역함수의 유일성과 합성함수의 단사성 및 전사성

정 리 5.70 역함수의 유일성(uniqueness of the inverse) 두 함수 f : X → Y 와 g : Y → X가

g◦ f = 1X이고 f ◦ g = 1Y이면 f는 전단사함수이고 g = f⁻¹이다.

증명. 위 정리에 의해 f가 전단사함수가 되는 것은 분명하다.

이제 g = f⁻¹을 보이자.

x = g(y) =⇒ f(x) = f(g(y)) = (f ◦ g)(y) = 1Y(y) = y (5.70)

=⇒ x = f⁻¹(y). (5.71)

또한

x = f⁻¹(y) =⇒ y = f(x) (5.72)

=⇒ g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x) = 1X(x) = x(5.73)

=⇒ x = g(y). (5.74)

따라서 ∀y ∈ Y, x = f⁻¹(y) ⇐⇒ x = g(y)이다.

따라서 ∀y ∈ Y, f⁻¹(y) = g(y).

즉 f⁻¹= g. 

정 리 5.71 f : X → Y, g : Y → Z일 때 (1) f와 g가 단사이면, g ◦ f 도 단사이다.

(2) f와 g가 전사이면, g ◦ f 도 전사이다.

(3) f와 g가 전단사이면, g ◦ f 도 전단사이다.

증명.

(1)

(g◦ f)(a) = (g ◦ f)(b) =⇒ g(f(a)) = g(f(b))

=⇒ f(a) = f(b) (∵ g : 단사)

=⇒ a = b (∵ f : 단사)

∴ g ◦ f 는 단사함수이다.

(2)

(g◦ f)(X) = g(f(X))

= g(Y ) (∵ f : 전사)

= Z (∵ g : 전사) 따라서 g ◦ f 는 전사함수이다.

(3) 위의 (1)과 (2)로부터 성립한다. 

정 리 5.72 전단사함수 f : X → Y, g : Y → Z에 대해 (g◦ f)⁻¹ = f⁻¹◦ g⁻¹

증명. f와 g가 전단사이므로 합성함수 g ◦ f도 전단사가 되고, 따라서 역함수 를 가진다.

또한 역함수의 유일성(정리 5.70)에 의해 아래 두 가지 사실만 보이면 된다.

(f⁻¹◦ g⁻¹)◦ (g ◦ f) = 1X, (g◦ f) ◦ (f⁻¹◦ g⁻¹) = 1_Y. 그런데 함수의 합성은 결합법칙이 성립하므로

(f⁻¹◦ g⁻¹)◦ (g ◦ f) = f⁻¹◦ [g⁻¹◦ (g ◦ f)]

= f⁻¹◦ [(g⁻¹◦ g) ◦ f]

= f⁻¹◦ [1Y ◦ f]

= f⁻¹◦ f

= 1X

나머지도 마찬가지로 보일 수 있다.

따라서 (g ◦ f)⁻¹= f⁻¹◦ g⁻¹이다. 

정 리 5.73 f : X → Y, g : Y → Z일 때 g ◦ f 가 단사함수이면 f 도 단사함수이다.

증명. 대우명제를 증명하자.

f가 단사가 아니라 하면,

∃ a, b ∈ X, a ̸= b ∧ f(a) = f(b)

=⇒ ∃ a, b ∈ X, a ̸= b ∧ g(f(a)) = g(f(b)) (∵ g : 함수)

=⇒ ∃ a, b ∈ X, a ̸= b ∧ (g ◦ f)(a) = (g ◦ f)(b)

∴ g ◦ f는 단사가 아니다.

따라서 정리가 성립한다. 

정 리 5.74 f : X → Y, g : Y → Z일 때 g ◦ f 가 전사함수이면 g도 전 사함수이다.

증명. 대우명제를 증명하자.

g가 전사가 아니므로 g(Y ) $ Z

=⇒ g(f(X)) ⊆ g(Y ) $ Z

=⇒ (g ◦ f)(X) $ Z

∴ g ◦ f는 전사가 아니다.

따라서 정리가 성립한다. 

따름정리 5.75 f : X → Y, g : Y → Z일 때 g ◦ f 가 전단사함수이면, f는 단사이고 g는 전사함수이다.

[[ 예 ]] 5.76 f :R⁺ → R, f(x) =√ x, g :R → R⁺, g(x) = x²일 때

g◦ f : R⁺ → R⁺, g◦ f(x) = (√

x)²으로서 전단사함수이지만 f는 전사가 아닌 단사함수이고, g도 단사가 아닌 전사함수이다.

정 리 5.77 f : X → Y 가 단사함수

⇐⇒ ∀A ⊆ X, A = f⁻¹(f (A)).

증명. (⇒) 분명히 A ⊆ f⁻¹(f (A))은 성립하므로 나머지 포함관계만 보이 면 된다.

x∈ f⁻¹(f (A))

=⇒ f(x) ∈ f(A)

=⇒ ∃y ∈ A, f(x) = f(y)

=⇒ ∃y ∈ A, y = x (∵ f : 단사)

=⇒ x ∈ A

∴ f⁻¹(f (A))⊆ A (⇐) f(a) = f(b)

=⇒ {a} = f⁻¹(f ({a})) = f⁻¹({f(a)}) = f⁻¹({f(b)}) = f⁻¹(f ({b})) = {b}

=⇒ {a} = {b}

=⇒ a = b.

따라서 단사함수이다. 

정 리 5.78 f : X → Y 가 전사함수

⇐⇒ ∀B ⊆ Y, B = f(f⁻¹(B)).

증명. (⇐)

Y = f (f⁻¹(Y )) (∵ Y ⊆ Y )

= f (X) (∵ 함수의 정의, f⁻¹(Y ) = X) 따라서 f는 전사함수

(⇒) 분명히 f(f⁻¹(B))⊆ B는 성립하므로 나머지 포함관계만 보이면 된다.

대우법칙을 이용하기 위해 어떤 B ⊆ Y 에 대해 B ̸⊆ f(f⁻¹(B))이라 하자.

=⇒ ∃y ∈ B, y /∈ f(f⁻¹(B))

=⇒ ∃y ∈ B, y ̸= f(x) ∀x ∈ f⁻¹(B)

=⇒ ∃y ∈ B, y ̸= f(x), ∀f(x) ∈ B

=⇒ ∃y ∈ B, y /∈ B ∩ f(X)

=⇒ ∃y ∈ B ∩ f(X)^′

=⇒ ∃y ∈ B − f(X) ⊆ Y − f(X)

=⇒ Y ̸= f(X)

=⇒ f : 전사가 아니다.

따라서 대우법칙에 의해 성립한다.