Simplified Maximum Likelihood Estimation of the Frequencies of Multiple Sinusoids

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간략화된 최우도 방법을 사용한 다중 정현파의 주파수 추정

SimpHfied Maximum Likelihood Estimation of the Frequencies of Multiple Sinusoids

안 태 천*, 오 성 권*

(Taechon Ahn, Sungkwun Oh)

※이 연구는 1994년도 원광대학교 교내 연구비 지원에의한 결과임.

요 약

다중 정현파의 주파수를 추정하는 최우도(ML) 방법은 주파수 추정에 정밀도를 보여주고 있으나, 최우도 함수가 주파수 추정에 쓰이는 경우 고도의 비선형성 때문에 추정에 많은 희생을 요구하고 있다.

본 논문에서는 최우도 방법의 비선형성을 개선하기 위해, 신호속에 포함된 정현 주파수의 추정을 용이하게 할 수 있는 단 순화된 최우도 방법을 제시한다. 이 새로운 주파수 추정 방법을 백색 또는 칼라 잡음의 보기들에 적용하고, Monte-carlo 시 뮬레이션을 실행하여 통계적 평균값, 평균 제곱근 및 상대 바이어스를 기존의 가장 우수한 방법인 MFBLP 방법과 비교한 다. 또한 스펙트럼 파우어 밀도와 단위 원에서의 주파수 위치를 그림을 통하여 나타낸다.

ABSTRACT

The maximum likelihood(ML) estimation has excellent accuracy for frequency estimation of multiple sinusoids, but the maximum likelihood function requires much loss owing to the high nonlinearity.

This paper presents a simplified maximum likelihood estimation, in order to improve the nonlinearity of the maxi

mum likelihood estimation for frequencies of sinusoids in signals. This method is applied to the frequency estimation of sinusoidal signals corrupted by white or colored measurement noise. Monte-carlo simulations are conducted for the comparison of ML method with the best MFBLP method, in terms of sampled mean, root mean square and relative bias. The power spectral density and the position of frequency in unit circle are appeared in figures.

I

^.서^론

유한한 잡음 측정값으로부터 스펙트럼을추정하는

'원광대학교 공과대학 제어계측공학과

Department of Control & Instrumentation Engin

eering, Wonkwang University 접수일자 : 1994 년 7 월 15일

것은 매우흥미있고 실질적인 문제이다. 이것은 많은 분야에서 연구되고사용되어 왔다. 이를테면 통신, 제 어 시스템, 지구 물리, 경제학 등이 그것이다. 현대 기술의 급속한 발전과 함께 정확한 스펙트럼 추정의 필요성이 더욱 증가하고, 더 나아가 이 분야에 대한 많은 연구가 요구되고 있다. 특히 유한한 잡음 측정

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간략화된 최우도 방법을 사용한 다중 정현파의 주파수 추정

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값으로부터 다중 정현파의 주파수 추정 즉, 넓은 의 미에서 소역폭 스펙트럼 추정은 많은 관심을 끌고 있 다 11114]

스펙트럼 추정의 특별한 경우로 정현파의 주파수 추정은 지난 20년 동안 많은 주목을 받아 진전을 보 였고, 지금도 다중 정현파의 주파수 측정도를 증진 시키기 위한 연구가 진행되어 많은 진척을 보이고 있 다.

다중 정현파의 주파수 추정을 하는 모든 방법 은알 맞은 필터 차수와 SNR에서는 양호한 주파수 추정을 할 수 있으나, 필터 차수가 높거나SNR이 낮으면 과 잉 극점(Extraneous Poles)과 예외 극점(Exceptional Poles)이 발생하거나 추정도가 악화되어 과잉 또는 불량한 주파수 추정하는문제점을 내포하고 있다. 특 히 최우도(Maximumlikihood:ML) 방법은 주파수 추 정에 정밀도를 보여주고는 있으나, 최우도 함수가 주 파수 추정에 쓰이는 경우 고도의 비선형이므로 추정 에 많은 희생을 요구하고 있다.⑸,⑹.

본 논문에서는 최우도 방법의 비선형을 개선하기 우】해, 신호속에 포함된 정현 주파수의 추정을 용이하 게 할 수 있는 간략화된 최우도 방법을 제시 한다. 그 리고 이 새로운 주파수 추정 방법을 백색 또는 칼라 잡음의 보기들에 적용하고, Monte-carlo 시뮬레이션 하여 통계적 평균, 평균 제곱근 및 상대 바이어스를 기존의 가장 우수한 방법 인 MFBLP(Modified For

ward Backward Linear Prediction) 방법⑵"]과 비 교한다. 그리고 스펙트럼 파우어 밀도와 단위 원에서 의 주파수 위 치를그림을 통하여 나타낸다.

이상의 새로운 추정방법은 통신 시스템에서 필요 되는 신호의 특성 추정과 의용 생체 제어 시스템에서 요구되는 매개변수 추정에 활용될 것으로 사료된다.

더 나아가서 적응 필터인 노치 필터를 이용한 주파수 추정 방법의 연구와 데이타 기조 행렬로부터 주파수 를 추정하는 부분 공간 방법의 연구에 확고한 일익을 담당할 것으로 전망된다.

口 . 주파수추정 시스템

다음과 같은 일정한 간격으로 샘플된 정현파 신호 를 고려 한다.

x(t)=£ a, sin(to； t + ) (1)

여기서 a,, <piGR, co,e(0, 7t)이고i尹j에 대해서 co,#

co」이다. 또한啊의 초기위상은 [0, 2招내에 분포된 것 으로 가정 한다.

식 (1)에서 샘플 간격은 1초와 같다고 가정 하고 s 는 정규화된 각 주파수로써 간주한다.

y(t)는x(t)의 잡음 측정값을 나타낸다.

y(t)=x(t)+e(t) t = l, 2, N (2)

여기서 e(t)는 평균이 영이고 분산이 烂인 독립적이 며 동일 분포의 랜덤(Random) 잡음의 순열로 가정 한다. 또한 x(t)와 e(s)는 어떤 t와 s에 대해서는 상 호 관련되어 있지 않는 것으로 간주한다.

식(1)에 있는 매개변수or,, cui와 的는 t = 1, 2, N에 대한 유한 측정 값 y(t)의 집합으로부터 추정한 다. 일단 co,의 값을 알면, 皿와 啊을 추정하는 것은 쉬 운 문제이다. 그러므로 여기서 COi을 추정하는 문제에 집중해야 할 것이다. 잘 알려진 것처럼 x(t) 는 식(3) 의 자동 회 귀 (AutoRegressive : AR) 프로세 스를 만 족한다110U131.

A(qT)x(t)=0 (3)

여기서 qT은 단위 지연 연산자 즉, q~1x(t)=x (t-l)을 나타낸고 A(qT)은 식(4)에 주어진 차수 n

= 2m의 다항식이다.

A(q-1) =l + aiq~1 + ... +anq-n

=7t (l-2coscoi + q-2) (4) i — I

A(z)가 i = l, 2, m에 대해서 exp(土讪)에서 공액복소 단위 계수근을 가지기 때문에 {&}는 식(5) 와 같이 대칭적이어야 한다.

an-i = ai i = 0, 1... m (aQ = l) (5)

y(t)는 다음의 자동회귀 이동평균(AutoRegressive Moving Average : ARMA) 프로세스를 만족한다는 것은 식 (2)와 식(3)으로부터 유도된다口。]」13].

A(qT)y(t) =A(qT)e(t) (6)

(3)

22 韓國音響學會誌第13卷第4號(1994)

식⑹는 두 가지 관점에서 퇴화된(degenerated) ARMA 모델이다〔9). 첫째로 모든 극점과 영점은 단 위원 위에 존재한다. 둘째로 모든 극점은 영점과 일 치한다. 이상의 두 특징은 스펙트럼 추정에서 중요한 역할을 할 것이다.

다음으로 모델의 차수를 높이기 위해 임의의 영이 아닌 다항식 즉, 단순증가 다항식 B(qT)을 식 (3)의 양변에 곱하면 식(3)과같은 결과를 나타내는 식(7) 을 얻을 수 있다.

B(qT) A(qT)x(t)=O (7)

여기서 식(7)의 계수를 식(8)로 정의하면

C(qT)=B(qT) A(qT) (8)

식(8)을 식 (6)에 대입하면 식 (9)가 된다.

C(qT)x(t)=O (9)

여기서

C(qT) = l+ciqT + ...+^cl<

「

l (10)

식(10)의 계수를 알기쉽 게 표시하면 식(11)로 볼 수 있다.

여기서

B(qT) = i + biqT + ... + bL-nqT+n (12)

식 (13)은 식 (6)은 퇴화된 고차 모델이다.

C(qT)y(t) =C(qT)e(t) (13)

식(13)은 필터 차수를 선택하는데 있어 더 많은 재 량을 주고 있으나, 많은 매개변수를 사용하는 희생을 감수하여야 한다. 이 연구의 나머지 부분에서 가능하 다면 식(13)을 사용할 것이다. 왜냐하면 식(13)은 식 (6)을 포함할 뿐 아니라, 대부분의 경우에 C(qT)의 차수를 알맞게 선택하면 보다 정확한 매 개 변수 추정 을 얻을 수 있게 하기 때문이다.

문제는 이용할 수 있는 잡음 측정값 y(l), y(2),

•••, y(N)으로 부터 각 주파수 {璀을 추정하는 것이 다. 다중 정현파의 주파수 추정은 일반적으로 다음 두단계 절차로부터 얻어진다.

( i ) 계수{cj을 추정한다.

( ii)C(z)의 근 중에서 가장 큰 2m 개의 각 위치 pi- exp(土j£>i) (i = l, 2, m) 또는 스펙트럼 1/怔 (exp(jw)ll2 의 피이크 중에서 가장 큰 2m개의 위 치 로부터 주파수추정 값{®}를 계산한다.

특히 최우도 방법은 HOYW(High-Order Yule-Wal

ker) 방법 에 서 얻은 추정값을 초기값으로 하여 다중 정 현파의 주파수를 추정 한다.

ID.

^{최우도 방법에}^의한^주파수^추정

최우도 방법은 매우 정확한 매개변수 추정값을 주 는 것으로 알려져 있다. 그러나 최우도 함수는 정현 파의 매개변수를 추정하는데 있어 아주 비선형이므 로 정확한 최우도 방법을 실행하는 것은 비 현실적이 다. 특히 신호의 정현파 수가 많을 때는 더욱 그러하 므로 간략화된 알고리즘이 필요된다. 본 논문에서는 간략화된 새로운 최우도 알고리즘이 제시될 것이다.

이 알고리즘의 기본 개념은 두 단계로 구성된다. 첫 째로 H0YW"2〕로부터 부 최적화된 초기 매개변수의 추정값을 얻는다. 둘째로 가우스-뉴우톤 알고리즘을 사용하여 최우도 함수의 반복적인 최소화를 계산하 면서 그 매개변수를 수정 개선한다. 이 두 단계를 설 명하면 다음과 같다.

ni.1. H0YW 값으로의 초기화

잘 알려진 사실로, 식(1)은 차수 2m의 순수 차동 방정 식 (14)을 만족한다

x(t) +aix(t —1) d—+anx(t —n) =0 (14)

n 스 2m

(4)

간략화된 최우도 방법을 사용한 다중 정 현파의 주파수 추정 23

여기서 [&]£R은 식(15)을 만족한다.

A(qT)=l + aiqT +…+anq-n

=兀(1~2coscoiq-1 + q-2) (15) i= 1

식(15)의 영점은 exp(土jtoD에서 단위 원 위에 존 재한다.

평균이 영이고, 분산이 /인 백색 잡음을 가진 정 보인 경우 식(2)의 공분산 함수는 식(21)로 표시된 다.

ry(k) =rx(k) +<72<5k,o (21)

여기서 爲j는 디락-델타(Dirac-delta) 함수이다.

식(21)을 식(20)에 대입하면 식(22)를 얻는다.

A(exp( ±jcoi)) =0, i = L …，m (16)

식(14)의 필터 차수를높이면 식(17)가 된다.

£ Cjx(t-i) =0, 5 = 1 (17)

ry(p) %(卩一1) ry(p-L + l) ry(p + l) ry(p) ••• ry(p-L4-2)

ry(p + M —1) ry(p + M -2) …ry(p + M —L)

여기서 L은 필터의 차수이다.

식(17)의 양변에 x(t—k)을 곱하고 기대 값을 구하 면 x(t)에 대한 공분산 함수의 식(18)을 얻을 수 있 다.

£ cjx(k-i) =0, c0 = l (18)

i = 0

또는

rx(k) = -CirK(k-l) -c2rx(k-2)--- -CLrx(k-L) (19)

여기서 k는 연속적인 정수로 k = p + l, p + 2, …, p + M으로 쓸 수 있고, p와M은 정수이다.

식(18)와 식(19)을 행렬로표시하면 식(20)이 된다.

5 ry(p+l)

c2 ry(p + 2)

(22)

cl ry(p + M)

식(22)는 잡음이 섞인 정현파에서 유도된 YW(Yule- Walker) 방법이다.

식(22)에 p = L〉n, M〉n로 놓으면 식(23)과 같 은 선형 방정식의 H0YW 방법을 얻개된다.

ry(p) ry(p-l) ••• ry(p-L + l) ry(p + l) fy(p) …ry(p —L + 2)

ry(p + M —1) fy(p + M —2)…fy(p + M —L)

••• rx(p —L +1)

…rK(p-L + 2)

rx(p + M —L)

(20)

Ci c2

cl

또는

ry(p + l) ry(p + 2)

fy(p + M)

L>n

여기서 底는 샘플 공분산 행렬이다.

(23)

(24)

(5)

24 韓國音響學會誌；第13卷第4號(1994)

식(23)의 행렬은 측정 값의 수 N이 큰 경우완전 랭 크(rank) 2m이다. L>n의 조건은 식(23) 이 고차가 되고, 최소 자승법으로 해를 구할 수 있다는 것을 의 미한다. 직관적으로 L과M의 값이 커지면 지연이 커 지고 공분산 행렬이 더 많은 정보를 포함하게 되어 0]의 추정값이 더 정확하게 될 수 있다 또하나의 장점은 HOYW 방법은 爲을 근사화하기 위해 신호 부공간 개념muui을 사용할 수 있다는 것이다.

식(23)의 선형 시스템을 이용하여 ｛&｝을 구하고, 이를 다항 식(17)에 대입하여 근을 결정하는 것이 주 파수｛co" 주정하는 것이다.

C(z) =l + cizH----Fclzl = 0 (25)

0(z)는 단위원 위에 모든 영을 가진다고보장할 수 없으므로 식(25)부터 ｛&｝의 추정값을 결정하는 것 은 어느 정도 근사적이다. 예를들면 최고값 또는 C (z) 의 근의 각도에서 찾을 수 있다.

식(25)로부터 주파수 초기값办가 얻어지면, 이를 이용하여 진폭 ｛皿｝와 초기 위상 ｛啊｝의 추정값을 결 정하는 문제는 최소자승법으로 가능하게 된다.

식(1)과 식(2)를 결합시켜 다시쓰면 식(26)을 얻는다.

y(t)=£ (/9i sina)it + bi coswit) +f(t) (26) i= 1

여기서 氏= ar cos<pj, bi = «i • sin啊 이 고, £(t)는 원 잡음 e(t)와 办에 기인하는 추정오차로 구성되는 오 차이다.

식(26)의 知｝을 추정값 [办]로대체하고 ｛/%, bi]을 추정하는 문제는식(27)을 최소화하는 문제와 같다.

K m

min £ [y(t)—g (^sinwit + bicoscoit]2, [A. bk] 1=1 1=1

K<N (27)

식(27)의 전형적인 최소자승법 해는 식(28)과 같다.

&、

R =［牛己 V(t)VT(t)L ［丰六 V(t)y(t)］

b. A t=i K t=i

' (28)

여기서

V(t) = [sincoit …sincomt coswit ■•- cosci>mt]T (29)

식 (27)에서 처음부터 K개의 잡음 측정값만 사용하 는 이유는 만약K가 너무 크면(K=N) 추정도가 상 당히 떨어뜨리고, K<N이면 계산량을 줄일 수 있기 때문이다. 그러므로K = (LjN)2/3일 때 적당하다面.

｛斎와｛&J을 사용하여 식30)과 식⑶에서 言｝

와 ｛啊｝을 계산할 수 있다.

$i = anctan[E>i/万J, (mod 2”) (30)

i = 1, 2, •••, m

at = COStpi (31)

(«,｝, ｛«,｝ 및 ｛爲｝이 최우도 방법의 초기값으로 사 용될 것이다.

IH.2. 최우도 알고리즘

최우도 방법 의 주파수 추정값을 계 산하기 위하여 식(32)과 같은0벡터를 정의 한다.

0 = [«1 …am tt>l ••• a)m <pi ••• (/>m]T (32)

식 (32)에서 정의된。의 최우도추정 값은 다음 평가 함수의 최소점에서 얻어진다U。〕.

F(0)=L f2(t, 0) (33)

1 = 0

여기서

6(t, 0) =y(t) -f； aisin(wit +(pi) (34)

(6)

간략화된 최우도 방법을 사용한 다중 정현파의 주파수 추정 25

HOYW에서 얻어진 초기 값을 근거로 식(33)을 최소 화하기위해 가우스-뉴우톤 알고리즘을 도입 한다. * 을 k번째 반복에서。의 매개변수 추정 값으로 놓고 한 단계 진행된 추정값인 는 식(35)으로 계산한다.

0k+1 = 0k-LE 吊(t, *)蓦(t,讷)「1 1= I

[£ 0k)] (35)

k= I

여기서

G(t, 们全业으 (36)

이고, 6는 초기 값으로 HOYW 방법으로 추정된 다.

구배 벡터의 성분 句(t, 0)는 식(37)에서 주어진다.

-竺也으 =-sin(co,t +的) 8ai

허"

L

们 = —aiCOS(a>〔t十啊), i = l, 2, •••, m

dipt

__ —taiCos(a)it + <p,) da)i

(37)

식 (35) 의 행 렬을 변화시켜 다른 크기의 소행렬로 분할하면, 왼쪽 위(left-top)의 mxm 블록의 성분은 N 차원이고, 오른쪽 밑(right-bottom)의 mxm 블록 의 성분은 Ns 차원이 된다. 그러므로 수치적 관점에 서 행렬의 성분을 규형 잡는 것이 필요하다• 이 과정 은 몇가지 이론적인 고려로 얻어 질 수 있다⑹.

다음으로, 수치 적으로 더 신뢰할 수 있는 순환식을 얻기 위해새로운 개념을 식(38)과 같이 도입한다⑹.

Kn =

NS I2m 0

0 NM2lm

(38)

여기서 Ik는kxk의 단위 행렬이다

식(35)에 식(38)을 도입하여 얻은 순환식(39)은 식(35)과 물리 적으로 같으나 수치 적으로 더 신뢰 할 수 있는 식이 된다.

Kn*+i = Kn*-H"'(*)

Kn立句(t, 讷) (39)

t= 1

여기서

Hn(&)=Kn

】

寸&)(t, 砂)蓦(t, *) Kn1 (4이 i=I

벡터 t 那, *)Xt, 의 계산은 간단하다. 이 벡 t = I

터의 성분은 삼각함수를 포함하고 있기 때문에 앞의 식을 이용하여 효율적으로 계산될 수 있다. 행렬 Hn (*)의 계산은 조금 복잡한 편이다. 이 계산의 어려 움을 극복하기 위해 식 꺖)의 근사식이 도입된다.

근사식을정리해 보면 식(41)과 같다.

Hn1(0)=G(0)+O(1/N) ⁽⁴¹⁾

여기서

G(0) = 'Im

=2"

0 0

0 同

0

4/房

-6/써

0

-6/盛

0

-6炭

0

-6/房

12/a'i

0

12/爲 (42)

식(39)의 HF*)을 근사식 G(*)로대치하면 식 (43)을 얻는다.

KN0k+1 = KN9k-/(kG(0k)

Kn1 E <fo(t, 0k) (43)

I =I

여기서 M3는 스텝 사이즈(step size)를 제어하기 위해 사용될 수 있는 양의 스칼라 순열이다. (顷」는

(7)

선형 추적 알고리즘을 사용함에 의해 결정된다.) 식 (43) 의 알고리즘은 식(35) 보다 훨씬 단순하다. 이 두 알고리즘은 같은 수렴점을 갖고, 더나아가 큰N의 값 에서 같은 수렴율을 갖는다. 또한 초기값이 비교적 정 확하면, 이 알고리즘도 한번 의 반복후 추정 값의 정 확도를 의미있게 개선시킬 것이다.

이상에서 정현파 추정과 결합된 최우도 함수는 다 중 모델이므로 추정값은 국부 최소값에 수렴 한다는 것을 알 수 있을 것이다. 다시 말하면 추정 값의 추정 도는 초기값에 의존한다는 것을 의미한다. 그러므로 아주 정확한 초기 추정값을제공할 수 있는 추정법을 사용하는 것이 선호될 수 있다. 다음 장에서는 초기 값으로 HOYW 추정 값을 사용하여 최우도(ML) 방 법에 대한 컴퓨터 시뮬레이션을 시도할 것이다.

IV.

^컴퓨터^{시뮬레이션}

앞 장에서 제시된 알고리즘의 성능을 평가하기 위 해 잡음이 섞인 정현파에서 주파수 추정을 시도한다.

우선 신호가 2개의 정현파로 구성된다고 가정하고 주 파수를 추정하는 문제를 여러 가지 경우에서 조사한 다.

모든 보기에서 e(t)는 평균이 영이고 분산이 入2인 백색잡음으로 SNR은 决、｝2泌을 사용한다. 또한 여러 종류의 잡음을 사용하여, 필터 차수 L, 잡음 측정 값 N 및 YW 방정식의 수 M 등과 같은 설계 매개변수 를 변화시키며 주파수 추정을 한다. 그리고 다음과 같은 평가지수를 이용하여 평가한다.

— ]$ c

⑶E 砍 (44)

O j=l

rms(toi) = Vmse((Oi) (45)

3(办)=囱一㈣

I

CtJi

⁽⁴⁶⁾

mse(c5i) = -- E ] s ((허-wt)i)2 (47) O j 티

여기서 云는 추정 값 血의 평균값, rms는 血의 평균 제곱근, mse는 오차제 곱근의 평균, <5는 상대 바이어 스, s는 시뮬레이션 수이다.

다음에 주어진 보기들에서 사용될 정현파의 주파 수 추정에 대 한ML 방법 의 흐름도는 그림 1과 같다.

그림 1. ML 방법에 대한 정현파의 주파수 추정 흐름 Fig 1. Flowchart of sinusoidal frequency estimation for

ML

보기 1. 적은 잡음 측정값, 넓게 이격된 주파수인 경우의 주파수 추정

y(t) = 42 sin(0.7226t) + 血 sin(1.0367t) +e(t) (48)

Table 1. Estimation performances of frequencies for example 1.

丑 1. 보기 1의 주파수 추정 성능

method rms(tbi) rms(&2) 方(&2)

HOYW 0.7206 1.0374 0.0038 0.00032 0.00272 0.00062 M = 16 L = 12 ML 0.7225 1.0368 0.0011 0.0010 0.00012 0.00007 iter = 2 MFBLP 0.7227 1.0367 0.0020 0.0025 0.00019 0.00010 L = 35

(8)

간략화된 최우도 방법을 사용한 다중 정 현파의 주파수 추정 27

여기서 잡음 측정 값의 수 N이 64이고, SNR은 10dB 로 간주한다.

표 1에서 근사적으로 최상의 설계 매개변수에 대한 결과를 나타내고 있다. ML, MFBLP 및 HOYW 방 법에 대한 파우어 스펙트럼 밀도(Power Spectral Density : PSD)가 그림 2에서 보여진다. 특츠】, 최우 도(ML) 방법에 대한 스펙트럼은 HOYW의 매개변 수를 초기값으로 하여 추정한 ML의 매개변수를 이

믈(

(獸

a s d

)

용하여 나타낸다. 50개의 시뮬레이션의 주파수 주정 각 위치가 그림 3에서 도시된다.

표 1에서 초기 값으로 HOYW 추정 값을 사용한 ML 알고리즘은 매우 좋은 결과를 제공하고 있다. 이는 초기값의 개 선이 주파수 추정 값에 중요한 역 활을 한 다는 것을 의미한다. 사실 ML 방법의 주파수 추정도 는 지금까지 연구된 방법 에서 최 상을 나타내고 있다.

그림 2에서는50개의 시뮬레 이션 중의 하나를 주파 수의 변화에 따라PSD를 나타낸 것으로MFBLP 보 다 ML이 더 날카로운면을 보여주고 있다. 이는 ML 이 보다 적당한 추정을 할 수 있다는 것을 입증하는 것으로본다.

뜬(

° 인

-60

0 12 3 4

그림 2. 정규화된 파우어 스펙트럼 밀도, 각 주파수 ⑦는 [radian/sec] 이匸"

Fig 2. Normalized power spectral densities. The angular frequency w is in [radian/sec].

(9)

韓國音響學會誌第13卷第4號(1994) 28

그림 3. 단위 원에서 각 주파수의 위 치

Fig 3. Angular frequency location at unit circle

그림 3에서는 50개의 시뮬레이션 결과의 단위 원에 나타나는 각 위치를 도시한 것으로 점의 크기가 작으 면 작을 수록 평균 제곱근(rms) 와 상대 바이어스(<5) 가 작아져 실제 값에 가깝게 분포되므로 좋은 추정을 보여준다. 특히, ML 방법은 점이 아주 작기 때문에 추정값이 전반적 으로 정 확한 값을 가지 고 있음을 보 여주고 있다.

보기 2. 적은 잡음 측정값, 좁게 이격된 주파수인 경우의 주파수 추정

y(t) = V2 sin(0.7226t) +、阪sin(1.0367t) +e(t) (49)

여기서 잡음 측정값의 수 N이 64이고 SNR은 20dB 로 간주한다.

표 2는 근사적으로 최상의 설계 매개변수에 대한 결과를 나타내고 있다. MFBLP, ML 및 HOYW 방 법에 대한 PSD와 50개의 경우의 수에 대한 주파수 추정의 각 위치는 그림 2-3과 비슷하게 나타난다.

표 2에서 초기값으로 HOYW 추정값을 사용한 ML 알고리즘이 MFBLP 알고리즘보다 적은 잡음 측정 값, 좁은 주파수 이격인 경우에도 주파수 추정에 우수한특성을 가지고 있음을 알 수 있다•

50개의 시뮬레 이션을 주파수의 변화에 따른 PSD 을 나타내 보면 MFBLP보다ML이 더 날카로운 면 을 보여준다는 것을 표 2에서 유추할 수 있다. 이는 ML이 보다 정확한 주파수추정을 할 수 있다는 것은

입증하는 것으로 본다.

추정한 주파수의 단위 원의 위치를 50개의 경우에 대하여 나타내 보면 ML 방법은 점의 크기가 아주 작 아 추정 값이 전반적으로 정확한 값을 가지고 있음을 알려준다.

보기 3. 많은 잡음 측정값, 넓게 이격된 주파수인 경 우의 주파수추정

보기 1과 같은 공정으로써 잡음 측정값의 수 N이 200이고, SNR은 4dB이다. 표 3에서 근사적으로 최 상의 설계 매개변수에 대한 결과를 나타내고 있다.

표 2. 보기 2의 주파수 추정 성능

method 旬 a>2 rms(&D rms (京 2) 认赢)

HOYW 0.7215 0.8176 0.0056 0.0050 0.00142 0.00099 M = 16 L=12 ML 0.7225 0.8168 0.0003 0.0004 0.00005 0.00003 iter = 2 MFBLP 0.7227 0.8169 0.0020 0.0019 0.00013 0.00008 L = 40

method 旬而2 rms(wi) rms(力2) 適i) (5(a)2)

HOYW 0.7221 1.0370 0.0016 0.0011 0.00062 0.00025 M = 35

ML 0.7225 1.0367 0.0003 0.0003 0.00009 0.00001 iter = 2 MFBLP 0.7226 1.0368 0.0007 0.0007 0.00001 0.00005 L= 50

(10)

간략화된 최우도 방법을 사용한 다중 정현파의 주파수 추정 29

method 点 (1)2 rms (o)1) rms((92) 聞i) 汛如)

H0YW 0.7216 0.8173 0.0016 0.0013 0.00135 0.00064 M = 35 L=18 ML 0.7226 1.8168 0.0002 0.0002 0.00000 0.00002 iter = 2 MFBLP 0.7224 0.8170 0.0005 0.0003 0.00020 0.00019 L = 60

method _a)2 rms((房) rms(力 2) (5((02)

HOYW 0.7207 0.0382 0.0011 0.0010 0.00201 0.00164 M = 16 L=10 ML 0.7226 1.0367 0.0003 0.0002 0.00002 0.00003 iter = 2 MFBLP 0.7228 1.0369 0.0009 0.0006 0.00020 0.00019 L = 25

보기 4. 많은 잡음 측정값, 좁게 이격된 주파수인 경우의 주파수 추정

보기 2와 같은 공정으로써 잡음 측정값의 수 N이 200이고, SNR은12dB이다. 표 4에서 근사적으로 최 상의 설계 매 개변수에 대한 성능을 나타내고 있다.

보기 3-4에서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다 SNR이 낮은 값일지라도 많은 잡음 측정값에서는 좋 은 주파수 추정 값을 얻을 수 있다는 것과 이 결과는 N—00갈 때 일정한 주파수 추정값으로 수렴 한다는 이론적 결과와 일치한다는 것을 입증할 수 있다.

보기 5. 적은 잡음 측정값, 좁게 이격된 주파수인 경우의 주파수 추정(칼라 잡음).

e(t) =f(t) -0.823 f(t-l) +1.151 <f(t-2)-0.365 <f(t-3) (50)

여기서 e(t)가3차MA(Moving Average) 프로세스 라는 것을 제외하고는 식 (48)와 같다.

또한 £(t)는 평균값이 영이고, » = 0.0251인 백색 가우시안 잡음이다. e(t) 의 SNR은 lldB이다 다중 정 현파의 주파수 추정 계산은 앞에서 사용한 방법으 로 한다. 표 5에서 근사적으로 최상의 설계 매 개변수 에 대한 성능을 나타내고 있다. MFBLP, ML 및 H0YW 방법에 대한 PSD와 50개의 경우의 수에 대 한 주파수 추정의 각 위치는 그림 2-3과 또한 비슷하 게 나타난다.

표 5에서 초기값으로 H0YW 추정 값을 사용한 ML 알고리즘이 MFBLP 알고리즘보다 칼라잡음 측정 값

인 경우에도 주파수 추정에 우수한 특성을 가지고 있 음을 알 수 있다.

50개의 시뮬레이션을 주파수의 변화에 따른 PSD 을 나타내 보면 MFBLP보다 ML이 더 날카로운 면 을 보여준다는 것을 표 5에서 유추할 수 있다. 이는 ML이 칼라 잡음에서도 견실하게 다중 정현파의 주 파수를 추정할 수 있다는 것은 입증하는 것으로 본 다.

추정한 주파수의 단위 원의 위치를 50개의 경우에 대하여 나타내 보면 ML 방법은 칼라 잡음에서도 점 의 크기 가 아주 작어 추정값이 전반적으로 정 확한 값 을 가지고 있음을 보여주고 있다.

V. 결 론

본 연구에서는 백색 및 칼라 잡음이 섞인 측정 값으 로부터 다중 정현파의 주파수를 추정하는 간략화된 최우도 방법을 제시하고 분석 연구하였다. 비선형인 최우도 함수를 처리 하기 위하여 가우스-뉴우톤 알고 리즘을 사용하였다. 이 알고리즘은 순수 구배기술을 이용하므로 계산이 간단하며, 뉴우톤 방법 의 수렴 규 칙을 따른다. 최우도 방법은 H0YW에 의해 얻어진 추정값을 초기 값으로 사용하였다.

백색 및 칼라의 유한 잡음 측정값을 이용하여 여러 가지 보기들에 서 초)우도 방법으로 Monte-carlo 시뮬 레이션을 실행하고, 평균값, 평균 제곱근 및 상대 바 이어스를 MFBLP와 비교하였다.

이상의 연구와 시뮬레이션에서 다음과 같은 결고卜 를 얻었다.

(11)

(1) 최우도 방법은 초기값의 추정도에 따라 의미있게 주파수 추정도를 개선시켰다.

(2) 최우도 방법은 잡음 측정 값이 유한한 경우에도 과잉 및 예외 극점을 효과적으로 제거하여 다중 정현 파에 대한 우수한 주파수 추정도를 나타내었다.

(3) 최우도 방법은 칼라 잡음의 적은 측정 값 및 낮은 SNR에서도 다중 정현파의 주파수 추정에 견실성을 보여주었다.

끝으로 이 연구는 새로운주파수 추정 방법은 물론 통신 시스템과 같은 신호의 특성 추정을 요구하는 정 보 통신 설비와 제어 시스템과 같은 정밀한 제어를 요구하는 의용 생체 제어 설비 및 로봇 등에 이용될 수 있을 것이다.

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