8주차: 측정 지도(1)
광주교육대학교 수학교육과 이 대 현
수학과 교육 2-강의 자료
학습 내용: 측정의 지도 의의
✔양: 일상에서 직면하는 대소(大小), 장단(長短), 광협(廣狹), 고저(高低) 경중(輕重) 등으로 표현될 수 있는 것을 대상
✔구체물을 관찰하고 비교, 조작하는 과정에서 자연스럽게 양의 개념을 습득
✔측정: 사물의 속성에 수를 부여하는 것
초등학교에서는 시각, 길이, 들이, 무게, 각도, 넓이, 부피 등
[탐구활동] 초등학교에서 다루는 측정 영역에 대해 조사해 보아라.
학습 내용: 측정 영역의 지도 내용
학년
영역 1학년 2학년 3학년
측 정
․양의 비교
․시각 읽기
․시각과 시간
․길이
․측정값 나타내기
․시간
․길이
․들이
․무게
4학년 5학년 6학년
․각도
․평면도형의 둘레
․직사각형과 정사각형의 넓이
․어림하기(반올림, 올림, 버림)
․수의 범위(이상, 이하, 초과, 미만)
․평면도형의 넓이
․무게와 넓이의 여러 가지 단위
․원주율과 원의 넓이
․겉넓이와 부피
․원기둥의 겉넓이와 부피
학습 내용: 측정과 양
✔측정: ‘대상 또는 사건의 어떤 속성에 수를 부여하는 것’을 의미
어떤 양을 기준으로 측정 대상이 몇 개분에 해당하는가의 수치를 구하는 과정
단위: 기준이 되는 양
단위에 의한 측도(measure) 또는 측정값: 측정에 의해 얻어진 양
Ⅰ. 대상을 비교함으로써 속성을 안다.
A. 직관적 비교 B. 직접 비교 C. 참조물을 통한 간접 비교
Ⅱ. 단위를 선정한다.
A. 임의 단위 B. 보편 단위
Ⅲ. 단위에 의해 대상을 비교한다.
Ⅳ. 단위의 수를 찾는다.
A. 세기 B. 도구 이용 C. 공식 이용
Ⅴ. 단위의 수를 기록한다.
학습 내용: 측정 지도 과정
1단계: 측정할 속성 결정.
2단계: 적절한 측정 단위 선택.
∙측정 단위는 선택한 속성에 적절해야 한다.
∙속성을 여러 가지 단위로 측정할 수 있다.
∙단위는 대상의 크기에 적절해야 한다.
∙단위의 수는 단위의 크기와 반대로 바뀐다.
∙서로 다른 측정 단위를 선택할지라도 측정 과정에서 단위를 바꿀 수는 없다.
3단계: 단위의 수를 정하기 위해 단위와 대상의 비교.
4단계: 단위의 수와 단위의 이름 제시.
학습 내용: 양의 개념
✔양: 일상생활에서 ‘대소’, ‘장단’, ‘광협’, ‘고저’, ‘경중’, ‘다소’등으로 표현될 수 있는 것
(예) 연필: 길이, 무게, 부피, 가격, 색깔, ……등
한 양을 적당한 크기를 기준으로 하여 대상의 크기를 상대적으로 비교하고 판단 상대적인 개념으로 이해
✔양의 분류
=분리량(이산량): 더 이상 분할할 수 없는 양
사람이나 달걀, 사과, 구슬과 같이 독립된 개체의 수를 나타내는 양 분리량을 수치화하는 과정: 센다, 그 수치는 정수가 대응
=연속량: 얼마든지 분할가능한 양
길이, 넓이, 부피, 무게, 시간, 각도 등
연속량을 수치화하는 과정을 ‘잰다’고 하고, 그 수치는 실수가 대응 측정영역의 주요 대상은 연속량
=가법적인 양: 사물의 외형적 크기를 나타내는 양, 외연량 시간, 길이, 들이, 무게, 넓이, 부피
=비가법적인 양: 사물의 속성의 크기를 나타내는 양 속도, 밀도, 농도
학습 내용: 외연량의 지도(1)
① 길이, 거리: 길이는 모든 양의 기본이 되는 양
대상의 속성 중에서 가장 쉽게 지각되는 것 중의 하나
거리: 길이에 의해 측정되며, 물체 사이에 적용되는 길이의 개념 둘레: 한 영역을 돌아가는 거리로, 길이의 특수한 형태
② 시간: 시각은 때의 위치(시점)를 나타내는 말 시간: 두 시각 사이의 양을 나타내는 말
③ 들이: 들이는 용기의 내부공간에 들어가는 양
내부의 한 변이 1㎝인 정육면체의 내부에 넣을 수 있는 액체의 양을 1mL로 약속하여 들이와 부피를 같은 단위로 통합
④ 무게: 어느 쪽이 얼마나 더 무거운가를 알기 위해서는 제3의 물체인 임의 단위 를 도입하고, 측정값의 객관화라는 관점에서 저울의 눈금과 관련시켜 무게의 보편단위인 1g과 1㎏을 도입
학습 내용: 외연량의 지도(2)
⑤ 각도: 끝점을 공유하는 두 선분으로 된 도형을 각이라 하고,
각의 두 선분 사이의 벌어진 정도를 나타내는 양을 각도라고 한다.
⑥ 넓이: 길이가 1차원의 기본량이라면 넓이는 2차원의 기본량이다.
⑦ 부피: 입체도형이 차지하는 공간의 크기를 의미한다.
부피에 대한 지각은 넓이에 대한 지각보다 훨씬 어려우므로 쌓기나무로 공간을 메우는 것으로 할 수 있다.
✔내포량: 두 외연량의 몫으로 나타내는 양 서로 다른 두 종류의 양의 몫인 경우를 도
속도, 밀도 등과 같이 균등분포를 전제로 할 때, 단위당 분포량 같은 종류의 두 양의 몫인 경우를 율
원주율, 확률과 같이 같은 종류의 두 양의 비의 값에 해당하는 양
학습 내용: 양의 성질(1)
(1) 양의 비교성
✔같은 종류의 양은 서로 비교할 수 있다.
✔양의 비교는 측정의 시작인 동시에 측정 행위는 비교과정의 일부 =측정은 비교하기 위해서이고, 비교는 측정에 의해서 목적을 달성
✔양의 비교: 보존성이 있기 때문에 보존성이 비교라는 개념을 존재할 수 있게 하는 것
=직접비교: 대상을 직접 이동하여 겹쳐보는 비교 =간접비교: 조작이 용이한 매개물을 사용
양의 독립성=양은 그것이 소속된 물체와는 독립된 개념이므로 다른 물체로 대치 가능하다는 것
학습 내용: 양의 성질(2)
✔양의 합병: 두 물체를 합쳐 같은 종류의 양이 결정, 두 양을 합치는 것
물체의 화학적인 변화는 고려하지 않으며, 합병의 결과가 일의적으로 결정 양의 합병은 물체와는 독립적으로 덧셈 가능
✔가법적인 양:
몇 개의 물체를 합병한 양은 각각의 양의 덧셈으로 결합 (예) 길이, 넓이, 부피, 들이, 무게, 시간, 각도 등
✔농도, 밀도, 속력 등의 내포량에 대해서는 덧셈 연산이 실질적인 의미가 없다.
내포량의 합병은 덧셈 연산을 적용할 수 없다.
상황에 따라 새로운 수학적 원리를 개발하여야 한다.
학습 내용: 양의 성질(3)
(3) 양의 연속성
✔양을 측정할 수 있고, 양을 수치화하거나 수직선상의 점으로 나타낼 수 있는 것
✔양의 연속성에 관한 성질
① ‘서로 다른 두 양에 대하여 그 사이에 존재하는 양은 무수히 많다’
양의 조밀성
② ‘최대의 양도 존재하지 않고, 또 최소의 양도 존재하지 않는다.’는 것을 의미
③ 양을 얼마든지 등분할 수 있다는 것
학습 내용: 학습 내용 정리
양의 개념을 정리해 보아라.
측정 영역의 지도 과정에 대해 토의하여라.
양을 수학적으로 다루는 근거에 대해 논하여라.
생활 속에서 양을 다루는 내용에 대해 토론하여라.
