11 Z 4, pp. 1030∼1036

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Effect of Finite Proton Size Effect on the Energy Levels of the Hydrogen Atom

Jin-Ok Kim · Ho-Meoyng Choi

Department of Physics Education, Kyungpook National University, Daegu 702-701

SeGi Yu ^∗

Department of Physics, Hankuk University of Foreign Studies, Yongin 449-791 (Received 4 April 2011 : revised 5 September 2011 : accepted 7 November 2011)

We have studied how a finite sized proton affects the energy levels of a hydrogen atom by using first order perturbation theory. The analytic solution to the first order corrections for the n-th Bohr energy level is obtained. Correlations between quantum numbers and energy correction factors are made, and the strength of the largest correction factor is evaluated. We also make a sensible comparison among the three different types of corrections (fine structure, hyperfine splitting, finite sized proton effect) to the Bohr energies of the hydrogen atom. Conducting both quantitative and qualitative analyses of the effect of a finite sized proton on the hydrogen atom, we also aim to provide useful learning resources for students in quantum mechanics class.

PACS numbers: 32.10.Fn, 03.65.Ge

Keywords: Proton size, Hydrogen atom, Perturbation

∗

E-mail: [email protected] -1030-

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x # Œ ½ ¨K  ˜ Г ¦  ô  Ç .

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ρ = +e

4π

3 R ³ (4)

#

Œl " f R“ É r € ª œ$ í  _  ì ø Ít 2 £ § s  . Ä ºÛ ¼ Z O g Ë :`  ¦ s 6   x

€  , € ª œ$ í   ü @ Ò(r > R)ü < ? / Ò(r ≤ R)\ " f € ª œ$ í  

\

 _ ô  Ç „  l  © œ_  [ jl   H y Œ •y Œ • E(r > R) = e/4π ⁰ r ² ü

< E(r ≤ R) = er/4π 0 R ³ s “ ¦, ( J $ ™[ >  \  -t  V NS (r) (NS=nuclear size)  H

V NS (r) =







− _4π ^e

²

0

r for r > R

− _4π ^e

²

0

R



3 2 − ¹ _{2 R} ^r

²2



for r ≤ R (5)

s

 . s   H † < ÆÂ Ò „   l † < Æ “ §F \ " f { 9  © œ& h Ü ¼– Ð
š ¸  H

@

/³ ð& h “   \ V] js   [6]. : £ ¤ y , Ù þ ˜_  ß ¼l  ´ òõ \  ¦ “ ¦ 9½ + É

 â

Ä º\   H r = 0 \ " f ( J $ ™[ > s   © œÃ º ÷ &# Q Ù þ ˜`  ¦ & h { 9  

–

Ð 2 [/ å L   H  â Ä º
 
  H µ 1 Ïí ß – ë  H ] j\  ¦ K   ½ + É Ã º e ”   H



© œ& h `  ¦ ° ú   H  .

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º• ¸ e ” t ë ß –, K $ 3 † < Æ& h  K \  ¦ % 3 l   H Ô  ¦ 0 p x  9 é ß –t  à º u

K $ 3 & h  K ë ß – 0 p x   [17]. s  ƒ  ½ ¨_  3 l q& h “ É r † < ÆÂ Ò † < Æ Ò q

t[ þ t • ¸ s K ½ + É Ã º e ”   H “ §¹ ¢ ¤ † < Æ& h   « Ñ ] j/ B N \  e ” Ü ¼Ù ¼– Ð,

†

< ÆÂ Ò € ª œ % i † < Æ “ §F \  ¸ ú ˜
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#

Œ K $ 3 † < Æ& h  K \  ¦ ½ ¨ “ ¦  ô  Ç .

d ”

 (5)\  _ ô  Ç Ã º™ è " é ¶  _  K x 9 ž Ðm î ß –“ É r

H = p ²

2µ + V NS (r) (6) s

 . d ”  (6)s Ê ê Ò'   H ¨ 8 Š í ß –| 9 | ¾ Ó µ\  ¦  6   x l – Ð  ’ x



. [ O 1 l x K x 9 ž Ðm î ß – H pert `  ¦ & ñ _  l  0 AK , € ª œ$ í  _  ß

¼l  ´ òõ \  ¦ “ ¦ 9ô  Ç K x 9 ž Ðm î ß – H\  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  ì  r o 

% i  .

H = p ²

2µ + V _c (r) + [−V _c (r) + V _NS (r)]

= H 0 + H pert (7) 7

£ ¤, H 0 = p ² /2µ + V c (r)\  ¦ “ ¦Ä »° ú כ E ⁿ `  ¦ ° ú   H [ O 1 l x„   K  x 9

ž Ðm î ß –Ü ¼– Ð Ñ ü t M :, [ O 1 l x K x 9 ž Ðm î ß – H pert = −V c (r) + V NS (r)  H

H pert (r) =







0 for r > R 2a 0 E 1



3 2R − _2R ¹



r R

 ²

− ¹ _r



for r ≤ R (8)

–

Ð š ¸f ”  r ≤ R\ " fë ß – ” > r F   9, E ¹ = −~ ² /2µa ² ₀ s  .

d ”

 (8)\ " f ˜ Ð1 p w [ O 1 l x K x 9 ž Ðm î ß – H pert   H r \ ë ß – _ ” > r

  H ½ ¨@ /g As Ù ¼– Ð, [ O 1 l x : r \  _ ô  Ç \  -t  1  ˜ Ð& ñ ° ú כ“ É r y

Œ

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l

x † < Êà º R ^nl (r) \ ë ß – _ ” > r † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . ¢ ¸ô  Ç ½ ¨@ /g A K  x 9

ž Ðm î ß –“ É r † ½ Ó © œ y Œ • î  r1 l x | ¾ Ó ƒ  í ß – ü < “ § ¨ 8 Š 0 p x  . 7 £ ¤, [H _pert , L ² ] = [H _pert , L _z ] = 0 s  . ô  Ǽ # , [ O 1 l x „   K x 9 ž Ð m

î ß – H 0 _  “ ¦Ä »† < Êà º ψ ^nlm “ É r 1 l x r \  L ² ü < L z _  “ ¦Ä »† < Ê Ã

º– Ð" f (l, m)\  _ ” > r   H " f– Ð  É r “ ¦Ä »° ú כ`  ¦ ° ú   H  .  



" f, l 6= l ⁰ ¢ ¸  H m 6= m ⁰ “    â Ä º hψ ^nlm |H pert |ψ nl

⁰

m

⁰

i = 0 s   [7]. à º™ è " é ¶  _   â Ä º { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð n ≥ 2“    © œI 

\

  H » ¡ ¤ @ [ O 1 l x : r(degenerate perturbation theory)`  ¦   6

 

x K   t ë ß –, ½ ¨@ /g A [ O 1 l x K x 9 ž Ðm î ß –_   â Ä º · ú ¡\ " f 7

£ x" î ô  ÇX <– Ð hψ ^nlm |H pert |ψ nl

⁰

m

⁰

i = 0 (l 6= l ⁰ ¢ ¸  H m 6=

m ⁰ ) s Ù ¼– Ð q @ /y Œ •‚   $ í ì  r“ É r — ¸¿ º 0s  ÷ &# Q q » ¡ ¤ @ [ O 1 l x



: r(nondegenerate perturbation theory) \ " f % 3 “ É r   õ ü <

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 >   ) a  .



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\    É r 1  \  -t  ˜ Ð& ñ ° ú כ E ^NS “ É r

E NS (n, l) = hψ nlm |H pert |ψ nlm i, = 2a 0 E 1

Z R 0

r ² dr|R nl (r)| ²

 3 2R − 1

2R

 r R

 ²

− 1 r



(9)

s

 . 7 £ ¤, 1  \  -t  ˜ Ð& ñ ° ú כ“ É r [ O 1 l x „    © œI \  @ /ô  Ç [ O  1

l

x K x 9 ž Ðm î ß –_  l @ /° ú כ\  K { © œô  Ç . ¢ ¸ô  Ç r > R“   % ò

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“ É r Ù þ ˜_  ß ¼l ´ òõ 
 
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R) = 0 s Ù ¼– Ð, Ù þ ˜_  ß ¼l ´ òõ \    É r \  -t  ˜ Ð& ñ ° ú כ _

 & h ì  r# 3 0 A  H 0  Ò'  R  t  e ” \  Ä »_   .  © œ ç ß – é

ß –ô  Ç  â Ä º“    { Œ • © œI (n = 1, l = 0)\  @ /K  · ú ˜ ˜ Ѐ  , R ₁₀ (r) = 2(1/a ₀ ) ^3/2 e ^−r/a

⁰

\  ¦ d ”  (9)\  @ /{ 9  # Œ & ñ o  

€

 

E _{N S} (1, 0) = 2E ₁ Z 2η

0

dx ₁ e ^−x

¹

 3

4η x ² ₁ − 1

16η ³ x ⁴ ₁ − x ₁



(10) s

 . # Œl " f η = R/a ⁰ s “ ¦ x ¹ = 2r/a 0 s  . η ' 1.59 × 10 ⁻⁵ – Ð [5] 1 ˜ Ð  B Ä º  Œ •Ü ¼Ù ¼– Ð, d ”  (10)`  ¦ & h ì  r # Œ η\ 

@

/ô  Ç leading orderë ß –`  ¦ & ñ o  €   € ª œ$ í   ß ¼l  ´ òõ \  _  ô

 Ç Ã º™ è " é ¶    { Œ • © œI _  \  -t  ˜ Ð& ñ ° ú כ“ É r

E N S (1, 0) = − 4

5 η ² E 1 (11)

s

 .

e ”

_ _  n  P : \  -t  ï  r 0 A\  @ /ô  Ç ˜ Ð& ñ ° ú כ`  ¦ ½ ©   o  ) a t

2 £ § ~ ½ ӆ ¾ Ó_   1 l x † < Êà º R nl (r)

R nl (r) = s

 2 na ₀

 ³ (n − l − 1)!

2n[(n + l)!] ³ e ^−r/na

⁰

 2r na ₀

 ^l

L ^2l+1 _n−l−1  2r na ₀



(12)

\

 ¦ s 6   x # Œ ½ ¨K ˜ Ð . # Œl " f L ^p q (x)“ É r q-  P : associated Laguerre polynomial – Ð

L ^p _q (x) =

q

X

c=0

(−1) ^c [(p + q)!] ²

(q − c)!(p + c)!c! x ^c (13)

Ü

¼– Ð Å Ò# Q”   . d ”  (12)ü < (13)`  ¦ s 6   x # Œ d ”  (9)\  ¦  r  æ ¼€  

E NS (n, l) = 2N a 0 E 1 n−l−1

X

c=0

B c n−l−1

X

c

⁰

=0

B c

⁰

Z R 0

r ² dr e ^−2r/na

⁰

 2r na 0

 2l+c+c

⁰

×

 3 2R − 1

2R

 r R

 2

− 1 r



(14)

s

 . # Œl " f N = (2/na ⁰ ) ^{3 (n−l−1)!} _2n[(n+l)!]

3

s “ ¦, B ^c = (−1) ^c (n−l−1−c)!(2l+1+c)!c! ^[(n+l)!]

²

s  . d ”  (14)\ " f x ⁿ = 2r/na 0 – Ð u  ¨ 8 Š # Œ

&

ñ o  €  

E _NS (n, l) = 2E ₁ (n − l − 1)!

n ² [(n + l)!] ³

n−l−1

X

c=0

B _c

n−l−1

X

c

⁰

=0

B _c

⁰

Z

_na0^2R

0

dx _n e ^−x

ⁿ

x ^2l+c+c _n

⁰

⁺² ×  3n 4η − n ³

16η ³ x ² _n − 1 x _n



(15)

s

 . d ”  (15)\  ¦ & h ì  r # Œ ½ ¨ô  Ç € ª œ$ í  _  ß ¼l  ´ òõ \    É r n-  P :  © œI _  1  \  -t  ˜ Ð& ñ ° ú כ_  K $ 3 † < Æ& h  K   H  6 £ § õ  ° ú   .

E NS (n, l) = 2E 1

(n − l − 1)!

n ² [(n + l)!] ³

n−l−1

X

c=0

B c n−l−1

X

c

⁰

=0

B c

⁰

×  3n

4η (2l + c + c ⁰ + 2)!



1 − e ^−2η/n

2l+c+c

⁰

+2

X

s=0

(2η/n) ^s s!



− n ³

16η ³ (2l + c + c ⁰ + 4)!



1 − e ^−2η/n

2l+c+c

⁰

+4

X

s=0

(2η/n) ^s s!



− (2l + c + c ⁰ + 1)!



1 − e ^−2η/n

2l+c+c

⁰

+1

X

s=0

(2η/n) ^s s!



. (16)

Table 1. The first order correction E _NS (n, l) to the Bohr energy levels E _n for a hydrogen atom due to the proton size effect, where η = R/a ₀ .

n l = 0 l = 1 l = 2

1 −

⁴₅

η

²

E

1

2 −

²₅

η

²

E

2

−

₁₄₀¹

η

⁴

E

2

3 −

₁₅⁴

η

²

E

3

−

_5·3⁶⁸⁸5

η

⁴

E

3

−

_5·7·3⁸ 9

η

⁶

E

3

d ”

 (3)õ  (16)\ " f ˜ Ð1 p w € ª œ$ í  \  ¦ & h { 9  – Ð & ñ ô  Ç Ã º™ è

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IV. + s ÇÊ Ý õ m Í À X Ø8 ý

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f ” `  ¦ _ p ô  Ç . ô  Ǽ # , 2008¸   CODATA [4]\ " f  H l = 0

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   â Ä º\  @ /K " fë ß – Ù þ ˜_  ß ¼l ´ òõ \    É r ^ ‰> & h “   ° ú כ

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`

 ¦  â Ä º −4η ² E n /3n ( ‚ à Г ¦ë  H‰  ³ [4]_  d ”  (51))s  . s ü <

q

“ §½ + É M :, s   7 Hë  H \ " f (q  © œ@ / : r& h ) € ª œ % i † < Æ_  1  [ O  1

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º™ è " é ¶   \  -t  ï  r 0 A_  1  ˜ Ð& ñ ° ú כ“ É r n s  7 £ x † < Ê\   



  Œ • t  9, 1 l x{ 9 ô  Ç n° ú כ\  @ /K  ls  7 £ x † < Ê\     s 

%

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˜

Ð& ñ ° ú כ`  ¦ t  9 s    õ   H f ” › ' a& h Ü ¼– Ѝ  H ~ 1 >  \ V © œ½ + É Ã

º e ”  . 7 £ ¤, „    € ª œ$ í  \   © œ   H] X Ù þ ¡`  ¦ M :(n = 1),

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ª œ$ í  _  „   ì  r Ÿ í\  ¦  â + « > # Œ( Œ •`  ¦ t  • ¸) & h { 9  ü <

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 H   É r \  -t  ï  r 0 A\  ¦ ° ú >   ) a  . t ë ß – € ª œ$ í  – ÐÂ Ò '

 Y O o  b  # Q| 9  à º2 Ÿ ¤ (n → ∞), „     H € ª œ$ í  _  „   ì  r

Ÿ

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, ˜ Ð& ñ ° ú כs   8  Œ • t   H s Ä »\  ¦ š ¸q » 1 Ï ì  r Ÿ í– Ð [ O " î ½ + É Ã

º• ¸ e ”  . \ V\  ¦ [ þ t€  , „    ½ ¨@ /g A + þ AI – Ð ì  r Ÿ í   H s

š

¸q » 1 Ï (l = 0)“ É r Õ ªX O t  · ú §  H   É r š ¸q » 1 Ï (l > 0)\  q  K

 € ª œ$ í   ß ¼l  ´ òõ  ¸ ú ˜
 è ß – .

€

ª œ$ í   ì ø Ít 2 £ § _   © œ þ j   H ° ú כ [5]`  ¦ @ /{ 9  €   η '

1.59 × 10 ⁻⁵ s  9, s \  ¦ p [ j ½ ¨› ¸  © œÃ º α– Ð
 ? /€  

η ' 0.3 α ² & ñ • ¸s  .  © œ  H ˜ Ð& ñ ° ú כ`  ¦ Šҍ  H  { Œ • © œI _ 

 â

Ä º, E ^NS (1, 0) ∼ α ⁶ µc ² , 7 £ ¤, E 1 +E NS (1, 0) ' E 1 (1−α ⁴ )

–

Ð p [ j ½ ¨› ¸ ˜ Ð& ñ (∼ α ⁴ µc ² ) ˜ Ð  O(α ² ) & ñ • ¸  Œ •  [18].

s

  H ¢ ¸ô  Ç œ íp [ j ½ ¨› ¸ ˜ Ð& ñ õ  q “ § €   O(10α) & ñ • ¸– Ð



Œ

•“ É r ° ú כs   [15,16]. à º™ è " é ¶   \  -t  ï  r 0 A 8 £ ¤& ñ \  › ' a K 

˜

Ð   8 & ñ x 9 ô  Ç 8 £ ¤& ñ s  0 p x K ”   €  , s  ˜ Ð& ñ † ½ Ó\  @ /ô  Ç d ”

• ¸e ”   H  7 H _  s À Ò# Q| 9   כ `  ¦ \ V © œK ‘ : r  .

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˜_  ß ¼l  ´ òõ  p u   H % ò † ¾ ӓ É r B Ä º  € ª œ  . ‘ : r

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 ½ ¨\ " f  ê  r à º™ è " é ¶  _   â Ä ºë ß –  8 • ¸, ˜ Ð# Q \  - t

 ï  r 0 A\  @ /ô  Ç ˜ Ð   8 & ñ x 9 ô  Ç ˜ Ð& ñ “ É r „  ë  H& h  t d ” (\ V:

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ª œ „  l % i † < Æ)`  ¦ כ ¹½ ¨ “ ¦ “ ¦ 9K  ½ + É ˜ Ð& ñ † ½ Ó[ þ t • ¸ ¢ ¸ô  Ç

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§  [19,20]. € ª œ$ í  _  ß ¼l  ´ òõ ü < › ' aº   ) a ƒ  ½ ¨  7 Hë  H[ þ t

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 H & ñ • ¸– Ð ™ è> h÷ &# Q e ”   H  â Ä º  H Õ ª t  ´ ú §t  · ú §  [17, 19–22]. s \  ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H € ª œ$ í  _  ß ¼l  ´ òõ  p u 



 H % ò † ¾ Ó\  @ /K  † < ÆÂ Ò € ª œ % i † < Æ Ã º\ O \ " f ™ è> h½ + É Ã º e ” 

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[1] I. Sick, Phys. Lett. B 576, 62 (2003).

[2] P. G. Blunden and I. Sick, Phys. Rev. C 72, 057601 (2005).

[3] M. I. Eides, H. Grotch and V. A. Shelyuto, Phys.

Rep. 342, 63 (2001); S. G. Karshenboim, Phys. Rep.

422, 1 (2005).

[4] P. J. Mohr, B. N. Taylor and D. B. Newell, Rev.

Mod. Phys. 80, 633 (2008).

[5] R. Pohl et al. Nature 466, 213 (2010).

[6] D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, (Benjamin Cummings, 1999).

[7] D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed. (Prentice Hall, NJ, 2004).

[8] R. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, (Addison-Wesley, CA, 2002).

[9] S. Gasiorowicz, Quantum Physics, 3rd ed. (Wiley, NJ, 2003).

[10] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, (Addison-Wesley, CA, 1994).

[11] C. Singh, Am. J. Phys. 69, 885 (2001).

[12] R. M¨ uller and H. Wiesner, Am. J. Phys. 70, 200 (2002).

[13] J. Petri and H. Niedderer, Int. J. Sci. Educ. 20, 1075 (1998).

[14] S. B. McKagan, K. K. Perkins and C. E. Wieman, Phys. Rev. ST Phys. Educ. Res. 2, 011003 (2008).

[15] J. Baggott, The Quantum Story: A History in 40 Moments, (Oxford University, NY, 2011).

[16] W. E. Lamb and R. C. Retherford, Phys. Rev. 79, 549 (1950).

[17] J. Zablotney, Am. J. Phys. 43, 168 (1975); B. C.

Tiburzi and B. R. Holstein, Am. J. Phys. 68, 640 (2000).

[18] In hydrogen atoms, the correction by the effect of the proton size is one of the Lamb shift which is in the order of α ⁵ m e c ² . Lamb shift requires advanced knowledge in Quantum Electrodynamics which is not usually taught during the undergraduate course.

The effect of proton size can be considered to be

qualitatively a good example of energy level split-

ting between s-state and p-state as the key charac-

teristics of the Lamb shift.

[19] F. Biraben, Eur. Phys. J. Special Topics 172, 109 (2009).

[20] E. B. Baklanov, Quantum Electronics 34, 698 (2004).

[21] V. A. Yerokhin, Phys. Rev. A 83, 012507 (2011).

[22] R. T. Deck, J. G. Amar and G. Fralick, J. Phys. B:

At. Mol. Opt. Phys. 38, 2173 (2005).