범위 지수 삼각함수의 그래프 : -
1.
1) 이 아닌 두 양수 , 에 대하여 점 가 곡선
위의 점일 때, log
log
의 값은?
①
②
③
④
⑤
2.
2) 이 아닌 세 양수 , , 와 이 아닌 두 자연수 , 이 다음 조건을 만족시킬 때, log의 값은?가
( ) 는 의 제곱근이다.
나
( ) 는 의 제곱근이다.
다
( ) 는 의 세제곱근이다.
① ② ③
④ ⑤
3.
3 ) 인 실수 에 대하여 세 수 , , 를 각각
,
,
이라 하자 다음 중 세. 수 , , 의 대소관계로 옳은 것은? ( ,단 은 이상의 자연수)① ② ③
④ ⑤
4.
4 )함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프를 에 대하여 대칭이동하였더니 log 의 그래프와 일치하였다. 의 값은? ( ,단 , 은 상수이다.)
① ② ③
④ ⑤
5.
5 )다음 그림과 같이 시초선 와 동경 가 나타내는 한 각의 크기가
일 때 다음 중 동경, 가 나타내는 각의 크기가 아닌 것은?
① ②
③
④
⑤
6.
6 )다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은[ ] ?.
ㄱ
ㄴ.
. ㄷ
×
ㄹ.
보 기
[ ]
① ㄱ ㄴ, ② ㄱ ㄷ, ③ ㄴ ㄷ,
④ ㄴ ㄹ, ⑤ ㄷ ㄹ,
수학자료실 수학세상
7.
7)양수 , , 에 대하여 , , 일 때,
이 자연수가 되도록 하는 자연수 의 최솟값은?① ② ③
④ ⑤
8.
8) 이상의 자연수 에 대하여 의 제곱근 전체의 집합을 이라 하자 자연수 전체의 집합을. 이라 할 때,∩ ≠∅을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합은?
① ② ③
④ ⑤
9.
9)양수 에 대하여 log의 정수 부분을 라 하자. 을 만족시키는 이하의 자연수 의 개수는?
① ② ③
④ ⑤
10.
1 0) ≤ ≤ 에서 함수
은 일 때 최솟값을 가지고, ≤ ≤ 에서 함수 는
일 때 보다 큰 최댓값을 갖도록 하는 모든 정수 의 값의 합은?
① ② ③
④ ⑤
11.
11)다음은 두 양의 실수 에 대한 산술평균
과
기하평균 사이에 부등식
이 항상 성립함을 보인 것이다 빈 칸에 알맞은 것들로만 바르게 짝지어진. 것은?
그림과 같이 지수함수 에 대하여 를 만족하 는 함수 위의 점을
㉠
, 를 만족하는 함수 위의 점을
㉡
라 하자.또, 에 대하여 선분 를 로 내분하는 점 log log 와 점 의 좌표를 공유하고 위의 점
log log ㉢
를 생각하자. 일 때 점, 의 좌표는 점 의 좌표에 비해 항상 크므로 부등식 ㉢ 이 성립한다. 이 때,
을 대입하면
가 성립함을 알 수 있 다.
① ㉠ ㉡ log ㉢
② ㉠ ㉡ ㉢
③ ㉠ log ㉡ log ㉢
④ ㉠ log ㉡ log ㉢
⑤ ㉠ log ㉡ ㉢
12.
12)cos cos 일 때, sin sin sin의 값은?① ② ③
④ ⑤
13.
1 3)다음은 함수 log 의 그래프에 관한 설명이다. [보기 에서 옳은 것을 모두 고르면] ?점 .
ㄱ 을 지난다.
.
ㄴ 이면
이다.
.
ㄷ 이면 이다.
.
ㄹ 이면
이다.
보 기
[ ]
① ㄱ ㄴ ㄷ, , ② ㄱ ㄷ ㄹ, , ③ ㄱ ㄴ ㄹ, ,
④ ㄴ ㄷ ㄹ, , ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ, , ,
14.
1 4)함수 log의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 그래프를 얻을 수 있는 것만을 보기 에서 있는 대로 고른[ ] 것은?.
ㄱ log ㄴ. log
.
ㄷ × ㄹ. × 보 기
[ ]
① ㄱ ㄴ, ② ㄴ ㄷ, ③ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
④ ㄴ ㄷ ㄹ, , ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ, , ,
15.
15)그림과 같이 ≥ 에서 정의된 함수 sin
의 그래프가 다음 <조건 을 만족할 때> , 의 값은? ( ,단 , , 는 모두 양수)
가 점
( ) 와 점 의 좌표는 모두 이다.
나 점
( ) 와 점 의 좌표는 모두 이다.
다 사각형
( ) 의 넓이는 이다.
조 건
[ ]
①
②
③
④
⑤
16.
16)sin cos sin가 성립하는 ∆는 어떤 삼각형인가?① 인 이등변삼각형
② 인 이등변삼각형
③ ∠
인 직각삼각형
④ ∠
인 직각삼각형
⑤ 정삼각형
수학자료실 수학세상
17.
1 7)다음 그림은 직선 와 함수 log의그래프이다 두 점.
log
,
log
에 대하여 보기[ ] 에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ( ,단 ).
ㄱ log log .
ㄴ log log .
ㄷ log
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ,
④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
서술형 18. 1 8)두 집합
,
에 대하여 집합 ∩이 실수 전체의 집합이 되도록 하는 상수 의 값의 범위를 구하시오.
19.
19)
이고
cos
cos ×tan
일 때, sin 의 값을 구하시오.20.
20) ≥ , ≥ , ≥ 인 자연수 , , 에 대하여 log (은 ≤ ≤ 인 자연수) 가 자연수인 의 개수를 라 하자. , 일 때 집합, ∣ 의 원소의 개수가 최대가 되도록 하는 모든 의 값의 합을 구하시오.21.
21)실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.가 ( )
sin
≤ cos
≤ ≤ 나 모든 실수
( ) 에 대하여 이다.
다 모든 실수
( ) 에 대하여 이다.
자연수 에 대하여 에 대한 방정식 의 서로 다른 실근의 개수가 일 때 서로 다른 모든, 의 값의 합 을 구하시오.
빠른정답
1) ② 2) ④ 3) ④
4) ② 5) ② 6) ⑤
7) ② 8) ⑤ 9) ④
10) ② 11) ③ 12) ③ 13) ① 14) ⑤ 15) ⑤ 16) ② 17) ② 18) 19) 20) 21)
수학자료실 수학세상
정답 및 풀이
1) ②
점 는 곡선
위의 점이므로
이다.
즉
∴
,
∴ log
log
log log log log
log log log log
log
log
2) ④
가 조건에 의해
( )
이다.
나 조건에 의해
( )
이다.
다 조건에 의해
( ) 이다.
이므로
이다.
이므로
이다.
따라서
이므로
이다. ∴
그러므로 log log 이다.
3) ④
,
,
이다.
이상의 자연수 에 대하여
인데,
이므로
이다.
따라서 , 의 대소관계는 이다.
4) ②
의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식은
이다.
이 그래프를 직선 에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 이다.
즉 함수, log 의 그래프가
log log 의 그래프와 일치하므로 , 이다.
∴
5) ②
×
① ×
②
×
③ ×
④
×
⑤
×
따라서 동경 가 나타내는 각의 크기가 아닌 것은 ②이다.
6) ⑤ .
ㄱ
×
.
ㄴ
. ㄷ
×
.
ㄹ
따라서 옳은 것은 ㄷ ㄹ, 이다. 7) ②
, , 이고, , , 는 양수이다.
∴
,
×
×
,
따라서
×
×
×
이고,
자연수 에 대하여
×이 자연수이므로
,
이 모두 자연수이다.
이때
( ,단 는 자연수 라 하면)
이므로
이 자연수가 되기 위한 의 최솟값은 이다.
따라서 이므로
자연수 의 최솟값은 이다.
8) ⑤
집합 에 속하는 원소를 라 하자.
이므로
이고,
∩ ≠∅이려면 이때 는 자연수여야 한다.
즉,
가 자연수이려면자연수 은 의 약수이다. ( ,단 ≥ )
따라서 이므로
모든 자연수 의 값의 합은 이다.
9) ④
( )ⅰ ≤ ≤ 인 경우 log의 정수부분은 이다.
즉 이므로 log의 정수부분은 이다.
은 두 자리의 수이므로
≤ 이다. ∴ ≤ ≤ 따라서 만족하는 자연수 은
, , , , , 로 개다.
( )ⅱ ≤ ≤ 인 경우 log의 정수부분은 이다.
즉 이므로 log의 정수부분은 이다.
은 세 자리의 수이므로
≤ 이다. ∴
≤ ≤
따라서 만족하는 자연수 은
, , , ⋯, 로 개다.
( )ⅲ 인 경우 log의 정수부분은 이다.
이므로 log의 정수부분은 이다.
은 네 자리의 수이다.
그런데 일 때,
이므로 모순이다.
따라서 ( )ⅰ∼( )ⅲ에 의하여
주어진 등식을 만족시키는 이하의 자연수 의 개수는 개다.
10) ②
함수
의 그래프는 다음 그림과 같다. ≤ ≤ 에서
일 때 가 최솟값을 가지려면
≤ , 즉 ≤ 이어야 한다.
또한, ≤ ≤ 에서
일 때 가 보다 큰 최댓값을 가지려면
따라서 모든 정수 의 합은 이다.
11) ③
그림과 같이 지수함수 에 대하여
를 만족하는 함수 위의 점을 log ,
를 만족하는 함수 위의 점을
log
라하자.
또, 에 대하여 선분 를 로 내분하는 점 log log 와 점 의 좌표를 공유하고
위의 점 log log 를 생각하자.
일 때 점, 의 좌표는 점 의 좌표에 비해 항상 크므로 부등식 이 성립한다.
이때,
을 대입하면
이므로
가 성립함을 알 수 있다.
12) ③
cos cos 에서
cos cos sin이므로 cos sin이다.
∴ sin sin sin
cos sin sin
cos sin cos sin sin
cos sin cos sin 13) ①
.
ㄱ log 이므로 점 을 지난다. (∴참)
.
ㄴ 일 때 점, 와
점 의 직선의 기울기는 보다 작다. (∴참) .
ㄷ 일 때,
점 과 원점의 직선의 기울기는 점 과 원점의 직선의 기울기보다 크다.
즉,
이다.
따라서 이다. (∴참) .
ㄹ 이면
이므로
log
log
log
log
수학자료실 수학세상
따라서 옳은 것은 ㄱ ㄴ ㄷ, , 이다. 14) ⑤
.
ㄱ log log 는
함수 log의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 된다.
.
ㄴ log
log는 함수 log의 그래프를 축에 대칭이동한 후, 축의 방향으로
만큼 평행이동하면 된다.
.
ㄷ × log 은 함수 log의 그래프를 직선 에 대해 대칭이동한 후,
축의 방향으로 log만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 된다.
.
ㄹ × log은 함수 log의 그래프를 직선
에 대해 대칭이동한 후, 축에 대해 대칭이동하고,
축의 방향으로 log만큼 평행이동하면 된다.
그러므로 보기 중 옳은 것은 ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ, , , 이다. 15) ⑤
sin
cos 이다.이 그래프의 주기는
이다. ∵
가 조건에 의해 점
( ) 의 좌표가 이므로
이다.
또한 함수 의 최솟값이 이므로
이다.
과 을 연립하면
, 이고 cos 이다.
나 조건에 의해
( ) ≤ ≤
의 범위에서
인 의 값 중 작은 값이
점 의 좌표이고 큰 값이 점 의 좌표이다.
cos 이려면 cos
을 만족해야 하고
그때의
,
이다.
따라서
,
이다.
또한 점, 에서 축에 내린 수선의 발은 점 이고 이다.
다 조건에 의해 사각형
( ) 의 넓이 ()가
× ×
×
×
이므로
이다.
∴
16) ②
삼각형 의 외접원의 반지름의 길이를
라 할 때, sincos sin에서
사인법칙의 변형과 코사인법칙의 변형에 의하여
×
×
이다.
즉, 에서 이다.
∴ ∵ ,
따라서 삼각형 는 인 이등변삼각형 이다.
17) ② 반례 . )
ㄱ , 일 때
log log 이다. (∴거짓) 반례
. )
ㄴ
,
일 때
log
log
이다. (∴거짓) 점
.
ㄷ A, B는 직선 보다 아래에 위치하므로 log , log 이다.
즉, loglog log이다. (∴참) 따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
18)
이면 이고,
이므로 위 부등식은 이다.
밑이 로 보다 크므로
이다. ⋯ ㉠ 반면
이면
이고,밑이
으로 보다 작으므로
이다. ⋯ ㉡
집합 ∩이 실수 전체의 집합이 되기 위해서는 집합 와 집합 모두 실수 전체의 집합이여야 한다.
에서 부등식
㉠ 이 항상 성립하기 위해서는
이다.
∴ 에서 부등식
㉡ 이 항상 성립하려면
이다. ∴ 따라서 두 조건을 모두 만족시키는
의 값의 범위는 이다.
19)
cos
cos ×tan
에서sin cos × tan
이다.
sin cos × sin
cos
sin cos sin
sin ∴ sin
따라서 sin sin
×
이다.
20)
이므로 log의 값이 자연수가 되도록 하는 ≤ ≤ 에서의 의 값이 개다.
즉 ≤ 이므로 ≤ 이다.
이므로 log의 값이 자연수가 되도록 하는 ≤ ≤ 에서의 의 값이 개다.
즉 ≤ 이므로 ≤ 이다.
∴ ≤
≤ 일 때,
가 되어
집합 ∣ 의 원소의 개수가 로 최대가 된다.
따라서 모든 의 값의 합은
이다.
21)
나 조건에서 함수
( ) 의 그래프가 원점에 대해 대칭이고, ( ), ( )가 다 조건에서 함수 의 주기가 임을 알 수 있다.
즉, 의 그래프는 다음 그림과 같다.
방정식 에서
이다. (∵ ≠)
이 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 이므로 함수 와 직선
의 그래프의 교점의 개수가 이다.
따라서 직선
은 점 와 점
점 를 지날 때의 의 값은 이므로 자연수 의 범위는 이고, 서로 다른 모든 의 값의 합은
이다.
