를 일렬로 나열할 때, 양쪽 끝에는 서 로 다른 문자가 오는 경우의 수를 구하시오.

[3점][2004(나) 10월/교육청 20]

53

53일곱 개의 문자  ,  ,  , , ,  ,  중에서 개의 문자를 뽑아 일렬로 나열할 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오.

[3점][2007(가) 4월/교육청 19]

54

54개의 문자        를 일렬로 나열할 때, 끼리 또는 끼리 이웃하게 되는 모든 경우의 수를 구하시오.

[4점][2004(나) 6월/평가원 30]

정적분과 급수

문항 28

핵심노트

55

55함수    ln  에 대하여 lim

→ ∞_{  }



^ ^_^^^



^{  }





^{ }

 일 때,    의

값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2018(가) 3월/교육청 28]

56

56함수    ^ 

 의 그래프는 그림과 같다. lim

 → ∞





  







^{  }





의 값은?

[4점][2016(가) 7월/교육청 14]

    ^ 





O 

 

① ln 

 ② ln 

 ③ ln 



④ ln 

 ⑤ ln 



(14)

57

57자연수  에 대하여 _ 





^

 _{  }



^

^

^   일 때, lim

→ ∞

_ 

의 값은?

[3점][2012(가) 삼사 3]

① 



^ ② 



^ ③ 



^

④ 



^ ⑤ 



^

58

58lim

→ ∞





  





^^{ }



^





^^{의 값은?}

[3점][2013(가) 삼사 4]

①    ②    ③   

④    ⑤   

59

59다음의 극한값을 구하면?

[4점][2002(자) 삼사 19]

lim

→ ∞



^^ ^

^

 ^ ^

^

 ^ ^

^

 …  

^ ^

^



①  ln  ② ln  ③ 

ln 

④ 

ln  ⑤  ln 

정적분으로 정의된 함수의 최대‧최소

문항 30

핵심노트

60

60함수

   









^  ≤   

^{  }  ≤  ≤  에 대하여 열린 구간   에서 정의된 함수

g 







   

의 극댓값과 극솟값의 차는   



^ ^^이다. ^의 값을 구하시오.

(단, ,  는 유리수이다.)

[4점][2018(가) 3월/교육청 30]

(15)

61

61실수  에 대하여 함수 를





^{ }^^{  }^ ^^^{  }  ^^{≤ } 

이라 할 때, 어떤 홀수  에 대하여 함수 g





  

cos

가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 g가   에서 극소이고 g 인 모든 를 작은 수 부터 크기순으로 나열한 것을 _, _, ⋯, _(은 자연수) 라 할 때, _{  }



^ ^^^{ 이다.}

  ^



  



g^의 값을 구하시오.

[4점][2018학년(가) 수능 30]

(16)

(17)

빠른 정답 정답과 해설

1

[정답] ③

[출제의도] 삼각함수의 미분계수를 계산한다.

     sin  에서

′      cos 이므로

′



^





    cos 



    × 



 

2

[정답]  [풀이]

′   cos sin

 sin cos

따라서 ′



^





^{  × }

^

× 

^  이다.

3

[정답]  [풀이]

[출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기

′   sin  ^

∴ ′   

4

[정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 삼각함수의 미분 이해하기

′ sin    cos

′ sin     cos   

5

[정답] ④

[출제의도] 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 삼각함수의 함숫값을 계산 한다.

tan^   ^ 이고

  tan^  sec^이므로 sec^    

 

6

[정답] ③ [풀이]

[출제의도] 삼각함수 사이의 관계 이해하기

sin  cos^ sin^  sin cos  cos^

   sin cos  



이므로 sin cos  



따라서 tan  cot   cos

sin sin

cos sin cos

  

7

[정답] ④ [풀이]

sin  cos  

에서 양변을 제곱하면,

1 ③ 2  3  4 ⑤ 5 ④

6 ③ 7 ④ 8 ① 9 ③ 10 ④

11 ⑤ 12  13  14 ② 15 ⑤

16 ② 17 ② 18 ④ 19 ④ 20 ④

21 ③ 22 ⑤ 23 ① 24 ① 25 ②

26  27 ① 28 ② 29 ③ 30 ④

31  32 ⑤ 33  34  35 ①

36 ③ 37 ① 38 ⑤ 39 ⑤ 40 

41  42  43  44 ④ 45 ③

46  47 ④ 48 ② 49  50 

51  52 340 53  54  55 

56 ④ 57 ② 58 ② 59 ③ 60 

61 

(18)

 sin^cos^

sin  cos sin^  sincos  cos^ 

 



^{ }





^







^{ }



^{ }





 



8

[정답] ① [풀이]

[출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

근과 계수의 관계에 의하여 sin   cos    

  sin cos   



sin   cos    

의 양변을 제곱하면

   sin cos  

 이므로    ×



^{ }





^{ }



따라서   



9

[정답] ③

[출제의도] 중복순열을 이용하여 경우의 수를 구한다.

백의 자리에 올 수 있는 수의 개수는 이고, 십의 자리와 일의 자리에 올 수 있는 수의 개수는

∏_ ^ 이므로

곱의 법칙에 의하여 구하는 경우의 수는

 ×   

10

[정답] ④

[출제의도] 중복순열 이해하기

세 자리 자연수가 홀수이려면 일의 자리의 숫자는 홀수이어야 한다.

일의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 _C_

백의 자리와 십의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 _∏_ 따라서 세 자리 자연수가 홀수인 경우의 수는

C_×_∏_  × ^ 

11

[정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 조합과 중복순열을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가 서로 다른 과일 개 중 그릇 A에 개를 담는 경우의 수는 _C_

이 각각에 대하여 나머지 개의 과일을 두 개의 그릇 B C에 담는 경우의 수는 _∏_ ^ 

따라서 구하는 경우의 수는  ×   

12

[정답] 

[풀이]

[출제의도] 경우의 수 계산하기

나온 눈의 수들의 최대공약수가  또는 일 경우의 수는 각 회에서  또는  또는 의 눈이 나오는 경우 중에서 만 나오는 경우를 빼면 되므로

따라서 수신 가능한 단어의 수는       (개)

14

[정답] ② [풀이]

개의 공을 상자 A, B, C에 넣는 전체 방법의 수는

^ 

합이  이상이 되는 경우는

         ,

    

∴      ×    ×   

15

[정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 순열과 조합을 활용하여 문제 해결하기

을 네 번 이상 사용하면 반드시 끼리 서로 이웃하게 되므로  은 세 번 이하로 사용된다.

(ⅰ) 이 사용되지 않는 경우

^ 

(ⅱ) 이 한 번 사용되는 경우

로 시작되는 경우의 수는 ^ 

로 시작되는 경우의 수는  × ^ 

(ⅲ) 이 두 번 사용되는 경우

로 시작되는 경우의 수는  × ^ 

로 시작되는 경우의 수는  × ^ 

(ⅳ) 이 세 번 사용되는 경우

첫 번째, 세 번째, 다섯 번째에는 반드시 이 사용되므로 ^  따라서 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 

16

[정답] ② [풀이]

한 자리 수는 개, 두 자리 수는 ^개 즉,  자리의 수는 ^개

^≤  에서 ^     ^ 이므로  ≤ 



  



^   

^ 

 

따라서 제 항은   , 즉 자리의 수로서 번째 수이다.

자리의 수 중 첫째 자리의 숫자가 인 것이 ^ 개 이고, 이 수는 

∴ 번째 수는 

17

[정답] ②

[출제의도] 지수함수를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

  에서   ^{ }^



 이므로

  ^{ }^



 이다.





 

^{ }^





^

 



  ^{ }^





  ^{ }^





(19)





 

에서   

_



  ^{ }^





 _



  ^{ }^





^{ }^



  로 놓으면   이므로     이다.

  ^    

        

    

   즉 ^{ }^



 ^{ }

 

  에서

  

18

[정답] ④ [풀이]

도로구간의 교통량이 도로용량의  배이므로 ^{ }, 통행시간은 기준통행시간의 

배이므로



   _

 



∴ log



^

 



   log

∴     log

19

[정답] ④ [풀이]

주어진 조건에 따라 다음 식을 만족한다.

log  _{ }



log   



⋯ ㉠

log 

_{ }_^_{log   }^_

 _{⋯ ㉡}

식 ㉠, ㉡을 정리하면 log   ⋯ ㉢ log  _{ }



^ _{⋯ ㉣}

㉢  ㉣하면



^

^ 



^^{ }

∴    ∵     

20

[정답] ④ [풀이]

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

신호 전송 범위  와 수신 신호 강도  사이의 관계를 나타낸 그래프에서

   일 때   이므로

      log ^,    

   일 때    이므로

       log^,    수신 신호 강도가   일 때

       log ^ 따라서 신호 전송 범위는 ^^



21

[정답] ③

[출제의도] 몫의 미분법을 이용하여 함수의 극댓값과 극솟값의 합을 구한 다.

함수  의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

 ⋯  ⋯  ⋯

′      

 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

함수 는   에서 극소이고,   에서 극대이므로 극댓값과 극솟값의 합은

    ^   

  

 ^   

  

 

  

  



22

[정답] ⑤

[출제의도] 정적분을 이용하여 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.

개의 점 O , A , B   , C   를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이는

 ×   

이고, 곡선   ^과  축 및 직선    로 둘러싸인 도형의 넓이는







 ^ 

 ^















^

     

 이므로

구하는 도형의 넓이는    이다.

23

[정답] ① [풀이]

점 A  에서  축에 내린 수선의 발은 B  이고 점 A 에서의 접선과 수직인 직선의 방정식

  ′ 

      가  축과 만나는 점은 C′     이다.

∆ABC  

′ 

 

^′ 

 

^′  ∵ ′   

 

^ ^ ^

따라서

′ ^ ^^ ^ 양변을 적분하면

(20)

24

[정답] ①

[출제의도] 적분을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.



ln      

′ 

이므로 ln      가 성립한다.

   일 때, ln    에서

 ln  …… ㉠

   일 때, ln      에서

   ln  …… ㉡

㉠, ㉡에서

  ln   ln 

 ln 



  ln 

    ln 

25

[정답] ② [풀이]

[출제의도] 치환적분법을 이해하여 함수의 값을 구한다.

조건 (가)에서 ^′   ^ 

 의 양변을 각각  에 대하여

적분하면



^{}^′   



^ 

 

   라 할 때 ′   

이므로



^{}^′   



^^_{ }^^^^^^

 

 ^_ (_은 적분상수)



^ 

   ln ^  _ (_는 적분상수)

그러므로  ^  ln ^   (는 적분상수) 조건 (나)에서    이므로  

따라서  ^  ln ^  이므로 ^  ln 

26

[정답] 

[출제의도] 로그함수의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

조건 (가)에서

g′       

  

의 그래프의 점근선이

       이므로

⑴      이고      일 때

       

⑵      이고      일 때

       

   이므로      이다.

g′     

  

 

   

 _{라 하면}

  

  

   

   이므로

     따라서 g′   

   



g  ln  ln     ln   



O

  g





 

ln 





조건 (나)에서      에서 g   인 해가 오직 하나이므로 g



^





^{ ln }

 

따라서 _{  ln }^_ 이고 g  ln    ln 

 ln



^

   



g ′  가    에서 극값을 가지므로 gg′  를 미분하면 g′  g′   g  ″ 





^  

  



^^



^ln



^

   



^^{ }_^^_{  }^{   }^

 ^  ^





^{  }^^^^{ }^^{   }^^ln



^

   



이고

  ^ ^   ln



^

   



^{ }

이고 좌우에서 부호가 바뀌는  값에서 극값을 갖는다.

ln



^

   



^{ }_^^{   }_{   }^

  g 와   ^   

  ^

의 그래프의 교점을 찾기 위해

  ^   

  ^ 라 두고 증감표를 작성하면

 …   

 …

 ′     

 ↘  ↗

O

  





 

  g



 



그림과 같이 g ′  는     에서 극값을 갖는다.

  g 와    가 모두 직선   

에 대하여 대칭이므로

극값을 갖는    도 직선   

에 대하여 대칭인 위치에 존재한다.

따라서 

  

 

에서       

g  ln



^

 ×  × 



^{ ln}

  ^{g}   ^ln     

27

[정답] ①

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 수열의 합을 구한다.

(21)

이때 PQ^  이므로

PH , 즉   이다.

점 P 이 곡선   log_   위의 점이므로

  log_  

 ^ 

이때 OQ OH HQ , HQ 이므로

_   

 ^    따라서

  

  





   

 × ^ 

  ×   

 × 

     

 

[다른 풀이]

점 P 의 좌표를   (단, , 는 양수)라 하자.

점 Q 의 좌표가



^ 



이고 직선 PQ 의 기울기가  이므로

_ 

  

  에서 _   

_   

PQ 



^^ ^   ^





^^ ^

^ 

PQ^ 에서   이다.

점 P 이 곡선   log_   위의 점이므로

  log_  에서

 ^ 

_   

 ^    따라서

  





_



  



^   





  



^



  



 



  





   

 × ^ 

  ×   

 × 

     

 

28

[정답] ② [풀이]

[출제의도] 로그함수의 성질 이해하기 P_ log_ P_{ }   log_  

g       log_    log_

 log_

  

∴



  



g  log_

 log_

⋯ log_



 log_



^

× 

×⋯× 





 log_  

29

[정답] ③ [풀이]

[출제의도] 이해 능력 – 여러 가지 수열

점 A의 좌표가 ^ 이고 점 B의 좌표가   이므로

30

[정답] ④ [풀이]

[출제의도] 지수와 로그

ㄱ.   ^ log_       (참) ㄴ.   ^ log_       ,

log_    ^ log_

∴  ≠ log_ (거짓) ㄷ. (좌변) ^    ^^ log_^ 

 ^^     ^^

^{  }  ^^{  } log_^{  } ^^{  }    이므로 (우변)



^^{  }



^ ^^

∴ ^    ^{  }    ^ (참)

31

[정답] 

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 활용하여 추론하기 두 곡선   ^ ,   log_  은 직선   에 대하여 대칭이므로 점

  가 주어진 영역에 포함되면 점   도 포함된다.

영역의 내부 또는 경계에 포함되는 점의 개수가 일 때의 네 점은   ,

  ,   ,   이다.

 ^ 이라 할 때, ≤ ,  이어야 한다.

^  ≤ , ^   

∴  ≤   

따라서 자연수 의 개수는 





O







  

  ^ 

  ^ 

  log_  

  log_  

  

32

[정답] ⑤ [풀이]

[지수함수]

ㄱ. 



^





^{ }

^^



 

^^



 ^  

^

 

 (참)

ㄴ.      ^{  } 

^{  }

 

^

  

^



 

^

  ⋅^

^



 ⋅^ 

  ^ 

 이므로

        ^ 

^

 ^ 

  ^ 

^ 

    (참)

ㄷ.



  







^



^





^{ }



^





^



^



^





^{ }



^





^

 

^

 

^