확률변수(Random Variable)

(1)

제5장 확률변수

(2)

확률변수의 기본개념



확률분포

 표본공간이 사상으로 구성되지 않고 추상적인 수치적 특성에 의하여 나타난다.



확률변수(Random Variable)

 무작위실험에 의한 각 결과를 수치적 값으로 표현하 는 변수

 이산확률변수와 연속확률변수



이산확률변수 : 변수가 취할 수 있는 값을 헤아려 열거할 수 있을 때(자녀의 수, 교통사고 회수)



연속확률변수 : 주어진 실수구간 내에 속하는 어떠

한 실수도 취할 수 있을 때(몸무게, 키)

(3)

확률변수

 확률변수



확률실험의 결과를 실수에 대응시키는 함수 (또는 방법)

Z= 임의의 점 A에서 원점까지의 거리, 연속변수 X = 동전앞면의 수, 이산변수

x²^y²



(4)

확률함수(1)

 확률함수



확률변수에 대하여 정의된 실수를 0과 1 사

이의 실수(확률)에 대응시키는 함수

(5)

확률함수(2)



확률질량함수

 변수 X가 임의의 실수값 x를 취할 확률,

P(X = x)

특징) , 모든 실수 값에 대하여

) ( x

f

_X

0 )

( x  f

_X

1 )

( 



 x

f

X

x

(6)

누적확률함수



누적확률함수

(CDF, cumulative probability distribution function)

 변수 X가 x 이하의 값을 취할 확률:

 이산변수의 경우 :

 조건

 모든 실수값 x에 대하여, 0  Fx(x)  1

 x1 < x2 이면, Fx(x1)  Fx(x2)

 Fx(-)=0 이고, Fx()=1







x X

X

x P X x

F ( ) ( )

) (

)

( x P X x

F

_X

 

(7)

결합확률함수



결합확률함수

(bivariate joint probability function)

 실험의 결과에 영향을 미치는 변수가 2개 이상인 경우 매출액 vs 광고, 고객서비스, 품질

 여러 변수의 행태를 결합적으로 분석할 필요성

 이변량 이산분포만 다룸



결합확률

모든 X, Y에 대하여

) (

) ,

,

( x y P X x Y y

f

_X_Y

   

0 )

,

( x y 

f

_X _Y

 

 



x y

Y

X

x y

f

_,

( , ) 1

(8)

기대치



기대치의 정의



기대치는 자료의 중심적 경향을 나타내 주는 수치적 척도로써 , 확률변수가 취할 수 있는 모든 값의 평균 을 의미한다 .



X가 이산변수인 경우:

) (

: ) (

) ( ]

[

1

i i

k

i

i i

x X P x

P

x P x X

E







Y)

=aE(X)+bE(

. E(aX+bY)

(X)+E(Y) . E(X+Y)=E

a+bE(X) . E(a+bX)=

(X) . E(bX)=bE

. E(a)=a

5 4 3 2 1

(9)

분산(1)

 분산



a와 b가 상수일 때,



변수 X와 Y가 독립일 때,

X (aX+b)=a

² ²

( )

2



^

Y) (X)

(X+Y)=

² ²

(

2

 

 

2 2

2

)]

( [ )

(

) (

} )]

( {[

} )]

( {[

) (

X E

x P X

E x

X E

X

i i



















(10)

분산(2)



체비세프 부등식



기대치가 ‘뮤’이고 표준편차가 ‘시그마’인 확률변수 X와 1보다 큰 임의의 수 k에 대하여 X가 기대치를 중 심으로 표준편차의 k배 범위 내에서 값을 취하게 될 확률은 최소한 이다 .



표준화된 확률변수

2

1 1 )

( X k k

P _  _  _ _

2

1 1

k

) (

X X E

Y X



 

(11)

공분산(covariance)

 공분산

 두 변수간의 연관관계가 얼마나 밀접한가를 측정하는 척도의 하나로서, 두 변수간의 선형적 연관관계를 측정 한다.

 두변수가 독립적인 경우 σ(X, Y)는?

0 )

,

( X Y 





X와 Y가 정의 선형관계

0 )

,

( X Y 





X와 Y가 부의 선형관계

0 )

,

( X Y 





X와 Y는 선형관계 없음

) ( ) ( )

(

) , ( )]

( )][

( [

] ) ) ( (

) ) ( (

[ )

, (

Y E X E XY

E

y x P Y E y

X E x

Y E Y

X E X

E Y

X

i j

i i i

i

















(12)

공분산에 따른 변수의 관계

(13)

상관계수(correlation coefficient)

 공분산의 단점은 X와 Y가 선형관계가 있는지, 그리고 그 것이 정의 관계인지 부의관계인지는 알려주지만, 공분산 의 값이 얼마나 커야 밀접한 선형관계에 있는지를 제시 못함.